中南大学数理统计作业讲评

, 当 18, H 0不真， | 18} P { X 18 n 20 18 n z }
z z n
( z z ) 20 18
( z0.025 z0.025 ) 2.5 n 2.5 1.96 n 24.01 2 故样本容量需要 25.
1 2n 1 n X X i , Z ( X i X n i ) 2 n i 1 n i 1 ( X i X n i 2 X ) 2 ( Z i Z ) 2
i 1 i 1 n n
2 1 n ( n 1 ) S 2 2 由定理知： 2 ( Z i Z ) ~ ( n 1) 2 2 i 1 2
例8 试证 : 样本均值 X 是总体均值 的相合估计
n 1 2 量, 样本方差 S 2 X X 及样本的二阶 i n 1 i 1
1 n 2 中心矩 B2 X i X 都是总体方差 2 的相合 n i 1 估计量. 证明 由大数定律知,
1 n 0, 有 lim P X i 1, n n i 1 1 n 所以 X X i 是 的相合估计量. n i 1
( D) P {( n 1) S ( n 1) | H 1为真}
2 2
2.设总体X N ( , ), 样本容量为n,已知在显著
2
性水平 0.05下, 检验H 0 : 0，H 1 : 0的 结果是拒绝H 0，那么在显著性水平 0.10下, 检验H 0 : 0，H 1 : 0的结果（C） ( A )一定接受H 0 ( B)不一定接受H 0 ( C)一定拒绝H 0 ( D)以上都不正确
2 n 1 2n 2 总体的单样本，X X , Y ( X X 2 X ) , i i n i 2 n i 1 i 1
求E[ ( X i X n i 2 X ) ].
2 i 1
n
解：设Z i X i X n i ,则Z i N ( 2, 2 2 )
解 E (Y )

yf ( x )dx 0 f ( x )dx





x
1 2 3
e

( x )2
232

xf ( x )dx
dx

2

3 2
的置信区间为( 4.013, 5), E (Y )的置信区间为( 3.2033, 3.6968)
解：假设样本容量为n, 0.025， 0.025
2.5, 2, 根据确定样本容量的公式知： ( z z ) ( z0.025 z0.025 ) 2.5 n 2.5 1.96 2
代入数据得n 24.01.故样本容量需要 25。
另解：检验假设：H 0： 20, H 1： 20 在假设H 0条件下，接受域为 即X 20 P { X 20 20 18 n z n z n X 20 n z
参数的区间估计
3.设总体X N ( , 2 ), 未知， 2已知，X 1 , X 2 X n
n 1 n 1 是样本，则随机区间( ( X i ) 2 , ( X i ) 2 ) b i 1 a i 1 的长度的数学期望为_______,方差为__________.
故 B2 A2 X 2 依概率收敛于 E ( X 2 ) [ E ( X )]2 2 , 所以 B2 是 2 的相合估计量.
n 又 lim 1, n n 1 n 2 所以 S B2 也是 2 的相合估计量. n 1
2
2
自测题（第七章）
1.设总体X N ( , 2 ), 样本方差为S 2 , , 分别表示 在检验H 0 : 2 1, H 1 : 2 1中犯第一类和第二类 错误的概率，则下列各式成立的是（C）
2 ( A) P {( n 1) S 2 ( n 1) | H 0为真} 2 ( B) P {( n 1) S 2 ( n 1) | H 1为真} 1 2 ( C) P {( n 1) S 2 ( n 1) | H 1为真} 1
n 1 1 n 2 2 2 ( X 2 X X X ) 又 B2 ( X i X ) i i n i 1 n i 1
1 n 2 2 2 X i X A2 X , n i 1 ( A2是样本二阶原点矩)
由大数定律知,
1 n 2 2 A2 X i 依概率收敛于E ( X ), n i 1 1 n X X i 依概率收敛于E ( X ), n i 1
1 1 n 解：区间长度L ( ) ( X i ) 2 a b i 1
n 1 1 E ( L) ( ) E[ ( X i ) 2 ] a b i 1
1 1 2 n Xi 2 1 1 2 =( ) E[ ( ) ]=n( ) a b a b i 1
e y f ( y )dy
2 1 2
e
1 2

1 2
e

( y )2 y 2
e
dy e


2）的置信区间为： 1 1 y z , y z ， n n 2 2
七、( 20分)设X 1 , X 2 X n是总体N ( , 2 )的简单
n 1 n 1 2 随机样本，记X X i， S 2 ( X X ) , i n i 1 n 1 i 1 1 2 2 TX S n 1. 证明T 是 2的无偏估计；
2. 当 0, 1时，求D(T ). (第六章自测题) 1 2 1 2 2 解（1）E (T ) E ( X S ) E ( X ) E ( S 2 ) n n 2 1 1 2 2 2 2 D( X ) [ E ( X )] E ( S ) 2 n n n
由定理知：X 和S 相互独立， 1 2 1 2 2 D(T ) D( X S ) D( X ) 2 D( S ) n n 1 而当 0, 1时，X ~N ( 0, ), nX ~N ( 0, 1) n 2 2 2 2 2 nX ~ (1) D( nX ) 2 D( X ) 2 n 2 ( n 1) S 2 2 又( n 1) S ~ ( n 1) 2 2 2 2 D[( n 1) S ] 2( n 1) D( S ) n1 1 2 2 2 D(T ) D( X ) 2 D( S ) n( n 1) n
1 1 n L ( ) ( X i ) 2 a b i 1
n 1 1 2 2 D( L) ( ) D[ ( X i ) ] a b i 1 n Xi 2 1 1 2 4 1 1 2 4 =( ) D[ ( ) ]=2n( ) a b a b i 1
其中z z0.05 1.645, z z0.05 1.645, 2.5 , 故 n 1.6452 2.5 6.765 因此取n 7就能满足题中的要求。
五、(10分)某电子元件的寿命X N( ,2.5 2 )，现 要求 20时犯第一类错误的概率 0.025，且 当 18时，犯第二类错误的概率 不超过0.025。 试确定样本容量。
解：在水平 0.05检验H 0: 15, H 1: 15, 且已知
2 = 2.5.因要求当 H1且 13 15 时,犯第类 错误的概率 不超过0.05, 因此 2, 所要求的样本容 ( z z ) 量n所满足的关系式为 n ，
4.设x1 , x2 , , xn是来自正态总体X的观察值，f ( x ) 某个已知随机变量的概率密度，要检验总体X的 概率密度是否为f ( x )，可采用（D） ( A) z检验法 ( B) t 检验法 ( C) F 检验法 ( D) 2拟合检验法
六、设需要对某一正态总体的均值进行假设检验 H 0: 15, H 1: 15,已知 2 = 2.5.取 0.05, 若要求 当H1中 13时犯第类错误的概率 不超过0.05。 求所需的样本容量。
3.设X 和Y 是两个独立的正态分布，数学期望和
2 2 2 2 方差均未知，样本方差分别为s1 和 s2 ，已知s1 s2 ， 2 2 2 2 则检验H 0 : 1 2，H1 : 1 2的结果（B）
( A)一定接受H 0 ( B)不一定接受H 0 ( C)一定拒绝H 0 ( D)以上都不正确
五、( 20分)假设0.50, 1.25， 0.80, 2.00是来自总体 X的简单随机样本值，已知Y ln X ~N( ,1), （1）求X的数学期望E ( X )； （2）求的置信水平为0.95的置信区间.(第六章自测题)
解（1）E ( X ) E ( e )
Y
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5.1 简单随机样本
一、 1. 总体是对某个问题的研究对象全体， （注意题目做完之后，对下练习册后面的答案）
5.2
抽样分布
一、 2.答案是C . （此题老师上课讲过，答案错的原因？）
注意 的规范写法。
四、设总体X N ( , ), X 1 , X 2 X 2n ( n 2)是来自简
1 y (ln 0.5 ln 1.25 ln 0.8 ln 2) 0 4
故总体均值的置信区间为 ( 0.98, 0.98)
六、(10分)设X ~N ( , 32 ), X 1 , X 2 X 100是样本， X, X x 4.5065，Y 0, X 求E (Y )的置信水平为0.90的置信区间. (第六章自测题)
E[ ( X i X n i 2 X ) 2 ] E[ ( Z i Z ) 2 ]
i 1 i 1 n 1 2 2 E[ 2 ( Z i Z ) 2 ] 2 2 E[ 2 ( n 1)] 2 i 1
n
n
2( n 1) 2
6.3