高一数学教案：苏教版高一数学余弦定理
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标：1. 让学生了解正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 通过对正弦定理和余弦定理的学习，提高学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学内容：1. 正弦定理的定义及证明。
2. 余弦定理的定义及证明。
3. 正弦定理和余弦定理的应用。
4. 相关例题解析。
5. 实践练习。
三、教学重点与难点：1. 正弦定理和余弦定理的推导过程。
2. 灵活运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。
2. 利用多媒体展示相关例题，进行解析。
3. 开展小组讨论，让学生互动交流，巩固所学知识。
4. 布置实践练习题，巩固所学内容。
五、教学过程：1. 引入：通过回顾三角形的基本知识，引导学生思考正弦定理和余弦定理的定义。
2. 讲解：详细讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。
3. 例题解析：利用多媒体展示相关例题，进行解析，让学生掌握解题技巧。
4. 小组讨论：让学生围绕例题展开讨论，互相交流解题思路。
5. 实践练习：布置实践练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 课后作业：通过课后作业的完成情况，评估学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用能力。
2. 课堂练习：通过课堂练习的实时反馈，了解学生在学习过程中的掌握情况，及时调整教学方法。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和思考深度，评估他们的合作能力和问题解决能力。
4. 期中期末考试：通过期中期末考试的正弦定理和余弦定理部分，全面评估学生的学习成果。
七、教学资源：1. 教材：选用权威的数学教材，提供正弦定理和余弦定理的基础知识。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过动画、图像等形式直观展示正弦定理和余弦定理的应用。
苏教版高中数学必修5-1.2《余弦定理》教学教案2
1.2 余弦定理教学目标：1．使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2．使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题；3．通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；4．通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神。
教学重点：余弦定理及其发现和证明。
教学难点：余弦定理的证明。
授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：powerpoint 与三角板教学过程：一．问题情境在斜三角形中三个角和三边共六个元素，已知几个怎样的元素可确定这个三角形？（三个，其中至少有一边）问题1：已知两边一夹角，三角形能否确定？或者已知三边，三角形能否确定？ 探索活动1：（回归特殊）在Rt △ABC ，C=900，那么边与边之间有哪些关系？ 勾股定理：222b a c += （*）受（*）式启发，在锐角三角形中222b a c +<；在钝角三角形中222b a c +>。
问题2：那么a 与b 、c 之间是否仍然存在着“平方和”关系？猜想：B bc b a c cos 2222-+=。
二．理论建构探究活动2：如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b 。
∵+= ∴)()(+∙+=∙B222+∙+=22)180cos(||||2B +-∙+=22cos 2a B ac c +-= 即B ac a c b cos 2222-+=，同理可证 A bc c b a cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=。
问：你还可以用其他方法推导余弦定理吗？方法2：（几何法）在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，A B ＝c ，试根据b ，c ，A 来表示a 。
解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则在Rt △CDB 中，根据勾股定理可得： a 2＝CD 2＋BD 2，∵在Rt △ADC 中，CD 2＝b 2－AD 2，又∵BD 2＝（c －AD ）2＝c 2－2c·AD ＋AD 2，∴a 2＝b 2－AD 2＋c 2－2c·AD ＋AD 2＝b 2＋c 2－2c·AD ，又∵在Rt △A ＤC 中，AD ＝b·cosA ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 。
高中数学：正弦定理、余弦定理及应用教案苏教版必修
教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。
教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。
教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。
二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。
三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。
四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。
教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，深入理解正弦定理和余弦定理的内在联系。
二、教学内容1. 正弦定理：在三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例。
2. 余弦定理：在三角形中，各边的平方和等于其他两边平方和与这两边夹角余弦值的乘积的两倍。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 教学难点：正弦定理和余弦定理的推导过程及其在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理。
2. 利用多媒体课件，直观展示正弦定理和余弦定理的推导过程。
3. 设计具有代表性的例题，讲解正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示三角形模型，引导学生思考三角形中的几何关系。
2. 探究正弦定理：让学生观察三角形模型，引导学生发现各边长度与对角正弦值的关系，进而总结出正弦定理。
3. 验证正弦定理：让学生运用正弦定理解决具体问题，验证其正确性。
4. 探究余弦定理：引导学生观察三角形模型，发现各边平方和与夹角余弦值的关系，总结出余弦定理。
5. 验证余弦定理：让学生运用余弦定理解决具体问题，验证其正确性。
6. 总结正弦定理和余弦定理：引导学生对比总结两个定理的异同点。
7. 巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固正弦定理和余弦定理的应用。
8. 拓展与应用：引导学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对正弦定理和余弦定理的理解程度，以及运用这两个定理解决问题的能力。
2. 练习题：通过布置练习题，检验学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。
高中数学第1章解三角形1.2余弦定理1教案苏教版必修
1.2 余弦定理（1）教学目标：1. 掌握余弦定理及其证明方法；2. 初步掌握余弦定理的应用；3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．教学重点：余弦定理及其应用；教学难点：用解析法证明余弦定理．教学方法： 发现教学法．教学过程：一、问题情境 在上节中，我们通过等式+=的两边与（AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．Cc B b A a sin sin sin ==． 探索1 还有其他途径将向量等式AC BA BC +=数量化吗？二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段．因为AC BA BC +=（如图1），所以（（+⋅+=⋅ 222AC BA AC BA +⋅+=222cos 2)180cos(b A cb c A +-=+-︒+=AB C图1即 A bc c b a cos 2222-+=，同理可得 B ac c a b cos 2222-+=， C ab B a c cos 2222-+=．上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．三、建构数学对任意三角形，有余弦定理： A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法．方法一：如图2建立直角坐标系，则)0,(),sin ,cos (),0,0(b C A c A c B A ．所以()()22222222sin cos sin cos bc A c A c A c b A c a -+=+-=A bc c b cos 222-+=．同理可证：B ac c a b cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．方法二：若A 是锐角，如图3，由B 作AC BD ⊥，垂足为D ，则A c AD cos =．图2所以，22222222(AC AD)AC AD 2AC AD BD a DC BD BD =+=-+=+-⋅+A bc c b AD AC BD AD AC cos 22-)(22222-+=⋅++=，即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显然成立． 同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．方法三：由正弦定理，得)sin(2sin 2C B R A R a +==．所以 )cos cos sin sin 2sin cos cos (sin 4)(sin 422222222C B C B C B C B R C B R a ++=+= ]cos cos sin sin 2sin )sin 1()sin 1([sin 422222C B C B C B C B R +-+-=)]cos(sin sin 2sin [sin 4222C B C B C B R +++=A C RB RC R B R cos )sin 2)(sin 2(2sin 4sin 42222-+=A bc c b cos 222-+=．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．余弦定理也可以写成如下形式： bca cb A 2cos 222-+=， cab ac B 2cos 222-+=， abc b a C 2cos 222-+=． 探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四、数学运用1．例题．例1 在ABC ∆中，（1）已知︒===60,1,3A c b ，求a ；（2）已知,6,10,7===c b a 求最大角的余弦值．解 （1）由余弦定理，得 760cos 13213cos 222222=︒⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，所以 7=a ．（2） 因为b a c <<，所以B 为最大角， 由余弦定理，得28576210762cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ca b a c B ． 例 2 用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．证明：当C ∠为锐角时，0cos >C ，由余弦定理得 22222cos 2b a C ab b a c +<-+=即 222c b a >+；同理可证，当C ∠为钝角时，222c b a <+．2．练习．（1）在ABC ∆中，已知3,5,7===c b a ，求A ．（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ）A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形（3）在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小．练习答案：（1）32π=A （2）B （3）32π=C 五、要点归纳与方法小结本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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《余弦定理》教案(一）教学目标1．知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.(三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具:直尺、投影仪、计算器(四）教学设想［创设情景］ C 如图1．1—4，在∆ABC 中,设BC=a ，AC=b,AB=c ，已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B（图1．1-4）[探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题. A如图1．1-5,设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1—5）同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
高中数学《余弦定理》教案
高中数学《余弦定理》教案一、教学目标1. 让学生理解余弦定理的定义和意义，掌握余弦定理的表达式。
2. 培养学生运用余弦定理解决三角形问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
二、教学重点与难点1. 教学重点：余弦定理的定义和表达式，运用余弦定理解决三角形问题。
2. 教学难点：余弦定理的推导过程，运用余弦定理解决复杂三角形问题。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究余弦定理。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示三角形中余弦定理的应用。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
四、教学准备1. 教师准备PPT，内容包括余弦定理的定义、表达式和应用实例。
2. 准备几何画板或实物模型，用于展示三角形中余弦定理的应用。
3. 准备相关练习题，用于巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对余弦定理的思考，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：讲解余弦定理的定义和表达式，引导学生理解余弦定理的意义。
3. 实例演示：利用几何画板或实物模型，展示三角形中余弦定理的应用。
4. 小组讨论：让学生分组讨论如何运用余弦定理解决实际问题，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
5. 练习巩固：让学生解答相关练习题，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调余弦定理的重要性。
7. 作业布置：布置适量作业，让学生进一步巩固余弦定理的应用。
六、教学延伸1. 引导学生思考余弦定理在实际生活中的应用，例如测量三角形的角度、计算三角形的面积等。
2. 介绍余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
七、课堂小结1. 让学生回顾本节课所学内容，总结余弦定理的定义、表达式和应用。
2. 强调余弦定理在解决三角形问题中的重要性。
八、课后作业1. 完成教材上的相关练习题，巩固余弦定理的知识点。
九、教学反馈1. 在下一节课开始时，检查学生的作业完成情况，了解学生对余弦定理的掌握程度。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.2.1 余弦定理》
余弦定理江苏省奔牛高级中学蒋亦【教学目标】知识与技能〔1〕掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；〔2〕理解余弦定理可解的三角形类型.过程与方法（1）通过复习引出问题，经历特殊到一般的过程探究余弦定理；（2）通过对余弦定理结构特征的观察，多角度证明余弦定理；（3）通过数学应用总结出余弦定理可解的三角形类型.情感、态度与价值观经历提出问题、探究问题、解决问题的过程发现余弦定理，在应用余弦定理过程中总结规律.以问题驱动课堂，激发学生学习热情，在探究中培养学生数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养，激发学生数学兴趣.教学重点：发现、证明和应用余弦定理教学难点：证明余弦定理【教学过程】复习引入前面学习了正弦定理，用正弦定理可以解两类三角形（1）两角一边 AAS,ASA〔唯一〕（2）两边及其一边对角 SSA〔不确定〕根据初中三角形全等的知识，还有那些类型的三角形也是确定的？〔SAA,SSS〕追问：能用正弦定理解吗？仅以SAS为例，比方，用正弦定理无法求解三角形.问题情境（1）在中,求;（2）在中,求.生：〔化归为直角三角形求解…〕追问：一般的，在中,如何表示生：〔化归为直角三角形求解…〕〔师板书〕余弦定理符号：追问1：你能否用文字语言表达上面表达式？文字：三角形任何一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与他们夹角余弦积的两倍.追问2：仔细观察余弦定理的结构特征，怎样才能既迅速又准确的记住？生：…〔师小结〕等式左边是一边的平方，右边类似另两边差的完全平方展开式，但是乘积项多了这夹角的余弦值.追问3：两边及其夹角余弦的乘积，让你想起了哪个知识？〔数量积〕是哪两个向量的数量积？〔〕如何构造问题2.试用向量数量积知识证明：生：…（3）师：请用余弦定理求解问题情境〔2〕在中,求.〔小结〕余弦定理也可以写成如下形式：小结：余弦定理可以解决哪些类型三角形？生：〔1〕三边，求三个角；〔2〕两边及夹角，求第三边和其他两个角；〔3〕两边及其一边对角.追问：结合上节内容“正弦定理〞常见可解三角形类型及其方法？例1.两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得，求两地之间的距离.练习3.〔1〕在中，，求角〔2〕在中，，求角例2.用余弦定理证明：当是锐角时，；当是钝角时，〔小结〕设是最长的边，那么在中，为直角，是直角三角形；为锐角，是锐角三角形；为钝角，是钝角三角形.课堂小结：这节课学了哪些数学知识和思想方法？1.一个定理，两种证法；一个推论，两种应用〔SAS,SSS〕；2.常见解三角形类型及其解法SSS——余弦定理 SAS——余弦定理 AAS,ASA——正弦定理 SSA——正弦〔或余弦〕定理可解三角形——三要素〔至少一边长〕；3.解三角形方法的本质是方程思想.。
高中苏教数学⑤1.2余弦定理课时教案
1.2 余弦定理一、教学目标知识与技能：1．使学生掌握余弦定理，并能解决一些简单的度量问题.2．能初步运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.过程与方法：经历不同方法探索余弦定理的过程，体会类比的数学思想，提高多角度考虑问题的能力. 情感，态度与价值观：通过用余弦定理解决实际问题，培养学生的化归能力，体会到数学在解决实际问题中的作用.二、教学重点余弦定理及其推导过程,余弦定理的运用．三、教学难点运用余弦定理解决简单的几何问题，主要表现在解斜三角形时何时使用正弦定理和余弦定理，判断何时有一解，何时有两解．四、教学过程（一）设置情境问题1 什么是正弦定理，用正弦定理解三角形必须已知哪些量？ 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R Cc B b A a 2sin sin sin ===，其中R 是三角形外接圆的半径．用正弦定理解三角形，必须是已知三角形中的两角和一边或者是已知两边及其中一边的对角．问题2 在一个三角形中如果已知两边及其夹角能用正弦定理 解这个三角形吗？为什么？不能！国为正弦定理中的任一等号两边都会有两个未知的量．为了要解这样的三角形，我们今天来一起研究余弦定理（板书课题：余弦定理）．（二）新知探究我们知道，对于一个直角三角形来说，它的斜边的平方等于两条直角边的平方和，那么对于任意一个三角形说，是否也有类似的结论呢？ 问题3 能否将向量等式AC BA BC +=数量化？如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵+=， ∴22)()(+= 222+⋅+= 22||)180cos(||||2||AC A AC BA BA +-︒⋅+= 22cos 2b A cb c +-=，即A bc c b a cos 2222-+=． ①同理可证 B ac a c b cos 2222-+=， ②C ab b a c cos 2222-+=． ③问题4 你能用文字语言叙述上面的结论吗？（三）数学理论由此又得到如下定理：A BC余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即在余弦定理中，令=C 90°，这时0cos =C ，所以222b a c +=由此可知余弦定理是勾股定理的推广．思考：尝试用其它方法证明余弦定理．法1 建立如图的直角坐标系，则A （0，0），B （c cos A ，c cos A ），C (b ，0)，则222)sin ()cos (A c b A c a +-=22222cos 2sin cos b A bc A c A c +-+=A bc c b cos 222-+=，即A bc c b a cos 2222-+=．同理可证：B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．这一方法的优点是不必对A 是锐角，直角，钝角进行分类讨论．法2 若A 是锐角，如图过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则A c AD cos =，所以222BD CD a +=22)(BD AD AC +-= 2222BD AD AC AD AC +⋅-+=AD AC BD AD AC ⋅-++=2)(222 A bc c b cos 222-+=，即A bc c b a cos 2222-+=．类似地，可以证明当A 为钝角时，结论也成立，而当A 为直角时显然结论成立． 同理可证：B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．法3 由正弦定理，得)sin(2sin 2C B R A R a +==，所以)(sin 4222C B R a +=)sin cos cos cos sin sin 2cos (sin 422222C B C B C B C B R ++=]cos cos sin sin 2sin )sin 1)sin 1([sin 422222C B C B C B C B R +-+-=)]cos(sin sin 2sin [sin 422C B C B C B R +++=A C RB RC r B R cos )sin 2)(sin 2(2sin 4sin 42222-+=A bc c b cos 222-+=，即A bc c b a cos 2222-+=．同理可证：B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．C ab b ac B ac a c b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=A B D C ab c余弦定理也可以写成下面的形式：（四）数学应用利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．例1 在△ABC 中，已知3=b ，1=c ，︒=60A 求a ；例2 在ABC ∆中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，求A ；解：（1）因为bc a c b c b a 3))((=-+++，所以bc c b a -+=222，所以21cos =A ， 因为),0(π∈A ，所以︒=60A ．例3 在ABC ∆中，a BC =，b AC =，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且1)cos(2=+B A ．求：（1）C 的度数；（2）AB 的长；（3）ABC ∆的面积．解 （1）因为1)cos(2=+B A ，所以1cos 2=-C ，即21cos -=C ． ),0(π∈C ，所以︒=120C ．（2）因为a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，所以32=+b a ，2=ab ．由余弦定理有 C ab b a c cos 2222-+=ab b a ++=22ab b a -+=2)(102)32(2=-=， 所以10=c ．（3）23221sin 21⨯⨯==∆C ab S ABC 23=． 例4 用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+． 证明 当C ∠为锐角时，0cos >C ，由余弦定理，得C ab b a c cos 2222-+=222b a +<， 即222c b a >+．类似地可以证明当C ∠为钝角时，222c b a <+．五、课后思考如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为2=AB ，6=BC ，4==DA CD ，求四边形ABCD 的面积．.2cos ,2cos,2cos 222222222ab c b a C ac b a c B bca cb A -+=-+=-+=分析 连结四边形的任一条对角线，即可将四边形分割成两个三角形，再在两个三角形中应用三角形的面积公式和余弦定理求解．（书P17习题13，2001全国高考题）解 连结BD ，则四边形的面积CDB ABD S S S ∆∆+=C CD BC A AD AB sin 21sin 21⋅+⋅=． 因为︒=+180C A ，所以C A sin sin =． 故A A CD BC AD AB S sin )4642(21sin )(21⨯+⨯=⋅+⋅=A sin 16=． 在ABD ∆中，由余弦定理，有 A AD AB AD AB BD cos 2222⋅-+=A cos 1620-=． 在CBD ∆中，由余弦定理，有 C CD CB CD CB BD cos 2222⋅-+=osC 4852-=， 所以 C A cos 4852cos 1620-=-．因为︒=+180C A ，所以A C cos cos -=，32cos 64-=A ，21-=ocsA ， 又︒<<︒1800A ，所以︒=120A ，故38120sin 16=︒=S ．说明 ：（1）本题将四边形化成两个三角形问题来解决，体现了化归的思想方法．（2）题中BD 是联系两个三角形的桥梁，它使两个三角形的元素沟通起来，为顺利解决问题铺平了道路．。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生理解正弦定理和余弦定理的定义及几何意义。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理的适用范围和条件。
二、教学内容1. 正弦定理：介绍正弦定理的定义、表达式及几何意义，分析正弦定理的适用范围和条件。
2. 余弦定理：介绍余弦定理的定义、表达式及几何意义，分析余弦定理的适用范围和条件。
3. 应用：通过例题讲解如何运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题，如边长问题、角度问题、面积问题等。
三、教学重点与难点1. 重点：正弦定理和余弦定理的定义、表达式及几何意义。
2. 难点：正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时的灵活运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索正弦定理和余弦定理。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示正弦定理和余弦定理的应用。
3. 通过例题讲解和练习，巩固学生对正弦定理和余弦定理的理解和运用。
五、教学安排1. 第一课时：介绍正弦定理的定义、表达式及几何意义。
2. 第二课时：介绍余弦定理的定义、表达式及几何意义。
3. 第三课时：讲解正弦定理和余弦定理在解决三角形问题中的应用。
4. 第四课时：通过练习题巩固正弦定理和余弦定理的知识。
六、教学评价1. 评价学生对正弦定理和余弦定理的定义、表达式及几何意义的理解程度。
2. 评价学生运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的能力。
3. 评价学生在解决实际问题时，能否灵活运用正弦定理和余弦定理。
七、教学反馈1. 课堂提问：通过提问了解学生对正弦定理和余弦定理的理解程度。
2. 练习反馈：通过练习题的完成情况，了解学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。
3. 课后访谈：与学生交流，了解他们在解决实际问题时对正弦定理和余弦定理的应用情况。
八、教学拓展1. 探索正弦定理和余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
2. 介绍正弦定理和余弦定理的历史背景和发展过程。
【教案】苏教版高中数学12《余弦定理》word教案【精华】
cabABC1.2 余弦定理（2）【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.正弦定理的内容？2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知1．余弦定理的向量证明：方法1：如图，在ABC 中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵AC ABBC ，∴AC ACAB ()BC AB()BC AB2AB 2BC BC2AB2||2AB )180cos(||0B BC +BC222cos 2a B ac c，即B ac a c b cos 2222；同理可证：A bc cbacos 2222，C ab baccos 2222．方法2：建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos ac A b c A c A c A bc A bbcbc A，同理可证B ac acb cos 2222，Cab baccos 2222注意：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．于是得到以下定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即Abc cbacos 2222bc acbA2cos 222B ac acbcos 2222ca bacB2cos 222C ab baccos 2222abcbaC2cos 222思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
用符号语言表示：2222cos abcbc A ，…等；2. 理解定理注意：（1）熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等（2）余弦定理的应用：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（3）当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）（4）变形：bcacbA2cos 222acbcaB2cos 222accbaC2cos 222思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC 中，C=090，则cos 0C ，这时222c a b ，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
高中数学《余弦定理》教案1 苏教版必修
听课随笔1.2 余弦定理 第1课时知识网络三角形中的向量关系→余弦定理 学习要求1． 掌握余弦定理及其证明； 2． 体会向量的工具性；3． 能初步运用余弦定理解斜三角形． 【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，______________________，______________________.(2)变形：bc2a c b A cos 222-+=，___________________，___________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （１）_______________________________； （２）_______________________________． 【精典范例】【例1】在ABC ∆中，（1）已知3b =，1c =，060A =，求a ； （2）已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）． 【解】点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．【例2】,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测182,CA m =126,CB m = 063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 【解】【例3】用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．【证】点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．追踪训练一１．在△ＡＢＣ中，（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７， 求a ；（２）已知a ＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（ ） Ａ．能组成直角三角形 Ｂ．能组成锐角三角形 Ｃ．能组成钝角三角形听课随笔Ｄ．不能组成三角形３．在△ＡＢＣ中，已知222c ab b a =++，试求∠Ｃ的大小．４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？【选修延伸】【例4】在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，()1cos 2=+B A 。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索正弦定理和余弦定理的内在联系。
二、教学内容1. 正弦定理：一个三角形内角的正弦值等于它所对边的长度比该角的对边长度。
2. 余弦定理：一个三角形内角的余弦值等于它所对边的平方和与邻边的平方和的差除以它所对边的邻边长度乘积。
三、教学重点与难点1. 重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 难点：正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索正弦定理和余弦定理的内在联系。
2. 利用多媒体辅助教学，展示三角形中的角度和边长之间的关系，增强学生的直观感受。
3. 设计具有梯度的练习题，让学生在解决实际问题中掌握正弦定理和余弦定理。
五、教学过程1. 导入：通过展示一个三角形模型，引导学生观察三角形中的角度和边长之间的关系。
2. 新课导入：介绍正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
3. 案例分析：运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，让学生体会定理的应用价值。
4. 课堂练习：设计具有梯度的练习题，让学生在解决实际问题中掌握正弦定理和余弦定理。
教案仅供参考，具体教学过程中可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课堂练习：通过实时提问和解答学生的练习题，评估学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的习题，要求学生在课后完成，以巩固所学知识。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享彼此解题的心得和方法，以培养学生的合作能力。
七、教学反思1. 教师应反思教学内容是否符合学生的认知水平，并根据学生的反馈进行调整。
2. 教师应反思教学方法是否有效，是否能够激发学生的兴趣和参与度。
3. 教师应关注学生的学习进度和理解程度，及时调整教学计划和策略。
高中数学 《正弦定理、余弦定理的应用》教案 苏教版必修
第 5 课时：§1.3正弦定理、余弦定理的应用（1）【三维目标】：一、知识与技能1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；2.体会数学建摸的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。
3.了解常用的测量相关术语（如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义）；综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；4．能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力5．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰。
二、过程与方法通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，熟练运用。
三、情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力【教学重点与难点】：重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．难点：根据题意建立数学模型，画出示意图【学法与教学用具】：1. 学法：让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。
生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。
解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。
【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题总结解斜三角形的要求和常用方法（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题：①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角二、研探新知,质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材18P 例1）如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得 ()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠. 在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=，则48DBC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠. 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠()22134.05116.542134.05116.54cos 7247=+-⨯⨯-3233.95≈，所以 ()57AB m ≈ 答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .例2（教材18P 例2）如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）.解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠. 化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）. 由正弦定理，得sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===，所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答：舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，图图1-3-2所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠.例3 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的,C D 两处，测得烟囱的仰角分别为3512α'=和4928β'=，CD 间的距离是11.12m ，已知测角仪高1.52m ，求烟囱的高。
高中数学《余弦定理》教案
高中数学《余弦定理》教案一、教学目标1. 让学生理解余弦定理的定义及其在几何中的应用。
2. 培养学生运用余弦定理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过探究、合作、交流的方式，发现余弦定理的规律。
二、教学内容1. 余弦定理的定义及公式。
2. 余弦定理在直角三角形中的应用。
3. 余弦定理在非直角三角形中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：余弦定理的定义及其应用。
2. 难点：余弦定理在非直角三角形中的应用。
四、教学方法1. 采用探究式教学法，引导学生主动发现余弦定理的规律。
2. 运用案例教学法，以实际问题为例，讲解余弦定理的应用。
3. 利用多媒体辅助教学，直观展示余弦定理的应用场景。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对余弦定理的思考。
2. 新课讲解：（1）介绍余弦定理的定义及公式。
（2）讲解余弦定理在直角三角形中的应用。
（3）引导学生探究余弦定理在非直角三角形中的应用。
3. 案例分析：分析实际问题，运用余弦定理解决问题。
4. 练习与讨论：布置相关习题，让学生巩固所学知识，并进行讨论交流。
六、课后作业1. 复习本节课的内容，掌握余弦定理的定义及应用。
2. 完成课后习题，巩固所学知识。
3. 探索余弦定理在生活中的应用，下周分享给大家。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量。
3. 课后分享：评价学生在探索余弦定理在生活中应用的成果。
八、教学反思在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，确保教学效果。
针对学生的掌握情况，适当增加拓展内容，提高学生的数学素养。
九、教学进度安排1. 第一课时：介绍余弦定理的定义及公式。
2. 第二课时：讲解余弦定理在直角三角形中的应用。
3. 第三课时：引导学生探究余弦定理在非直角三角形中的应用。
4. 第四课时：案例分析，运用余弦定理解决实际问题。
十、教学资源1. PPT课件。
余弦定理教案(5篇)
余弦定理教案(5篇)余弦定理教案(5篇)余弦定理教案范文第1篇【关键词】学习方式；预习方式；科技手段；教学效率课堂教学效率是关于学习收益和教学时间的综合概念，是指在课堂单位时间内同学的学习收益与老师、同学的教学活动量在时间尺度上的量度。
同学的学习方式，会直接影响到学习收益，从而影响到教学效率。
传统的课堂教学过于强调同学的接受学习、机械训练和对结果学问的教学，表面上看似教学效率高，实质忽视了很重要的一个方面，即同学对过程学问与方法的理解与获得，长远来看不利于同学今后的学习与进展。
同学学问的猎取与力量的提高基本上是在课堂内完成的，所以课堂上应通过老师的设计与引导，使同学能够转变传统的学习方式，从而提高课堂教学效率。
通过实践，我们发觉是现阶段比较符合新课程改革课堂教学基本理念的一种模式，具有很大的研讨价值与空间，是一种理念的革新。
“学案导学”突出同学的自学行为，注意学法指导，培育同学学习力量、情感态度，做到把学习的主动权真正还给了同学，从而提高了课堂教学效率，也解决了课时紧急的冲突。
1 转变备课和预习方式“工欲善其事，必先利其器”，备课是上好课的先决条件，要想提高课堂教学效率，课前不仅老师要做好充分的预备，而且同学也要做相应的预备或预习。
1.1 师生共同备课。
在传统备课模式下，备课时老师对同学的设想，与其在课堂教学实施中的实际状况，有的时候出入较大。
师生共同备课转变了传统备课中，老师依据自己的理解和以往的主观阅历来“备同学”的状况。
老师在集体备课的基础上，实行每班选出三名具有不同数学学业水平的同学，事先让他们依据课本进行初步预习，然后以座谈的方式，了解他们在预习中的困惑，这样更简单在“导学案”编制过程中有的放矢，以提高它在实施过程中的效率，从而使“备同学”这一环节更加客观、精确。
1.2 同学依据“导学案”进行预习。
老师历来强调课前预习的重要性，但由于同学没有具体、周密的预习指导性材料，导致他们对预习缺乏乐观性与主动性，更是由于最重要的检查环节较弱，使同学的课前预备工作有很强的随便性，有的同学走过场。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.2 余弦定理》
第29课余弦定理与解三角形1教学目标: 1能运用正，余弦定理解三角形重点：正，余弦定理的应用难点：在解决实际问题时，两种定理的灵活选取是难点教学过程一：激活思维1在△ABC中，若a∶b∶c=2∶3∶4，则co C=2在△ABC中，若a=2，b=2，c=2，则角A=3在△ABC中，已知abcbc-a=3bc，那么角A=4在△ABC中，已知c=2a co B，那么△ABC的形状为三角形5在△ABC中，若a=4，b=5，c=6，则△ABC的面积为二．分类解析结合余弦定理判断三角形的形状例1在△ABC中，已知ab co B-c co C=b2-c2co A，试判断它的形状【思维引导】已知条件等式中既有边又有角，因此考虑将边与角的混合关系转化为只含有边或者只含有角的关系，再作判断本题向边转化较容易变式在△ABC中，已知a co Ab co B=c co C，试判断△ABC的形状结合余弦定理解三角形例22021·宿迁一模已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=1若a=2，b=2，求c的值；2若tan A=2，求tan C的值【思维引导】1有关三边一角问题，首先考虑到余弦定理，求出边c；2利用两角和的正切公式求tan C变式在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a>c若·=2，co B=，b=3 1求a和c的值；2求co B-C的值结合正、余弦定理解三角形的面积问题例32021·陕西卷已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=a，b与n=co A，in B平行1求角A的大小；2若a=，b=2，求△ABC的面积变式2021·安徽卷设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求co A和a的值三．课堂作业1 2021·福建卷在△ABC中，若A=60°，AC=2，BC=，则AB=2 2021·苏北四市期末在△ABC中，已知AB=3，A=12021且△ABC的面积为，那么BC边的长为3 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，=a，2in B=3in C，则co A=4 2021·广东卷设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，=2，c=2，co A=，且b<c，则b=5 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc=81若a=2，b=，求co C的值；2若in A co2in B co2=2in C，且△ABC的面积S=in C，求a和b的值四：小结高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式五．作业课堂作业第5题六．板书设计七．教后感。
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第二课时余弦定理教学目标：了解向量知识应用，掌握余弦定理推导过程，会利用余弦定理证明简单三角形问题，会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一教学重点：余弦定理证明及应用• 教学难点：1. 向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2•余弦定理在解三角形时的应用思路. 教学过程：I •课题导入上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题•当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决，C1) ⑵⑶如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题在厶ABC中，设BC = a, AC= b, AB = c,试根据b, c, A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△ BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt A ADC内求解•解：过C作CD丄AB，垂足为D，则在Rt A CDB中，根据勾股定理可得:a2= CD2+ BD2•/在Rt△ ADC 中，CD2= b2—AD2又••• BD2= (c—AD)2= c2—2c • AD + AD2••• a2= b2—AD2+ c2—2c- AD + AD2= b2+ c2—2c • AD又•••在Rt A ADC 中，AD = b • cosA2 2 2• a = b + c —2bccosA类似地可以证明b2= a2+ c2—2accosB(C = a?+ b?—2abcosC另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2= b2+ c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，n •讲授新课1•余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：2 2 2a =b +c —2bccosA,b2= c2+ a2—2cacosB, c?=a?+ b?—2abcosC.形式二：b2+ c2—a2c2+ a2—b2a2+ b2—c2cosA= 2bc ，cosB= 2ca ，cosC= 2ab •在余弦定理中，令 C = 90 °，这时，cosC= 0,所以c2= a2+ b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广•另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用2. 向量法证明余弦定理(1)证明思路分析由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现，那么可以与哪些向量知识产生联系呢向量数量积的定义式： a • b=| a || b | cos0，其中B 为a、b 的夹角.在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处，但又有所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换，也就省去添加辅助向量的麻烦•当然，在各边所在向量的联系上依然通过向量加法的三角形法则，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，比如证明形式中含有角c,则构造CB • CA这一数量积以使出现意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程：如图，在△ ABC中，设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.由向量加法的三角形法则可得A C=A B + BC,••• AC • AC=(AB+ BC)• (A B + BC)=AB2+ 2AB • BC + BC2=| AB | 2+ 2 | AB II BC I cos(180°—B)+| BC I 2=c2—2accosB + a2即b2= c2+ a2—2accosB由向量减法的三角形法则可得：cosC.同样在证明过程中应注BC= AC-AB■ BC • BC= (AC—AB) • (AC—AB)=AC2—2A C• A B + A B2=| AC | 2—2 | AC | | AB I COSA+I AB I 22 2=b —2bccosA + c即a2= b2+ c2—2bccosA由向量加法的三角形法则可得A B= AC + CB = AC—BC■ AB • AB= (AC—BC)• (AC —BC)=AC2—2AC • BC + BC2—> 2 ~> —> —> 2=| AC | 2— 2 | AC | | BC | cosC+ | BC | 2=b2—2bacosC + a2.即c?= a?+ b?—2abcosC评述：（1）上述证明过程中应注意正确运用向量加法（减法）的三角形法则AC与AB属于同起点向量，则夹⑵在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定, 角为A；AB与BC是首尾相接，则夹角为角B的补角180°—B；AC与BC是同终点，则夹角仍是角C.在证明了余弦定理之后，我们来进一步学习余弦定理的应用利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角.这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结3. 例题评析［例1］在厶ABC中，已知a= 7, b= 10, c = 6,求A、B和C.（精确到1° ）分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式解：••• cosA = 7=0.725」A~44°2bc 2X10 >6a 2 +b 2—c 2 72+ 102— 62 113••• cosC = = = = 0.8071，二 C ~ 36°2ab 2 X7 X10 140 ' ••• B = 180° — (A + C)~ 180°— (44°+ 36° )= 100° .评述：(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为 定理求出两角，第三角用三角形内角和定理求出(2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算 .［例2］在厶ABC 中，已知a = 2.730 , b = 3.696, C = 82° 28'，解这个三角形(边长保留 四个有效数字，角度精确到1').分析：此题属于已知两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边 第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二 是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，但若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍，而 在0°〜180°之间，余弦有唯一解，故用余弦定理较好解：由 c 2 = a 2 + b 2— 2abcosC = 2.7302+ 3.6962— 2 X 2.730x 3.696X cos82° 28' 得 c = 4.297.b 2+c 2— a 23.6962+4.2972— 2.7302「cosA = 葢 =2 X3.696 X .297=。
刀67」A = 39 °2'• B = 180 ° — (A + C)= 180°— (39° 2 ' + 82° 28' )= 58° 30 '.评述：通过例 2，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理均可选用， 那么求边两个定理均可，求角则余弦定理可免去判断取舍的麻烦［例 3］已知△ ABC 中，a = 8，b = 7，B = 60°，求 c 及 S A ABC . 分析：根据已知条件可以先由正弦定理求出角 A ，再结合三角形内角和定理求出角 1再利用正弦定理求出边 c ,而三角形面积由公式® ABC = 2 acsinB 可以求出•若用余弦定理求 c ，表面上缺少 C ，但可利用余弦定理 b 2= c 2 + a 2 — 2cacosB 建立关于c的方程，亦能达到求 c 的目的•下面给出两种解法• • A 1 = 81.8 °，A 2= 98.2 °• 0 = 38.2°，C 2= 21.8°，解法二：由余弦定理得2 2 2b =c + a — 2cacosB• 72= c ?+ 8?— 2 x 8 x ccos60整理得: c 2— 8c + 15= 0解之得:c1 =3， c2=5，•- S SBC = | adsinB = 6也，或 S AABC = * ac 2SinB = 10也.180。
，可用余弦•在解法由正弦定理得8 si nA 7sin6070 sin60csi nC，得 C 1 = 3，c 2= 5 S ^ABC = 1 ac 1SinB = 6 . 3 或 S ABC = ac 2SinB = 10 3cosA =(2 ) 2+(3 + 1) 2 — 222 迈(V3 + 1)—A = 45评述：此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式，要求学生注意运算的准确性及 解题效率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1° ) (1) a = 31, b = 42, c = 27; (2) a = 9, b = 10, c = 15. ”,b 2+c 2— a 2解：(1)由cosA = 得 2bc 2 2 242 + 27 — 31 cos A = 2 >42 X 27由 B c 2+ a 2— b 2 由 cosB = 2ca〜0.6691,— A 〜48°〜0.0523, —B ~ 93°—C = 180 °— (A + B)= 180° — 2 2 2b +c — a ⑵由cosA = 云 得102+ 152— 92 cosA== 0.8090,(48 °+ 93° 戶 39°2 X10 X 5—心 36°评述：在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有 耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从 而运用方程的观点去解决•故解法二应引起学生的注意•综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围：已知三边求任意角 或已知两边夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的 解法•为巩固本节所学的余弦定理及其应用，我们来进行下面的课堂练习 川•课堂练习 1•在△ ABC 中：⑴已知 b = 8, c = 3, A = 60°，求 a ;⑵已知 a = 20, b = 29, c = 21,求 B ; ⑶已知 a = 3.3 , c = 2, B = 150°,求 b ;⑷已知 a = 2, b = ■ _ 2 , c = . 3 + 1,求 A. 解：(1)由 a 2= b 2+ c 2— 2bccosA 得 a 2= 82+ 32— 2 x 8 x 3cos60°= 49,— a = 7.2 i2.2c + a — b⑵由cosB =得202+ 212-2922X 20X 21=O ,— B = 90°⑶由 b 2= a 2 + c 2— 2accosB 得b 2= (3 3 )2 + 22 — 2X 3 3 X 2cos150°= 49,— b = 7.2 2 2b +c — a ⑷由cos A = 2b c 得舟 c 2+ a 2- b 2 由cosB = 得2ca92 + 152- 102cosB = 2 刈 X15 =0.7660，- B ~ 40°••• C = 180°— (A + B)= 180°— (36°+ 40° 戸 104°评述：此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外，还要求学生能够利用计算器 进行较复杂的运算•同时，增强解斜三角形的能力 •IV •课时小结通过本节学习，我们一起研究了余弦定理的证明方法，同时又进一步了解了向量的工具 性作用，并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已 知两边一夹角解三角形•V •课后作业课本习题P i6 1 , 2, 3, 4.解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已 知的(其中至少有一个元素是边 )，那么这个三角形一定可解•关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：A 、B 、a 解厶 ABC.C ； ②根据~~ = ~及~i~ = ~^CsinA si nB sinA sinC 如果已知的是两角和它们的夹边，女口 解•求解过程中尽可能应用已知元素.(2) 已知两边和它们的夹角，女口 a 、b 、6解厶ABC. 解：①根据 c 2= a 2+ b 2— 2abcosC ，求出边c ; b 2 + c 2— a 2② 根据cosA = 2^^ ，求出角A ; ③ 从B = 180° — A — C ，求出角B.求出第三边c 后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝 角还是锐角，应先求 a 、b 较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可用余弦定理求解(3) 已知三边a 、b 、6解厶ABC. 解：一般应用余弦定理求出两角后，再由 A + B + C = 180°，求出第三个角.另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角， 但仍然需注意要先求较小边所对的锐角⑷已知两边及其中一条边所对的角，如 a 、b 、人，解厶ABC.解：①根据siOA =金，经过讨论求出B ；(1)已知两角及其中一个角的对边，如 解：①根据A + B + C = n ，求出角 ，求 b 、c ;A 、B 、c ,那么先求出第三角C ,然后按照②来求②求出B 后，由A + B + C = 180。