应用基本不等式求最值ppt课件

又 a 2b 1,a b 1 , 1 1 2 3 ab
1 1
6.
9
正确解法
“1”代换法
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已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值.
13
三、典型题解析
例5 已知正数 x, y 满足 2x y 1, 求 1 1 的最小值.
xy
正解： 1 1 2x y 2x y
xy x
y
“1”代换
3 y 2x 3 2 2
xy
法
当且仅当 y 2x 即 y 2x 时，等号成立. xy
而 y 2x
2x y 1
x
y
2 2
ab
ab
解法二：由a 2b 1及a、b R , 1 1 (a 2b)( 1 1 )
ab
ab
2 2ab 2 1 , 1 1 的最小值为4 2. ab a b
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已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值. ab
解法三： 1 1 2 1 ，当且仅当a b时""成立, a b ab
应用基本不等式求最值
江西师大附中 黄润华
1
一、复习回顾
基本不等式：
a,b R, a2 b2 2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)
a 0,b 0, a b ab 2
(当且仅当a=b时取“=”
号)
2ab ab a b a2 b2
ab
2
2
2
极值定理
已知 x, y 都是正数，
（1）如果积 xy 是定值P，那么当 x y 时，
1
2
2 2
ymin 3 2 2
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辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方.
1.已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1的最小值.
ab
解法一： a, b R , a 1 2，2b 1 2 2
a
b
(a 2b) ( 1 1 ) 2 2 2, 1 1 2 2 1
xHale Waihona Puke Baidu
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三、典型题解析
例5 已知正数 x, y 满足 2x y 1, 求 1 1 的最小值. xy
解：1 2x y 2 2xy
xy 1 即 1 2 2
2 2 xy
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
即 1 1 的最小值为4 2. xy
错因：解答中两次运用基本不等式中取“=”号过 渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错.
x 1
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二、应用基本不等式求最值
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
例4 求函数 y x2 5 的最小值. x2 4
错解:
y x2 5 x2 4 1 x2 4 x2 4
x2 4
1
x2 4 2
当且仅当 x2 4 1 时，等号成立. x2 4
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二、应用基本不等式求最值
和 x y 有最小值2 P
（2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y 时， 积 xy 有最大值 1 S 2
4
和定积最大，积定和最小
3
例4 设x, y为正实数，且2x 5y 20, 求 u lg x lg y 的最大值.
解：Q x 0, y 0, 2x 5y 2x 5y 10xy 2
一正,二定,三相等
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二、应用基本不等式求最值
例1 若x 0, f (x) 12 3x 的最小值为 12 ；
x
此时 x 2 .
若x 0, f (x) 12 3x 的最大值为 -12 ；
x
此时 x -2 .
一正
解：Q x 0
二定
f (x) 12 3x 2 12 3x 12
下面题中的解法正确吗？为什么？
1、已知x 1 时,求x2 1的最小值;
2
解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
2、已知x 3,求x 4 的最小值. x
解 : x 4 2 x 4 4,原式有最小值4.
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立.
Q 0 x 1,
log2 x 0.
5 log2 x log2 x 2
5.
f
x
2 log2
x
5 log2
x
2 ( log2
x
5 log2
) x
2
2
5.
当且仅当log2
x
5 log2
, x
即 x 2
5
时，等号成立.
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二、应用基本不等式求最值
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
例3 函数 y x 1 (x 0) 的最小值为
10xy 10, xy 10. 当且仅当2x 5y时，等号成立.
2x2x5y5y20 解得：x 5, y 2.
u lg x lg y lg(xy) lg10 1. 4
例5 已知 y x 1 (x 0), 证明：y 2. x
证明：(1)当x 0时，y x 1 2, x
(3)取不到等号时用函数单调性求最值:
例4 求函数 y x2 5 的最小值.
x2 4
三不等,常用单调性
正解:
y x2 5 x2 4 1 x2 4 1
x2 4 x2 4
x2 4
令 t x2 4, 则y t 1 (t 2) t
当 t
2,即
x
0 时,
ymin
5. 2
11
，此时x
.
x 1
解:
二不定,需变形
Q x 0, x 1 0.
y x 1 (x 1) 1 1 2 1 1.
1 x
1 x
当且仅当 x 1 1 即 x 0 时，等号成立. 1 x
练习 1. 求函数 f x (x 1)2 4 (x 1)的最小值.
x 1
2. 求函数 f x x2 3x 1 (x 1)的最小值.
当且仅当x 1 ，即x 1时，等号成立. x
(2)当x
0时，
x
0,
y
x
1 x
(x)
1 (x)
由(1)可知( x) 1 2,当且仅当x 1时等号成立. (x)
(
x)
1 (x)
2,即y
2.
5
二、应用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数值取到 = 号.
x
x
三相等
当且仅当 12 3x 即 x 2 时，等号成立.
x
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二、应用基本不等式求最值
例2 求函数
错解：
f
(x)
2 log2
x
5 log2
(0 x
x
1) 的范围.
f
x
2
log2
x
5 log2
x
2
2
log2
x 5 log2
x
22
5.
一不正, a 0,b 0时常用a b 2 ab
正解: