线性规划整点问题
线性规划五类经典题型-精选.pdf
类型一：一般线性规划题 类型二：构造 类型三：待定系数法 类型四：整点问题
类型五：含参数线性规划问题
类型一：一般线性规划题
4 已知实数 x， y 满足线性约束条件
2x－ y≥ 0， x＋y－ 4≥ 0， x≤3，
（ 1） z＝2x－3y 的最大值和最小值；
（2） z＝x2＋y2－ 10y＋25 的最小值；
17
b
zx 过点 C 2， 2 时， zmax＝ 7，故 a∈ [e,7] ．
2 已知函数 f ( x) 1 x3 1 ax2 bx c 在 x1处取得极 大值，在 x2 处取得极小值，满足
32
x1
( 1,0), x2
a (0,1) ，则
2b
4 的取值范围是 ________．
a2
3、 已知
ABC 的三边长 a, b,c 满足 b
所以，不等式组
x－ y＋5≥0， x＋ y≥0， x≤３
表示的平面区域如图所示．
5 结合图中可行域得 x∈ －2， 3 ，y∈ [ － 3,8] ．
(2) 由图形及不等式组知
－ x≤ y≤x＋ 5， 5
－ 2≤ x≤3，且 x∈Z，
当 x＝3 时，－ 3≤ y≤8，有 12 个整点；
当 x＝2 时，－ 2≤ y≤7，有 10 个整点； 当 x＝1 时，－ 1≤ y≤6，有 8 个整点； 当 x＝0 时， 0≤ y≤5，有 6 个整点； 当 x＝－ 1 时， 1≤ y≤4，有 4 个整点； 当 x＝－ 2 时， 2≤ y≤3，有 2 个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋ 4＋ 6＋ 8＋ 10＋12＝ 42( 个 ) ．
1（ 2012 江苏高考 ) 已知正数 a， b， c 满足： 5c－ 3a≤ b≤４c－ a，cln b≥ a＋ cln c，则 a的 取值范围是 ________．
高中数学一轮复习线性规划中求整点最优解的两种常用方法
线性规划中求整点最优解的两种常用方法简单的线性规划是新教材的新增加内容，它在人们的生活和生产实践中有着广泛的应用，因此，它必将成为高考的一个新亮点，而在线性规划中，求整点最优解的问题是一个难点，下面介绍两种常用的方法.1、平移求解法步骤：1、作出可行域（若是实际问题，则首先应根据题意列出线性约束条件，找出线性目标函数）；2、找出最优解（当最优解不是整数解时，过最优解作与线性目标函数平行的直线）；3、平移直线族（在平面直角坐标系中，打出网格，在可行域内，平移步骤2中所作的直线，最先经过的整点即为所求的整点最优解）. 【范例引导】例1、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0027*******y x y x y x y x 目标函数为：y x z +=.作出可行域，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518.此时，5211=+y x ，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，用平移求解法，打出网格，将平行直线族y x t +=中的5211=+y x 向右上方平移，由图可知，在可行域中最先经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们是所求的最优整点解，此时.12=+y x答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，一种是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；二是截第一种钢板4张、第二种钢板8张. 2、调整优值法步骤：1、求出非整点的最优解及最优值（即对应最优解的目标函数值）；2、借助不定方程的知识调整最优值；3、筛选出符合条件的最优解. 【范例引导】例2、用“调整优值法” 解例1 .解:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，此时，5211=+=y x t = 11.4不是整数，因而需要对t 进行调整，由于y x ,为整数，所以t 为整数，而与11.4最靠近的整数是12，故取t =12，即12=+y x ，将x y -=12代入到线性约束条件，解得：5.43≤≤x ，取4,3==x x 得整点的最优解为：B （3，9）和C （4，8），此时.12=+y x例3、已知y x ,满足不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+≤+Ny N x y x y x y x ;0;040356056（*）求y x z 150200+=的最大值. 解：根据约束条件画出可行域，由⎩⎨⎧=+=+40356056y x y x 得非整点最优解)760,720(，此时，711857760150720200=⋅+⋅=z 也是非整数.因为y x z 150200+=)34(50y x +=，又y x ,为整数，所以z 一定是50的倍数.令y x z 150200+==1850，则)437(31x y -=，代入到（*）式中得3212≤≤x ，故当3=x 时，325=y 为非整数解.令y x z 150200+==1800，则)436(31x y -=，代入到（*）式中得：40≤≤x ，经计算（0，12），（3，8）为其整数解，此时，1800=z . 【名师小结】在一定的约束条件下使某目标达到最大值或最小值的问题称为数学规划，而当约束条件和目标函数都是一次的（又称线性的），我们称这种规划问题为线性规划.例如，如何分配有限的资源以达到某种既定的目标（如利润最大，支付最小等），称为资源分配问题，而许多资源分配问题可以归结为线性规划模型来处理. 在解线性规划应用问题时的一般步骤为：（1）审题；（2）设出所求的未知数；（3）列出约束条件，建立目标函数；（4）作出可行域；（5）找出最优解. 【误区点拨】1、对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点，而先要过边界点作目标函数By Ax t +=的图象，则最优解是在可行域内离直线By Ax t +=最近的整点；2、熟练掌握二元一次不等式所表示的平面区域是解决线性问题的基础，因此，正确地作出可行域是我们解题的关键；3、一般的线性规划问题，其约束条件是平面上的一个多边形闭区域，或者是向某一方向无限延展的半闭区域，而目标函数必在边界取最值，且是边界的顶点处取最值，但不一定有最优整数解，这一点一定要注意. 【反馈训练】1、设y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈>>≤+<+zy z x y x y x y x ,0,01141023，求y x u 45+=的最大值. 2怎样搭配价格最低？3、有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别是：磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，利润10000元或磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，利润5000元.工厂现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最大的利润？4、某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个；乙产品4吨需煤9吨，电力5千瓦，劳动力10个.甲产品1吨利润7万元，甲产品1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦，劳动力只有300个，问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？ 【参考答案】1、最优整数解为（2，1），=m an u 14；2、10片A 和3片B 搭配价格最低为1.6元.3、最后归结为在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0661518104y x y x y x 下，求目标函数y x u 500010000+=的整数解问题，答案是生产甲、乙肥料各2车皮时可获得最大的利润30000元.4、最后归结为在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.15,15,300103,20054,30049y x y x y x y x 下，求目标函数y x u 127+=的整数解问题，答案是甲、乙两种产品各20吨、24吨，利润总额达到最大428元.。
线性规划中的整点问题
o
x
武穴实验高中 杨耀平
例1、某人有楼房一座，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作 为旅游客房，大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客 每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每 名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房 间每间需600元。如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满 客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
12
：200x+150y=0，即4x+3y=0,
将直线l0平移到A点时z最大。
解方程组
6x 5y 60 5x 3y 40
得 A( 20 ,60 ) 77
4
2
4x+3y=0 0
x 2 4 6 8 10 12 14
6x+5y=60
y
5x+3y=4018
16
14
12
A 10
但当可行域较大、边界附近的整点较多时运算量较大
EX1:某学校预算2000元购买单价为100元的 桌子和40元的凳子，希望购买的桌凳总数尽 可能多，但凳子不少于桌子，且不多于桌子 的2倍，求该学校所购买的桌、凳数分别为多 少？
解：设学校购买的桌、凳数分别为x、y，总数为
z，则z= x+y,且x、y满足：
①平移直线寻找非整最优解；②调整最值，确定“目标直线” ③由“目标直线”方程代入约束条件，并求变量范围：④ 确 定“目标直线”上整数解。
但目标直线在向可行域内平移过程中，若需平移多次才能达 到目的，将十分麻烦。
方法二：整点验证法：
当可行域较小、边界附近的整点较少时可以用整点验证法； 将每个可能的整点代入目标函数确定最优解。
最新简单线性规划(整点解问题)复习课程
先经过的整点.
要求作图准确，易
出现模糊点，可操作
性不强！
怀化铁路第一中学
7.4简单的线型规划
②优值调整法:
当直线x+y=z 移至A(3.6,7.8)时, zmin=11.4, 由x,y取整数知: z 必为整数,
先将z调整为12, 即x+y=12, ∴ y=12-x或 x=12-y,
将y=12-x代入约束条件得：
分析:列
标牌类型 文字标牌 绘画标牌
规格类型
甲规格
1
2
乙规格
2
1
标牌需求量
2
3
面积 (m2 ) 3 2
怀化铁路第一中学
7.4简单的线型规划
标牌类型 文字标牌 绘画标牌
规格类型
甲规格
1
2
乙规格
2
1
标牌需求量
2
3
面积 (m2 ) 3 2
解: 设用甲种规格原料x张,乙种规格原料y张,所用总 面积为 z m2.则目标函数为z=3x+2y,
四、本课小结
寻找“整点”最优解的方法：
①打网格，平移找解法: ②优值调整法:
其步骤是 (1)寻找非整点最优解； (2)回调优值； (3)将回调优值代入线性约束条件，解x，y 范围，并找到整点(x,y) 注意：(1)回调时注意z的整除性； (2)可能需多次回调。
怀化铁路第一中学
7.4简单的线型规划
怀化铁路第一中学
3x4.5
x3,或x4,
yx93，
或yx
4 8
若调整z=12仍无整数解，应继续调整，直到找到为止.
怀化铁路第一中学
7.4简单的线型规划
第 一 已知 变：
如何寻找_线性规划问题_的整点最优解
- 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
图1
作出一组平行的直线 200x + 150y = t. 当 t= 0 时, 即 200x + 150y = 0 也就是直线
l0: 4x + 3y = 0. 将直线 l0 向上平移至 l1 的位置时, 直线 l1 经
过可行域上的点A , 且与原点的距离最大, 此时 z = 200x + 150y 取最大值Ζ
= 1, 2, 3, 4, 如图 4, 打出网格, 这时网格在可行域
内的交点, 即可行域内的整点Ζ
将直线 l1 向上平移到 l2 的位置时, 直线 l2 最
先经过可行域内的整点B (5, 2) , 且使 z = 160x +
252y 取最小值, 此时
z 最小= 160×5+ 252×2= 1304.
2000 年 第 3 期 数学通报
19
如何寻找《线性规划问题》的整点最优解
安培录 (山西省代县中学校 034200)
试验教材高二数学 (上) 增加了《简单的线性
规划》的内容, 利用图解法解答线性规划的两类问 题Ζ 对此, 大纲要求“会简单的应用”Ζ
学生对线性规划的基本概念、基本方法在两
类实际问题中的应用, 基本可以达纲, 但对寻找 《线性规划问题》的整点最优解的问题, 感到不好 入手, 完成作业困难较大Ζ 在这个问题上, 试验教 材安排了一个例题 (P 76 页例 4) , 两个习题 (P 79 页第 3、4 题) , 一个复习题 (P 107 页第 17 题) Ζ 针 对学生从认知到应用这一过程存在的问题, 笔者 在教学实践中归纳整理了三种基本方法, 现举例 说明如下:
典型的整数线性规划问题
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
Max z cj x j j 1 n
s. t. a j xj b j 1
xj 0或1(j=1,2, ,n)
整数 线性 规划 0－1 模型
(IP)
整数线性规划及0－1规划
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x1(x1 80) 0
x2=0 或 80
x2 (x2 80) 0
x3=0 或 80
x3 (x3 80) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP）
NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
对线性规划整点问题的探究(蒋政)
对线性规划整点问题的探究一、精确图解法求整数最优解 ( 课本P88习题16 )某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。
在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。
已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。
每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则0x 70y 4x y 968x 106y 360x,y Z ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪⨯⨯+⨯⨯≥⎪∈⎪⎩即0x 70y 4x y 94x 5y 30x,y Z≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪∈⎪⎩ z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域，作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252->-45, 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7，25）处取到最小值，但A 不是整数解。
在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。
这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。
二、利用近似解估算整数最优解 (课本P63例4)要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且所使用钢板张数最少。
解：设需截取第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则2x y 15x 2y 18x 3y 27x,y 0,x,y N+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩ 目标函数z=x+y,如图可行域是阴影部分，目标函数在A 点取到最优解。
线性规划中整点最优解的求解策略
线性规划中整点最优解的求解策略作者：郭海鹰来源：《理科爱好者(教育教学版)》2018年第02期【摘要】随着中学数学教育的改革和发展，简单线性规划问题已经逐渐成为中学数学教学中的一个基本内容。
简单线性规划问题与我们的日常生活息息相关，它主要涉及人力、物力、资金等资源的最优配置。
在中学数学教学中，整点最优解问题是简单线性规划的核心内容，但教材对于具体的验算过程并没有作过多的描述，以致中学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。
在资料上也经常见到有关简单线性规划整点最优解问题的求解方法，如：网格法，穷举法，筛选法，最小距离法等。
本文将介绍利用平移法求整点最优解的两种具体的操作方法—平移交轨法，平移近值法。
【关键词】线性规划；平移；整点最优解【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0069-021 平移交轨法该方法主要是在平移直线过程中，利用直线间的交点来缩小最优值的存在范围，因此其主要思想是联立方程求解交点，然后确定最优解可能的存在范围。
例1 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：根据目标函数作出一组平行直线：x+y=t。
这些直线中经过可行域且和原点距离最近的直线，此直线经直线x+3y=27和2x+y=15的交点A（），此直线与原点的距离最近，z取得最小值，即：z= x+y=显然和都不是整数，而最优解中，x和y必须为整数，故A不是最优解，故将直线x+y= 向上平移到x+y=12，最优解可能存在于此直线上。
最优解必须在可行域内，故应求出直线2x+y=15和x+3y=27与x+y=12的交点：可得交点坐标为B（3，9），D（，），故有：3≤x≤这样便更进一步的缩小了x的范围，即x=3或4，将其代入x+y=12，可得y=9或8。
即（3，9）和（4，8）均为所求的最优解。
根据上述的分析解答过程，我们可以看到利用平移交轨法解题对于一般的简单线性规划问题都是适用的，其解题步骤如下：（1）设出所求的未知数，列出约束条件，建立目标函数；（2）作出可行域；（3）确定平移直线，寻找非整最优解；（4）联立方程求交点确定x或y的范围；（5）对x，y进行整点搜索，并确定整点解。
线性规划中的整点最优解
线性规划中的整点最优解在组织社会化生产、经营管理活动中，我们经常会碰到最优决策的实际问题。
而解决这类问题的现代管理科学以线性规划为其重要的理论基础，其本质都是寻求整个问题的某项整体指标的最优解。
但在实际问题中，最优解(x,y) 通常要满足x,y∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .1．平移找解法作出可行域后，先打网格，描出整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是整点最优解.例 1 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于配套，怎样截最合理？分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再通过平移直线，使它经过整点的方法来求整点最优解．解：设截500mm的钢管x根，600mm的y根，总数为z根。
根据题意，得，目标函数为，作出可行域如图示阴影部分内的整点，要打出网格，描出整点，网格上的交叉点为整点．作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知（8，0）不是最优解。
显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．例 2 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t支援物资的任务。
该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元。
请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？解：设每天调出A型卡车x辆、B型卡车y辆，公司所花的成本为z元，则，目标函数z=320x+504y，作出可行域如图示阴影部分内的整点，打出网格，描出整点，网格上的交叉点为整点．作L0：320x+504y=0，往上平移直线L，当直线经过可行域内的点A（7.5，0）时可使Z 最小，但 A不是整点，继续往上平移，最先经过的整点是（8，0）．即只调配A 型卡车，所花最低成本费z=320×8=2560（元）．答：略．这种方法首先要充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当其可行域是有限区域且整点个数又较少，通常可行域是封闭的多边形，这时可以通过平移直线找到最优解．2．调整优值法先求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．例3 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需z张则作出可行域如图示阴影部分内的整点，目标函数为z =x+y．作出一组平行直线x+y=t, 其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 x +3y=27 和直线 2x+y=15 的交点A（），直线方程为x+y= . 由于都不是整数，所以（）不是最优解 .当时， z=11 ，可知当时，，令 x+y=12,y=12-x代入约束条件，可得，所以 x=3 或 4 ，即经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12, 经过的整点是 B(3,9) 和C(4,8), 它们都是最优解.答: 要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张.第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张．例4 某人承揽一项业务：需做文字标牌2个，绘画标牌3个。
谈线性规划中_整点最优解_处理方法
图5
图6
以上介绍求可行域内整点最优解的方法 各有长处 . 网格法只须准确作图 , 没有计算上 的麻烦 ; 筛选法侧重于计算但可免去画图之 ( 责审 劳 . □ 余炯沛)
合订本邮购启示
本刊 2002 年精装合订本将现开始向喜爱 《中学生数学》 的读者出售 , 高中版每册售价 45 元 ; 初中版每册售价 45 元 . 另 , 本刊现有少量 2000 年和 2001 年初中版 《中学生数学》 精装合订本 ( 2000 年和 2001 年高 中版合订本均已售完 ) . 2000 年初中版精装合订本每册售价 45 元 ; 2001 年初中版精装合订本每册售价 45 元 . 以上售价中均含邮挂费 , 数量有限 , 欲购从 速 。款请汇至 :100037 首都师范大学数学系中学 生数学杂志社乔赤兵收 . 请在汇款单附言栏内注 明所购合订本的年份并注明高中刊或初中刊及 所购册数 , 款到寄书 .
( 中学生数学》 《 2001 ( 1 上) :7 , 2002 ( 2 上) :11) 生5 原三篇文章利用 Cauchy 不等式或建 立参数方程推证 . 我构造向量 , 设 Q ( x , y ) 在 l
生4 构造 m = { 1 ,
— →
— →
x - 1} , x-
n ={
1
x = 1 + ( x - 1) = | m | ( x-
4
中 学 生 数 学 2003 年 1 月上
谈线性规划中 “整点最优解” 处理方法
江苏省建湖高级中学 ( 224700) 徐国文 现行高中数学教材新增设了线性规划的 内容 , 并开设了研究性课题 : 线性规划的实际 应用 . 但教材中寻找整点最优解的方法介绍得 笼统 , 不易掌握与操作 , 使寻找整点最优解成 为了学习中的难点 . 本人据第六十五页习题 7 . 4 第 4 题介绍两种求整点最优解的方法 , 供同 学们学习中参考 : 引例 某 人 有 楼 户 一 幢 , 室 内 面 积 共 180m2 , 拟分隔成两类房间作为旅游客房 , 大房 间每间面积 18m2 , 可住游客 5 名 , 每名游客每 天住宿费为 40 元 ; 小房间每间面积为 15m2 , 可
简单的线性规划整点最优解
0
使z=2x+y取得最大值的可行解为 (2,-1) ，
1
且最大值为 3 ；
y=-1
(-1,-1)
2x+y=0
使z=2x+y取得最小值的可行解 (-1,-1) ，
x
(2,-1)
且最小值为 -3 ；
这两个最值都叫做问题的 最优解。
返回
例题分析
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消
耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消 耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600 元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的 计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过 200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精 确到0.1t),能使利润总额达到最大?
3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网 络、找整点、平移直线、找出整数最优解
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意，列出表格： 2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 4）在可行域内求目标函数的最优解 5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算)
甲产品 xt
（1t）
10 5 4
600
乙产品 yt 资源限额
（1t）
（t）
4
300
4
200
9
360
1000
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
把题中限制条件进行转化：
10x+4y≤300
5x+4y≤200 4x+9y≤360
x≥0
y ≥0
最优解和整点
线性规划小结
解线性规划问题的一般步骤： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 的最大值或最小值。
探索结论
4y 8 x 2 y 8
线性规划
线性约
问题：
目标函数 （线性目标函数）
束条件
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
y
x=1
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
C 3x+5y-25=0
B
A x-4y+3=0
O
x
启动几何画板
线性规划
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。
求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
2.解：作出平面区域
y
A
B
oC
x
5x＋3 y 15
y
x＋1
x－5 y 3
z＝3x＋5y
作出直线3x＋5y ＝z 的
图像，可知直线经过A点时， 求得A（1.5，2.5），
44yx
16 12
xy
4 3
x 0
x 0
y 0
y 0
y
4
3
o
M
4
8x
x 2y 8
xy
4 3
y
x 0 y 0
4
3
o
M
4
8
x
Z取最大值；直线经过B点 B（－2，－1），则
探索线性规划中整点最优解问题
探索线性规划中整点最优解问题作者：肖志坚来源：《新教育时代·学生版》2017年第34期摘要：在普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五3.3.2“简单的线性规划问题”内容中，在求整点最优解的问题上，教材和教参的处理方法，只是在“最优解”的基础上进行“调整”，得到整点最优解。
而“调整”方法不具一般性，学生在解答这类问题时，思维混乱、无法可依。
本文针对线性规划整点最优解问题，在谋求解决问题的通性通法方面作了一点探讨，抛砖引玉。
关键词：整点最优解可操作性《简单的线性规划问题》一节，是高中数学的新增内容。
通过对这一节的学习，让学生掌握简单线性规划的基本思想和基本方法，有利于培养学生科学、严谨的学习品质，提高学生分析和解决实际问题的能力，进一步拉近了数学和社会生活之间的距离。
我认为，学习本节内容，重点在于应用，解决实际问题，提高学生的数学素养。
而在实际问题中，整点问题又较为普遍.教材对整点问题也有涉及，同时也为学习者留下很大的思维发展空间。
在教学中，我发现不少学生最怕遇到线性规划整点最优解问题。
于是，我沉入到此类问题中去，寻求解决问题的一般办法，整理出一种操作性较强的解题方法，为叙述方便，暂且称为“最优解区域法”。
其解题的基本思路是：（1）划定最优解区域。
就是要尽量缩小题设中的可行域，使缩小后的可行域，不但含有题目要求的整点最优解，而且其所含的整点数较少。
（2）求整点。
即是求出最优解区域中的所有整点坐标（很少的几个）。
（3）验证得结果。
将在最优解区域中求得的所有整点，代入目标函数，逐个验证得到整点最优解。
下面从“求可行域内的整点”、“最优解区域”和“最优解区域法的应用”等三个方面来具体阐述“最优解区域法”。
一、求可行域内的整点在求线性规划中整点最优解时，需要在最优解区域内找出整点最优解，即是将最优解区域内的所有整点都找出来，逐个去验证，才可以避免遗漏整点最优解。
因为最优解区域是封闭的，所含整点不多，在找整点时，通常可采用分离取整讨论法求解。
高中数学解题方法系列：线性规划中整点问题的4种方法
高中数学解题方法系列：线性规划中整点问题的4种方法线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。
新教材中增加了线性规划的内容，充分体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识。
由于实际问题中线性规划问题的最优解多为整数解，也是学生学习线性规划的难点，因而求线性规划的整数最优解的方法就显得尤为重要了。
但教材中对此类问题却一带而过，对于具体的验算过程并没有作必要的描述，以致学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。
例：要将两种大小不同的的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示，今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
解：设需要截第一种钢板x 张，第二张钢板y 张，则21521832700x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎪≥⎩，作出可行域（如图所示）,目标函数为z x y =+，作出在一组平行直线x y t +=中（t 为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线327x y +=和直线215x y +=的交点1839(,)55A ，直线方程为5721155x y +==，由于183955和都不是整数，而最优解(,)x y 中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点1839(,)55A 不是最优解。
经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是12x y +=且经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们都是最优解。
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张。
两种方法都最少要截两种钢板共12张。
线性规划问题中的整点最优解是教学中的一个难点，教材中利用图解法比较直观有效地突破了这一难点，但其中有两个问题需要弄清楚：直线12x y +=是怎样确定的？整点B （3，9）和C （4，8）又是怎样确定的？在求最优解时，我们是将平行直线:l x y t +=向可行域内平移，在向右上方平移时，t 的值是增加的，而经过1839(,)55A 点的直线为5721155x y +==，当t 值增加的过程中，其最小值是12，所以与原点距离最近的直线可能是12x y +=。
简单线性规划整点最优解问题研究
简单线性规划整点最优解问题研究随着中学数学教育的改革和发展，简单线性规划问题已经逐渐成为中学数学教学的一个基本内容。
简单线性规划问题与我们的日常生活息息相关，它主要涉及人力、物力、资金等资源的最优配置。
作为中学数学教学，整点最优解问题是简单线性规划的核心内容，但教材对于具体的验算过程并没有作过多的描述，以致中学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。
在资料上也经常见到有关简单线性规划整点最优解问题的求解方法，如：网格法，穷举法，筛选法，最小距离法等。
本文将介绍利用平移法求整点最优解的几种具体的操作方法—平移交轨法，平移换元法，平移近值法。
一 平移交轨法该方法主要是在平移直线过程中，利用直线间的交点来缩小最优值的存在范围，因此其主要思想是联立方程求解交点，然后确定最优解可能的存在范围。
例1 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规格类型 钢板类型A 规格B 规格C 规格 第一种钢板 2 1 1第二种钢板 1 2 3张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少? (新教材63页例4)分析：这类问题涉及物资的优化配置,在任务一定的条件下,使物资用量最少。
设需截第一种钢板x 张,第二种钢板y 张,设所用钢板的张数为z 张，则： 2x+y ≥15 x+2y ≥18x+3y ≥27x ≥0,y ≥0目标函数为：z=x+y可行域如图所示(图1)根据目标函数作出一组平行直线:x+y=t 。
这些直线中经过可行域且和原点距离最近的直线,此直线经直线x+3y=27和2x+y=15的交点A(539518，),此直线y与原点的距离最近,z 取得最小值,即： z=x+y=557 显然518和539都不是整数,而最优解中,x 和y 必须为整数,故A 不是最优解,故将直线x+y=557向上平移到x+y=12,最优解可能存在于此直线上。
最优解必须在可行域内,故应求出直线2x+y=15和x+3y=27与x+y=12的交点：2x+y=15 x+3y=27x+y=12 x+y=12可得交点坐标为B(3,9),D(21529，)，故有：3≤x ≤29 这样便更进一步的缩小了x 的范围，即x=3或4，将其代入x+y=12 ，可得y=9或8。
线性规划中的整点问题
整点问题是指线性规划中的一种特殊情况，它要求解决方案中的变量只能取整数值。
整点问题的解决方法有两种：一种是使用整数规划技术，另一种是使用混合整数规划技术。
整数规划技术是指将线性规划中的变量限制为整数，从而解决整点问题。
这种技术可以有效地解决线性规划中的整点问题，但是它的计算复杂度较高，耗时较长。
混合整数规划技术是指将线性规划中的变量限制为整数和实数，从而解决整点问题。
这种技术可以有效地解决线性规划中的整点问题，而且计算复杂度较低，耗时较短。
线性规划题型整理与例题(含答案)
积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
高中数学“线性规划”知识点复习(一)
高中数学“线性规划〞知识点复习〔一〕
简单的线性规划问题
一、知识梳理
1.目标函数：P=2x+y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数.
2.可行域：约束条件所表示的平面区域称为可行域.
3.整点：坐标为整数的点叫做整点.
4.线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.
5.整数线性规划：要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.
二、疑难知识导析
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法〞：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，假设适合，那么该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否那么，直线的另一侧为所求的平面区域.假设直线
不过原点，通常选择原点代入检验.
3.平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域.
4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最正确位置一般通过这个凸多边形的顶点.
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；(3)在可行域内求目标函数的最优解.。
浅谈_线性规划中的整点最优解_的几种求法
２０１０年第１６期
文学教育研究
浅谈“线性规划中的整点最优解”的几种求法
顾钰萍 （湖州中学浙江湖州３１３０００）
（（简单的线性规划问题》是高中数学教材必修５第三章《不 等式》的内容。求线性目标函数的最值问题是本节的重点，也是 本节的难点。课本给出了三个典型例题来介绍实际的线性规划 问题。其中例５和例６代表了第一类线性规划问题：给定一项任 务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最 小。例７代表了第二类线性规划问题：给定一定数量的人力、物 力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大。其 中例６是一个求整点最优解的问题，更是线性规划问题的一个 难点中的难点。 在实际教学过程中我发现学生很难理解教材给出的解答 过程，不知道课本给出的最优解是如何得到的。经过实际的教 学研究和资料查阅我得到几种寻求“线性规划中的整点最优 解”的方法。 一．网格法寻找整点最优解 网格法寻找整点最优解是最容易让学生理解接受的一种 方法。该方法的本质是直线的平移，但它并非一步一步的平移， 而是在非整点最优解附近搜索，同时结合网格，赢接找出附近 的整点来减小搜索范围，从而求出整点最优解。 例：某人有楼房一幢，室内面积共１８０ｍ２，拟分隔成两类房 间作为旅游客房，大房间每间面积为１８肌：，可住游客５名，每名 游客每天住宿费为４０元；小房间每间面积为１５所：，可住游客３ 名，每名游客每天住宿费为５０元・装修大房间每间需１０００元，装 修小房间每间需６００元。如果他只能筹款８０００元用于装修，且游 客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最 大收益？ 解：设隔出大房间间ｘ，小房间问Ｙ，收益为元ｚ，则 解：设隔出大房间间ｘ，小房间间Ｙ，收益为元ｚ，则
淞．
得Ａ（挈，竿），但不是整数解。此时：２００×２０，＋ｌ ５０×竿
线性规划的整点问题（高二、高三）
线性规划的整点问题（高二、高三）
张云标
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2005(000)005
【摘要】现行高中数学试验教材第二册(上)第63页中有一个例子：
【总页数】2页(P7-8)
【作者】张云标
【作者单位】浙江省绍兴县鲁迅中学312008
【正文语种】中文
【中图分类】G633.41
【相关文献】
1.探究线性规划整点问题
2.“线性规划中求整点的最优解问题”的解法规划
3.求线性规划问题中整点解的一种简易方法
4.线性规划中的整点问题
5.也谈线性规划中的整点问题
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性规划整点问题
1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不同的选购方式有多少种？（7）
2.配制,A B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药品需要甲料3mg，乙料5mg，配一剂B种药品需要甲料5mg，乙料4mg. 今有甲料20mg，乙料25mg，若,A B两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法？(8)
3.有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根；现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根.问：如何切割可使钢条用量最省？
（()()
4,8,3,9）
4. 有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条3根；或截成长度为a的钢条3根，长度为b的钢条1根.
(1)现需2根a长与1根b长配成一套，问按两种切割方式进行切割应满足的比例是多少?
(2)如果长度为a的钢条至少需要50根，长度为b的钢条至少需要45根.问：如何切割
可使钢条用量最省？（1：4；()()
13,8,12,9）
5.某人有一栋楼房，室内面积共计2
m拟割成两类房间作为旅游客房，大房间每间
180,
面积为2
15,
m可住游m可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为2 18,
客3名，每名游客每天住宿费50元. 装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能注满客房，他应隔出大房间和小房间多少间，能获得最大效益?(()()
0,12,3,8)
6.某厂用甲、乙两种原料生产,A B两种产品，制造,A B一吨产品分别需要的各种原料
（1）在现有原料的条件下，如何组织生产才能使利润最大?
（2）每吨产品B的利润限制在什么范围内变化，原最优解才会不改变？。