与圆有关的最值问题课件.ppt
与圆有关的定点定值最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【助学·微博】 一个考情分析
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是________．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b|＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
答案 [1， 2)
抓住2个考点
突破3个考向
由yx＝－02，2－3＝0，
得x＝2＋ y＝0
3，
或x＝2－ y＝0.
3，
故以 MN 为直径的圆恒过定点(2＋ 3，0)和(2－ 3，0)．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向二 与圆有关的定值问题
【例2】 (2013·扬州调研)已知圆C：x2 ＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y ＝0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的 直线方程； (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)， 满足：对于圆 C 上任一点 P，都有PPAB为一常数，试求所有满 足条件的点 B 的坐标．
抓住2个考点
最新九年级中考数学专题复习： 最值问题-隐圆模型之瓜豆问题 课件
B
C
△BOC是等腰直角三角形,锐角顶点C的轨迹是以点A为圆
心,2为半径的圆,所以O点轨迹也是圆,以AB为斜边构造等
M
腰直角三角形,直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.
连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O,此时AO最大,
根据AB先求AM,再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A
O
半径的比值,得到MO,相加即得AO.
E
MN
AD
B
当堂训练---轨迹之线段篇
3.如图,∠AOB=60º,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,
D
，D是定点,E点满足EO=2,故E点
轨迹是以O为圆心,2为半径的圆.
当DE⊥DF且DE=DF,故作DM⊥DO
且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心
,2为半径的圆.
连接OM,与圆M交点即为F点,此 E
时OF最小.可构造三垂直全等求
线段长,再利用勾股定理求得OM,
减去MF即可得到OF的最小值. B
O
C
M F
接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半,即可解 C
FB
决问题.
当堂训练---轨迹之圆篇
3.如图,正方形ABCD中,AB=2 5,O是BC边的中点,点E是正方形内一
动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90º得DF,连接AE、
CF.求线段OF长的最小值.5 2 - 2
【分析】E是主动点,F是从动点 A
连接DF.DF的最小值是_1___.
A
一个定点----垂线段最短
E
G
D
B
C
F
当堂训练---轨迹之线段篇
2.如图,已知等边三角形ABC的边长为8,点D为AB边上一动点,DE始
新高考数学人教版必修2课件第2章 习题课 与圆有关的最值问题
内容索引
一、与距离有关的最值问题 二、与面积相关的最值问题 三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题
随堂演练
课时对点练
一、与距离有关的最值问题
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝ d－r ，最大 值＝ d＋r .
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝ d-r ，最大值＝ d＋r .
解析 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1， 由圆的性质可知，四边形的面积S＝2S△PBC， 又四边形PACB的最小面积是2， 则 S△PBC 的最小值为 S＝1＝12r|PB|min＝12|PB|min， 则|PB|min＝2，因为|PB|＝ |PC|2－r2＝ |PC|2－1，
解析 设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2. 当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦， |CA|＝ 2－32＋2－12＝ 2. ∴半弦长＝ r2－|CA|2＝ 4－2＝ 2. ∴最短弦长为 2 2.
二、与面积相关的最值问题
例2 已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则
√C. (－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞) D. [－ 3， 3]
解析 将yx看作圆上动点(x，y)与原点 O(0,0)连线的斜率， 如图，可得 k≥ 3或 k≤－ 3.
1234
4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上， 则△PC1C2面积的最大值为_4___5_. 解析 因为C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,0)，r2＝4， 所以|C1C2|＝ －2－22＋22＝2 5， 当 PC2⊥C1C2 时，△PC1C2 的面积最大，其最大值为12×2 5×4＝4 5.
与圆有关的最值问题课件高二上学期数学人教A版选择性
赋代数式子几何意 义
利用数形结合 思想解决问题
4
例题 已知圆C： x 32 y2 4 ，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．
双动点问题
化归
单动点问题
把双动点改为双动直线，就能得到以下的新问题．
例题 已知圆C： x 32 y2 4 ，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．
问题(4)若P在直线m: 3x-4y+12=0上，过P作圆C的两条切线，切点 分别为A、B ，则四边形PACB面积的最小值为______ ．
问题(3) 若P在直线m: 3x-4y+12=0上，则|PQ|的最小值是____ ．
方法一：P固定，Q运动；d为圆心C到直线m的距离．
｜PQ｜≥|PC|-r=|PC|-2
≥d-2 =
21 2 11.55 Nhomakorabea答案：11 ． 5
例题 已知圆C： x 32 y2 4 ，O为坐标原点，Q是圆C上的一点．
由 ｜3+b｜ 2， 11
得 b=-3+2 2 或 b=-3-2 2 ．
答案： 3 2 2, 3 2 2 ．
小结 一般地： （1）形如 k y b 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
xa （2）形如 m ax by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如 r2 (x a)2 ( y b)2 的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a， b)的距离平方的最值问题．
除距离、面积、角度这些有明显几何意义的问题外，有时也会碰到以 下问题：
例题 已知圆C： x 32 y2 4 ，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．
问题(6) 设Q（x,y）,则 y 2 的最大值和最小值分别是___，___ ．
x2
【高考】二轮复习与圆相关的范围与最值问题ppt课件
(x 2)2 y2 25, P是圆M上的动点，PE • PF的最小值 可转化为与PC范围相关的问题
变式：
圆C的方程为(x 2)2 y2 4,圆M的方程为
(x 2 5 cos )2 ( y 5sin )2 1( R).过圆M上
则x 2 y 5 5 cos 2 5 sin 5cos( ) （5 其中 cos 5 ,sin 2 5 ）
5
5
所以当 cos( ) 1时，(x 2 y)max 5 5 0,故x 2 y的最大值为 0
总结：
在处理与圆有关的范围和最值问题中，应把握两个“思想”：
几何 与圆相关的范围与最值问题 思想和代数思想。
解：(1)过圆心C作CM EF,CN GH, M , N为垂足
ab 2
设 CM d1, CN d2
a2 b2 2
则EF GH 2(
4 d12
4
d
2 2
),又d12
d22
CA2
1
由： 4 d12
4
d
2 2
8 - (d12 d22 )
81
14
2
2
22
(当且仅当 d1 d2
即
利
用圆
的
参数方
程
（
三角换元）, 将所要
求
的
与圆相关的范围与最值问题
范围(最值)问 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
题转化
到
三
角函数
求范围(最值)的问题,
与圆相关的范围与最值问题
同时，由于 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
与圆有关的最值问题
a 2 1 2b2 a 1 a 1 或 r 2 b 1 b 1 a b 2 2 所求圆方程： x 1 y 1 2或( x 1)2 ( y 1)2 2
一、到圆心距离的最值问题; 二、到圆上一点距离的最值问题;
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 四、与圆半径有关的最值问题.
一、到圆心距离的最值问题：
例1：已知P是直线3x 4 y 8 0上的动点，PA, PB
2 2
是圆x y 2 x 2 y 1 0的两条切线,A, B是切点， C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
2 2
9 12 2 2 易求得P , 时,x y 最小为20 5 5 21 28 2 2 求得P , 时,x y 最大为100 5 5
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y
法二：x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 可看作圆 x ( y 1) 1上的点到坐标原点距离
2 2
y
1
的平方的最值，亦可求解
o
x
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y （2）x y
2 2
解：（3）法一：由（）知 1 : 3 sin k , 得 sin k cos k 3 1 cos
点评：在线性规划中，求形如 x a y b 的
2 2
最值问题，总是转化为求圆 x a y b r
与圆有关的最值问题
O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。
27.2.2点与圆的关系(二) ----点圆最值问题
点������������和远交点������������，点P到圆上所有点距离中的最小值即 为线段P������������的长，最大值为线段P������������的长.
解：如图，连结OA,可得△OAP 。
∵ 在△OAP中, ������������ > ������������ − ������������
（二）点在圆内 ⇔ 点M到圆心的距离 OM < 半径 R （三）点在圆外 ⇔ 点P到圆心的距离 OP > 半径 R
方法总结：判断点和圆的位置关系,就是判断点到 圆心O的距离与半径的大小关系.
经过已知点的圆
（1）经过已知一点作圆，能作无数个圆。
（2）经过两个点也能作出无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上。 （3）经过在同一直线上的三点A,B,C无法画圆。
又∵ ������������������ = ������������ 即：������������ + ������������������ > ������������,
∴ ������������������ > ������������, 即：P������������总大于线段PA
A
������������ O
利用圆的参数方程解决最值问题课件-2025届高三数学一轮复习
= −1 + 2cos ,
1.（2024 ·宜春模拟）已知曲线ቊ
( 为参数)上任意一点 0 , 0 ，
= 1 + 2sin
[2 2, +∞)
不等式 ≥ 0 + 0 恒成立，则实数的取值范围是__________.
解析 根据题意，曲线ቊ
= −1 + 2cos ,
( 为参数)，
利用圆的参数方程解决最值问题
一 利用圆的参数方程求代数式的最值
二 利用圆的参数方程求范围
三 利用圆的参数方程求距离等最值
06 利用圆的参数方程解决最值问题
2
= 0 + cos ,
1. 圆的方程有标准方程、一般方程、参数方程，一般我们把方程ቊ
(
= 0 + sin
是参数)称为圆 − 0 2 + − 0 2 = 2 的参数方程.
当sin = 1时，取得最大值,最大值为1.
5
4
故实数的取值范围是[− , 1].
1 2
+
2
5
4
− .
06 利用圆的参数方程解决最值问题
10
利用圆的参数方程,采用代入法把求实数的取值范围问题转化为求三角函数的值域问
题,使问题迅速获解,可谓转化巧妙.
06 利用圆的参数方程解决最值问题
11
12
磨尖点三 利用圆的参数方程求距离等最值
06 利用圆的参数方程解决最值问题
典例3 （2024 ·上海模拟）已知动圆 −
2
+ −
14
2
= 1经过原点，则动圆上的
2+2
点到直线 − + 2 = 0距离的最大值是_______.
与圆有关的定点定值问题(共70张PPT )
,
消去参数m，得2 x y 6 0,
圆心在定直线2 x y 6 0上.
Q 直线l经过点(1,1)，对任意实数m, 定直线l被圆C (半径为3)截得的弦长为 定值，则圆心C到直线l的距离为定值. 直线l //圆心C所在直线. 设l方程为2 x y c 0, 将(1,1)代入， 得c 1,故直线l方程为2 x y 1 0.
问题转化为求点D到点O 距离的最大值.
AB 2 3, AC 2,结合垂径定理和勾股 定理可得CD 1.故动点D在 以C(3, 0)为圆心,1为半径的 圆( x 3)2 y2 1上运动. 则ODmax OC 1 4,
uuur uuur OA OB 的最大值为8.
变式：在平面直角坐标系xoy中，圆C的 方程为( x 1)2 y2 4, P为圆C上一点， 若存在一个定圆M，过P作圆M的两条 切线PA，PB,切点分别为A, B，当P 在圆C上运动时，使得APB恒为600， 则圆M的方程为_____________
联立解得
x y
0或 0
பைடு நூலகம்
x y
4 5， 2 5
怎样验证
故猜想定点为(0, 0)，( 4 , 2),下面验证： 55
将点(0, 0)，( 4 , 2)代入 55
x2 y2 2mx (m 2) y 2m 0都符合，
所以圆过两个定点(0, 0)，( 4 , 2). 55
法2.将已知圆方程关于参数m整理 恒等式
右侧，圆M被y轴截得的弦长为 3r.若对 任意正常数r , 定直线l与圆M 相切,则定直 线l的方程为___________________
解析：设圆心M (a, b), 利用M 在线段AB的 垂直平分线上，从而 MA = MB ,结合M 在
与圆有关的最值问题ppt课件
1、求已知圆上点到定点的距离
点P与圆C都是确定的，M是圆上动点， M •
PM何时最小，何时最大？
C•
分析：设PC连线与圆交于A、B， P •
当M在A位置时，PM最小；在B位• A• C•
B•
P•
(2) ∠PMB>∠AMB=90°,所以∠PMB>∠PBM
切线最短
-1 o C
x
所以PC⊥直线x=-1时，PC最短，从而切线最短， 此时m=0
3、其他举例
已知圆C内一定点P，过P的
P•
所有弦中，那一条最短
C•
上式中, r是定值, 所以d最大时，弦最短， 即P为弦的中点时
(3)求ΔCAB面积的最大值
所以PB>PM
y
o
x
2、圆上动点到定直线的距离
M是圆C上动点，什么时候M到L 距离最大或最小？
分析：过圆心作L的垂线交圆于A、B ，则M在A(B)位置时到L距离最小(大)
M到L的距离等于过M与L平行的 直线与L的距离
L
M• C•
L
M• A•
C• B•
y
o
x
y
因为r是定值。所以PC最小时， P•
圆中的最小值问题 课件
O
H
3、（2014•山东烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别 从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．
（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于 点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由； （2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE 和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”， 不需证明） （3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE， DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于 点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路 径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．
如图，点A是⊙O外一点，请在⊙O上找 一点P，使AP最短，你会吗？
P
A
O
即AP的长
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2， 以BC为直径的半圆交AB于D，P是半圆上的一个动点， 连结AP，求AP的最小值.
O
2、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是 AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的 最小值是
的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若
⊙O的半径长为3，OP= （）
3
， 则弦BC的最大值为
A、2 3 B、3
C、 6
D、3 2
（2013内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的 圆过点A（13，0），直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点， 则弦BC的长的最小值为______．
圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系+课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
联立直线与圆的方程，消元后得到关于 （或 ）的一元二次方程，利用 判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】 若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当 时，方程 表示一个点 ;当 时，方程 没有意义，不表示任何图形.（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为 .
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
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1、教材的地位和作用 《直线与圆》必修2中的第四章《平面解析几何初步》中 的内容。作为三大几何问题之一，直线与圆是高考的必 考点，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在 各块知识点，各个知识水平层面。 2、高考分析
回顾近几年高考，从题型分布来看，解析几何问题两 个选择、填空和一道大题，加上结合参数方程，再加上 最值问题，高考中所占的比例可想而知。
（3）求 点C(2,0) 到直线的 x y 4 0
204
距离为 _d____1_2 __1_2 __3 2
典型例题:
已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋3＝0.
求： (1)
y x
的最大值和最小值；
(2) y - x 的最大值和最小值；
(3) x2＋y2 的最大值和最小值．
典型例题:
变式 3：: 求（x 1)2 ( y 1)2最值
形如m (x a)2 ( y b)2型的最值问题，
转化为求动点到定点的最值问题 利用圆心和半径求解
提升训练:
求圆C:（x -1）2 （y 1）2 2 上的点与直线
x y 4 0的距离的最大值和最小值.
演示
方法小结
y xy40
o •C
变式 2：求 2x y 的最值
形如t ax by型的最值问题，
转化为求动直线的截距的最值问题
典型例题解: 圆的标准方程（ x 2)2 y2 1
(3)求x2 y2的最值
变式 3：: 求（x 1)2 ( y 1)2最值
演示
典型例解题: :
圆的方程化为标准方程 （x 2)2 y2 1
x
总结：求圆上动点到定 直线的距离的最值可转 化为
求圆心到定直线的距离
若直线与圆相离，则圆 上点与直线的
最大距离dmax d / r 最小距离dmin d / r
（其中d /表示圆心到定直线的距 离）
[规律方法] 解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如 u＝yx－－ba型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点 (x，y)的斜率的最值问题(如图①)； (2)形如 t＝ax＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问 题(如图②)； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2 的最值问题，可转化为动点到定点的距离 的最值问题(③)．
圆的标准方程（ x 2)2 y2 1
(1)求 y 的最值 变
形如u y a 型 xb
的最值问题，
转化为求
直线斜率问题
演示
典型例题:
圆的标准方程（ x 2)2 y2 1
(2)求y x的最值 变式 2：求 2x y 的最值
演示
典型例题:
圆的标准方程（ x 2)2 y2 1
最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法.
一、复习热身：
（1）圆的方程化为 x2 y2 4x 3 0
圆的标准方程 (_x___2_)_2___y_2__1
（2）已知两点坐标，P(x,y) C(0,0)
求|PC|长 PC x ____________ 2 y2
y
过P，C 两点的直线斜率 KPC _x_