高等学校辅导教材：《新编复变函数题解》,孙清华,赵德 …
复变函数-清华大学精品PPT课件
.
34
例 1 .设 z 1 1 ,z 2 i,则 z 1 z 2 i
A 1 r g 2 m zm 0 , 1 , 2 ,
Ar2 g 2z 2n n0,1,2,
A(z r1z2 g )22 k
k0 , 1 ,2 ,
代 入 3 2 上 m n 式 2 k
2
2
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
•在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数”
•直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念
•应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展.
•闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域, 记为D. 有界区域与无界区域 若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有 z∈G={z | |z|<R}，则D是有界区域；否则无界.
zz0 r 表示以 z0 为圆,点 以r为半径的圆内所. 有
.
44
Rze,Im z表示分y别 轴x平 和 轴行 的. 于 直
特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
定义
棣模佛(De Moivre)公式.
z n
1 zn
.
由定义 zn得 rnein
.
37
3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算
问题 给定复数z=re i ，求所有的满足ωn=z 的
第三章 复变函数的积分
C
f ( z )dz f ( z )dz
C1
Cn
f ( z )dz.
二、积分存在条件及其计算方法
定理1：设函数f ( z) u( x, y) iv( x, y)在光滑曲线C上连续，
则复积分 f ( z )dz存在，且有积分公式：
C
C
f ( z )dz u ( x, y)dx v( x, y )dy i v( x, y )dx u ( x. y )dy
C C1
C2
f ( z )dz，(其中C1 C2 C );
(5)
C
f ( z )dz f ( z ) ds.
C
2013-7-15
14
证明性质（5）：
| f ( k )zk | | f ( k ) || zk | | f ( k ) || sk |,
C
复数形式的曲线C参数方程：z z(t ) x(t ) iy(t ), t
f ( z)dz f [ z(t )]z(t )dt.
C
这种计算复积分方法在已知曲线C方程的条件下适合
2013-7-15 10
沿下列路线计算积分 • 例1．
3i 0
z 2 dz，其中
无论C怎样分， k怎样取，如果和式的极限唯一存在，
则称此极限值为函数f ( z)沿曲线C A到B的复积分. 自
y
记作： f ( z )dz lim f ( k )zk .
C
n
C
k
zk 1 zk
zn 1 zn B
0
k 1
(类似于微积分中的曲线积分).
清华复变函数复数与扩充复平面
§2. 复数的几何表示与复平面
z
n
1 zn
n z n m nm n m Pr op. z z z , m z , n, m . z
re
i
n
r n ei n .
复数的方根 Def. n , n 0, 若wn z , 则称w为z的n次方根,
记作w
n
n
z.
n i n i
记z rei , w ei , 则
§3. 复数的乘幂与方根
复数乘法、除法的几何意义
zk rk (cosk isink ),k 1, 2
z1 z2 r1r2 (cos 1 i sin1 )(cos 2 i sin2 ) r1r2 [(cos 1 cos 2 sin1sin2 ) i(cos 1sin2 sin1 cos 2 )] r1r2 [cos(1 2 ) isin(1 2 )]
的实部、虚部及辐角都没有意义, .
§5. 区域
考虑 n中的点集。以 表示 n中距离。 邻域 {z : z z0 }称为z0的一个邻域。
例: 扩充复平面上的邻域: z R, 扩充复平面上的去心邻域: R z .
C
z
N
P
S O
y
z
x
内点 设z0 G,若G包含z0的一个邻域,则称z0为 G的一个内点。
y
P ( x, y )
复变函数与积分变(北京邮电大学)课后的习题答案
2 2 2 2
π π 3 i cos i sin cos 2 2
1
2kπ
π π 2kπ 2 i sin 2 3 3
k 0,1, 2
∴
2
z1 cos
π π 3 1 i sin i 6 6 2 2
．
z z w w z w
π i 2 2 4 解： 3 3i= 6 i 6 e 2 2
(1) arg z π; (2) z 1 z ; (3)1 z i | 2; (4) Re z Im z;
k 0,1
∴
3 3i 6 e
1 π 2 i 4
④解： ∵
3
1 i 3 Im 0． 2
2 2 2 2 π π cos isin i i 2 4 4 2 2 2
3 1 i 3 1 3 1 3 2
2
3 1 3
2
i 3
3
8
3 5i 1 7i 16 13 ②解： 3 5i i
7i 1
1+7i 1 7i
25
25
1 8 0i 1 8
1 i 3 ． Im 0 2
求下列微分方程的解方程两边同时取拉氏变换得3方程两边取拉氏变换故有4方程两边取拉氏变换设微分方程组两式的两边同时取拉氏变换得2代入1得3代入1得方程两边取拉氏变换得3代入1
复变函数与积分变换课后答案（北京邮电大学出版社）
复变函数习题答案第五版
复变函数习题答案第五版
《复变函数习题答案第五版》
复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数域上定义的变量的函数。
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复变函数积分计算方法的探讨
复变函数积分计算方法的探讨作者：黄隽， HUANG Jun作者单位：镇江高等专科学校数理系,江苏,镇江,212003刊名：常州工学院学报英文刊名：JOURNAL OF CHANGZHOU INSTITUTE OF TECHNOLOGY年，卷(期)：2008，21(4)被引用次数：0次1.林长胜复变函数 20042.严镇军数学物理方法 19993.孙清华.孙吴复变函数内容、方法与技巧 20034.杨巧林复变函数论与积分变换 20071.期刊论文严之山.杨芬兰关于复积分的计算-青海师专学报(教育科学版)2004,24(5)为加深对复变函数论教材的理解,提高学生的学习效率,本文从不同的角度考察了复变函数的积分,总结了复积分的计算方法和技巧.2.期刊论文宋香暖复变函数积分的物理意义-天津商学院学报2004,24(3)利用矢量分析的理论阐述了复积分的物理意义.3.期刊论文邱双月.QIU Shuang-yue复积分的计算-邯郸学院学报2009,19(3)从积分路径的封闭性和被积函数的解析性方面出发,总结归纳了复积分的计算方法和技巧.4.期刊论文吴白旺利用复积分计算一种特殊类型的定积分-科技创新导报2010,""(2)众所周知,我们在复变函数中曾利用留数讨论了形如: (当满足一定条件)这三种类型定积分的计算问题.但在实际问题当中我们还经常遇到这种类型的积分(如在光学中经常遇到),本文则利用构造函数法和复积分的计算法,给出了这种类型积分的一种有效计算方法.5.期刊论文谢军.陈春涛.XIE Jun.Chen Chun-tao利用"高等数学"浅化"数学物理方法"教学的初步探讨-广西大学学报（自然科学版）2008,33(z1)初步研究了如何对只有"高等数学"知识背景的学生进行"数学物理方法"教学,并且文章中的例子对学生考研时数学的学习也有很大的帮助.6.期刊论文熊海云.戴新才.何琼浅谈复积分的求法-民风2008,""(13)对比复积分的柯西定理,柯西积分公式,高阶导数公式,留数定理,来归纳出复变函数在简单闭曲线上积分的不同处理方法,对复积分的求解有着更清晰的认识.7.期刊论文冯春明.王永国关于一种常见复积分形式的注释-中国科技信息2007,""(13)注意到复变函数教材中一种未加定义的复积分形式,从复积分概念出发对其展开研究.8.期刊论文邓继林一类分式运算题的解法-西昌师范高等专科学校学报2002,14(4)本文就初等数学中的一类常见的分式运算题、应用复变函数积分及高等代数中的关于多项式的知识,给出一些新的解法.这些新的解法较中学数学中相应的解法,更加有效、更加简易快捷,同时也从一个侧面展示了高等数学(泛指大学数学系开设的各门专业数学课程)对于初等数学的直接作用及指导意义.9.期刊论文杨静宇复变函数积分中值定理-赤峰学院学报（自然科学版）2010,26(5)文献[2]讨论了积分路径为直线段的复积分中值定理,本文则在此基础上运用复积分的相关知识讨论了积分路径为光滑曲线的复积分的积分中值定理.10.期刊论文杜鸿复函数在代数基本定理证明中的应用-丽水学院学报2004,26(5)应用复变函数的知识,从复变函数的解析性出发,分别利用最大模、最小模原理和复积分的有关定理中的柯西积分定理、平均值定理对代数学基本定理给出了几种证明的方法,并进一步指出复变函数中儒歇定理和残数定理在解决根的存在性问题及在实函数中某些广义积分的应用.本文链接：/Periodical_czgxyxb200804018.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：9bb7c863-7bd5-4da4-9d20-9dca00a1d283下载时间：2010年8月6日。
复变函数课后习题答案(全)(2020年7月整理).pdf
为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有 zn + a zn + a 1+ a ，
在上面两个不等式都取等号时 zn + a 达到最大，为此，需要取 z n
与 a 同向且 zn = 1，即 z n 应为 a 的单位化向量，由此， zn = a ， a
z=n a a
8．试用 z1, z2 , z3 来表述使这三个点共线的条件。
解：要使三点共线，那么用向量表示时， z2 − z1 与 z3 − z1应平行，因而二
者应同向或反向，即幅角应相差 0 或 的整数倍，再由复数的除法运算规
则知 Arg z2 − z1 应为 0 或 的整数倍，至此得到： z3 − z1
z1,
z2 ,
z3
三个点共线的条件是
z2 z3
− −
z1 z1
为实数。
（1） z = (1+ i)t
（2） z = acost + ibsint
解：只需化为实参数方程即可。
（3） z = t + i t
（1） x = t, y = t ，因而表示直线 y = x
（2） x = a cos t, y
=
b
sin
t
，因而表示椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
=1
（3） x = t, y = 1 ，因而表示双曲线 xy = 1 t
结论得证。
13．函数 w = 1 把 z 平面上的曲线 x = 1和 x2 + y2 = 4 分别映成 w 平面中 z
的什么曲线？
解：对于 x = 1，其方程可表示为 z = 1 + yi ，代入映射函数中，得
高等数学教材答案赵天绪
高等数学教材答案赵天绪赵天绪著第一章极限和连续函数1.1 函数的极限1.1.1 极限的定义1.1.2 极限的性质1.1.3 左右极限和无穷大极限1.2 连续函数1.2.1 连续函数的定义1.2.2 连续函数的性质1.2.3 闭区间上连续函数的性质第二章一元函数微分学2.1 导数和微分2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的性质2.1.3 微分的定义与性质2.2 微分中值定理与导数的应用2.2.1 极值与最值2.2.2 凹凸性与拐点2.2.3 导数的应用第三章一元函数积分学3.1 不定积分3.1.1 不定积分的定义与性质3.1.2 基本积分表3.1.3 积分的换元法3.2 定积分3.2.1 定积分的定义与性质3.2.2 牛顿-莱布尼茨公式3.2.3 定积分的计算方法第四章多元函数微分学4.1 多元函数的概念与表示4.1.1 多元函数的定义与性质4.1.2 多元函数的极限4.1.3 多元函数的连续性4.2 偏导数与全微分4.2.1 偏导数的定义与性质4.2.2 多元复合函数的偏导数4.2.3 全微分的定义与性质第五章多元函数的积分学5.1 二重积分5.1.1 二重积分的定义与性质5.1.2 二重积分的计算方法5.1.3 二重积分的应用5.2 三重积分5.2.1 三重积分的定义与性质5.2.2 三重积分的计算方法5.2.3 三重积分的应用第六章无穷级数6.1 数列与数列极限6.1.1 数列的定义与性质6.1.2 数列极限的定义与性质6.1.3 数列极限的计算方法6.2 级数6.2.1 级数收敛与发散的定义6.2.2 正项级数的判别法6.2.3 幂级数的性质第七章常微分方程7.1 微分方程的概念与基本概念7.1.1 微分方程的定义与性质7.1.2 一阶微分方程的解法7.1.3 高阶微分方程的解法7.2 线性微分方程与常系数线性微分方程7.2.1 线性微分方程的解法7.2.2 常系数线性微分方程的解法7.2.3 常系数线性齐次微分方程的特解第八章多元函数微分学的进阶8.1 隐函数与参数方程8.1.1 隐函数的定义与性质8.1.2 参数方程的定义与性质8.1.3 高阶偏导数的计算方法8.2 多元函数的极值问题8.2.1 多元函数的极值与最值8.2.2 等式约束极值问题8.2.3 不等式约束极值问题第九章多元函数积分学的进阶9.1 重积分9.1.1 重积分的定义与性质9.1.2 重积分的计算方法9.1.3 重积分的应用9.2 曲线积分与曲面积分9.2.1 曲线积分的定义与性质9.2.2 曲面积分的定义与性质9.2.3 曲线积分与曲面积分的计算方法第十章复变函数10.1 复数与复变函数的基本概念10.1.1 复数的定义与性质10.1.2 复变函数的定义与性质10.1.3 共轭函数与绝对值函数10.2 解析函数与调和函数10.2.1 解析函数的定义与性质10.2.2 调和函数的定义与性质10.2.3 欧拉公式与指数函数附录A 数学常用公式附录B 常用函数图像附录C 常用数学符号附录D 数学定理与推论参考文献1. 张福元, 等. 高等数学. 高等教育出版社, 2018.2. 丘维声, 等. 高等数学. 高等教育出版社, 2018.。
复变函数课后习题答案(全)
习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3zz =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4． 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）51,z i += 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+则2x y z x y+≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+ 从而222x y z x y +=+≥。
大学新编高等数学教材答案
大学新编高等数学教材答案第一章微积分1.1 函数与极限1.1.1 一元函数的极限在此章节中，我们将讨论一元函数的极限概念及其性质。
我们要回答的问题是：当自变量趋于某一值时，函数的取值会趋于什么？1.1.2 无穷小量和无穷大量在此小节中，我们将介绍无穷小量和无穷大量的定义，以及它们之间的关系。
了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解极限概念非常重要。
1.1.3 极限的运算法则在此小节中，我们将讨论极限的运算法则，包括四则运算法则、复合函数的极限法则和乘积、商的极限法则。
这些法则有助于我们计算复杂函数的极限。
1.2 导数与微分1.2.1 导数的定义与性质导数是微积分中重要的概念之一。
在此小节中，我们将介绍导数的定义及其性质，包括导数的几何意义和导数的运算法则。
1.2.2 函数的微分函数的微分是导数的一个应用。
在此小节中，我们将讨论函数的微分的定义和性质，并介绍微分的几何意义。
1.2.3 高阶导数与凹凸性在此小节中，我们将介绍高阶导数的概念，并讨论函数的凹凸性与导数的关系。
了解函数的凹凸性对于函数图像的研究非常重要。
第二章多元函数与偏导数2.1 多元函数的概念多元函数是指自变量有多个的函数。
在此章节中，我们将介绍多元函数的概念，并讨论多元函数的定义域与值域。
2.2 偏导数偏导数是多元函数的导数的一种推广。
在此小节中，我们将介绍偏导数的概念，并讨论偏导数的计算方法和性质。
2.3 隐函数与全微分在此小节中，我们将讨论隐函数的概念及其求导方法。
同时，我们还将介绍全微分的概念和性质。
第三章重积分与曲线积分3.1 重积分重积分是对多元函数在某个区域上的积分。
在此章节中，我们将介绍重积分的定义和性质，并讨论重积分的计算方法。
3.2 曲线积分曲线积分是对矢量场沿曲线的积分。
在此小节中，我们将介绍曲线积分的定义和性质，并讨论曲线积分的计算方法。
3.3 曲面积分曲面积分是对矢量场通过曲面的积分。
在此小节中，我们将介绍曲面积分的定义和性质，并讨论曲面积分的计算方法。
复变函数课程自学指导书-华北电力大学.docx
复变函数与积分变换课程自学辅导资料二OO八年四月《复变函数与积分变换》课程自学进度表教材：《复变函数与积分变换》教材编者：徐大申等出版社：中国电力出版社出版时间：2005年8月注：期中（第10周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末血授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。
总成绩中，作业占15分。
参考教材：I《复变函数》（笫以版），西安交通大学高等数学教研室编，北京，高等教育出版社，19962《复变两数与积分变换》（第二版），华屮科技人学数学系编，北京，高等教育出版社，2003《复变函数与积分变换》课程自学指导书第一章复数及复变函数一. 本章的核心.重点及前后联系（一）本章的核心复数及运算，区域，复变函数及映射理解复数、复变函数、极限及连续的概念；掌握复数运算及几何表示法；了解区域及有关定义。
（二）本章重点复数及运算，区域，复变函数及映射（三）本章前后联系本章介绍了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。
是后续各章的基础。
二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（-）本章的基本概念复数及运算，区域，复变函数及映射（-）本章难点及学习方法指导1.复数的概念、运算及其表示方法是学习复变函数的基础，通过学习复数，做到熟练掌握，灵活应用。
学习时要注意下边几点：（1）止确理解辅角的多值性，见（1-5）式；（2）熟悉两个复数乘积和商的辅角公式，见（2・3）和（2-4）式；（3）由于复数可以用平面上的点与向量表示，因此能用复数形式的方程（或不等式）表示一些平面图形，解决有关的儿何问题，见例1.3及相关习题；（4）了解无穷远点和扩充复平而的概念，它们是为了用球而上的点来表示复数而引入。
无穷远点和无穷大oo这个复数相对应。
这里的无穷大-是指模为正无穷大（辅角无意义）的唯一的一个复数；2.复变函数及其极限、连续等概念是《高等数学》屮相应概念的推广，它们有相似之处，乂有不同之点，在学习中要善于比较，深刻理解。
复变函数与积分变换PPT教学课件
实轴对称的.
o
zz
z x iy
x
z x iy
想一想，z与z的辐角主值有什么关系？
(1) 若z=0，则辐角无意义
(2) 若z位于负实轴上，则arg(z) arg(z)=
(3) 若z不在原点和负实轴上，则arg(z) -arg(z)
25
例2：求Arg(-3 4i) Arg(-3 - 4i)
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
30
例4：写出1，i, - 2, - 3i的三角表示式.
解：1 = 1(cos0 + i sin 0)
i = 1(cos + i sin )
2
2
-2 = 2(cos +isin )
-3i = 3[cos(- ) + i sin(- )]
3
26
4.复数的三种表示及其相互转化
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
cos , sin ,
复数可以表示成 z (cos i sin)
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z ei
复数的指数表示式
27
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面. 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
19
2. 复数的模(或绝对值)
从原点O到点 z x iy所引的向量与复数z构成一一
大学清华复变函数引论考试试题及答案
= −π i c−1 + G(r) − G(−r),
7
所以我们有：
∫ lim f (z) dz = π (a − b).
r→0 Cr
最后，所求积分即为
(∫ −r ∫ R)
I = lim
+
f (z) dz = π (b − a).
R→∞, r→0 −R
r
注记：本题所求积分其实是课上讲过的如下积分的变形 ∫ +∞ sin2 x −∞ x2 dx = π,
解答二：设 D 是 C 上的连通开集，若 D 中任意简单闭曲线都
可在 D 中连续地缩为一点，则 D 称为单连通区域。
2. 请写出 Cauchy-Goursat 基本定理的内容；(5 分) 解答：设 D 是 C 上的单连通区域， γ 是 D 中可求长闭曲线， f : D → C 是 D 上的解析函数，则 ∫
I=
−∞
x2
dx.
解答一：考虑函数
f (z) =
ei a z −ei b z z2
在教材中图
5.3
所示道路
上的积分。因为 f (z) 在道路所围区域中没有奇点，所以根据
Cauchy-Goursat 基本定理，有
(∫ −r ∫ ∫ R ∫ )
++ +
f (z) dz = 0.
−R
Cr
r
CR
当 R 充分大时，
p→0
p→0
p
注记：这种解答利用的是所谓含参积分技术。这种技术也是计 算各种积分的有力工具，其威力丝毫不逊色于复变函数方法。
∫
CR
f (z) dz
=
∫0
π n
复变函数课后习题答案(全)
习题一答案1．求以下复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（ 1）1（2）i2i1)(i2)3(i（3）13i（4）i84i 21i i1i解：（ 1）z132i 32i13，所以： Re z 3,Im z2，13 13（ 2）z(ii2)1i3i ，1)(i3i10所以， Re z 3 ,Im z1，1010（ 3）z 13ii33i35i i1i2，2所以， Re z 3 ,Im z5，32（ 4）z i 84i 21i 1 4i i 1 3i 所以， Re z1,Im z3，2．将以下复数化为三角表达式和指数表达式：（ 1）i （）13i（） r (sin i cos ) 23（ 4）r (cos i sin) （5）1 cos i sin(02)解：（ 1）i cos i sini e2222(cos 2i sin22（2）13i)i 2e333（ 3）r (sin i cos) r[cos()i sin()]() i re 222（ ） r (cosi sin )r[cos( ) i sin( )] rei4（5） 1 cosi sin2sin 22i sin cos2 2 23． 求以下各式的值：（1）( 3i)5（ 2） (1 i )100(1 i)100(13i )(cosi sin)(cos5 i sin 5 )2 （3）i )(cosi sin ) （4）(cos3 i sin 3 )3(1（5） 3i （ 6）1 i解：（ 1） ( 3 i )5[2(cos() i sin())] 56 6（2） (1 i )100(1i)100(2i )50( 2i )502(2)50251(1 3i )(cos i sin )（3）i )(cosi sin )(1（4） (cos5i sin 5 ) 2 (cos3i sin 3 )3（5） 3i3cosi sin22（6） 1i2(cosi sin )444． 设z 1 1i, z 23 i, 试用三角形式表示 z z 与z 121 2z 2解： zcos i sin, z 22[cos() i sin( )] ，所以14466z 1z 2 2[cos(4) i sin(4)] 2(cos i sin ) ，6 612 125． 解以下方程：（1） (z i )51z4a 40 ( a 0)（ 2）解：（ 1） zi51,由此z51i2k ii ， (k0,1,2,3,4)e5（ 2）z4a44 a4 (cos i sin)a[cos 1(2k)i sin1(2k)] ，当 k0,1,2,3 时，对应的4个根分别为：44a(1i ),a(1i),a( 1 i ),a(1i)22226．证明以下各题：（ 1）设z x iy, 则x yz x y 2证明：第一，明显有z x2y2x y ；其次，因 x2y2 2 x y , 固此有 2( x2y2 )( x y )2 ,进而 z x2y2x y2。
3复变函数 课后答案(王绵森 著) 高等教育出版社
习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
（1）i 231+； （2）i13i i 1−−； （3）()()2i 5i 24i 3−+； （4）i 4i i 218+−解 （1）()()()2i 31312i 32i 32i 32i 31−=−+−=+ 所以133=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+i 231Re ，1322i 31Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+,()2i 31312i 31+=+，131********i 3122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+， k π2i 231arg i 231Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+",2,1,0,232arctan ±±=+−=k k π（2）()()()()i,25233i 321i i)(1i 1i 13i i i i i 13i i 1−=+−−−=+−+−−−=−−所以,23i 13i i 1Re =⎭⎬⎫⎩⎨⎧−− 25i 13i i 1Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−25i 23i 13i i 1+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−，2342523i 13i i 122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−， k π2i 1i 3i 1arg i 1i 3i 1Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− ",±,±,=,+−=210235arctan k k π.（3）()()()()()()()()()42i 7i 262i 2i 2i 5i 24i 32i 5i 24i 3−−=−−−+=−+ 13i 27226i7−−=−−=所以()()272i 5i 24i 3Re −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+，()()132i 5i 24i 3Im −=⎭⎫⎩⎨⎧−+，()()l3i 272i 5i 24i 3+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+()()22952i5i 24i 3=−+， ()()()()k ππk π2726arctan 22i 2i 52i 43arg i 2i 52i 43Arg +−=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+ ()",2,1,0,12726arctan±±=−+=k k π.（4）()()()()i i 141i i i 4i i 4i i 10410242218+−−−=+−=+−3i 1i 4i 1−=+−=所以{}{}3i 4i i Im 1,i 4i i Re 218218−=+−=+−3i 1i 4i i 218+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−，10|i 4i i |218=+− ()()()2k π3i 1arg 2k πi 4i i arg i 4i i Arg 218218+−=++−=+−=.2,1,0,k 2k πarctan3"±±=+−2．如果等式()i 13i53y i 1x +=+−++成立，试求实数x , y 为何值。
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换
《复变函数与积分变换》是贾云涛主编，张瑞敏、张平、刘汉文、夏炳墅任副主编，清华大学出版社2017年出版的教材。
该书适合于高等院校工科各专业，尤其可作为电子工程、通信、自动化、计算机、航空及测控等专业的教材，还可供工程技术人员和相关科技工作者阅读参考。
该书主要介绍复数与复变函数、解析函数、复积分、解析函数的幂级数表示和洛朗展式、留数理论及其应用、傅氏变换、拉氏变换等内容，每章配有习题，书末附有习题参考答案。
《复变函数与积分变换》是为了满足培养复合型应用人才的目标，融合了课程建设的实践经验，在参考了优秀教材、汲取了同仁宝贵经验的基础上编写而成。
该书基于有限的课时和本科高校的实际教学情况，地降低了一些内容的理论深度，对复数与复变函数、解析函数、复积分、解析函数的幂级数表示和洛朗展式、留数理论及其应用、傅氏变换、拉氏变换等内容做了较为系统的介绍，同时淡化了定理的推导，强调方法的训练，在确保知识体系完整的基础上，删去了一些难度较大和相对独立的内容。
该教材的具体编写分工是：第1章由刘汉文编写；第2章由张瑞敏编写；第3章由贾云涛编写；第4章由张平编写；第5章由夏炳墅编写，最后由贾云涛对全书进行统稿。
2017年4月1日，《复变函数于积分变换》由清华大学出版社出版。
高等数学陈玉清教材答案
高等数学陈玉清教材答案1. 一元函数与极限的初步讨论1.1 函数与映射1.2 极限的基本概念1.3 极限的性质与运算法则1.4 无穷小量与无穷大量1.5 极限存在准则与夹逼准则1.6 极限的计算方法与极限的存在性证明2. 连续函数与间断点2.1 连续函数的定义与性质2.2 闭区间上连续函数的性质2.3 间断点的分类与性质2.4 初等函数的连续性3. 一元函数的导数3.1 导数的概念与几何意义3.2 导数与可导函数的关系3.3 导数的基本性质与导数法则3.4 高阶导数与莱布尼茨公式3.5 函数的单调性与极值3.6 函数图象的凹凸性与拐点4. 微分学的应用4.1 泰勒公式与泰勒展开4.2 极值问题与优化问题4.3 弧长问题与曲率4.4 曲线的渐近线与渐近圆4.5 微分方程基本概念与初步讨论5. 不定积分与定积分5.1 不定积分的定义与性质5.2 常用的不定积分公式5.3 定积分的概念与性质5.4 在定积分中的中值定理5.5 极限不存在的情况下的定积分计算5.6 定积分的应用6. 定积分的计算方法6.1 用定积分计算平面图形面积6.2 用定积分计算旋转体的体积6.3 定积分的换元法与分部积分法6.4 定积分的应用7. 曲线与曲面积分7.1 曲线积分的定义与性质7.2 Green公式与曲线积分的应用7.3 曲面积分的定义与性质7.4 Gauss公式与曲面积分的应用7.5 斯托克斯公式与曲面积分的应用8. 多元函数的偏导数8.1 多元函数的定义与极限8.2 偏导数的定义与性质8.3 隐函数求导8.4 高阶导数与黑塞矩阵9. 多元函数的微分学9.1 全微分的定义与计算9.2 多元复合函数微分法9.3 隐函数的微分法9.4 微分近似与误差估计10. 多元函数的积分学10.1 二重积分的概念与性质10.2 重积分的计算方法10.3 三重积分的概念与性质10.4 极坐标系与球坐标系中的积分计算10.5 重积分的应用11. 多重积分的应用11.1 用重积分计算平面图形的面积11.2 用重积分计算立体图形的体积11.3 质心与形心11.4 物理应用：质量、质心、转动惯量12. 广义积分12.1 无界函数的积分12.2 不定积分存在收敛准则12.3 瑕积分的概念与性质12.4 瑕积分的计算方法与应用以上是《高等数学陈玉清教材》中的主要章节和内容，希望对你的学习有所帮助。
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高等学校辅导教材：
1.《新编复变函数题解》，孙清华，赵德修编著，华中科技大学出版社，2001。
本书是学习复变函数课程的辅助教材，是21世纪高等学校数学系列辅助教材之一。
本书按照教育部《关于复变函数课程的基本要求》编写，共有六条：复数与复变函数概念、解析函数、复变函数的积分、级数、留数和保角映射。
每章又由四部分构成，第一部分是知识提要，这里列出了基本概念、定理。
原理及方法，还有学习与考试要求，重点与难点，对学习与考试要求的叙述上很准确到位。
第二部分是疑难解析，对每一章中学生不易理解的概念，原理和方法，采用问答的形式加以解释，且对内容的挖掘有一定的深度。
例如：为什么在复
平面中规定无穷远点只是一点？使用C-R条件判别函数是否解析时应注意哪些问题？z e的
值什么时候为实数？复变函数积分的牛顿－莱布尼兹公式与实一元函数定积分的牛顿－莱布尼兹公式有何异同？函数能展为幂级数有哪些等价命题？复变量函数展为泰勒级数的条件与实函数情形有何不同？等等。
这些对学生深刻理解复数函数的概念和原理很有帮助。
第三部分是例题解析。
这里对例题首先进行分类讲解分析，最后有专门的一节是综合性的，称为其他杂题分析。
例如第二章解析函数中例题解析分为七小节：函数可导的概念，函数解析性的判定、关于可微与解析的证明、初等解析函数的运算、关于初等解析函数的证明和其他杂题的分析。
在题目的选取上注意到典型、覆盖面及深浅度。
每章的第四部分是对西安交大陆庆乐编著的《复变函数》中的全部习题作了解答。
本书确如编著者在前言中所说“……人们在学习掌握这门课程中普遍感到概念难懂，习题难做，方法难于掌握。
本书就是为了帮助大家解决学习的困难而编写的。
”是一本阅读性很强的辅助教材。
与上面有相同特色的辅助书：
大学数学的内容、方法与技巧丛书：《复变函数－内容、方法与技巧》，孙清华孙昊编写，华中科技大学出版社，2003。
2．三一丛书（一流学校，一流老师、一流资源）
《复变函数－要点与解析》，龚冬保编著，西安交通大学出版社，2006.
本书精选了近500道典型的复变函数题。
按复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数。
留数和保角映射六章进行分类编排，分客观题（选择题）和非客观题（计算和证明题）。
对每题给出了解题思路、解题方法以及解法旁注，并能注意到一题多解和解法的精选，故大多题有独特的解法。
需要特别强调，旁注点出了一些注意点，其他解法的思路，学生易犯的错误，及学生应掌握或牢记的公式、原理和方法等等。
本书还附有三套模拟测试题及答案，供学生检查自己的学习效果之用。
3 ．《复变函数学习指导书》，钟玉泉编，高等教育出版社，2006。
这本书是作为钟玉泉编《复变函数》（第二版）的配套教学用书。
全书共有九章：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、残数理论及其应用、保形变换、解析开拓和调和函数。
一．重点要求与例题。
按照教材章节顺序，在概括本章内容重点（包括关联、归纳）与要求的同时全面系统地总结和归纳复变函数问题的基本类型，每种类型的基本方法，每种方法先概括要点，然后选择若干具有典型性、代表性和一定技巧性的例题，逐层剖析，分类讲解。
例题按由浅入深的层次编排。
解、证都紧扣教材自身的理论和方法。
尽可能在解前给出解题思路分析，解后用注的形式向读者指明要注意的事项。
二．习题解答提示。
教材各章习题除简单、明显的外都分别给出解法或证明提示，包
括解题要点，或解题思路分析，或指出解、证时应该利用的主要工具，而把细致的中间过程留给读者自己补充完成。
有的题目还提供多种解法，必要时还对各种解法进行对比分析，以开拓读者思路。
三．类题或自我横检查题。
这部分题目是为读者检查自己掌握复变函数理论和方法的程度编排的。
希望读者从学习相关例题或教材的习题解答提示中得到启发，尽可能独立完成它。
4．《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，华中科技大学数学系（第二版），高等教育出版社。
本书是大学数学学习辅导丛书中的一本，它是华中科技大学数学系编写的重要非数学专业用《复变函数与积分变换》教材的配套用书。
共有六章讲复变函数：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用和共形映射。
每章四四部分构成：基本要求与内容提要、典型例题与解题方法、教材习题同步解析和自测题。
这本书对复变函数基本理论及原理应用的要求和深度上略低于数学系的要求，但对于初学者及基础不太好的学生也不失为一本好的辅导学习用书，当然，对任何学习复变函数的学生都有一定的参考价值。
5．钟玉泉编《复变函数论》（第二版），高等教育出版社，2003.
本教材自1979年初版以来，被一些综合大学、师范院校及一些理工院校的应用数学、计算专业、师资班和研究生班所采用。
本教材还有配套的钟玉泉编的《复变函数论学习指导用书》从而更方便于采用本教材学习复变函数。
用教材对复变函数的基本理论作了全面而细致的论述。
尤其对解析函数、复积分、级数展开和留数及其应用讲解得比较细、教材对概念、原理讲解清晰，例题较多并有不少一题多解，在较多的地方作了注和思考题以帮助读者更好地理解和掌握教材内容，总之，本教材为名副其实经典教材。
余家荣编《复变函数》（第三版），高等教育出版社，2000。
本书自1978年初版以来，被一些综合大学、师范院校及一些理工院校的应用数学系所采用。
现在的第三版是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材和普遍高等教育“九五”国家级重点教材。
本教材对复变函数论的基本概念和原理讲解清晰，并且较多的说明性的例子和注以方便学习者。
本教材还能注意与实变量函数的比较，指出共同和异同点。
另外，本教材还有五个附录为部分读者提供进一步学习所需的重要知识。
最后，本教材对习题中的部分题目作了提示，并在后面给答案和说明。
总之，本教材也堪称经典教材。