第二章重力场

引力场反演 方法1 利用泊松方程 方法2 通量计算 方法3 其他方法
例子11 f (13a 2 3r 2 cos2 ) 已知全空间引力位为：u fa3 试反演场源的质量分布，并计算总场源质量。
ra ra
2 2 2 2 3 (a 3a cos 12r ) r
引力位与质量（源）间关系公式：
多个质点
u f
i 1
N
mi ri
连续质量线分布
u f
mdl
L
r
连续质量面分布
u f
s
mds
r
连续质量体分布
u f
v
mdv
r
注意：0位的选择在质量无限分布时，需要变通。
例3 计算无限长质量直线的引力位
例4 计算均质球壳的引力位,球壳总质量为M，半径为a
例5 计算均质球体的引力位,球体总质量为M，半径为a
2. 引力位方程
在有质量分布区域内，
G 0
G = 4 f
m


l
G dl 0
G dS 4 fm
S
u G
推导：
G = (u ) 2u 4 f
m
泊松方程
在无质量分布区域内，
2u 0
S
r dS fm 3 r
S
d 4 fm

m
如果电荷呈体分布则有： G = 4 f 证明： 证明还有另外方式P91
例1 计算均质球壳的引力场强度,球壳总质量为M，半径为a
解 球内
G0
Gf M r r3
球外
例2 计算均质球体的引力场强度,球体总质量为M，半径为a 解 球内
反证法,求证思路: u 满足泊松方程及其边界条件 u 假定有两个势函数 ,令 1 2 即 . 则证明了 u 0, u 描述了同一个场 u u u 1 2
1 2
u u -u ,则可证明
1
2
引力位微分方程
2u 2u 2u 4 f 4 f 0
以格林函数表示的积分解。
3 狄利赫利和诺依曼问题的解
格林函数
无源场引力位u为调和函数，若引入另一函数v也是调和函数，即
2 v 0
应用格林定理有

上式同乘
V
(u2v u2v)dV

u v u v dS S n n
1 与下式相加 4
u (r ) 1 4
第三节 狄里赫利问题，诺依曼问题
1. Dirichlet(狄里赫利问题): 整个边界上引力位已知
2. Neumann(诺依曼问题): 整个边界上引力位法向导数已知
3. 混合边值问题 1 格林定理 可由高斯公式推导出
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2 泊松方程的积分式
应用格林定理 ，可求出泊松方程的通解为
u (r ) f
第一节 引力、引力场、引力场强度
1.万有引力定律
F k
12
mm
1
2
r
3
r
12
12
万有引力定律描述质点间用力关系，在宏观引力场基础。万有引力常 数也用 表式。 f
2.万有引力场
引力场对场中质量有力作用，描述场大小引入引力场强度
F G m
m Gf 3 r =f 3 r rm r
0 0
mm
0
球外
M Gf 3 r a
Gf M r 3 r
第二节 引力位、引力位方程、边界条件
1. 引力位
无旋场，必存在一个标量位满足：
G u
结论：引力线指向引力位增长最快的方向。这个方向与等
位面垂直并指向质量的源点。
两点的引力位差：
u u G dl
A B A
B
物理含义：引力位差为单位质量从A点到B点时引力场所做的功。 无穷远定义为0位时，空间某点的引力位可以定义为单位质量从无 限远到A点时引力场所做的功。
4 引力场的正、反演问题
正演问题指根据已知的场源分布或已知边界值，去求 特定区域内的场值。 重力场正演就是根据已知的质量分布或已知边界条件， 去求引力场强度空间分布。 反演问题指根据已知的场分布确定场源分布。 重力场反演就是根据已知的重力场分布，然后据此推 导出地下剩余质量分布。 反演问题的非唯一性。
引力场正演 方法1 直接积分法 方法2 通量定理法
方法3 解析解法
方法4 数值解法
例子8 水平地面以下深度为h处有一长为2l，半径为a，剩余质 量为M的均质水平圆柱体，当l远大于a时，计算地面上中心 剖面P（x，0，0）点的引力场强度。 例子9 计算无限大质量平面的引力势和引力场强度。
例子10 计算体密度为ρm，半径为a的无限长均质圆柱体的引力势 和引力场强度。
mdv
r
3
r
3. 引力场基本性质
无旋性质
G 0
证明：
G fm 1 r 0 3 r
引力场为保守场，即“场力做功与路径无关”

l
G dl 0
有源性质
任意闭合曲面将点源包围在内，则闭合面通量为： 证明：

S
G dS 4 fm

立体角
S
G dS fm

S
[
1 u 1 u ( )]dS r n n r
得： u (r )
1 4

1 u 1 1 [( v) u ( v)]dS = S r n n r 4

S
(G
u G u )dS n n
1 G v r
称为格林函数，G为调和函数
u (r ) =
1 2 m m
考察方程
2 u u d S ( u u ) dV u u (u ) (u ) dV s V V
只要证明上式左边等于0,即可证明 分两种情况 ： 1 已知表面引力位
u 0
2 已知表面引力位法向导数
结论：满足泊松方程及边界条件的解是唯一的，或仅有一个长数之 差。但是一旦确定了场中某点的引力位值后，这个常数便看唯一确定， 因而各点的引力位是唯一性的。
拉普拉斯方程
结论：求场的过程可以先求引力位，再求引力场强度。具体有解 析解，数值解法
3. 场边界条件
由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这
种变化规律称为的边界条件。为了方便起见，通常分别讨论边界上场量 的切向分量和法向分量的变化规律。 a 质量界面两侧，引力位连续。
u u
1 2
1 4

S
(G
u G u )dS n n
狄利赫利的解
u (r ) 1 4

S
u
G dS n
诺依曼问题的解
u (r ) 1 4

S
G
u dS n
例6 通过地面的重力位测量，已知地面重力位 u f1 ( , ), 0 求上半空间高度为z处P点引力位。
u ) f ( , ), 0 2 例7 已知地面重力场垂直分量 n z 0 u 求上半空间高度为z处P点重力场强度垂直分量 g z ( ) z 0 n g (
b 质量界面两侧，引力场强度法向分量有突变。
G G 4 f
2n 1n
u
m
2
c 质量界面两侧，引力场强度切向分量连续。
G G
1t
n

u
1
n
4 f
m
u
2t
1
t

u
2
t
除上述边界的条件外，常用到定解条件：
r无限远时，u=0。
r趋近于0，u有限
4 引力场的唯一性定理 满足泊松方程及边界条件的解是唯一的，这称为引力场的唯一性定 理。
5 地球重力场 1 地球的惯性力场 地球的惯性力场与引力场比较小很多，惯 性力场场强度为无旋场。
2 重力场强度
重力场强度为，引力场强度，与惯性力场 强度的矢量和。
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3 重力位
无旋场可以引入势函数，即重力位，其值为引力位与 惯性力位和。 4 重力异常
较大地水准面之间的重力场差。 形成异常的原因有： a 地形 b 高度差 c 物质结构不均匀 d 局部物体（包括矿体，岩体，构造及人工埋藏物等）， 这是物探工作者勘探目标
5 不同坐标系中的重力公式
r ( x )i ( y ) j ( x )k
多个质点
G Gi f
i 1 i 1
N
N
mi ri 3 ri
连续质量线分布
Gf
mdl
L
r
3
r
连续质量面分布
G f
s
mds
r
3
r
连续质量体分布
G f
v
V' m
r
dV [ 1 u 1 u ( )]dS r n n r

1 4

S
对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，引力位 u与距离成 反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，对无限远处的 S 表面，上式 中的面积分为零。 若 V 为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积 分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程