高中数学2-2直线的方程2-2-1直线方程的概念与直线的斜率自我小测新人教B版必修2
人教新课标版数学高一B必修2学案 直线方程的概念与直线的斜率
高中数学-打印版数学人教B必修2第二章2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能在实际问题中应用．3．能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角．1．直线方程的概念由于函数y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是________方程，因此，我们也可以说，方程y＝kx ＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是__________，那么这个方程叫做____________，这条直线叫做__________．直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解．两个条件只要缺少一个，命题就是错误的．【做一做1－1】在平面直角坐标系中，二、四象限角平分线所在的直线的方程为__________．【做一做1－2】给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．直线的倾斜角和斜率(1)我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的______．(2)两点斜率公式：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝__________(x1≠x2)．(3)倾斜角θ：x轴正向与__________所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为θ.当直线l与x轴__________时，规定θ＝0°，故θ的取值范围是__________．(4)斜率k 与倾斜角θ的关系如图所示．当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为负．但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大．【做一做2】过点P (1,3)和Q (0,5)的直线的斜率为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12对直线斜率的全方位剖析 剖析：(1)斜率公式的适用范围．经过两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其适用范围是x 1≠x 2.说明如下：①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示．②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．③如果y 2＝y 1(x 2≠x 1)，则直线与x 轴平行或重合，k ＝0；如果x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线与x 轴垂直，倾斜角θ＝90°，斜率k 不存在．(2)从运动变化的观点看斜率公式．由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k 与这两点在直线上的顺序无关，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，于是k ＝ΔyΔx(Δx ≠0)．(3)斜率的功能．斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量，它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角θ与斜率k 有k ＝tan θ这一关系式．结合图示说明如下：如图所示，直线PQ ，直线PM ，且直线MQ 与y 轴平行，由直线斜率公式：k PQ ＝ΔyΔx ，k PM ＝Δy ′Δx， 由图易知Δy ′＞Δy ，∴k PM ＞k PQ .显然直线PM 相对于x 轴正方向比直线PQ 相对于x 轴正方向倾斜程度要大．比如某人从点P 沿直线PQ 到达点Q ，相对于从点P 沿直线PM 到达点M 来说，此人会感到沿直线PM 走比沿直线PQ 走更费劲．一般地，直线斜率为k ，若有|k |越大，反映直线相对于x 轴倾斜程度越大；反之|k |越小，反映直线相对于x 轴倾斜程度越小．若k AB ＝k AC ，此时直线AB 与直线AC 的倾斜角相同，即三点A ，B ，C 共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但k AB ＝k CD 只能说明直线AB 与直线CD 倾斜角相同，不能说明A ，B ，C ，D 四点共线，因此要用斜率证明共线问题，而线段(或两条直线)必须有公共点才行．题型一 概念辨析题【例1】下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1；④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－ab .其中正确命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．0反思：斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础，要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系，还有斜率公式是有使用范围的，直线与x 轴垂直时斜率不存在．题型二 求直线的斜率【例2】已知直线l 经过两点A (2,－1)，B (t,4)，求直线l 的斜率． 分析：点B 的坐标中含参数t ，注意分类讨论．反思：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论．题型三 斜率公式的综合应用【例3】求证：A (1,5)，B (0,2)，C (－1,－1)三点共线．分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相等，则两直线必重合，从而证明三点共线．反思：通过本题可归纳出：若斜率k AB ，k AC 存在，则k AB ＝k AC ⇔A ，B ，C 三点共线，当然也可以用|AB |＋|BC |＝|AC |来证，最后需指出的是当证明四点共线时，一定要注意看是否有公共点．【例4】已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．分析：过定点的动直线与线段相交，可借助图形加以解决．反思：通过本题的解决，要掌握斜率与倾斜角之间的关系，还要注意数形结合思想的利用．【例5】已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．分析：根据yx 的几何意义，本题即是求直线y ＝－2x ＋8(2≤x ≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．反思：利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写成y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题．题型四 易错辨析【例6】设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转30°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )．A ．α＋30°B ．α－150°C ．150°－αD ．当0°≤α＜150°时为α＋30°，当150°≤α＜180°时为α－150°错解：∵直线l 按逆时针旋转，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l 1的倾斜角为α＋30°.答案：A错因分析：没有考虑到α＋30°会越过180°，这样就不满足倾斜角的范围[0，π)了．1过点P (－2，m )和点Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )． A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或42若两直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( )． A ．若α1＜α2，则两直线的斜率k 1＜k 2 B ．若α1＝α2，则两直线的斜率k 1＝k 2 C ．若两直线的斜率k 1＜k 2，则α1＜α2 D ．若两直线的斜率k 1＝k 2，则α1＝α23若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角α的范围是__________． 4若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0,4)共线，则a 的值等于__________．5已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率等于2，把直线方程写成一次函数形式，并求出点B 的坐标．答案： 基础知识·梳理1．二元一次 这个方程的解 这条直线的方程 这个方程的直线 【做一做1－1】y ＝－x【做一做1－2】A 由直线方程的定义可知③，④均不正确．又y ＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y ＝kx ＋b 中的k ≠0，∴①也不正确．当一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中的b ＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．2．(1)斜率 (2)y 2－y 1x 2－x 1 (3)直线向上的方向 平行或重合 0°≤θ＜180°【做一做2】B 典型例题·领悟【例1】C 根据倾斜角定义知，①正确；倾斜角范围为[0，π)，∴②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，∴③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，∴④不正确．故选C.【例2】解：(1)当t ＝2时，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2，∴综上所述，当t ＝2时，直线l 的斜率不存在； 当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝5t －2. 【例3】证明：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝－1－5－1－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．【例4】解：如图所示，直线l 过定点C (0,2)，k CB ＝1－23－0＝－13，k CA ＝4－21－0＝2，k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ， ∴－13≤a ≤2.【例5】解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)， 而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.【例6】D 正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否在0°≤α＜180°范围内．若在，则l 1的倾斜角为α＋30°；若不在，则l 1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°.随堂练习·巩固1．A 由斜率公式，有1＝4－mm －(－2)，得m ＋2＝4－m .∴m ＝1.2．D3．90°＜α＜180° 如图所示，直线过第二、四象限，可知直线l 的倾斜角为钝角，其范围是90°＜α＜180°.4．4由题意可得k AB＝22－a＝k AC＝2－42＝－1⇒a＝4.5．解：设所求直线方程为y＝kx＋b，∵k＝2，A(3,4)在直线上，∴4＝2×3＋b，解得b＝－2.∴直线方程为y＝2x－2.如果B在x轴上，则可设B(x0,0)，代入直线方程解得x0＝1，即B(1,0)；如果B在y轴上，则可设B(0,y0)，代入直线方程解得y0＝－2，即B(0,－2)．。
2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题2-1 直线倾斜角与斜率(解析版)
专题2.1 直线倾斜角与斜率知识点1:直线的斜率直线的倾斜角:0180α︒︒≤< (1) 定义法:tan ,90k αα︒=≠; (2)坐标法:()()211112221221,,,,,y y k P x y P x y x x x x -=≠-(3)向量法:直线的方向向量为(,)u m n =,则直线的斜率为(0)nk m m=≠. 【注意】1.直线的倾斜角:0180α︒︒≤<，直线一定有倾斜角，但不一定有斜率。
2.求直线的倾斜角的取值范围, 要注意倾斜角是否包含0︒情形. 求直线的斜率的取值范围, 要注意倾斜角是否包含90︒情形.3.A , B , C 三点共线AB AC k k ⇔=⇔点A 在直线B C 上//AB AC ⇔.4. A , B , C , D 四点共圆⇔四边形ABCD 对角互补.5.单调性:tan k α=在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增. 6.若斜率为k ,则直线的一个方向向量为(1,)u k =.7.若两条直线以垂直坐标轴的直线为对称轴, 则两直线的斜率互为相反数知识点2:直线的平行与垂直方法1:设 111222:;:l y k x b l y k x b =+=+, 则 (1) 1212//l l k k ⇔=且12b b ≠; (2) 12121l l k k ⊥⇔⋅=-.(3) 1l 与 2l 重合12k k ⇔=且12b b =; (4) 1l 与 2l 相交12k k ⇔≠;方法2:设11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=,则 (1) 11112222//A B C l l A B C ⇔=≠; (2) 121212121210A A l l A A B B B B ⎛⎫⎛⎫⊥⇔-⋅-=-⇔+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (3) 1l 与 2l 重合111222A B C A B C ⇔==;(4) 1l 与 2l 相交11122122A B A B A B A B ⇔≠⇔≠.注：两直线平行则倾斜角相等，可能没有斜率。
2-2-1直线方程的概念与直线的斜率
技能演练基 础强 化1．下列命题正确的个数为( )①若α是直线l 的倾斜角，则α∈[0°，180°)；②任何直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率；③任何直线都存在斜率，但不一定存在倾斜角；④任何直线都存在倾斜角和斜率．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 任何直线都存在倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．故正确的是①②.答案 B2．直线l 过点P (－2，a )，Q (a,4)，若直线l 的斜率为1，则a 的值为( )A ．1B ．4C ．1或4D ．1或－4解析 k PQ ＝a －4－2－a ＝1，∴a －4＝－2－a ，∴a ＝1.答案 A3．已知直线y ＝(3a －1)x ＋2的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为( )A ．a <13B ．a >13C ．a >3D ．a <3解析 直线y ＝(3a －1)x ＋2的斜率为3a －1， ∵该直线的倾斜角为钝角，∴3a －1<0，∴a <13.答案 A4．设点P 在y 轴上，点M 与点N 关于y 轴对称，若直线PM 的斜率为2，则直线PN 的斜率为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析 设P (0，y 0)，M (a ，b )，则N (－a ，b )． ∵k PM ＝y 0－b 0－a＝2，∴y 0－ba ＝－2， ∴k PN ＝y 0－b0－(－a )＝－2.答案 B5．点A (a ＋b ，c )、B (b ＋c ，a )和C (c ＋a ，b )的位置关系是( ) A ．同在一条直线上 B ．三点间的距离两两相等 C ．三点连线组成一个直角三角形 D ．三点连线组成一个等边三角形 解析 k AB ＝c －a(a ＋b )－(b ＋c )＝－1，k AC ＝c －b(a ＋b )－(c ＋a )＝－1，∵k AB ＝k AC ，∴A 、B 、C 三点共线． 答案 A6．斜率为2的直线经过点(3,5)，(a,7)，(－1，b )，则a ，b 的值为( )A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝3解析 7－5a －3＝b －5－1－3＝2，∴a ＝4，b ＝－3.答案 C7.已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，如图所示，则k 1，k 2，k 3的大小关系为________．解析 由于l 3过二、四象限，故l 3的斜率小于0，l 1与l 2过一、三象限，故它们的斜率大于0，因为l 2倾斜角大于l 1的倾斜角，∴k 2>k 1>0.答案 k 2>k 1>k 38．已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则P 的坐标为________．解析 设P (x ，y )，则y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74.∴x ＝1，y ＝－5，故P (1，－5)． 答案 (1，－5)能 力 提 升9．已知直线l 经过两点(3,3)和(－1，－17)，求直线l 的方程(把方程写成一次函数的形式)．解析 k ＝3－(－17)3－(－1)＝5，设直线l 的方程为y ＝5x ＋b ，∵l 过(3,3)，∴3×5＋b ＝3，∴b ＝－12， ∴直线l 的方程为y ＝5x －12.10．已知A (3,2)，B (－4,1)，C (0，－1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解析 直线倾斜角是锐角还是钝角与斜率的正负有关系． 直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17；直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－(－4)＝－24＝－12；直线CA 的斜率k CA ＝－1－20－3＝－3－3＝1.由k AB >0，k AC >0知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角；由k BC <0知，直线BC 的倾斜角为钝角．。
人教B版必修2-2.2.1直线的概念和直线的斜率
D.若两条直线的斜率相等，则两条直线平行
2.若直线 过点 ，且与以 为端点的线段有公共点，则直线 斜率的取值范围是（）
A. B. C. D.
3.若三点 律总结
课堂小结
本节课学了哪些重要内容？试着写下吧
本节反思
反思一下本节课，你收获到了什么啊
练习：已知 ，当 ，直线 的倾斜角为锐角，当 ，直线 的倾斜角为直角，当 ，直线 的倾斜角为钝角
【课堂小结】
本节课收获了什么？
1.已知两点 ，怎么求过两点的直线斜率？
2.直线的斜率可以解决哪些问题？
【当堂检测】
1.下列结论不正确的是（）
A.若两直线的斜率相等，则这两条直线的倾斜角相等
B.若两直线平行，则这两条直线的倾斜角相等
5.由直线斜率定义知：
（1） 时，直线
（2） 时，直线的倾斜角为，此时随之 值增大，倾斜角
（3） 时，直线的倾斜角为，此时随之 值增大，倾斜角
（4）的直线倾斜角为
6.求直线斜率的步骤为：
【自学检测】：
1.若以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，则下列说法正确的是（）
A．这个方程叫做这条直线的方程
直线概念和直线的斜率12月17日
编者:林银玲审稿人：全组人员星期授课类型：
学习目标
1．掌握直线的倾斜角和直线斜率的概念，体会用代数的方法探索几何中直线斜率的过程；
2.了解直线倾斜角的范围，会根据直线的斜率判定倾斜角以及范围；
3..会根据给定两点坐标求直线倾斜角；
4.通过合作探究，进一步体会数形结合的思想在解析几何中的应用。
B．这条直线的点的坐标都是这个方程的解
C．不是这条直线的点的坐标都不是这个方程的解
推荐-高中数学人教B版必修2课件2.2.2直线方程的几种形式
方程
说明
点 P(x1,y1)和斜率 k y-y1=k(x-x1)
不包括 y 轴和平 行于 y 轴的直线
斜率 k 和在 y 轴上 的截距 b
y=kx+b
不包括 y 轴和平 行于 y 轴的直线
一二
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名称
已知条件
点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)
在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距 为b
方程 y-y1 = yxx22---xxy111(x1≠x2,y1≠y2)
x a
+
by=1
(a≠0,b≠0)
说明 不包括坐标轴和 平行于坐标轴的 直线 不包括过原点的 直线和平行于坐 标轴的直线
——
答案:A
6.做一做:过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为
.
解析:过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的两点式方程为������������2--������������11 = ������������2--������������11(x1≠x2,y1≠y2),代入点 P(3,2)和点 Q(4,7),求得直线方程为���7���--22 = ���4���--33,整理得 5x-y-13=0.
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一二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画
“×”.
(1)过点P的直线都可用点斜式写出. ( )
(2)过点P(x0,y0)且与x轴垂直的直线方程是y=y0. ( )
2021_2022年高中数学第三章直线与方程2
特别提醒 应用斜截式方程时，应注意斜率是否存在，当斜率
不存在时，不能表示成斜截式方程．
跟踪练习
写出满足下列条件的直线的方程． (1)斜率为 5，在 y 轴上截距为－1，________； (2)倾斜角 30°，在 y 轴上截距为 3，________. [答案] (1)5x－y－1＝0 (2)x－ 3y＋3＝0 [解析] (1)方程为 y＝5x－1，即 5x－y－1＝0. (2)方程为 y＝xtan30°＋ 3，即 x－ 3y＋3＝0.
B．－1
C．3
D．－3
[答案] B
2．直线y＝－2x＋3的斜率是________，在y轴上的截距是
________，在x轴上的截距是________.
[答案]
－2
3
3 2
[解析] 斜率是－2；在 y 轴上的截距是 3；令 y＝0 得 x＝32， 即在 x 轴上的截距是32.
3．写出下列直线的点斜式方程并化成斜截式：
特别提醒 若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值
时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2
这个条件．
跟踪练习
(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝______. (2)经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程为_____. [答案] (1)－1 (2)2x－y－1＝0 [解析] (1)由两直线垂直可得a(a＋2)＝－1，即a2＋2a＋1＝0 ，所以a＝－1； (2)由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2.∴所求直线方程 为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
规律总结
①使用点斜式方程，必须注意前提条件是斜率存在． ②注意方程x＝1的含义：它表示一条垂直于x轴的直线，这条
2019-2020人教B版数学必修2 第2章 2.2 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．思考1：如何判断点P(2,1)是否在直线y＝x－1上？[提示]把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上．2．直线的斜率及斜率公式(1)斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan α.(2)斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．(3)斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x 轴正方向的倾斜程度． 3．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义①当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．思考2：直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？[提示] 不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．1．如图所示，直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．以上都不对C [根据倾斜角的定义知，直线l 的倾斜角为30°＋90°＝120°.]2．直线l 过点M (－3，2)，N (－2，3)，则l 的斜率为( ) A ．62 B ．1 C ．63D ． 6B [根据题意，l 的斜率为3－2－2－(－3)＝1.]3．斜率不存在的直线一定是( ) A ．过原点的直线 B ．垂直于x 轴的直线 C ．垂直于y 轴的直线D．垂直于坐标轴的直线B[只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．2或29[∵A、B、C三点共线，∴k AB＝k BC，即53－a＝9a＋75，∴a＝2或29.]时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意1．方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．2．两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.](1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．[思路探究](1)利用k＝y2－y1x2－x1及k＝tan α求解；(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围．[解](1)由斜率公式得k AB＝1－11－(－1)＝0，k BC＝3＋1－12－1＝ 3.k AC＝3＋1－12－(－1)＝33.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.又∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.tan 60°＝3，∴BC的倾斜角为60°.tan 30°＝33， ∴AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式k ＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解． 3．涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解．2．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围． [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.1．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2.2．你能证明A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)三点在同一条直线上吗？ [提示] 能．因为A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)， 所以k AB ＝3－(－5)1－(－3)＝2，k BC ＝11－35－1＝2，所以k AB ＝k BC ，且直线AB ，BC 有公共点B ， 所以A ，B ，C 这三点在同一条直线上．【例3】 已知直线l 过点M (m ＋1，m －1)，N (2m ，1)． (1)当m 为何值时，直线l 的斜率是1? (2)当m 为何值时，直线l 的倾斜角为90°？ [思路探究] 求直线的斜率⇒直线的斜率公式． [解] (1)k MN ＝m －1－1m ＋1－2m＝1，解得m ＝32.(2)l 的倾斜角为90°，即l 平行于y 轴，所以m ＋1＝2m ，得m ＝1.1．本例条件不变，试求直线l 的倾斜角为锐角时实数m 的取值范围． [解] 由题意知 ⎩⎨⎧m －1－1m ＋1－2m ＞0m －1≠1，解得1＜m ＜2.2．若将本例中的“N (2m,1)”改为“N (3m,2m )”，其他条件不变，结果如何？[解] (1)由题意知m －1－2mm ＋1－3m ＝1，解得m ＝2.(2)由题意知m ＋1＝3m ，得m ＝12.直线斜率的计算方法1．判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． 2．若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(其中x 1≠x 2)进行计算．1．本节课的重点是理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，难点是掌握倾斜角与斜率的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求直线倾斜角的方法． (2)求直线斜率的方法．(3)直线的倾斜角和斜率之间的关系．3．本节课的易错点是对直线倾斜角和斜率之间的对应关系理解不够透彻而致错.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( ) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( ) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线． ( ) (4)斜率公式与两点的顺序无关． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√[提示] (1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度． (2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P 和一个倾斜角α.(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．2．若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于( ) A ．－32 B ．32 C ．－1 D ．1 C [k AB ＝y ＋34－2＝tan 45°＝1，即y ＋32＝1，∴y ＝－1.]3．如图所示，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．k 1<k 3<k 2 [设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k 1<k 3<k 2.]4．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．[解] 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.。
高中数学2.2直线的方程2.2.2.1直线的点斜式方程和两点式方程教案新人教B版必修2
.1 直线点斜式方程与两点式方程示范教案整体设计教学分析教材利用斜率公式推导出了直线点斜式方程，利用直线点斜式方程推导出了直线斜截式方程，让学生讨论得出直线两点式方程，在练习B中给出了直线截距式方程．值得注意是本节所讨论直线方程四种形式中，点斜式方程是根底是一个“母方程〞，其他方程都可以看成是点斜式方程“子方程〞．因此在教学中要突出点斜式方程教学，其他三种方程形式可以让学生自己完成推导．三维目标1．掌握直线点斜式方程与斜截式方程；了解直线斜截式方程是点斜式方程特例，培养普遍联系辩证思维能力．2．理解直线两点式方程与截距式方程，并能探讨直线方程不同形式适用范围，提高学生思维严密性．3．会求直线方程，提高学生分析问题与解决问题能力．重点难点教学重点：直线方程四种形式及应用．教学难点：求直线方程．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.我们知道两点确定一条直线，除此之外，在平面直角坐标系中，一个定点与斜率也能确定一条直线，那么怎样求由一点与斜率确定直线方程呢？教师引出课题．设计2.上一节我们已经学习了直线方程概念，其中直线y＝kx ＋b就是我们本节所要进一步学习内容，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)如左以下图所示，直线l过P0(x0，y0)，且斜率为k，求直线l方程．(2)直线l过点P(0，b)，且斜率为k(如右上图)，求直线l方程．(3)两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，求直线AB 方程．x a ＋yb＝1.(这种形式直线方程，叫做直线截距式方程)讨论结果：(1)设点P(x，y)为直线l上不同于P0(x0，y0)任意一点，那么直线l斜率k可由P与P0两点坐标表示为k＝y－y0x－x0.即y－y0＝k(x－x0)．①方程①就是点P(x，y)在直线l上条件．在l上点坐标都满足这个方程，坐标满足方程①点也一定在直线l 上．方程①是由直线上一点P 0(x 0，y 0)与斜率k 所确定直线方程，我们把这个方程叫做直线点斜式方程．特别地，当k ＝0时，直线方程变为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合．(2)直线l 点斜式方程为y －b ＝k(x －0)．整理，得y ＝kx ＋b. 这个方程叫做直线斜截式方程．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上截距，简称为直线截距．这种形式方程，当k 不等于0时，就是我们熟知一次函数解析式．(3)设P(x ，y)是直线AB 上任一点，那么k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1，所以直线AB 点斜式方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，整理得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，这种形式方程叫做直线两点式方程．(4)直线l 过点(a,0)，(0，b)，那么直线l 两点式方程为y －0b －0＝x －a 0－a ，整理得x a ＋y b＝1.这种形式直线方程，叫做直线截距式方程． 应用例如思路1例1求以下直线方程：(1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1；(2)直线l 2：过点(－2,1)与点(3，－3)．解：(1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)，整理，得l 1方程为x ＋y －3＝0.(2)我们先求出直线斜率，再由点斜式写出直线方程．直线l 2斜率k ＝－3－13－－2＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]，整理，得l 2方程4x ＋5y ＋3＝0.另解：直线l 2两点式方程为y －1－3－1＝x ＋23＋2，整理，得4x ＋5y ＋3＝0.点评：为了统一答案形式，如没有特别要求，直线方程都化为ax ＋by ＋c ＝0形式．变式训练分别求出通过点P(3,4)且满足以下条件直线方程，并画出图形：(1)斜率k ＝2；(2)与x 轴平行；(3)与x 轴垂直．解：(1)这条直线经过点P(3,4)，斜率k ＝2，点斜式方程为y －4＝2(x －3)，可化为2x －y －2＝0.如图(1)所示．(2)由于直线经过点P(3,4)且与x 轴平行，即斜率k ＝0，所以直线方程为y ＝4.如图(2)所示．(3)由于直线经过点P(3,4)且与x 轴垂直，所以直线方程为x ＝3.如图(3)所示．图(1)图(2)图(3)例2三角形三个顶点分别是A(－3,0)，B(2，－2)，C(0,1)，求这个三角形三边各自所在直线方程．解：如以下图，因为直线AB 过A(－3,0)，B(2，－2)两点，由两点式，得y －0x －－3＝－2－02－－3，整理，得2x ＋5y ＋6＝0， 这就是直线AB 方程；直线AC 过A(－3,0)，C(0,1)两点，由两点式，得y －0x －－3＝1－00－－3，整理，得x －3y ＋3＝0， 这就是直线AC 方程；直线BC 斜率是k ＝1－－20－2＝－32，过点C(0,1)， 由点斜式，得y －1＝－32(x －0)， 整理得3x ＋2y －2＝0，这就是直线BC 方程．例3求过点(0,1)，斜率为－12直线方程． 解：直线过点(0,1)，说明直线在y 轴上截距为1，又直线斜率为－12，由直线斜截式方程，得y ＝－12x ＋1. 即x ＋2y －2＝0.变式训练1．直线l ：y ＝4x －2在y 轴上截距是______，斜率k ＝______. 答案：－2 42．直线l ：y ＝kx ＋b 经过第二、三、四象限，试判断k 与b 符号．解：如以下图所示因为直线l 与x 轴正方向夹角是钝角，与y 轴交点位于y 轴负半轴上，所以k<0，b<0.思路2例4过两点(－1,1)与(3,9)直线l 在x 轴上截距是______，在y 轴上截距是______．解析：直线l 两点式方程是x ＋13＋1＝y －19－1，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－32.即直线l 在x 轴上截距等于－32，在y 轴上截距等于3.答案：－323 点评：直线截距式方程，可以直接观察得出在两坐标轴上截距；直线非截距式方程时，令x ＝0，解得y 值即是在y 轴上截距，令y ＝0，解得x 值即是在x 轴上截距．变式训练直线过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成三角形面积为4，求直线方程．解：因为直线与x 轴不垂直，所以可设直线方程为y －3＝k(x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2. ∴由题意，得12|(2k ＋3)(－3k－2)|＝4. 假设(2k ＋3)(－3k－2)＝－8，无解； 假设(2k ＋3)(－3k－2)＝8， 解得k ＝－12，k ＝－92. ∴所求直线方程为y －3＝－12(x ＋2)与y －3＝－92(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0与 9x ＋2y ＋12＝0.例5 设△ABC 顶点A(1,3)，边AB 、AC 上中线所在直线方程分别为x －2y ＋1＝0，y ＝1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线方程．分析：为了搞清△ABC 中各有关元素位置状况，我们首先根据条件，画出图形，帮助思考问题．解：如以下图，设AC 中点为F ，那么AC 边上中线BF 为y ＝1.AB 边中点为E ，那么AB 边上中线CE 为x －2y ＋1＝0.设C 点坐标为(m ，n)．在A 、C 、F 三点中A 点，C 点未知，F 虽然为未知但其在中线BF 上，满足y ＝1这一条件．这样用中点公式⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋12＝F 点横坐标，n ＋32＝F 点纵坐标1.解出n ＝－1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 方程，那么m －2n ＋1＝0.∴m＝－3.∴C 点为(－3，－1)．用同样思路去求B 点．设B 点为(a ，b)，显然b ＝1.又B 点、A 点、E 点中，E 为中点，B 点为(a,1)，E 点坐标为(1＋a 2，3＋12)，即(1＋a 2，2)．E 点在CE 上，应当满足CE 方程1＋a 2－4＋1＝0，解出a ＝5.∴B 点为(5,1)． 由两点式，即可得到AB ，AC 所在直线方程．l ACAB ：x ＋2y －7＝0.点评：此题思路较为复杂，应从中领悟到两点：(1)中点公式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，那么这点坐标满足这条直线方程，这一观念必须牢牢地树立起来．变式训练点M(1,0)，N(－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上动点，那么|PM|2＋|PN|2最小值为多少？解：∵P 点在直线2x －y －1＝0上，∴设P(x 0,2x 0－1)．∴|PM|2＋|PN|2＝(2x 0－1)2＋(x 0－1)2＋(2x 0－1)2＋(x 0＋1)2＝2(2x 0－1)2＋2x 20＋2＝10x 20－8x 0＋4＝10(x 0－25)2＋125≥125. ∴最小值为125. 例6 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上截距绝对值相等直线有几条？请求出这些直线方程．解：当截距为0时，设y ＝kx ，过点A(1,2)，那么得k ＝2，即y ＝2x.当截距不为0时，设x a ＋y a ＝1或x a ＋y －a＝1，过点A(1,2)， 那么得a ＝3，或a ＝－1，即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0. 综上，所求直线共有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.点评：此题易漏掉直线y ＝2x ，其原因是无视了直线方程截距式满足条件之一：在两坐标轴上截距均不为零．变式训练过点P(4，－3)直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 方程．解：直线l 在两坐标轴上截距相等都为0时，直线过(0,0)、(4，－3)，由两点式得直线方程为y ＝－34x ；当直线l 在两坐标轴上截距相等且不为0时，可以设截距为a ，直线方程为x a ＋y a＝1，过点(4，－3)，解得直线方程为x ＋y ＝1.知能训练1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°直线方程是( )A ．y ＋2＝33(x －2) B ．y ＋2＝3(x －2)C ．y －2＝33(x ＋2)D ．y －2＝3(x ＋2)答案：C2．直线方程y －3＝3(x －4)，那么这条直线经过点，倾斜角分别是( )A ．(4,3)，60° B．(－3，－4)，30°C ．(4,3)，30° D．(－4，－3)，60° 答案：A3．直线方程可表示成点斜式方程条件是( )A ．直线斜率存在B ．直线斜率不存在C ．直线不过原点D ．不同于上述答案 答案：A4．直线y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得直线方程是______．解析：直线y ＝－3(x －2)倾斜角为120°，绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°后，倾斜角为120°－30°＝90°，那么所得直线方程是x ＝2，即x －2＝0.答案：x －2＝05．△ABC 顶点坐标为A(－1,5)、B(－2，－1)、C(4,3)，M 是BC 边上中点．(1)求AB 边所在直线方程；(2)求中线AM 长；解：(1)由两点式写方程，得y －5－1－5＝x ＋1－2＋1，即6x －y ＋11＝0.(2)设M 坐标为(x 0，y 0)，那么由中点坐标公式，得x 0＝－2＋42＝1，y 0＝－1＋32＝1， 故M(1,1)，AM ＝1＋12＋1－52＝2 5.6．如以下图，正方形边长是4，它中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线方程．分析：由于正方形顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线方程．而正方形对称轴PQ 、MN 、x 轴、y 轴那么不能用截距式，其中PQ 、MN 应选用斜截式，x 轴，y 轴方程可以直接写出．解：因为|AB|＝4，所以|OA|＝|OB|＝42＝2 2. 因此A 、B 、C 、D 坐标分别为(22，0)、(0,22)、(－22，0)、(0，－22)．所以AB 所在直线方程是x 22＋y 22＝1，即x ＋y －22＝0. BC 所在直线方程是x －22＋y 22＝1，即x －y ＋22＝0. CD 所在直线方程是x －22＋y －22＝1，即x ＋y ＋22＝0. DA 所在直线方程是x 22＋y －22＝1，即x －y －22＝0. 对称轴方程分别为x±y＝0，x ＝0，y ＝0.拓展提升如左以下图，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面(不改变方向)，问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积(单位：m)．解：如右上图，建立直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地．∵AB 方程为x 30＋y 20＝1，∴P(x,20－2x 3)(0≤x≤30)，那么S 矩形＝(100－x)[80－(20－2x 3)]＝－23(x －5)2＋6 000＋503(0≤x≤30)，∴当x ＝5，y ＝503，即P(5，503)时，(S 矩形)max ＝18 0503(m 2)． 课堂小结本节课学习了：1．直线方程四种形式；2．会求直线方程；3．注意直线方程使用条件，尤其关注直线斜率是否存在从而分类讨论．作业本节练习B 2,3题．设计感想本节教学设计，以课程标准为指南，对直线方程四种形式放在一起集中学习，这样有利于比照方程适用范围，比教材中分散学习效果要好，特别是应用例如思路2总体难度较大，适用于根底扎实、学习有余力同学．备课资料解析几何应用解析几何又分为平面解析几何与空间解析几何．在平面解析几何中，除了研究直线有关性质外，主要是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)有关性质．在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面、椭圆、双曲线、抛物线有关性质，在生产或生活中被广泛应用．比方电影放映机聚光灯泡反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星天线、射电望远镜等都是利用抛物线原理制成．总来说，解析几何运用坐标法可以解决两类根本问题：一类是满足给定条件点轨迹，通过坐标系建立它方程；另一类是通过方程讨论，研究方程所表示曲线性质．运用坐标法解决问题步骤是：首先在平面上建立坐标系，把点轨迹几何条件“翻译〞成代数方程；然后运用代数工具对方程进展研究；最后把代数方程性质用几何语言表达，从而得到原先几何问题答案．备选习题1．求与两坐标轴正向围成面积为2三角形，并且两截距之差为3直线方程．解：设直线方程为x a ＋y b ＝1，那么由题意知12ab ＝2，∴ab＝4.又|a －b|＝3，x 4＋y 1＝1或x 1＋y 4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0. 2．直线l 1：y ＝4x 与点P(6,4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 面积最小时，求直线l 方程．分析：因为直线l 过定点P(6,4)，所以只要求出点Q 坐标，就能由直线方程两点式写出直线l 方程．解：因为过点P(6,4)直线方程为x ＝6与y －4＝k(x －6)， 当l 方程为x ＝6时，△OQR 面积为S ＝72；当l 方程为y －4＝k(x －6)时，点R 坐标为R(6k －4k，0)，点Q 坐标为Q(6k －4k －4，24k －16k －4)，此时△OQR 面积S ＝12×6k －4k ×24k －16k －4＝83k －22k k －4.∵S≥0，∴r(r－4)>0，∴r>4或r<0.变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32＝0(S≠72)．因为上述方程根判别式Δ≥0，所以(96－4S)2＋4·32(S－72)≥0，解得16S(S －40)≥0，即S≥40. 此时k ＝－1，所以，当且仅当k ＝－1时，S 有最小值40. 此时，直线l 方程为y －4＝－(x －6)，即x ＋y －10＝0.点评：此题是一道有关函数最值综合题．如何恰中选取自变量，建立面积函数是解答此题关键．怎样求这个面积函数最值，学生可能有困难，教师宜根据学生实际情况进展启发与指导．3．直线y ＝kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3,0)为端点线段相交，求实数k 取值范围．分析：此题要首先画出图形如以下图，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y ＝kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2＝k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1,2)点一组直线．设这个定点为P(－1,2)．解：我们设PA 倾斜角为α1，PC 倾斜角为α，PB 倾斜角为α2，且α1≤α≤α2. 那么k 1＝tanα1≤k≤k 2＝tanα2.又k 1＝2＋3－1＝－5，k 2＝2－1－3＝－12，那么实数k 取值范围是－5≤k≤－12.。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课件 新人教B版必修2
3 比如点 C(－ ，－ ∈l， － ，－1)∈ ， 2 3 x＝－ ＝－ 2 不是该方程的解， 不是该方程的解， 但 ＝－1 ＝－ y＝－ 所以方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)不是直线 l 的方 ＋ ＋ ＝ ∈ 不是直线 程， 的直线． 直线 l 也不是方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的直线． ＋ ＋ ＝ ∈ 的直线
2．直线的斜率 ． (1) 直 线 y ＝ kx ＋ b 被 其 上 的 任意两个不同 的点所唯一 ________________的点所唯一 确定(右图 ． 因此 ， 由这条直 确定 右图)． 因此， 右图 线上任意两点A(x1 ， y1)，B(x2 ， 线上任意两点 ， y2)的坐标可以计算出 的值， 的坐标可以计算出k的值 的坐标可以计算出 的值，
解：(1)∵m≠1，a≠0， ∵ ≠ ， ≠ ， b－mb b － ∴k＝ ＝ ＝a. a－ a－ma (2)当 m＝2 时，斜率 k 不存在； 不存在； 当 ＝ 当 m≠2 时， ≠ 1－2 － 1 k＝ . ＝ ＝ 2－m m－2 － －
斜率公式的应用
y 2－ y 1 的形式， 构造斜率公式 k＝ ＝ 的形式， 利用数形结 x 2－ x 1 合解题． 合解题．
＋ ＋ ＝ 例1 已知方程 2x＋3y＋6＝0. (1)求方程所对应直线的斜率； 求方程所对应直线的斜率； 求方程所对应直线的斜率 (2)画出这个方程所对应的直线 l； 画出这个方程所对应的直线 ； 3 (3)点( ，1)是否在直线 l 上？ 点 是否在直线 2 (4)方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)是不是直线 l 的方程？ 方程 ＋ ＋ ＝ ∈ 是不是直线 的方程？ 是不是该方程的直线？ 直线 l 是不是该方程的直线？
(2)斜率的定义 斜率的定义 通常， 我们把直线y＝ ＋ 中的 系数k 中的________叫做 通常 ， 我们把直线 ＝ kx＋ b中的 系数 叫做 这条直线的斜率．垂直于x轴的直线 不存在斜率 ． ____________． 斜率反映直线的_____________． 斜率反映直线的 倾斜程度 ． 3．直线的倾斜角 ． (1)定义 定义 x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直 线的倾斜角．我们规定， 线的倾斜角．我们规定，与x轴平行或重合的直 轴平行或重合的直 线的倾斜角为________． 线的倾斜角为 零度角 ．
2022版新教材高中数学第二章直线的点斜式方程课件新人教A版选择性必修第一册ppt
故当a= 3 时,直线l1:y=(2a-1)x+5与直线l2:y=4x+2a垂直.
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若直线l1与直线l2平行,则2a-1=4,且2a≠5,这显然不成立,因此直线l1与直线l2不能 平行.
易错警示
两直线平行与斜率相等并不等价,由两直线平行可得斜率相等或斜率均不存在; 而由两直线斜率相等可得两直线平行或两直线重合.
图示
方程形式 适用条件
④ y=kx+b 斜率存在
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” . 1.直线的点斜式方程也可写成 y y0 =k. ( ✕ )
x x0
2.直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). ( √ ) 提示:由直线的点斜式方程知,方程y-3=k(x+1)表示过点(-1,3),斜率为k的直线. 3.经过P0(x0,y0)的任意直线的方程均可表示为y-y0=k(x-x0).( ✕ ) 提示:当直线的斜率存在时,可表示为y-y0=k(x-x0);当直线的斜率不存在时,不能表 示为点斜式方程,其方程可表示为x=x0. 4.直线l在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.( ✕ ) 提示:直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标,而不是距离. 5.所有的直线都可以用点斜式和斜截式方程表示. ( ✕ ) 提示:垂直于x轴的直线,其倾斜角为90°,即斜率不存在,不能用点斜式和斜截式方 程表示.
2 | 如何利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题
1.含参数的直线方程,可将方程整理成点斜式或斜截式,利用系数的几何意义,结 合图形探求和证明过定点问题. 2.将直线方程化为斜截式,从斜截式中找出斜率和截距,可用来判断两条直线平行 和垂直. 设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.
高中数学(人教B版必修2)学业分层测评：第2章 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1.下列说法正确的是( )A.一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B.直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C.与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【解析】 选项A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确.【答案】 D2.若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( )A.45°，1B.135°，－1C.90°，不存在D.180°，不存在【解析】 由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在.故选C.【答案】 C3.若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于( )A.1B.5C.－1D.－5【解析】 由斜率公式可得：y ＋34－2＝tan 135°， ∴y ＋32＝－1，∴y ＝－5.∴选D.【答案】 D4.若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l 的倾斜角为( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【解析】 直线l 可能有两种情形，如图所示，故直线l 的倾斜角为30°或150°.故选C.【答案】 C5.直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( )A.0B.1C.12D.2【解析】 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k ∈.故直线l 的斜率k 的最大值为2.【答案】 D二、填空题6.a ，b ，c 是两两不等的实数，则经过P (b ，b ＋c )，C (a ，c ＋a )两点直线的倾斜角为________.【解析】 由题意知，b ≠a ，所以k ＝c ＋a －b ＋c a －b＝1， 故倾斜角为45°.【答案】 45°7.已知三点A (－3，－1)，B (0,2)，C (m,4)在同一直线上，则实数m 的值为________.【解析】 ∵A 、B 、C 三点在同一直线上，∴k AB ＝k BC ，∴2－－0－－＝4－2m －0， ∴m ＝2.【答案】 28.在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为________.【解析】 如图，易知k AB ＝3，k AC ＝－3，则k AB ＋k AC ＝0.【答案】 0三、解答题9.已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线PA 的倾斜角为60°.【解】 (1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)，∵A (1,2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1. 又∵直线PA 的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b ). 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0,2－3).10.已知A (2,4)，B (3,3)，点P (a ，b )是线段AB (包括端点)上的动点，求b －1a －1的取值范围.【解析】 设k ＝b －1a －1，则k 可以看成点P (a ，b )与定点Q (1,1)连线的斜率.如图，当P 在线段AB 上由B 点运动到A 点时，PQ 的斜率由k BQ 增大到k AQ ，因为k BQ ＝3－13－1＝1，k AQ ＝4－12－1＝3， 所以1≤k ≤3，即b －1a －1的取值范围是.1.斜率为2的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )A.4,0B.－4，－3C.4，－3D.－4,3【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2，解得a ＝4，b ＝－3.【答案】 C2.已知直线l 1的斜率为1，l 2的斜率为a ，其中a 为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D.(1，3)【解析】 ∵l 1的倾斜角为45°，∴l 2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)，故选C. 【答案】 C3.已知直线l 1的倾斜角α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率的值为________. 【解析】 设直线l 2的倾斜角为α2，则由题意知：180°－α2＋15°＝60°，α2＝135°，k 2＝tan α2＝－tan 45°＝－1.【答案】 －14.点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈时，求y ＋1x ＋1的取值范围.【解】 y ＋1x ＋1＝y －－x －－的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率. ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)，设直线NA ，NB 的斜率分别为k NA ，k NB .∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.。
2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-2 直线的方程(精练)(解析版)
2.2 直线的方程（精练）1 直线的点斜式1．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为所求直线与直线l 平行，所以设所求直线方程为：()2403x y m m -+=≠，又所求直线过点()2,1A ，代入可得22410m ⨯-⨯+=，解得0m =， 所以所求直线为240x y -=，即20x y -=. 故选：A2．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【答案】B【解析】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-， 所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=. 故选：B.3．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+【答案】C【解析】由题意知：直线l l 的方程为1y +.故选：C.4．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（ ） A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．210x y -+=【答案】C【解析】因为直线l 与直线:250m x y -+=平行，所以直线l 的斜率为12，又直线l 过点(2,3)， 所以直线l 的方程为()1322y x -=-，即240x y -+=，故选：C. 5．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线l 经过点()2,3-，且倾斜角45α=，则直线l 的方程为（ ） A ．10x y +-= B ．50x y -+=C ．10x y ++=D ．50x y --=【答案】B【解析】因为直线l 的倾斜角45α=，所以直线l 的斜率为1， 又直线l 经过点()2,3-，所以直线l 的方程为32yx ，即50x y -+=，故选：B6．（2022·江苏·高二课时练习）过点(P -且与直线20x +=的夹角为3π的直线方程是（ ）A ．)2y x =+B ．2x =-C ．)2=+y xD ．)2=+y x 或2x =- 【答案】D【解析】根据一般方程20x +=可得y =，所以斜率为k =6πθ=，和该直线夹角为3π的直线的倾斜角为2π或56π，根据直线过点(P -，所以该直线方程为2x =-或2)y x =+.故选：D 7．（2022·江苏·高二）经过点A (0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A ．230x y --= B ．230x y ++=C ．260x y --=D ．260x y ++=【答案】A【解析】因为直线经过点(0,3)A -且斜率为2，所以直线的方程为32(0)y x +=-， 即230x y --=，故选：A ．8．（2022·江苏·高二）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ） A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D【解析】当0a =时，直线2y =，此时不符合题意，应舍去；当2a =时，直线:20l x y +=，在x 轴与y 轴上的截距均为0，符合题意； 当0a ≠且2a ≠，由直线:20l ax y a +-+=可得：横截距为2aa-，纵截距为2a -. 由22aa a-=-，解得：1a =.故a 的值是2或1.故选：D 9．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）已知直线l 过点()2,1，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 有（ ）条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】设直线l 过原点，则l 的方程为y kx = ，将点（2,1）坐标代入， 得12k =，即l 的方程为12y x = ；若直线l 不过原点，设其为1x ya b+= ，将点（2,1）坐标代入，得2b a ab +=……① ，由于,a b a b ==± ，分别代入①， 解得3,1a b a b ===-= ，即直线l 的方程为3x y += ，1x y -= ； 共有3条；故选：C.10．（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线方程； (3)求BC 边的中垂线所在直线方程.【答案】(1)3120x y -+=；(2)350x y ++=；(3)310x y ++=. 【解析】(1)利用点斜式可得BC 直线方程为403430y x --=---，整理可得3120x y -+=； (2)由341303BC k -==--，所以BC 边上的高所在直线的斜率3-， 所以BC 边上的高所在直线方程为3(2)1y x =-++，整理可得350x y ++=； (3)由,B C 中点为37(,)22-，由（2）知BC 边的垂直平分线的斜率3-，所以BC 边的垂直平分线为31y x =--，整理可得310x y ++=.11．（2022·江苏·高二课时练习）分别求满足下列条件的直线的方程：(1)过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； (2)过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直； (3)过点()5,4，且与x 轴垂直；(4)过点()2,3C -，且平行于过两点()1,2M 和()1,5N --的直线． 【答案】(1)4140x y +-=(2)230x y --=(3)50x -=(4)72200x y --= 【解析】(1)由题意设直线方程为40x y m ++=，因为直线过点()3,2A ， 所以4320m ⨯++=，得14m =-，所以所求直线方程为4140x y +-=(2)由题意设直线方程为20x y n -+=，因为直线过点()3,0B ，所以300n -+=，得3n =-， 所以所求直线方程为230x y --=(3)因为直线过点()5,4，且与x 轴垂直，所以所求直线方程为50x -= (4)由题意可知所求直线的斜率为527112k --==--， 所以直线方程为()7322y x +=-，即72200x y --= 2 直线过定点1．（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）直线l ：()240a x y a ++--=恒过的定点坐标为____________. 【答案】()1,2【解析】由()240a x y a ++--=可得(1)240a x x y -++-=，由10240x x y -=⎧⎨+-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以该直线恒过的定点(1,2).故答案为：(1,2).2．（2022·四川）直线(1)y k x =-过定点 _________________. 【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-，令10x -=，得1,0x y ==，所以直线(1)y k x =-过定点()1,0，故答案为：()1,0. 3．（2022·全国·高二课时练习）设直线()23260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为________. 【答案】(0,2)【解析】由直线方程()23260x k y k +--+=，可化简为(236)(2)0x y k y -++-=，又由236020x y y -+=⎧⎨-=⎩，解得0,2x y ==，即直线恒经过定点(0,2)P .故答案为：(0,2).4．（2022·安徽·高二开学考试）直线()()():21132R l m x m y m m +++=+∈经过的定点坐标是___________. 【答案】()1,1【解析】把直线l 的方程改写成：()()2230x y m x y +-++-=，令20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点()1,1.故答案为：（1,1）.5．（2021·重庆·铜梁中学校）直线()()():211107l m x m y m m R +++=+∈经过的定点坐标是______． 【答案】(3,4)【解析】把直线l 的方程改写成：(7)(210)0x y m x y +-++-=，由方程组702100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点(3,4)，故答案为：(3,4)6．（2021·全国·高二专题练习）已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数）过定点P ，则点P 的坐标为____． 【答案】(0,6)-【解析】直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数），即(36)(6)0x y x y λ--+++=，则36060x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得6x y =⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(0,6)P -，故答案为：(0,6)-． 3 直线所过象限1．（2022·陕西渭南）如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由0AB >且0BC <，可得,A B 同号，,B C 异号，所以,A C 也是异号； 令0x =，得0C y B=->；令0y =，得0Cx A =->；所以直线0Ax By C ++=不经过第三象限. 故选：C.2．（2021·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，过点(2,0)-且倾斜角为135︒的直线不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率1k =-∵直线的方程：()2y x =-+即2y x =--直线不经过第一象限．故选：A ． 3．（2022·江苏·高二课时练习）设k 为实数，若直线:13l y k x不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】直线:13l y kx 经过定点)，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l y kxk ，要想不经过第四象限，则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：0k <≤，综上：0k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围 ． 【答案】[]2,4【解析】当2a =时，直线方程为0x =，不过第二象限，满足题意； 当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为()142y x a a =+--． 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤． 综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤，即[]2,4a ∈．4 直线与坐标轴围成的三角形面积1（2022·江苏·高二）过点(1,1)P 作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由题意设直线l 的方程为1x y a b +=，直线过(1,1)P ，则111a b+=，直线与坐标轴的交点为()(),0,0,a b , 又142S ab ==，8ab =±， 111a b a abb ++==，a b ab +=，8ab =时，8a b +=，由88a b ab +=⎧⎨=⎩， 得44a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩44a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩8ab =-时，8a b +=-，由88a b ab +=-⎧⎨=-⎩， 得44a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩或44a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩，所以直线l 共有4条． 故选：D ．2．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）过点()1,3的直线分别交x 轴正半轴和y 轴正半轴于点A 、B ，则AOB （O 为原点）面积的最小值为________.【答案】6【解析】设点(),0A a 、()0,B b ，其中0a >且0b >，则直线AB 的方程为1x ya b+=，由已知可得131a b +=，由基本不等式可得131a b +=≥12ab ≥， 当且仅当2a =，6b =时，等号成立，故162AOB S ab =≥△. 故答案为：6.3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l 的方程为：()()()212430m x m y m ++-+-=． (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)240x y ++=【解析】(1)证明：原方程整理得：()23240x y m x y --+++=．由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴不论m 为何值，直线必过定点()1,2M --(2)解：设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<． 令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，．()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭． 当且仅当4k k-=-，即2k =-时，三角形面积最小． 则1l 的方程为240x y ++=．4．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求： (1)直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程． 【答案】(1)6；360x y +-=.(2)4+1=. 【解析】(1)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以131a b =+≥12ab ≥，当且仅当2,6a b ==时，等号成立， 所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积1112622ab ≥⨯=，所以直线l 与坐标轴围成面积的最小值为6，此时直线:126x yl +=，即360x y +-=.(2)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以13()()a b a b a b +=++=3444b a a b ++≥+=+当且仅当1a =33b 时，等号成立.此时直线l 1=. 5 直线的综合运用1．（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（ ） A ．互相平行B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直 【答案】B【解析】直线方程整理为：(21)50m x y x y +---+=，由21050x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，得94x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点(9,4)-，不可能有平行的两条直线，存在两条相互垂直的直线，但不可能有一条直线与其中两条垂直．故选：B ．2．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）（多选）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点【答案】BD【解析】对A ，当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，故A 错误；对B ，2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=，解100x y x ++=⎧⎨=⎩可得01x y =⎧⎨=-⎩，故2l 过定点(0,1)-，故B 正确；对C ，当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，故C 错误；对D ，2l 过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，故对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，故D 正确； 故选：BD3．（2022·江苏·高二课时练习）（多选）已知直线l 过点(P ，且与x 轴和y 轴围成一个内角为6π的直角三角形，则满足条件的直线l 的方程可以是（ ）A ．)1y x -B ．)1y x -=-C ．)1y x -D ．)1y x -【答案】ABC【解析】由题意，直线l 的倾斜角可以是6π或3π或56π或23π，所以直线l 的斜率6tanπk ==或tan 3k π=5tan 6k π==2tan 3k π==所以直线l 的方程可以为1)y x -或1)y x -或 1)y x -或1)y x -，由1)y x -，整理得y =，此时直线过原点，无法与x 轴和y 轴围成直角三角形. 故选：ABC.。
2021学年新教材高中数学2.2直线及其方程2.2.2直线的方程课件人教B版选择性必修一
跟踪训练5 (1)一条直线经过点(3,2)，且它的法向量是(3，－ 4)，则这条直线的一般式方程为________．
(2)经过点(－3,2)且方向向量为(1,2)的直线方程为________．
答案：(1)3x－4y－1＝0 (2)2x－y＋8＝0
跟踪训练1 (1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条
直线的点斜式方程为________．
(2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．
(3)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝
1 3
x倾斜角的2倍的直线
的点斜式方程是________．
解析：(1)因为倾斜角为45°，
状元随笔
方法归纳
1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可， 要特别注意截距和距离的区别．
2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明 显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的 值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时， 常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判 断．
(2)直线和y轴平行(包含重合)时：此时倾斜角a＝
π 2
，直线的斜
率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝0，它可
以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同
时为零)都能表示一条直线吗？为什么？
[提示] 能表示一条直线，原因如下：当B≠0时，方程Ax＋
跟踪训练3 求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直 线l的方程．
解析：设直线的两截距都是a，则有 ①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝32， ∴l：3x－2y＝0； ②当a≠0时，直线设为ax＋ay＝1，即x＋y＝a， 把P(2,3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5. ∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案
|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0． （ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ． 综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ． 已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的 中线所在直线的方程． 解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为 ，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ． 例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交． ）
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2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
自我小测
1．直线l过点A(2,1)，B(3，m2)(m∈R)，则直线l的斜率的范围为( ) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
2．若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( ) A．若α1<α2，则两直线的斜率k1<k2B．若α1＝α2，则两直线的斜率k1＝k2
C．若两直线的斜率k1<k2，则α1<α2D．若两直线的斜率k1＝k2，则α1＝α2
3．给出下列四个命题：
①一条直线必是某个一次函数的图象；
②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；
③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；
④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是( )
5．油槽储油20 m3，从一管道等速流出，50 min流完．关于油槽剩余油量Q(m3)和流出时间t(min)之间的关系用图可表示为( )
6．若a ＝ln21，b ＝ln32，c ＝ln54
，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c
7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0,4)共线，则a 的值等于__________．
8．若经过A (－1，－1)，B (－4，y )，C (x,3)三点的直线的斜率为－2，则实数x ＝__________，y ＝__________．
9．直线l 过点A (1,2)且不过第四象限，则l 的斜率k 的取值范围是________．
10．如图所示，已知A (3,2)，B (－4,1)，C (0，－1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？
11．已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．
12．设直线l 与坐标轴的交点分别为M (a,0)，N (0，b )，且ab ≠0，斜率为k ，坐标原点到直线l 的距离为d ．
试证：(1)b ＝－ka ；
(2)a 2k 2＝d 2(1＋k 2)； (3)
21d ＝21a ＋21b ．。