数学——向量的加法与减法(2)

课题：向量的加法与减法（2）

教学目的：

⑴了解相反向量的概念；

⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量

教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.

教学难点：对向量减法定义的理解

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：；

④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.

3.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0的方向是任意的

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

4.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

8．向量加法的交换律：a+b=b+a

9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

二、讲解新课：向量的减法

1．用“相反向量”定义向量的减法：

1︒“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作-a

2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (-a) = 0

如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法

2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量

∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a

减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，

作OA = a , OB = b , 则BA = a - b

即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量

注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数

2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一

a ∥

b ∥

c a - b = a + (-b ) a - b

三、讲解范例：

例1已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d

解：在平面上取一点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,

作BA , DC , 则BA = a -b , DC = c -d

例2平行四边形ABCD 中，a AB =，b AD =，用a ，b 表示向量AC 、DB 解：由平行四边形法则得：

AC = a + b, DB = AD AB - = a -b

变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |）

变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |b 互相垂直）

变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵

对角线方向不同） 四、课堂练习：

1.下列等式:①a +0=a ②b +a =a +b ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b

正确的个数

是( )

a -

b A A

B B ’ O a -b a a b b O A O B a -b a -b B A O -b

A.2

B.3

C.4

D.5

2.下列等式中一定能成立的是( )

A. AB+AC=BC

B. AB-AC=BC

C.AB+AC=CB

D. AB-AC=CB

3.化简OP-QP+PS+SP的结果等于( )

A. QP

B. OQ

C. SP

D. SQ

4.已知OA=a, OB=b,若|OA|=12,|OB|=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= .

5.在正六边形ABCDEF中, AE=m, AD=n,则BA= .

6.已知a、b是非零向量,则|a-b|=|a|+|b|时,应满足条件 .

参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 13 5.m-n 6.a与b反向

五、小结向量减法的定义、作图法

六、课后作业：

1.在△ABC中, BC=a, CA=b,则AB等于( )

A.a+b

B.-a+(-b)

C.a-b

D.b-a

2.O为平行四边形ABCD平面上的点,设OA=a, OB=b, OC=c, OD =d,则

A.a+b+c+d=0

B.a-b+c-d=0

C.a+b-c-d=0

D.a-b-c+d=0

3.在下列各题中,正确的命题个数为( )

(1)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a+b与a方向相同

(2)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a-b与a+b方向相同

(3)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a方向相反

(4)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a+b方向相反

A.1

B.2

C.3

D.4

4.如图，在四边形ABCD中,根据图示填空:

a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .

5.一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为 .

6.若a、b共线且|a+b|＜|a-b|成立,则a与b的关系为 .

7.在五边形ABCDE中,设AB=a, AE=b, BC=c, ED=d,用a、b、c、d表示CD.

8.如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示）,使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d.