初中数学规律探究题

初中数学规律探究题

归纳猜想型问题

考点一：猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。1.（巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是；

第n个数据应为。

2.（南平）给定一列按规律排列的数：1234

,,,

251017

，…，则这列数的第6个数是()

A．6

37B．6

35

C．5

31 D．7

39

3．（黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2015的值

是．

4．（沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为．

5.（衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a 1＝1−13

，a 2＝1124-，a 3＝1135-，a 4＝1146

-，…，试猜 想第n 个等式（n 为正整数）：a n = ．

6.（南宁）有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…a n ，满足以

下规律：a 1＝12，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n ＝1

11n a --（n ≥2且n 为正整数），则a 2016的值为 （结果

用数字表示）．

7. （广安）已知直线y =(1)122

n x n n -

++++（n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则

S 1+S 2+S 3+…+S 2016= ．

8.（大庆）已知111(1)1323=-⨯ ，1111()35235=-⨯，1111()57257

=-⨯，... 依据上述规律，计算113+⨯ 135⨯+157+⨯ (120152017)

+⨯的结果为 。

9．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

……………

按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为 ；第n 行（n ≥3）从左到右的第3

个数为 ．（用含n 的代数式表

画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为____________（用含n的代数式表示）．

4．（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．

5．（遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为．

6．（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有

个正方形．

7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，

则第5个图形中所有正三角形的个数为_______．

8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成

的，图案2是由7个组成的，那么图案3是由

个组成的，依此，第n个图案是由

个组成的．

9．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是

()

A．32 B．29 C．28 D．26

10．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为

()

A．21 B．24 C．27 D．30 11. 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边

中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是．

12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正

方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个

图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）

13．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◇平移后得到的类似

“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是____________个．

14.

将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为________(用含n的代数式表示)．

考点三:几何图形计算变化规律

第1个第2个第3个第4个

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

1. （张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=2；

再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2016= ．

2．（黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC 边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB n C n的面积为．3．（牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二