大学物理下答案第四章

4-7 有一个半径为 R=0.2 米，质量 m1=2.5 千克的匀质圆盘状定滑轮，轴处摩擦可略， 当在圆盘边缘上绕一轻绳，绳上缀一个质量 m2=0.51 千克的物体。试计算施在圆盘 上的力矩从静止开始，在 2 秒之内所作的功和 2 秒时物体 m2 的动能。
分析：本题中的滑轮是定轴转动，从刚体定轴转动的角动量定理，及力矩做功的角度去
m,, v 0 l
4-12 质量为 m 长为 l 的匀质细杆，可绕端点 O 的固定水平轴转动，把杆抬平后无初速 地释放，当杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。小球的转动不 计，它的质量和杆相同，并且碰撞是完全弹性的，轴上摩擦也忽略不计，求碰后 小球的速度 v。 解：下摆（定轴转动）能量守恒，
I1 ω n= = n1 = 200 2π I1 + I 2
A
B
（转/分）
4-9 质量为 mA 和 mB, 半径为 RA 和 RB 的两个圆盘同心地粘在一起, 小圆盘边缘绕有绳 子, 上端固定在天花板上, 大圆盘也绕有绳子, 下端挂以质量为 m 的物体,如图所示. 求: (1) 要使圆盘向上加速、向下加速,静止或匀速运动的条件? (2) 在静止条件下两段绳中的张力。轴处摩擦和绳的质量忽略。绳与滑轮之间没有
分析：用隔离体法分别分析物体与滑轮所受的力。对每一个物体列动力学方程，然后求 解方程即可。
解： (1) 如图所示分为三个隔离体求解。
⎧ ⎪ m1g − T1 = m1a ⎪ T2 = m 2 a ⎨ ⎪ a ⎪(T1 − T2 )R = I R ⎩
⎧ I + m1 + m 2 ) ⎪a = m 1 g ( ⎪ R2 ⎪ I ⎪ + m1 + m 2 ) ⎨T2 = m1m 2 g ( ⎪ R2 ⎪ I I ⎪T1 = m1g( + m2 ) ( + m1 + m 2 ) 2 ⎪ R2 R ⎩
3 ma = 35( N ) 2
T1 =
T2 = m2 (g − a) = 37.3(N)
4-11 一根长为 l 、质量为 m 的均匀细杆可绕其一端的水平轴 O 自由摆动。当被一发质 量为 m’的子弹在离 O 点的 a 处水平方向击中后，子弹埋入杆内，杆的最大偏转角 为 θ，求子弹的初速度。 解：碰撞中，由于轴处有突变力，系统动量不守恒。 而角动量守恒：
当mg( R A − R B ) > (m A + m B )gR B 当mg( R A − R B ) < (m A + m B )gR B
RB
RA
T (mA+mB)g
圆盘向上加速运动 圆盘向下加速运动
(2) 在静止条件下将圆盘和物体 m 视为一整体，则: T’=(m+mA+mB)g 物体 m 静止则有: T=mg
I = ∫ dI = ρR 3
∫0
π
sin 2θdθ =
ρR 3
2
=
1 mR 2 2
4-4 计算一个内半径为 R1，外半径为 R2 的圆筒对其几何中心轴的转动惯量
分析：直接用转动惯量的定义求解。
解：设圆筒质量为 M，高为 h，体密度为 ρ，则
ρ=
M 2 π (R 2 2 − R1 ) h
Q
I = dI =
第四章 刚体的运动规律
习 题
4-1 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理:一个平面刚体薄板, 对于垂直板面的某轴 的转动惯量, 等于绕平面内与该垂直轴相交的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之 和, 即 Iz=Ix+Iy z y y dm r x x
分析：沿平面薄板建立 xy 坐标，垂直于薄板方向作 z 轴建 立坐标系。
下降 h 距离时（如图所示） ，棒共转了多少转？ 解：细杆从水平位置无摩擦地转至竖直位置时,重力作功，有
∫
∫r
2dm
dm = ρ ⋅ h 2πrdr
∴
I = r 2dm = r 2 ρh 2πrdr
∫
∫
= 2πρh =
∫R1 r
R2 3 1 4 dr = πρh( R 4 2 − R1 ) 2
1 2 + R2 ) M( R 1 2 2
4-5 以垂直于盘面的力 F 将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上， 使其制动,如图所示.飞轮 可以看作是质量为 m、半径为 R 的匀质圆盘, 盘面与粗糙平面间的摩擦系数为 µ, 轴的粗细可略,飞轮的初始角速度为 ω. (1)求摩擦力矩. (2)经过多长时间飞轮才停止转动？
l 1 1 mg = ( ml 2 )ω 2 2 2 3
o l
碰时角动量守恒
1 1 ( ml 2 )ω = ( ml 2 )ω '+ m' vl 3 3
m
碰时能量守恒：
1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ml )ω = ( ml )ω ' + m' v 2 2 3 2 3 2
m = m' ∴ v= 1 3gl 2
4-13 有一线绕圆盘半径为 R、 质量为 m 在其重量作用下滚落,线的上 端固定在天花板上。 求圆盘中心从静止下落 h 高度时的转动动能和质心速度?
解一：质心运动定理
mg − T = ma C
1 dω Q TR = mR 2 2 dt
v T
R
质心系中的角动量定理
m
v mg
角量、线量的关系、张力的作用点是瞬时不动点
m 2g − T2 = m 2a
1 a (T2 − T1 )r = ( m1r 2 ) 2 r
v T1
(2) 绳中张
v T1'
R
T1 − f = ma
1 a fR = ( mR 2 ) 2 R
m1
v f
m
r
v' T2
v T2
联立以上各式可解
m2g
m2
a=
m 2g = 2.33(m ⋅ s −2 ) 3 1 (m 2 + m + m1 ) 2 2
相对滑动发生。 解：圆盘的运动属于纯滚动.小圆盘与绳的切 点 O’为 瞬时轴，则有：
T’ O’
O
T( R A − R B ) = (m A + mB )gR B
(1) 圆盘静止或匀速运动,则 m 也匀速运 动或静止 ,则有 T = mg
mg( R A − R B ) = (m A + m B )gR B
m2
T2
I
T1 m1
(2)
⎧m1g − T1 = m1a ⎪ (m1g ≥ μm 2 g时 ) ⎪ ⎪ ⎨ T2 − μm 2 g = m 2a ⎪ ⎪( T − T )R = I a 1 2 ⎪ R ⎩
⎧ I + m1 + m 2 ) ⎪a = (m1 − μm 2 )g ( ⎪ R2 ⎪ I I ⎪ )m 2 g ( + m1 + m 2 ) ⎨T2 = (m1 + μm 2 + μ 2 ⎪ R R2 ⎪ I I ⎪T1 = m1g( + m1 + μm 2 ) ( + m1 + m 2 ) ⎪ R2 R2 ⎩
解：OA 相对于 O 点的转动惯量: OB 相对于 O 点的转动惯量: AB 相对于 O 点的转动惯量:
I3 = 1 3 2 5 2 ml 2 + m( l ) = ml 12 2 6
I1 = 1 ml 2 3
I 2 = 1 ml 2 3
O
l
3 l 2
l
或
5 m 3 I3 = (L2 + l 2 ) dL = ml 2 −l / 2 6 l 4
解： Q mgRdt = mgRt = ΔL = mRv +
∫
1 v MR 2 2 R
∴ v=
mgt M m+ 2
R m1 m2
1 mgt 2 1 ) = 8.2J Ek ,m = mv 2 = m( M 2 2 m+ 2
RTΔθ = W =
1 1 1 v Iω 2 = ( MR 2 )( ) 2 2 2 2 R mgt 2 = M( ) = 20.2( J ) M + 2m
T m mg
4-10 一质量 m=10 千克,半径为 R=0.20 米的圆柱体，用绳子系住它的旋转中心轴，此绳 子跨过一质量 m1 =2 千克，半径 r =0.1 米的定滑轮，在绳的下端悬一质量 m2=5.0 千克的重物。设绳长不变，绳的质量及滑轮轴处摩擦都可忽略不计，绳与定滑轮 间无相对滑动。当圆柱体沿斜面作纯滚动时，求：(1) 重物的加速度 力 T1 和 T2. 解：
4-6 如图，两物体的质量分别为 m1 和 m2，滑轮的转动惯量为 I，半径为 R。 (1) 如果 m2 与桌面之间为光滑接触，求系统的加速度 a 及绳中张力 T1 和 T2 . (2) 如果 m2 与桌面之间的摩擦系数为 μ ,求系统的加速度和及绳中张力 T1 和 T2 .绳子与 滑轮间没有相对滑动。
∫
l/2
A
l
B
总的转动惯量为:
I = I1 + I 2 + I 3 = 3 ml 2 2
4-3 一半圆形均匀细杆，其半径为 R，质量为 m，如图所示，试求细杆对过圆形圆心和 端点的轴 AA’的转动惯量.
dl = Rdθ
分析：直接用转动惯量的定义求解。
解：
dθ
A'
R
θ
r
A
Q dI = r 2 dm = ( R sin θ ) 2 ρ Rd θ
末v
v
末v
v
1 1 = ( Iω 2 − Iω 2 ) 2 C末 2 C初
Q
（ 1 ）
末r
r
∑ ∫初 mi gdriC = ∫初 g ⋅ d(∑ miriC ) = ∫初 g ⋅ mdrCC = 0