2018-2019年最新高考总复习数学(文)5月份高考调研试题及答案解析

2018年高三调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．B）=（）1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RA．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，3）2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（）A．B．C．D．4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（）A．2 B．1+C．3 D．2+6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．7．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：①若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α②若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α③若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m④若l ∥α，m ∥α，则l ∥m ．其中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．2 9．已知直线x+y ﹣k=0（k ＞0）与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有，那么k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知f （x ）=，g （x ）=|x ﹣k|+|x ﹣1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f （x 1）≤g （x 2）成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（﹣）∪（）B ．（﹣]∪[）C ．[]D ．（）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上11．已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a ﹣1）y+a 2﹣1=0，若l 1⊥l 2，则a= ．12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t +（1﹣t ）．若•=0，则t= ．13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是 ．14．执行如图所示的程序框图，则输出的a 为15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a ，b ，则关于x 的方程x 2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为 ．16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下： 寿命（天）频数 频率 [100，200）20 0.10 [200，300）30 y [300，400）70 0.35 [400，500）x 0.15 [500，600）50 0.25 合计 200 1规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品． （Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= ，y= ；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n （n ∈N *）个，如果这n 个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n 的最小值为 ．17．对于函数y=f （x ），x ∈D ，若对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得=M ，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M ，已知f （x ）=x 3﹣x 2+1，x ∈[1，2]，则函数f （x ）=x 3﹣x 2+1在[1，2]上的几何平均数M= ．四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有S n =n 2+n ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC=（2b ﹣c ）cosA ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC 面积的最大值．20．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB=AC=，E 是棱A 1A 的中点，F 为棱CC 1上的一动点．（Ⅰ）若C 1E ∥平面ABF ，求的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A 1C ⊥平面ABF ．21．已知f （x ）=alnx++3x ﹣4．（1）当a=﹣2时，求f （x ）的单调区间；（2）若x ≥1时，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证： +++…+＞ln （2n+1）对一切正整数n 均成立．22．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F 作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，且M 、N 分别为AB 、CD 的中点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN 过定点，并求出这个定点；（3）当AB 、CD 的斜率存在时，求△FMN 面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁B）=（）RA．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集为R，集合A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∁B={x|x≤﹣1或x＞5}RB）={x|﹣3＜x≤﹣1}则A∩（∁R故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力．2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】求出复数z，得到对应点的坐标即可判断选项．【解答】解：复数z满足（3﹣4i）z=25，可得z===3+4i．对应点为：（3，4），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，是基础题．3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（）A．B．C．D．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的单调性判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：当x=0时，y=cos（﹣）=＞0，排除C，当cos（2x﹣）=0，得2x﹣=+kπ，即x=+，∵x∈[﹣，]，∴x=或﹣，排除A，B，故选：D【点评】本题主要考查三角函数图象的判断，根据三角函数的单调性是解决本题的关键．4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，f（x）=x3是奇函数，在区间[﹣1，1]上是单调递增，不正确；对于B，f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，不正确；对于C，f（﹣x）=ln=﹣f（x）是奇函数，∵ =﹣1+在区间[﹣1，1]上是单调递减，∴f（x）=ln在区间[﹣1，1]上是单调递减，正确；对于D，f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，在区间[﹣1，1]上不是单调递减，不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，正确运用函数的单调性与奇偶性的定义是关键．5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（）A．2 B．1+C．3 D．2+【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故选：B．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，做出底面的面积，三棱锥的高是2，根据三棱锥的体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，三棱锥的底面的面积是=2，由三视图知三棱锥的一个侧面与底面垂直，三棱锥的高是2，∴三棱锥的体积是=故选C．【点评】本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高，三棱锥的高是由垂直与底面的侧面的高得到，本题是一个基础题．7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α，m∥α，则l∥m．其中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①利用线面位置关系可得：l与α平行相交或l⊂α，即可判断出正误；②利用线面垂直的判定定理即可判断出；③利用线面平行的判定定理可得：l∥m或为异面直线，即可判断出正误；④利用线线与线面位置关系即可判断出：可得l∥m、相交或为异面直线，进而判断出正误．【解答】解：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α不成立（m没有给出是平面内的任意一条直线），例如可能l⊂α，l∥α，l与α相交但是不垂直等；②若l⊥α，l∥m，由线面垂直的判定定理可得m⊥α，正确；③若l∥α，m⊂α，则l∥m或为异面直线，因此不正确；④若l∥α，m∥α，则l∥m、相交或为异面直线．其中，正确命题的个数是1．故选：A．【点评】本题考查了空间位置关系及其判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，代入抛物线方程y=x2+1，得x2x+1=0，由相切的条件可得，判别式﹣4=0，即有b=2a，则c===a，则有e==．故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力，属于基础题．9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y ﹣k=0（k ＞0）与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A 、B ，∴∴4＞∴4＞∵k ＞0，∴故选C ． 【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．10．已知f （x ）=，g （x ）=|x ﹣k|+|x ﹣1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f （x 1）≤g （x 2）成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（﹣）∪（）B ．（﹣]∪[）C ．[]D ．（）【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的最值，不等式有f （x 1）≤g （x 2）等价为有f （x ）max ≤g （x ）min 即可．【解答】解：当x ≤1时，f （x ）=﹣x 2+x=﹣（x ﹣）2+≤，当x ＞1时，f （x ）=﹣log 3x ＜0，则函数f （x ）max =，g （x ）=|x ﹣k|+|x ﹣1|≥|k ﹣x+x ﹣1|=|k ﹣1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f （x 1）≤g （x 2）成立，则|k ﹣1|≥，即k ﹣1≥或k ﹣1≤﹣，即k ≥或k ≤，故选：B【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，求出函数的最值是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上11．已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a ﹣1）y+a 2﹣1=0，若l 1⊥l 2，则a= ． 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由两直线互相垂直，可得两直线系数间的关系，由此列关于a 的方程求得a 值．【解答】解：∵直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a ﹣1）y+a 2﹣1=0，且l 1⊥l 2，∴a ×1+2（a ﹣1）=0，即a+2a ﹣2=0，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，关键是对垂直条件的记忆与应用，是基础题．12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t +（1﹣t ）．若•=0，则t= 2 ． 【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t +（1﹣t ）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴ =0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是50π．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先求出长方体的棱长，再求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据公式即可球的表面积，本题采用了设而不求的技巧，没有解棱的长度，直接整体代换求出了体对角线的长度．【解答】解：长方体一顶点出发的三条棱长的长分别为a，b，c，则a2+b2=25，b2+c2=34，c2+a2=41，得a2+b2+c2=50．于是，球的直径2R满足4R2=（2R）2=a2+b2+c2=50．故外接球的表面积为S=4πR2=50π．故答案为：50π．【点评】本题考查长方体的几何性质，长方体与其外接球的关系，以及球的表面积公式，训练了空间想象能．．14．执行如图所示的程序框图，则输出的a为﹣【考点】程序框图．【专题】规律型；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出a值的周期，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；开始a=3，i=1；第一次循环a==﹣2，i=2；第二次循环a==﹣，i=3；第三次循环a==，i=4；第四次循环a==3，i=5；第五次循环a=﹣2，i=6；…；∴a的取值周期为4，且跳出循环的i值为2015，∴输出的a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现a值的周期是关键．15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，则关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意可得（a，b）的所有结果共有36种，每种结果等可能出现，再利用列举法求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根包含的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，基本事件总数n=6×6=36，∵关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根，∴△=a2﹣4b＞0，a=1时，不成立；a=2时，不成立；a=3时，b可以取1，2；a=4时，b可以取1，2，3；a=5时，b 可以取1，2，3，4，5，6；a=6时，b 可以取1，2，3，4，5，6．满足条件的基本事件个数m=17，∴关于x 的方程x 2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率：p==．故答案为：． 【点评】本题考查关于x 的方程x 2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下： 寿命（天）频数 频率 [100，200）20 0.10 [200，300）30 y [300，400）70 0.35 [400，500）x 0.15 [500，600）50 0.25 合计 200 1规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品． （Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= 30 ，y= 0.15 ；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n （n ∈N *）个，如果这n 个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n 的最小值为 4 ．【考点】频率分布表．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率=，利用频率分布列能求出x ，y 的值．（2）由频率分布表先求出x ，再求出优等品、正品、次品的比例，从而能求出按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k ，（k ∈N *），由此能求出n 的最小值．【解答】解：（1）由频率分布表得：x=200×0.15=30，y==0.15．故答案为：30，0.15．（2）由已知得x=200×0.15=30，∴由频率分布表得到：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品、次品的比例为50：100：50=1：2：1，∴按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k ，（k ∈N *），∴n 的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查频率分布表中未知数的求法，考查按三个等级分层抽样所得的结果相同的n 的最小值的求法，是基础题，解题时要注意频率分布表和分层抽样的性质的合理运用．17．对于函数y=f （x ），x ∈D ，若对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得=M ，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M ，已知f （x ）=x 3﹣x 2+1，x ∈[1，2]，则函数f （x ）=x 3﹣x 2+1在[1，2]上的几何平均数M= ． 【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】根据已知中对于函数y=f （x ），x ∈D ，若存在常数C ，对任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得=M ，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M ．我们易得若函数在区间D 上单调递增，则M 应该等于函数在区间D 上最大值与最小值的几何平均数，由f （x ）=x 3﹣x 2+1，D=[1，2]，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数f （x ）在D 上的几何平均数为M 的定义，由于f （x ）的导数为f ′（x ）=3x 2﹣2x ，在{1，2]内f ′（x ）＞0，则f （x ）=x 3﹣x 2+1在区间[1，2]单调递增，则x 1=1时，存在唯一的x 2=2与之对应，且x=1时，f （x ）取得最小值1，x=2时，取得最大值5，故M==．故答案为：．【点评】此题主要考查了应用新定义分析题意解决问题．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有S n =n 2+n ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用数列的通项和求和的关系：当n=1时，a 1=S 1，当n ＞1时，a n =S n ﹣S n ﹣1，计算即可得到所求通项；（Ⅱ）求得b n =（﹣），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证． 【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1=2；当n ＞1时，由S n =n 2+n ，可得S n ﹣1=（n ﹣1）2+n ﹣1=n2﹣n ，两式相减，可得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ，综上可得a n =2n ；（Ⅱ）b n ==（﹣），前n 项和为T n =（1﹣++﹣+…+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣（+），由于（+）＞0，则T n ＜成立．【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意保留和消掉的项，属于中档题．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC=（2b ﹣c ）cosA ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC 面积的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简即可得到角A ；（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ，即bc ≤4，当且仅当b=c=2时取等号，运用三角形的面积公式可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）acosC=（2b ﹣c ）cosA ，即为acosC+ccosA=2bcosA ，由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA ，sin （A+C ）=2sinBcosA 即sinB=2sinBcosA ，∵B ∈（0，π）∴sinB ≠0∴cosA=，∵A ∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ，∴bc ≤4，当且仅当b=c=2时取等号，∴△ABC 的面积S=bcsinA=bc ≥，∴当且仅当b=c=2时，S 取得最大值，且为． 【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．20．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB=AC=，E 是棱A 1A 的中点，F 为棱CC 1上的一动点．（Ⅰ）若C 1E ∥平面ABF ，求的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A 1C ⊥平面ABF ．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由题意可得C 1E ∥FA ，又E 是棱A 1A 的中点，可得F 为棱CC 1的中点，即可得解． （Ⅱ）由题意可证∠FAC=∠A 1CC 1，从而可求A 1C ⊥AF ，证明AB ⊥平面A 1ACC 1．即可证明A 1C ⊥AB ，从而得证A 1C ⊥平面ABF ．【解答】解：（Ⅰ）∵C 1E ∥平面ABF ，C 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面ABF ∩平面A 1ACC 1=AF ，∴C 1E ∥FA ，∵E 是棱A 1A 的中点，∴F 为棱CC 1的中点，∴=；…6分（Ⅱ）设AB=AC=a ，则AA 1=，∵，∴∠FAC=∠A 1CC 1，∵∠A 1CC 1+∠A 1CA=90°，∴∠FAC+∠A 1CA=90°，∴A 1C ⊥AF ，∵A 1A ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥AB ，∵AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1．∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴AB ⊥A 1C ．∴A 1C ⊥AB ，A 1C ⊥AF ，∴A 1C ⊥平面ABF ．…13分．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．21．已知f（x）=alnx++3x﹣4．（1）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证： +++…+＞ln（2n+1）对一切正整数n 均成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围；（2）由（1）知，x＞0时，不等恒成立，则x＞0时，恒成立．令k=1，2，3，…，n，叠加，即可证明结论．【解答】解：（1）当a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+=f'（x）=0，解得x=或x=1因为x＞0，所以x=1．f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）f'（x）=△=a2+12＞0，则方程3x2+ax﹣1=0有两个异号的实根，设这两个实根为x1，x2，且x1＜0＜x2．∴0＜x＜x2时，f'（x）＜0．f（x）在区间[0，x2]上为减函数，f（x2）＜f（0）=0．∴a＜﹣2不符合要求．∴a的取值范围为[﹣2，+∞）．（3）证明：由（1）知，x＞0时，不等式﹣2lnx+恒成立，∴x＞0时，恒成立，令，得整理得：∴令k=1，2，3…，n，得…，将上述n个不等式的左右两边分别相加得，∴对一切正整数n均成立．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，巧妙利用两小题之间的关系，是解题的关键．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D，且M、N分别为AB、CD的中点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN过定点，并求出这个定点；（3）当AB、CD的斜率存在时，求△FMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由于椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设直线AB 的方程为x=my+1，m ≠0，则直线CD 的方程为x=﹣y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M ，N 的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H ，检验m=0也成立；（3）由（2）可得，△FMN 面积为S=|FH|•|y M ﹣y N |，化简整理，再令m+=t （t ≥2），由于函数的单调性，即可得到最大值．【解答】（1）解：∵椭圆+=1（a ＞b ＞0）经过点（0，），离心率为，∴b=，c=a ，a 2﹣b 2=c 2，∴解得a 2=3，b 2=2，∴椭圆方程为．（2）证明：设直线AB 的方程为x=my+1，m ≠0，则直线CD 的方程为x=﹣y+1，联立椭圆方程，消去x ，得（2m 2+3）y 2+4my ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=﹣，y 1y 2=，∴x 1+x 2=（my 1+1）+（my 2+1）=m （y 1+y 2）+2=，由中点坐标公式得M （，﹣），将M 的坐标中的m 用﹣代换，得CD 的中点N （，），k MN =，直线MN 的方程为y+=（x ﹣），即为y=（x ﹣1），令x ﹣1=0，可得x=，即有y=0，则直线MN 过定点H ，且为H （，0）当m=0，即有x=1，可得直线MN 也过定点H ；（3）解：由（2）可得，△FMN 面积为S=|FH|•|y M ﹣y N |=（1﹣）•|﹣﹣|=2||=2||可令m+=t （t ≥2），由于6t+的导数为6﹣，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S==在[2，+∞）递减，即有t=2即m=1时，S 取得最大值，且为．则△FMN 面积的最大值为． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式和函数的单调性等知识点的合理运用．。