一阶RC电路分析

3.3 RC电路的响应

经典法分析电路的暂态过程，就是根据激励通过求解电路的微分方程以得出电路的响应。激励和响应都是时间的函数所以这种分析又叫时域分析。

3.3.1 RC电路的零输入响应

零输入响应------无电源激励，输入信号为零。在

此条件下，由电容元件的初始状态u C（0+）所产

生的电路的响应。

分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它

的放电过程。如图3.3.1(RC串联电路，电源电压

U0)。

换路前，开关S合在位置2上，电源对电容充电。

t=0时将开关从位置2合到位置1，使电路脱离电源，输入信号为零。此时，电容已储有能量，其上电压的初始值u C（0+）=U0；于是电容经过电阻R 开始放电。

根据基尔霍夫电压定律，列出t≥0时的电路微分方程

RCdu C/dt+u C=0 3.3.1

式中i=Cdu C/dt

令式 3.3.1的通解为u C=Ae pt代入3.3.1并消去公因子Ae pt得微分方程的特征方程RCp+1=0 其根为p=-1/RC

于是式3.3.1的通解为u C=Ae-1t/RC

定积分常数A。根据换路定则，在t=0+时，u C（0+）=U0，则A=U0。

所以u C= U0e-1t/RC= U0 e-1/τ------ 3.3.3 C

图3.3.1RC放电电路-

+

-U

+

u C

-

t=0+

u C

S

i

R

其随时间变化的曲线如图3.3.2所示。它的初始值为U 0，按指数规律衰减而趋于零。

式3.3.3中，τ=RC 它具有时间的量纲，

所以称电路时间常数。决定u C 衰减的快慢。

当t=τ时， u C = U 0e -1=U 0/2.718=36.8%U 0 可见τ等于电压u C 衰减到初始值U 0的36.8%所需的时间。可以用数学证明，指数曲线上任意点的次切距的长度都等于τ。以初始点为例〖图3.3.2（a ）〗

du C /dt=-U 0/τ 即过初始点的切线与横轴相交于τ。

从理论上讲，电路只有经过t=∞的时间才能达到稳定。但是，由于指数曲线开始变化较快，而后逐渐缓慢，

如下表所列 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τ e -1 e -2 e -3 e -4 e -5 e -6 o.368

0.135

0.050

0.018

0.007

0.002

所以，实际上经过t=5τ的时间，就足以认为达到稳态了。这时

u C =U 0e -5=0.007 U 0=（0.7%）U 0 τ越大，u C 衰减的越慢（电容放电越慢）如

36.8%U 0

图3.3.2u C 、u R 、i 的变化曲线

(a)

O

τ-U 0

(b)

-U 0/R 0

t

O

u R

i

u C 、u R 、i

U 0

u C

u C

U 0

t

U 0

u C

图3.3.3所示。因为在一定初始电压下，电容越大，则储存的电荷越多；而电阻越大，则放电电流越小。这都促使放电变慢。因此，改变R或C的数值，也就是改变电路的时间常数，就可以改变电容放电的快慢。

至于t≥0时电容的放电电流和电阻上的电压，也可求出即

i=Cdu C/dt=-U0e-t/τ/R；u R=Ri=-U0 e-t/τ上两式负号表示放电电流的实际方向与图3.3.1中所选定的参考方向相反。

所求u C，u R及i随时间变化的曲线画在一起，如图3.3.2（b）所示。例3.3.1电路如图所示，开关S闭合前电路处于稳态。在t=0时，将开关闭合，试求t≥0时电压u C和电流

i C、i1及i2。

3.3.2 RC电路的零状态响应

零状态响应-----换路前电容元件未

储能，u C（0-）=0。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应。

分析零状态响应实际上是分析它的充电

过程。图3.3.5为RC串联电路。在t=0时将

开关S合上，电路即与一恒定电压为U的电

压源接通，对电容开始充电。此时实为输入

一阶跃电压u，如图3.3.6（a）所示。它与

恒定电压图3.3.6（b）不同，其表示式为

图3.3.5RC充电电路

--

+

-

U u

+

t=0

i

S

-

+

C u

C

R u R

+ 6V

t=0

2Ω

3Ω

C

S

i

i C

i2

u C

例3.3.1图

5μF

1Ω

0 t ＜0 u=

U t ＞0

根据基尔霍夫电压定律，列出t ≥0时电路中电压和电流的微分方程 U=Ri+u C =RCdu C /dt+u C -----3.3.7 式中 i=Cdu C /dt

式3.3.7的通解有两个部分：一个是特解u C ′，一个是补函数u C ″，即 u C = u C ′+ u C ″=U+Ae -t/RC

在t=0时，u C （0+）=0，则积分常数A=-U 。所以电容两端的电压

u C = U- Ue -t/RC = U （1-e -t/RC ）= U （1- e -t/τ）

所求电压u C 随时间变化的曲线如图3.3.7所示。u C ′不随时间变化，u C ″按指数规律衰减而趋于零。因此，电压u C 按指

数规律随时间增长而趋于稳态值。

当t=τ时，u C = U （1- e -1）= U （1- 1/2.718）= U （1- 0.368）=（63.2%）U

从电路的角度来看，暂态过程中电容两端的电压u C 可视为由两个分量相加而得：其一

是u C ′，即到达稳态时的电压，称稳态分量，它的变化规律和大小都与电源电压U 有关；其二是u C ″，仅存在于暂态过程中，称为暂态分量，它的变化规律与电源电压无关，总是按指数规律衰减，但是它的大小与电源电压有关。当电路中储能元件的能量增长到某一稳态值或衰减到某一稳态值或

U

图3.3.6（a ）阶跃电压（b）恒定电压

(a)

O

U

（b ）t

O

t

u

63.2%U

图3.3.7u C 的变化曲线

u C ″

-U

-36.8%U

O

τ

t

U

u C

u C

u C ′