(完整版)高一下学期平面向量综合复习

高一下学期平面向量综合复习

结论１ 在ABC ∆中AC BC AB =+（加）或BC AB AC =-（减）称ABC ∆为向量三角形；推广可有013221=+++A A A A A A n ，称

121A A A A n 为封闭折线．

如：①在平行四边形ABCD 中,已知a AB =,b AD =,DO DM 31=,OC ON 3

1

=,试用b a ,表示MN = .

②如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交 直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =， 则m n +的值为

．

2. 向量共线的条件：

结论2 （平行向量基本定理）向量a 与)0(≠b 平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数λ使b a λ=．特别地，三点C B A 、、共线⇔AC AB λ=．

3. 轴上向量的坐标及其运算：已知轴l ，取单位向量e ，对于轴l 上任意向量a 总是存在唯一实数x 使得a xe =，我们称x 为向量a 在轴l 上的坐标（或数量）。

设e 是轴l 的一个基向量，向量AB 的坐标为AB ，则AB ABe =；

若轴l 为x 轴，可设点A 、B 的坐标分别为x 1，x 2，则向量AB 的坐标AB=21x x -。 4. 向量的分解：

结论3（平面向量基本定理） 设b ,a 是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量c ，存在唯一实数μλ,使b a c μλ+=．

这里 称为向量c 关于基底 的分解式。

特别地若1=+μλ，则有①⎪⎭⎫ ⎝⎛

=+++=CB AC t OB t t OA t OC 111称为定比分点向量式，也称为

直线AB 的向量参数方程式；②()

OB OA OC +=

2

1

称为中点向量式（C 为AB 中点）． 上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：

①证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成2∶1的两条线段。

②求证ABC ∆三条高CF BE AD

、、相交于一点．

5.平面向量的坐标运算：

对于结论3，若{,}a b 是一组单位正交基底，则称(,)λμ是向量c 在基底{,}a b 下的坐标，记作(,)c λμ=。

（在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设1212(,),(,)a a a b b b ==，则有：

a b += ；a b -= ；a λ= ； (0)a b b a λ≠⇔=⇔ ；

6.向量的数量积：

结论4 两个向量的数量积为θcos b a b a =⋅，其中b

,a =θ为两个向量的夹角，其范

围为 ．数量积有如下性质：

①

cos b a e a e b b θ⎛⎫ ⎪⋅== ⎪⎝⎭

为方向的单位向量；是点到直线（甚至到平面）距离公式推导的根据；

② 夹角公式cos a b a b

θ⋅== ；（坐标形式）

③ 2

2

a a a a =⋅=即a a a =⋅= （用于求模）；

④ 0a b

a b ⋅=⇔⊥⇔ ；（坐标形式）

⑤ .a b a b ⋅≤（某些不等式放缩证明的根据）

数量积的运算律：（1）交换律： ；（2）数乘律： ； （3）分配律： 。（请给出证明） 注意：不满足消去律：a c b c •=•推不出结论a b =，举例： 。

如：①已知平面上直线l 的方向向量e =(-53

,54)，点O (0,0)和点A (1, -2)在l 上的射影分别为'

O 和'A ，且=''A O λe ，其中λ=（ ）

A ．

511 B ．-5

11

C ． 2

D ．-2 ②模公式2

2

a

a a a

=⋅=的应用举例：

（1）求证: )|||(|2||||2222b a b a b a +=-++，其几何意义是 。 （2）若3||||||=-==b a b a ,则=⋅b a （3）已知2||=a ,3||=b ,7||=

-b a ,则a 与b 的夹角为

（4）已知c b a ,,中每两个向量夹角都为

120且4||=a ,6||=b ,2||=c ,求||c b a ++值. 7. 直线:0l Ax By C ++=的方向向量v = ，法向量u = ，若再已知定点00(,)P x y ，而且点(,)M x y l ∈，0n 是单位法向量，则点P 到直线l 的距离公式

为： 。（向量形式）

8. 结论５：

+≤±≤-，称为向量三角形不等式． （三）三角形的“四心”与向量 1. 关于重心G ，有重心公式：1

()3

OG OA OB OC =

++ 坐标)3

,3(

C

B A

C B A y y y x x x G ++++，并有性质0=++GC GB GA ；

2. 关于垂心H ，有性质HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅；

3. 关于外心O ，有性质||||||OC OB OA ==；

结论：O 、H 、G 三点共线且OG OH 3=；此线称为欧拉（Euler ）线。（如何证明？） 4. 关于内心I ，经常涉及内角平分线的研究，如|

||

|(

AC AB AI +

=λ。

如： ①已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的 （A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心

（C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心 ②在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113BA BC BD BA

BC

BD

+

=

，则四边形ABCD

的面积是

③设斜ABC △的外接圆圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 。

④ O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫

⎪=++

⎪⎝⎭

，[)0,λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心

（四）向量与解析几何

在解析几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：

（1）A 、B 、C 三点共线等价于存在实数αβ，使得OC OA OB αβ=+（1αβ+=）； （2）ABC ∆的重心G 的坐标公式为()

1

3

OG OA OB OC =

++． （3）直线的方向向量是什么？ 给定两点：()()111222,,,P x y P x y ，那么

()122121,PP x x y y =--，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：()1

,tan α，也就是说：直线0Ax By C ++=的方向向量是(),B A -，直线的法向量是(),A B ．

例如：已知O 为坐标原点，点F E 、的坐标分别为)0

,1(

)0,1(和-,点Q P A 、、运动时，满足

EP AP AF PQ QF AQ //,0,=⋅==，

（1）求动点P 的轨迹C 的方程．

（2）设M 、N 是轨迹C 上的两点，若23OM ON OE +=，求直线MN 的方程

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____ 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||

AB AB ±)；

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、

共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如 下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______ 二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；