八年级数学上册复习轴对称讲义
八年级数学复习考点1 轴对称及轴对称图形的意义
ABCDP八年级数学复习考点1 轴对称及轴对称图形的意义一、考点讲解：1．轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．2．如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应点的连线互相平行或在同一条直线上，对应的线段（或其延长线）相交，交点在对称轴上。
4．简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线． 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 等腰梯形：过两底中点的直线 正n 边形有n 条对称轴 圆有无数条对称轴。
二、基本图形：1．已知：点A 、B 分别在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最短。
变形1：正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，在对角线AC 上找一点P ，使PA+PB 最短。
变形2：已知点A （1，6）、点B （6，4），在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形ACDB 的周长最短。
三、经典考题剖析：1．（2006无锡市3分）在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（ ）2．（2006 山西省3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）。
3．（2006河南省3分）下列图形中，是轴对称图形的有（ ）ABABlB A CDＡ．4个Ｂ．3个Ｃ．2个Ｄ．1个4．（2006鸡西市3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )(A) (B) (C) (D)5．（2006苏州市3分）如图，如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A=1300， ∠B=1100．那么∠BCD 的度数等于 （ ） A. 400B.500C ．60D.7006．（2006梅州市3分）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ）7．（2006 湛江市6分）如图5，请你画出方格纸中的图形关于点O 的中心对称图形，并写出整个图形的对称轴的条数．四、针对性训练：1．（2006宜昌市3分）从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是 ，该车的后5位号码实际是 。
八年级数学上册教学课件《轴对称与坐标变化》
2. 点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（ B ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2）
C．（1，2）
D．（2，﹣1）
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基础巩固题
3.3 轴对称与坐标变化
1.如图，△ABC与△DFE关于y轴对称，已知A(－4，6)， B(－6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( B ) A．(－6，4) B．(4，6) C．(－2，1) D．(6，2)
课堂检测
基础巩固题
3.3 轴对称与坐标变化
2.已知A、B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论： ①A、B关于x轴对称； ②A、B关于y轴对称；③A、B关于原 点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.点(-4,9)与点(4,9)的关系是（ C ）
A.关于原点对称
B.关于x轴对称
C.关于y轴对称
D.不能构成对称关系
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基础巩固题
3.3 轴对称与坐标变化
4.已知点P(2a-3，3)，点A（-1，3b+2），
2
（1）如果点P与点A关于x轴对称，那么a+b= 3 ；
7
（2）如果点P与点A关于y轴对称，那么a+b= 3 .
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能力提升题
3.3 轴对称与坐标变化
A： ( 1 , 2 ) B：( 5 , 1 ) C：( 3 , 4 )
A1：( 1 , 2) B1：( 5 , 1) C1：( 3 , 4 )
对应点的横 对应点的纵坐
坐标相同
标互为相反数
（3）如果点P（m，n）在△ABC内，那么它 在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 (m,-n) .
轴对称(全章知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础
专题13.12轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【知识点二】作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【知识点三】等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用轴对称的性质求值【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P 在四边形ABCD 的内部，且点P 与点M 关于AD 对称，PM 交AD 于点G ，点P 与点N 关于BC 对称，PN 交BC 于点H ，MN 分别交AD BC ，于点E F ，．（1）连接PE PF ，，若12cm MN =，求PEF !的周长；（2）若134C D ∠+∠=︒，求HPG ∠的度数．【答案】(1)12cm (2)134°【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n 边形内角和公式()2180n -⋅︒．（1）根据轴对称性质得到，PE ME =，PF NF =，得到PEF !的周长等于线段MN 的长度，为12cm ．（2）根据轴对称性质得到，PM AD ⊥，90PGA ∠=︒，PN BC ⊥，90PHB ∠=︒，根据四边形ABCD 内角和为360︒与134C D ∠+∠=︒，得到226A B ∠+∠=︒，根据五边形ABFPE 内角和为540︒，得到134HPG ∠=︒．解：（1）如图，∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PE ME =，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PF NF =，∵12ME EF FN MN ++==，∴PEF !的周长为12cm ．（2）解：∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PM AD ⊥，即90PGA ∠=︒，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PN BC ⊥，即90PHB ∠=︒，∵360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒，134C D ∠+∠=︒，∴226A B ∠+∠=︒，∵540A B PHB HPG PGA ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴134HPG ∠=︒．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，将ABC V 沿着AC 折叠，使点B 恰好落在CD 上的点B '处，若110BAD ∠=︒，则ACB =∠（）A ．55︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB E '，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接AB '，BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，依据BAC B AC '∠=∠，DAE B AE '∠=∠，即可得出12CAE BAD ∠=∠，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到1902ACB ACB BAD '∠=∠=︒-∠．解：如图，连接BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，AC ∴垂直平分BB '，AB AB '∴=，BAC B AC '∴∠=∠，AB AD = ，AD AB '∴=，又AE CD ⊥Q ，DAE B AE '∴∠=∠，1552CAE BAD ∴∠=∠=︒，又90AEC =︒∠ ，35ACB ACB '∴∠=∠=︒，故选：D ．【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．【答案】36【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明2APF AFP A ∠∠∠==，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．解：APT 与CPT △关于直线PT 对称，A C TA TC APT CPT ∠∠∠∠∴===，，，A APT ∠∠= ，A C APT CPT ∠∠∠∠∴===，FTC C ∠∠= ，22AFP C FTC C A ∠∠∠∠∠∴=+==，180A APF AFP ∠∠∠++=︒ ，5180A ∴∠=︒，36A ∴∠=︒，故答案为：36．【题型2】利用折叠的特征求值【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上；将AED '△沿ED '折叠得到A ED ''△且点A '恰好落在边BC 上．（1）若77BFE ∠=︒，则BFC '∠=．（2）若50A D B '∠='︒，求A EF '∠的度数．【答案】(1)26︒(2)52.5A EF '∠=︒【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键．（1）根据折叠的性质可得EFC EFC '∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC x '∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒列方程，即可解答；（2）根据50A D B '∠='︒可求得EA F '∠，再求出AED '∠和D EA ''∠，利用折叠的性质即可得到D EF '∠，即可解答．解：（1） 四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上，EFC EFC '∴∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC EFC x '∠=∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒可得7777180x ︒++︒=︒，解得26x =︒，故答案为：26︒；（2）解：在A D B '' 中，∵50A D B '∠='︒，90B Ð=°，40D A B ''∴∠=︒，∵点A '恰好落在边BC 上，90D A E A ''∴∠=∠=︒．180904050EA F ∴∠=︒-︒-︒='︒，AD BC ∥ ，50AEA EA F ''∴∠=∠=︒，1252AED A ED AEA ∴︒''''∠=∠=∠=由折叠的性质，知()1180257752D EF DEF ∠=∠=⨯︒-︒=︒'．52.5A EF D EF A ED ∴∠=∠-'='∠''︒．【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E F 、分别在边AB CD 、上，将纸带沿EF 折叠，点A D 、的对应点分别为A ''、D ，若235∠=︒，则1∠的度数为（）A ．62.5︒B ．72.5︒C ．55︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，折叠的性质及平行线的性质，由235∠=︒可得145AEA '∠=︒，再利用折叠的性质求得AEF ∠的度数，然后利用平行线性质即可求得答案，掌握折叠的性质是解题的关键．解：∵235∠=︒，∴18035145AEA ∠=︒-︒='︒，由折叠性质可得，172.52AEF A EF AEA ∠='∠='∠=︒，∵AB CD ∥，∴272.5AEF ∠=∠=︒，故选：B ．【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 和DCB △中，90,,A D AC BD ∠=∠=︒相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若30BED ∠='︒，则BCD '∠的大小为．【答案】22.5︒【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质．证明()ASA ABE DCE ≌，得,ABE DCE BE CE ∠=∠=，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题．解：在ABE 和DCE △中，90A D AE DE AEB DEC ∠==︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE DCE ≌，∴,ABE DCE BE CE ∠=∠=，∴EBC ECB ∠=∠，由翻折可知：,D CE DCE D EC DEC ''∠=∠∠=∠，∵30BED ∠='︒，∴()118030752D EC DEC AEB ∠=∠=∠=︒-︒='︒，∴907515ABE ∠=︒-︒=︒，∴15ABE DCE D CE '∠=∠=∠=︒，∵,75BE CE AEB =∠=︒，∴37.5EBC ECB ∠=∠=︒，∴37.51522.5BCD EBC D CE ∠=∠-∠=︒-︒=''︒，故答案为：22.5︒．【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．（1）试说明AD 垂直平分EF ；（2）若8628ABC AB AC S === ，，，求DE的长．【答案】(1)详见解析(2)4【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌是解题的关键．（1）利用角平分线的性质证明DE DF =，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌，则AE AF ＝，即可证明结论；（2）根据28ABC S =△列式计算即可．解：（1）证明：∵AD 是ABC ABC △△的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．∴DE DF =，在Rt AED △与Rt AFD △中，AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL AED AFD ≌，∴AE AF =，∵DE DF =，∴AD 垂直平分EF ；（2）解：∵DE DF =，∴()11128222ABD ACD S S AB ED AC DF DE AB AC +=⋅+⋅=+= ，∵14AB AC +=，∴4DE =．【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若7AC =，12BC =，则ADC △的周长为（）A ．12B ．14C ．19D ．26【答案】C【分析】由作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得DA DB =，通过等量代换即可求解，本题考查了垂直平分线的判定和性质，解题的关键是：从作图方法中识别出垂直平分线的作法．解：由题意可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，71219ABC C AC AD CD AC CD BD AC BC =++=++=+=+= ，故选：C ．【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF BC ⊥交BC 于F ，8AC =，12BC =，则BF 的长为．【答案】10【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，由线段垂直平分线的性质得EA EB =，由角平分线的性质得EG EF =，由HL 得Rt Rt EFC EGC ≌ 由全等三角形的性质得CF CG =，同理可得BF AG =，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．解：如图，连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，D 为AB 中点，DE AB ⊥，EA EB ∴=，180ACE BCE ∠+∠=︒ ，180ACE ECG ∠+∠=︒，ECG BCE ∴∠=∠，EF BC ⊥ ，EG AC ⊥，EG EF ∴=，在Rt EFC △和Rt EGC 中，CE CE EF EG=⎧⎨=⎩，Rt Rt EFC EGC ∴≌ （HL ），CF CG ∴=，同理可得：Rt Rt BFE AGE ≌ ，BF AG ∴=，BC CF AC CG ∴-=+，128CF CF ∴-=+，解得：2CF =，12210BF ∴=-=，故答案：10．【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，BD 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，15CDG ∠=︒．（1）求证：AD AG =；（2）试判断CDE 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)等边三角形，见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得出CD AB ⊥，30A B ==︒∠∠，AD DB =，进而根据15CDG ∠=︒，得出AGD ADG ∠=∠，根据等角对等边即可得证；（2）根据EF 是BD 的垂直平分线，得出DE EB =，根据等边对等角得出30EDB B ∠=∠=︒，进而得出60DCE CDE ∠=∠=︒，可得CDE 是等边三角形.（1）证明：∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴CD AB ⊥，()1180302A B ACB ∠=∠=︒-∠=︒，AD BD =，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∵15CDG ∠=︒，∴9075ADG CDG ∠=︒-∠=︒，∵18075AGD A ADG ∠=︒-∠-∠=︒，∴AGD ADG ∠=∠，∴AD AG =；（2）结论：CDE 是等边三角形．∵EF 垂直平分线段BD ，∴DE EB =，∵30B ∠=︒，∴30EDB B ∠=∠=︒，∴9060CDE EDB ∠=︒-∠=︒，又∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴1602DCB ACB ∠=∠=︒，∴60DCE CDE ∠=∠=︒，∴CDE 是等边三角形．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出72C B ∠=∠=︒即可判断．解：在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，∴18072C A B B ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴ABC V 是等腰三角形，故选：B ．【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BD =，DE AB ⊥于点E ，若4BC =，BDC 的周长为10，则AE 的长为．【答案】3【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得6BD CD +=，从而可得6AB AC ==，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．解：4BC = ，且BDC 的周长为10，1046BD CD ∴+=-=，AD BD = ，6AD DC ∴+=，6AC ∴=，AB AC = ，6AB ∴=，AD DB = ，DE AB ⊥，132AE AB ∴==．故答案为：3．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明CEF △是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)12AC AB =【分析】（1）首先根据条件90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，可证出90B BAC ∠+∠=︒，90CAD ACD ∠+∠=︒，再根据同角的补角相等可得到ACD B ∠=∠，再利用三角形的外角性质可得到CFE CEF ∠=∠，最后利用等角对等边即可得出答案；（2）由线段垂直平分线的性质得到AE BE =，根据等腰三角形的性质得到EAB B ∠=∠，由AE 是BAC ∠的平分线，得到CAE EAB ∠=∠，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：（1）∵90ACB ∠=︒，∴90B BAC ∠+∠=︒，∵CD AB ⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，∴ACD B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∵EAB B CEA CAE ACD CFE ∠+∠=∠∠+∠=∠，，∴CFE CEF ∠=∠，∴CF CE =，∴CEF △是等腰三角形；（2）∵点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，∴AE BE =，∴EAB B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∴2CAB B ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90CAB B ∠+∠=︒，∴30B ∠=︒，∴12AC AB =．【点拨】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，是解题的关键．【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果,,a b c 为三角形的三边长，且满足()()()0a b b c c a ---=，那么该三角形的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题关键．根据()()()0a b b c c a ---=得到a b =或a c =或b c =或a b c ==，从而可以判定该三角形的形状．解：∵()()()0a b b c c a ---=，∴0a b -=或0b c -=或0c a -=或0a b b c c a -=-=-=，解得a b =或a c =或b c =或a b c ==，∴该三角形的形状为等腰三角形或等边三角形，故选：D ．【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接BD ，CE 交于点F ．（1）BD CE 的值为；（2）BFC ∠的度数为︒.【答案】160【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质．（1）根据等边三角形的性质得出AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，再由DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，得出CAE BAD ∠=∠，利用SAS 可证得CAE BAD ≌△△，从而可得出结论；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，再根据AOC BOF ∠=∠，结合三角形内角和即可求解．解：（1）∵ABC V 和ADE V 是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，∵DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，∴CAE BAD ∠=∠，∴()SAS CAE BAD △≌△，∴BD CE =，则1BD CE=，故答案为：1；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，∵AOC BOF ∠=∠，AOC ACE BAC BOF ABD BFC ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴60CFB BAC ∠=∠=︒，∴60BFC ∠=︒，故答案为：60．【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是边AB 的中点，CH AB ⊥于点H ，CD 平分ACB ∠．（1）求证：CD 平分MCH ∠；（2）过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，求证：CM EM =；（3）AEM △是什么三角形？证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AEM △是等腰直角三角形，证明见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM CM BM ==，由等腰三角形的性质得到CAB ACM ∠=∠，由余角的性质得到CAB BCH ∠=∠，等量代换得到BCH ACM ∠=∠，根据角平分线的性质得到ACD BCD ∠=∠，即可得到结论；（2）根据EM AB ⊥，CH AB ⊥，得到EM AB ∥，由平行线的性质得到HCD MED ∠=∠，由于HCD MCD ∠=∠，于是得到MCD MED ∠=∠，即可得到结论；（3）根据CM EM =，AM CM BM ==，于是得到EM AM BM ==，由EM AB ⊥，推出AEM △是等腰直角三角形．（1）证明：Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是AB 边的中点，AM CM BM ∴==，CAB ACM ∴∠=∠，90CAB ABC ∴∠=-∠，CH AB ⊥ ，90BCH ABC ∴∠=-∠，CAB BCH ∴∠=∠，BCH ACM ∴∠=∠，CD 平分ACB ∠，ACD BCD ∴∠=∠，ACD ACM BCD BCH ∴∠-∠=∠-∠，即MCD HCD ∠=∠，CD ∴平分MCH ∠；（2）证明：EM AB ⊥ ，CH AB ⊥，∴EM CH ∥，HCD MED ∴∠=∠，HCD MCD ∠=∠ ，MCD MED ∴∠=∠，CM EM ∴=；（3）解：AEM △是等腰直角三角形，CM EM = ，AM CM BM ==，EM AM BM ∴==，EM AB ⊥ ，AEM ∴△是等腰直角三角形．【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，CD AB ⊥于点D ，若1BD =，则AD 的长度为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键．由含30︒角的直角三角形的性质可分别求得BC 和AB 的长，进而求得AD 的长．解：∵在ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，∴=60B ∠︒，∵CD AB ⊥，∴30BCD ∠=︒，∴在Rt BCD △中，22BC BD ==，∴在Rt ABC △中，24AB BC ==，∴413AD AB BD =-=-=．故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是CAB △的平分线，DE 垂直平分AB ，若3CD =，则BD =．【答案】6【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、30︒所对的直角边是斜边的一半，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得30B CAD DAB∠=∠=∠=︒，在Rt ACD△中，根据直角三角形的性质可求得AD，则可得出BD的长．解：DE垂直平分AB，DA DB∴=，B DAB∴∠=∠，AD平分CAB∠，CAD DAB∴∠=∠，90C∠=︒，390CAD∴∠=︒，30CAD∴∠=︒，26AD CD∴==，6BD AD∴==．故答案为：6．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABCV中，D是AC的中点，CE AB⊥，BD与CE交于点O，且BE CD=．下列说法错误的是（）A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点EB．3BDC ABD∠=∠C．当E为AB中点时，ABCV是等边三角形D．当E为AB中点时，34BOCAECSS=△△【答案】D【分析】连接DE ，根据CE AB ⊥，点D 是AC 的中点得12DE AD CD AC ===，则BE DE =，进而得点D 在线段BD 的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设ABD α∠=，根据BE DE =得EDB ABD α∠=∠=，的2AED EDB ABD α∠=∠+∠=，再根据DE AD =得2A AED α∠=∠=，则3BDC A ABD α∠=∠+∠=，由此可对选项Ｂ进行判断；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE 是线段AB 的垂直平分线，由此得AC BC =，然后根据12BE AB =，12CD AC =，BE CD =得AB AC =，由此可对选项Ｃ进行判断；连接AO 并延长交BC 于F ，根据ABC V 是等边三角形得30OBC OAC ∠=∠=︒，则OA OB =，进而得2OB OF =，3AF OF =，由此得12OBC S BC OF ∆=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．解：连接DE ，如图1所示：CE AB ⊥ ，点D 是AC 的中点，DE ∴为Rt AEC △斜边上的中线，12DE AD CD AC ∴===，BE CD = ，BE DE ∴=，∴点D 在线段BD 的垂直平分线上，即线段BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点E ，故选项A 正确，不符合题意；设ABD α∠=，BE DE = ，EDB ABD α∴∠=∠=，2AED EDB ABD α∴∠=∠+∠=，DE AD = ，2A AED α∴∠=∠=，3BDC A ABD α∴∠=∠+∠=，即3BDC ABD ∠=∠，故选B 正确，不符合题意；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE AB ⊥ ，CE ∴是线段AB 的垂直平分线，AC BC ∴=，12BE AB = ，12CD AC =，BE CD =，AB AC ∴=，AC BC AB ∴==，ABC ∴ 是等边三角形，故选C 正确，不符合题意；连接AO ，并延长交BC 于F ，如图2所示：当E 为AB 中点时，点D 为AC 的中点，∴根据三角形三条中线交于一点得：点F 为BC 的中点，当E 为AB 中点时，ABC V 是等边三角形，60ABC BAC ∴∠=∠=︒，AF BC ⊥，AF 平分OAC ∠，BD 平分ABC ∠，30OBC OAC ∴∠=∠=︒，OA OB ∴=，在Rt OBF △中，2OB OF =，2OA OB OF ∴==，3AF OA OF OF ∴=+=，12OBC S BC OF ∆∴=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，∴13OBC ABC S S ∆∆=，故选项D 不正确，符合题意．故选：D ．【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在ABC V 中，5030B C ︒∠∠=︒=，，A 是高，以点A 为圆心，A 长为半径画弧，交AC 于点E ，再分别以B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部交于点F ，作射线AF ，则DAF ∠=．【答案】10︒/10度【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出AF 平分BAC ∠，然后利用三角形内角和定理求解即可．解：因为5030B C ∠=︒∠=︒，，所以1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，根据题意得：AF 平分BAC ∠，所以1502BAF BAC ∠==︒，因为AD 为高，所以90BDA ∠=︒，所以180509040BAD ∠=︒-︒-︒=︒,所以504010DAF BAF BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：10︒．2、拓展延伸【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰ABC V 中，CA CB =，30B ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒、30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当P 运动到AB 中点时，α=__________度；（2）当45α=︒时，请写出图中所有的等腰三角形（ABC V 除外）__________．（3）在点P 的滑动过程中，当PCD △的形状是以PC 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（PMN 除外）．不用说明理由．【答案】(1)60；(2)ACP △和PCD △；(3)此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得到CP AB ⊥，求得90BPC ∠=︒，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形的内角和定理得到120BCA ∠=︒，求得1204575ACP ∠=︒-︒=︒，根据等腰三角形的判定定理得到ACP △是等腰三角形，求得PDC PCD ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理得到PCD △是等腰三角形（3）当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到30PCD CPD ∠=∠=︒，即12030α-=°°，推出PBC △是直角三角形，根据三角形的内角和定理得到60CPB ∠=︒，求得603090BPD ∠=︒+︒=︒，于是得到APD △是直角三角形．解：（1）AC BC = ，点P 为AB 中点，CP AB ∴⊥，90BPC ∴∠=︒，30B ∠=︒ ，903060α∴=︒-︒=︒，故答案为：60；（2）CA CB = ，30B ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，120BCA ∴∠=︒，45BCP α∠==︒ ，1204575ACP ∴∠=︒-︒=︒，75APC BCP B ∠=∠+∠=︒ ，ACP APC ∴∠=∠，ACP ∴△是等腰三角形，30CPD ∠=︒ ，45APD ∴∠=︒，75CDP A APD ∴∠=∠+∠=︒，PDC PCD ∴∠=∠，PCD ∴ 是等腰三角形，故答案为：ACP △和PCD △；（3）如图，120ACB ∠=︒ ，120PCD α∴∠=︒-，当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，30PCD CPD ∴∠=∠=︒，即12030α-=°°，90α∴=︒；PBC ∴△是直角三角形，60CPB ∴∠=︒，6030BPD ∴∠=︒+︒，90APD ∴∠=︒，APD ∴ 是直角三角形，综上所述，此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．。
八年级数学上册 期末复习精炼 第十三章 轴对称本章知识梳理课件
第三页，共八页。
考纲要求(yāoqiú)
5. 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定 理：等腰三角形的两个底角相等，底边上的高线、中线及顶 角平分线重合. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个底 角相等的三角形是等腰三角形. 探索等边三角形的性质定理： 等边三角形的各角都等于60°. 探索等边三角形的判定定理： 三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是 等边三角形. 6. 探索并掌握直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如 果(rúguǒ)一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半.
第四页，共八页。
知识 梳理 (zhī shi)
1. 如果一个平面(píngmiàn)图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，这个图形叫做____轴__对__称__图_，形这条直线叫做它的
_对__称__轴__.
(túxíng)
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，
那么这两个图形关于这条直线成_______，这条轴直对线称叫做_______，
第十三章 轴对称 本章 知识梳理 (běn zhānɡ)
第一页பைடு நூலகம்共八页。
思维 导图 (sīwéi)
第二页，共八页。
考纲要求(yāoqiú)
1. 通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质：成轴 对称的两个(liǎnɡ ɡè)图形中，对应点的连线被对称轴垂直平 分.
2. 能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形.
2019-2020人教版八年级数学上册第十三章轴对称复习课件85张
数学
八年级 上册
新课标（RJ）
第十三章 轴对称
章末复习
第十三章 轴对称
章末复习
知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接
章末复习
知识框架
轴对称
等腰三角形
用坐标表 示轴对称
轴对称
章末复习
有关概念 轴 对 线段的垂 称 直平分线
有关性质
轴对称
轴对称图形 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 性质：线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等 判定：与一条线段两个端点距离相等 的点, 在这条线段的垂直平分线上 对应线段相等,对应角相等
相关题 5-3 如图13-Z-14, 已知：△ABC是等腰直角三角形, ∠A=90°, BD平分∠ABC交AC于点D, CE⊥BD, 交BD的延长 线于点E.求证：BD=2CE．
章末复习
证明：如图，延长 BA 和 CE 交于点 M. ∵CE⊥BD, ∴∠BEC＝∠BEM＝90°. ∵BD 平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.
章末复习
专题四 等边三角形与全等三角形的综合应用
【要点指导】等边三角形的性质与判定和全等三角形等知识综合, 为证明线段相等、角相等、线段的倍分问题提供了很好的思路和 理论依据, 此类题难度不大, 但是步骤烦琐, 属于中档题.
章末复习
例4 如图13-Z-7, △DAC, △EBC均是等边三角形, 点A, C, B在同一条 直线上, 且AE, BD分别与DC, EC交于点M, N, 连接MN. 求证：(1)AE=DB； (2)△CMN为等边三角形.
解 如图13-Z-3所示.
章末复习
相关题2 [绥化中考] 如图13-Z-4,在8×8的正方形网格中,每个 小正方形的边长都是1. 已知△ABC的三个顶点都在格点上, 画 出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
八年级数学上册13.1.1轴对称(共21张PPT)
课前准备：
正方形纸片、剪刀.
一、引出新知
二、探究新知
【问题1】如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折 痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到 了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什 么共同的特点吗？
（一）轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就 是它的对称轴. 这时，我们也说这个图形关于这条直线 (成轴）对称．
B
B'
C
C'
N
（四）两个图形成轴对称的性质
思考：如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”…
其他条件不变，前面的结论还成立吗？
M
l
l
A
A'
P
B C
B' C'
N
性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线．(即对称点所连线段被对称 轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段.)
四边形ABCD是轴对称图形
B
3
30°
C
30°
A
3
D
∆ABC ∆ADC
AC垂直平分BD
轴对称图形
课堂小结
轴对称
重要内容 线段的垂直 平分线
概念 性质
两个图形 成轴对称
概念 性质
本节课知识点对应数学课本P58-60
课后作业
完成课本P64-65习题13.1第1、2、3、4、5题．
谢谢!
B
点C'是点C的对称点. 能成轴对称，
B′
那么它们是全
C
C′
等图形吗？
做一做
2.下列每副图形中两个图案是轴对称的吗？如果是，
人教版八年级数学上册《轴对称》PPT优秀课件
3.如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C=35°， 且AB+BH=HC,求∠B的度数。
解：在CH上截取DH＝BH，连接 AD，如图 ∵BH＝DH，AH⊥BC,AH=AH ∴△ABH≌△ADH(SAS)∴AD＝AB
D
∵AB＋BH＝HC，而BH=DH 又∵CD＋DH＝HC ∴AD＝CD ∴∠C＝∠DAC， 又∵∠C＝35° ∴∠B＝∠ADB＝70°．
M
如果两个图形关于某条直线对称，那么 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂 直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应 点所连直线的垂直平分线。
N
做一做 ： 1.（1）图中三角形④与哪些三角形成轴对称？
（2）整个图形是轴对称图形吗？它们共有几 条对称轴？
12
43
（1）1和3 （2）是 2条
2.如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是 △ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两 点，若△ABC的面积为12，求图中阴影部分的 面积之和．
轴对称。
◆ 这条直线叫做对称轴。
◆ 折叠后重合的点叫对应点，也叫对称点。
对比：
定义 联系 区别 注意
轴对称图形
两个图形成轴对称
如果一个平面图形延一条直线折叠 ，直线两旁的部分可以相互重合，
这个图形就叫做轴对称图形
把一个图形沿着某一条直线折 叠，如果它能够与另一个图形 重合，那么称这两个图形关于
这条直线成轴对称
第13章 轴对称
轴对称
目录
01 观察发现 02 得出结论 03 产生思考 04 再得结论 05 练习巩固 06 头脑风暴
观察这些图像有什么共同特点？
结论：如果一个平面图形延 一条直线折叠，直线两旁的 部分可以相互重合，这个图
精品 八年级数学上册 轴对称综合题讲义+练习
第05课轴对称图形知识点轴对称图形：如果一个图形沿一条直线，直线两旁的部分能够，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做 .折叠后重合的点是对应点，叫做 .轴对称变换：由一个平面图形得到它的图形叫做轴对称变换.线段的垂直平分线的画法：线段的垂直平分线性质及判定：定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
性质：判定：例1.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CE⊥AB 于E,AD=AC,AF 平分∠CAE 交CE 于F．求证:FD∥CB。
例2.如图，△ABC 中，∠BAC=900，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E，直线CE 交BA 的延长线于F．求证：BD=2CE．例3.如图，在直线 CD上有一动点 P，P在 CD上从右往左运动的过程中，找出:(1)点P 到A、B 距离之和最小时的位置；(2)点P 到A、B 距离相等时的位置；(3)点P 到A、B 的距离之差最大时P 的位置。
例4.如图，已知A点在∠MON内部，OM、ON上分别有一点B、C，连接AB、AC、BC，若△ABC周长最小，请您设计方案。
例5.如图，已知A、B两点在∠MON内，在平面内找一点P，同时满足两个条件：（1）点P到∠MON两边距离相等；（2）点P到点A、B两点距离相等。
请您设计作图方案。
例6.如图，△ABC中，D为AC中点，P在边BC上为一动点，若PA+PD值最小，请您作出设计方案。
例7.如图，已知长方形ABCD，点P在BC上为一动点，若PA+PD和最小，请您写出作图方案。
例8.如图，正方形ABCD，E在CD上，P点在对角线AC上为一动点，若PD+PE和最小，请您写出作图方案。
例9.如图，等腰梯形ABCD，对称轴EF，点P在EF上为一动点，若PA+PB和最小，请您写出作图方案。
例10.如图，圆O上两点C、D，点P在直径AB上为一动点，若PC+PD和最小，请您写出作图方案。
八年级数学上第13章《轴对称》期末复习课件
折叠（对折）
这条直线就是
对称轴
1.轴对称图形的定义： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的
图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做__对__称__轴。
图(1)能与图(2)重合吗？
这条直线也是
___对_称__轴___
2.两个图形 关于某直线对称：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形 重合，那么我们就说这两个图_____关__于__这__条__直__线__对_。称
A
图中有哪些等腰三角形？
解：∠1=720 ∠2=360
2
等腰三角形有：
B
⊿ABC 、⊿ABD 和 ⊿BCD
D 1
C
等边三角形的定义：三条边都相等 的三角形叫做等边三角形。
A
B
C
11.等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个内角都等于60 °
12.等边三角形的判定：
判定1：
三个角都相等的三角形是 等边三角形。
判定2：
有一个角是 60°的等腰三角形是 等边三角形。
13.用法归纳
1、等腰三角形的判定方法有下列几 种：1定义 2判定定理 。
2、等边三角形的判定方法有以下几
种：1定义 2判定1 3判定2
。
3、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是 条件和结论刚好相反 。
4、运用等腰三角形的判定定理时，应注 意 在同一个三角形中。
(D)
特殊的轴对称图形:
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯 形和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不 止一条
1.找到一组对应点， 2.画出以这两点为顶点的线段的垂直 平分线。
练习４：如图，已知△ABC和直线 ，作出与△ABC 关于直线 对称的图形。
八年级数学上册《轴对称》讲义
轴对称知识点一、轴对称图形轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.知识点二、轴对称1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形与轴对称的区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形.知识点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．知识点四、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.类型一、轴对称变换1.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点坐标分别为(1,6)A -，(5,3)B -，(3,1)C -．（1）ABC ∆关于y 轴对称的图形△111A B C （其中1A ，1B ，1C 分别是A ，B ，C 的对称点），请写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）若直线l 过点(1,0)，且直线//l y 轴，请在图中画出ABC ∆关于直线l 对称的图形△222A B C （其中2A ，2B ，2C 分别是A ，B ，C 的对称点，不写画法），并写出点2A ，2B ，2C 的坐标．类型二、线段垂直平分线知识点① 线段垂直平分线的性质2. 如图，已知ABC ∆，AB 、AC 的垂直平分线的交点D 恰好落在BC 边上．（1）判断ABC ∆的形状；（2）若点A 在线段DC 的垂直平分线上，求AC BC的值．知识点② 线段垂直平分线的判定3. 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，BE CD =，且BD 与CE 相交于点O ，求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．类型三、利用轴对称的性质求图形的面积4. 在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点A 关于BC 边的对称点为A '，点B 关于AC 边的对称点为B '，点C 关于AB 边的对称点为C '，若1ABC S ∆=，求A B C S '''．类型四、“将军饮马”问题5. 如图，点P、Q为MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形PABQ的周长最小．类型五、角平分线与线段垂直平分线的综合6. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB于点F，交BC的延长线于E（1）在图①中，连接DF，证明DF//AC（2）在图①中，连接AE，证明∠EAC=∠B（3）如图②，若线段CD上存在一点M，使∠MPD=∠ACD，AM与EF交于点P，连接DP 并延长与AC交于点N，求证：AN=DM.①②【复习巩固】一．选择题（共7小题）1．如图，ABC ∆中，D 点在BC 上，将D 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，求EAF ∠的度数为何？( )A ．113︒B ．124︒C ．129︒D ．134︒2．如图所示，在四边纸片ABCD 中，//AD BC ，//AB CD ，将纸片沿EF 折叠，点A ，D 分别落在A '，D '处，且A D ''经过点B ，FD '交BC 于点G ，连接EG ，若EG 平分FEB ∠，//EG A D ''，80D FC '∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒3．如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，下列判断错误的是( )A ．AM BM =B ．AP BN =C ．M AP M BP ∠=∠D ．ANM BNM ∠=∠4．如图，在ABC ∆中，AB 边的中垂线DE ，分别与AB 边和AC 边交于点D 和点E ，BC 边的中垂线FG ，分别与BC 边和AC 边交于点F 和点G ，又BEG ∆周长为16，且1GE =，则AC 的长为( )A ．13B ．14C ．15D ．165．如图，50∠的平分线BE交AD于点E，连接∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABCABC∠的度数是()EC，则AECA．115︒B．75︒C．105︒D．50︒6．如图，四边形ABCD中，AB AD=，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若110∠=︒，BAD则ACB∠的度数为()A．40︒B．35︒C．60︒D．70︒7．如图，P是AOB∠两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰∠外的一点，M，N分别是AOB好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上．若 2.5PN=，PM=，3 MR=，则线段QN的长为()7A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二．解答题（共3小题）8如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA PB+的值最小，画出图形并证明．9．如图，OBC ∆中，BC 的垂直平分线DP 交BOC ∠的平分线于D ，垂足为P ．（1）若60BOC ∠=︒，求BDC ∠的度数；（2）若BOC α∠=，则BDC ∠= （直接写出结果）．10．如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．（1）若60A ∠=︒，24ABD ∠=︒，求ACF ∠的度数；（2）若5BC =，:5:3BF FD =，10BCF S ∆=，求点D 到AB 的距离．。
人教八年级数学上册《全等三角形》、《轴对称》知识要点归纳
第十一章《全等三角形》知识要点归纳一、知识网络二、基础知识梳理 1、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。
2、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理A B C D E F 中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEAB DEF(SSS) ABC ∆∆∴≌ A B C D EF中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EF BC E B DE AB DEF(SAS) ABC ∆∆∴≌ AB CDE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB D A（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
注意：①全等三角形问题中，找准对应点，对应边，对应角。
（突出对应） ②题中已知平移、翻折、旋转相当已知全等；③判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
④要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
⑤要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
其中：一般三角形有四 种判定方法 。
直角三角形有五 种判定方法。
3、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上DEF(ASA)ABC ∆∆∴≌ A B C DE F中和在DEF ABC ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC E B D A DEF(AAS)ABC ∆∆∴≌ A C BEFD中和在DEF Rt ABC Rt ∆∆⎩⎨⎧==DF AC DE AB )HL (DEF Rt ABC Rt ∆∆∴ ≌ ·ADP COB角平分线的性质）平分PD(PC OAPD OB PC AOB OP =∴⊥⊥∠ ·ADP CBAOB∠∠=∠∴=⊥⊥平分或：角平分线的判定）OP BOP(AOP PD PC OA PD OB PC注：①性质与判定都是由三个条件推出一个结论，要正确应用； ②会用尺规做一个角的平分线，依据为“边边边”。
初中数学八年级上册轴对称知识讲解
轴对称
图形
长方形 正方形 平行四边 形 梯形 圆形
形状
是否轴对称图形 对称轴的数 量(条)
是
2
是
4
不是
-----
是
1
是
无数
轴对称
对称轴问题 （1）有些轴对称图形的对称轴只有一条， 但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的 轴对称图形的对称轴甚至有无数条。 （2）对称轴通常画成虚线，是直线，不能画 成线段。
练一练
下面各题的判断是否正确。
（1）轴对称图形必有对称轴 。
（）
（2）轴对称图形至少有一条对称轴 。 （ ）
（3）关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合。 （）
（4）两个完全互相重合的图形必是轴对称 。（ ）
思考 想一想：0-9十个数字中，哪些是
轴对称图形？（抢答）
01234
56789
思考 想一想：下面，哪些是轴对称图形？
轴对称的定义
1.把_______沿着某一条直线折叠,如果 它能够与_____图形____,那么就说这 两个图形______________或者说这两 个图形成轴对称。
2.同样,我们把这条直线叫做______. 3.折叠后重合的点是对应点,叫做______.
轴对称
பைடு நூலகம்
对称点
D
A A′ D′
B C
B′ C′
对称，点A′,B′,C′分别是点A，B，C 的对称点，线 段AA′，BB′，CC′与直线MN 有什么关系？
M
A
A′
追问1 你能说明其中
P
的道理吗？
B
B′
C
C′
N
轴对称
思考 想一想：找出三角形的对称轴？
苏教版八年级数学上册轴对称讲义
轴对称重难点易错点解析题面：下列选项正确的是( )A.轴对称图形和两个图形成轴对称的含义是一样的B.若两个图形全等，则它们一定关于某条直线对称C.两个成轴对称的图形对应点到对称轴的距离相等D.等腰三角形只有一条对称轴轴对称vs. 成轴对称两个成轴对称的图形对应点到对称轴的距离相等几类典型问题：坐标系中的轴对称、将军饮马、折叠问题、设计图案金题精讲题一题面：如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D 点分别落在点C1、D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为 .A EC1题二题面：某学校要在校园内一块正方形的园地上种植四种不同的植物，对该正方形的设计要求如下：(1)四种植物各自所占的图形必须全等；(2)最终图形必须为轴对称图形.某同学按照要求设计出了如下两种方案，请你再设计两种不同的种植方案.思维拓展题面：小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是从左至右第_____个.讲义参考答案重难点易错点解析答案：C金题精讲题一答案：20°题二答案：略思维拓展答案：4考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k ＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠214．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x、y，根据题意得x＋y＝8，所以矩形的周长为2(x＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k－1)2－4(k2＋3)>0，即－4k－11>0，∴k<－114，令其两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x21＋x22＝52，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝25，∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25，∴k2－2k－15＝0，∴k1＝5，k2＝－3，∵k<－114，∴k＝－3, ∴把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。
八年级数学上册“第十三章轴对称”必背知识点
八年级数学上册“第十三章轴对称”必背知识点一、轴对称与轴对称图形的定义1. 轴对称：如果两个图形关于某一条直线对称，那么这两个图形就叫做关于这条直线的轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
2. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
二、轴对称的性质1. 对应点性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2. 对应线段与对应角：轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
三、线段的垂直平分线1. 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
四、坐标表示轴对称1. 关于x轴对称：点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)。
2. 关于y轴对称：点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y)。
五、等腰三角形与等边三角形的性质1. 等腰三角形：性质：等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 （三线合一）。
判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
2. 等边三角形：性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°；等边三角形具有等腰三角形所有的性质。
判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
六、特殊线段的性质1. 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
2. 三角形三条边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
人教版八年级数学上册第13章轴对称(复习课)课件
B
A
C B1
P
C1
O
A1
x
并直接写出P点的坐标：
A1
2.在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m的值
分别为（ C ）
A. 3，-2
B. -3，-2
C. 3，2
D. -3，2
考点4.等腰三角形的性质及判定
顶角
1.性质
腰
腰
(1)两腰相等;
底角
底角
底边
(2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;
(3)两个__底__角___相等，简称“等边对等角”;
(4)_顶__角__平__分__线__、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
A
2.判定
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;
B
D
C
(2)如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简写成“__等__角__对__等__边__”）.
考点3.平面直角坐标系中轴对称
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为 (x,-y) . 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为 (-x,y) .
关于谁对称谁不变
点（x, y）关于原点对称的点的坐标为 (-x,-y) .
常见题型
y
1 按要求完成作图： (1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，
为_6__．
3.如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直
平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_4_5__°．
4.已知△ABC，∠BAC=110°，DE，FG分别是AB，AC的垂直 平分线且DE交BC于M点，FG交BC于N点，求∠MAN的度数。
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全等三角形复习一．知识点：1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 含义：形状相同，大小相等. 2．符号：“≌”3．对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点4．全等三角形的性质：全等三角形的对应角 ，对应边 .5．全等三角形的判定：1.判定两个三角形全等的方法有：⑴________________________________________的两个三角形全等(SSS )． ⑵________________________________________的两个三角形全等(SAS )． ⑶________________________________________的两个三角形全等(ASA )． ⑷________________________________________的两个三角形全等(AAS AAS)．2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_______________________的两个直角三角形全等(HL )．例题：1.如图已知ABC ∆的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和A B C ∆全等的图形是( )．A.甲和乙 B ．乙和丙 C.只有乙 D.只有丙2.如图，在ABC ∆和DEF ∆中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确．．的命题，并加以证明． ①DE AB =，②DFAC =，③DEFABC∠=∠，④CFBE=．3.如图，OB OA =，OD OC =，︒=∠=∠90COD AOB .猜想线段AC 、BD 的关系，并说明理由.6．角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种方法）几何符号语言：∵21∠=∠ OAPD⊥ OBPE⊥ ∴PE PD =例题：如图，OP 平分AOB ∠，OAPD⊥于D ，OB PE ⊥于E ，F 为OP上一点，连接DF 、EF .求证：⑴EPO DPO ∠=∠ ⑵DF =EF7.角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（证明两角相等的一种方法）几何符号语言：∵ OAPD⊥ OBPE⊥ PE PD =∴点P 在POB ∠的平分线上.注：三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等.例题：如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90B A ，EC 平分BCD ∠交AB 于E ，且BEAE =，求证：DE 平分CDA ∠8.全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．D CBAEDF CBACBPQBA4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点， 试比较BE+CF 与EF 的大小.例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.应用：1、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图，A B C ∆中，AB=2AC ，AD 平分B A C ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD3、如图，已知在A B C 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是B A C ∠，A B C ∠的角平分线。
求证：BQ+AQ=AB+BPCBADCBA4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用：三、平移变换例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ， 且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=ODED CB ABAFCB2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长. 应用：1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。
请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
五、旋转例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.例2 D 为等腰R t A B C ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。
（1） 当M D N ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。
（2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积。
例3 如图，A B C ∆是边长为3的等边三角形，B D C ∆D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为 ；作业：1. 如图, ABC ∆≌ADE ∆，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G,105=∠=∠AED ACB , 25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数.EDGFC BA(第23题图)OPAMN EB CDF 图①图② CD2． 如图，AB=AC,BE 和CD 相交于P ，PB=PC,求证：PD=PE.3．如图，在ABC ∆中,M 在BC 上，D 在AM 上，AB=AC , DB=DC 。
求证：MB=MC4.如图,AD 与BC 相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：DBA CAB ∠=∠5.如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于F 求证：ABE ∆≌FCE ∆6.如图，在ABC ∆中，AB=AC ，D 、E 分别在BC 、AC 边上。
且B ADE ∠=∠,AD=DE 求证：ADB ∆≌DEC ∆.7．如图，在ABC △中，90C ∠= ，AD 平分C AB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线A B 的距离是 cm ．8．如图，已知A O B ∠和射线O B ''，用尺规作图法作A O B AO B '''∠=∠（要求保留作图痕迹）．9．已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，A B⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AB ＝DE ，BF ＝CE 。
求证：（1）△ABC ≌△DEF ；（2）GF ＝GC 。
10、已知四边形A B C D 中，A B A D ⊥，BC C D ⊥，A B B C =，120ABC =∠，60MBN =∠，M B N ∠绕B 点旋转，它的两边分别交A D D C ，（或它们的延长线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转BDA OBB 'O '到A E C F =时（如图1），易证AE C F EF +=．当M B N ∠绕B 点旋转到A E C F ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段A E C F ，，E F 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．11、（西城09年一模）已知为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.12、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为A B C 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ ；（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．（图1） A BCDEFMN （图2）A （图3）A BC DE F MN。