2020中考数学复习微专题：最值(“胡不归”问题)
2020年九年级数学中考复习专题：胡不归和阿氏圆问题 教案设计(无答案)
2020年中考复习专题：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2+BCV1的值最小【问题分析】AC V2+BCV1=1V1(BC+V1V2AC)，记k=V1V2，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CHAC=k，CH＝kAC.将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是上的一个动点，则CD+√55【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于的一动点，则PB+√32【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√33x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【2018重庆中考】抛物线y=−√66x2−2√33x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。
2024专题4.3圆---利用“胡不归”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
F
由勾股定理可求得OD= 2 ,∴ D(0, 2 )
B
4
4
D
D
O
C
x
典例精讲
胡不归模型
知识点一
【例3】如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,△ABC=150º,
则线段AP+BP+PD的最小值为___.
E
A
M
F
D
P
C
B
解析：根据对称性,AP+BP+PD=AP+2PB=2(0.5AP+PB),所以只需求0.5AP+PB
胡不归模型
知识点一
“已知在驿道和沙砾道行走的速度分别为v1和v2,显然v1＜v2,在BC上求
一定点D,使从点A至点D、再从点D至点B的行走时间最短”
不妨假设在AD上行走的速度为1个单位长度/s,在BD上行走的速度为2
A
个单位长度/s,总共用时为：t= AD1+D1H=AD1+BD1sin30º
第一步：在速度快的线段与起点相异的一侧,
1
AF
DF
点M运动的时间为
2
9
1
AF
DF
的最小值.
.即求
2
9
接下来问题便是如何构造DF/2,考虑BD与x轴夹角
y
为30º,且DF方向不变,故过点D作DM∥x轴,过点F
作FH⊥DM交DM于H点,则任意位置均有FH=DF/2.当
9
D
H
M
F F
A、F、H共线时取到最小值,根据A、D两点坐标可
专题10 最值模型-胡不归问题(解析版)
专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）V 12V 1驿道砂石地ABCV 2V 1MNCBA1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CHk AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
2020重庆中考复习数学几何最值专题训练十三（胡不归和阿氏圆问题含答案..
2020重庆中考复习数学几何最值专题训练十三（含答案解析）---胡不归和阿氏圆问题例1、（2019•定远县二模）如图：在矩形ABCD 中，AB ＝1．BC ＝，P 为边AD 上任意一点，连接PB ，则PB +PD 的最小值为（ ） A ．+B ．2C ．D ．练习：1、如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝4，点M 为菱形ABCD 对角线AC （不含A 点）上的任意 一点，则BM +AM 的最小值为 ．MACBD2、（2019•南通）如图，ABCD Y 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB +PD的最小值等于 ．例2、（2019秋•金牛区校级期中）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，延长BC 至D 使CD ＝BC ，连接AD ，且AD ＝4，点P 为线段AC 上一动点，连接BP ．则2BP +AP 的最小值为 ．练习：（2016秋•武侯区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝ BC，连接AD．若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP．则EP+AP 的最小值为 ；2BP+AP的最小值为 ．例3、如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB＝8 时，则CD+OD的最小值为 ．练习：1、如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C交AB的延长线于点E．设点D是弦AC上任意一点（不含端点），若∠CEA＝30°，BE＝4，则CD+2OD的最小值为（ ）A．2 B． C．4 D．42、（2015秋•天河区期末）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB＝8时，则CD+OD的最小值为 ．3、（2018秋•新罗区校级月考）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且⊙O的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为 时，则⊙O的直径AB的长为 ．4、（2015•内江）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，则⊙O 的直径AB的长为 ．例4、（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ ）A．2 B．4 C．5 D．10例5、（2019•路桥区一模）如图，在扇形OCD 中，∠COD ＝90°，OC ＝3，点A 在OD 上，AD ＝1，点B 为OC 的中点，点E 是弧CD 上的动点，则AE +2EB 的最小值是 ．例6、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则223CM AM ''+的最小值为例7、（2018秋•惠山区校级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为 ．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P 是上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．练习：1、（2019•清江浦区一模）问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 ．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2P A+PB的最小值．2、（2019•宝鸡模拟）问题提出：（1）如图①，已知线段AB和BC，AB＝2，BC＝5，则线段AC的最小值为 ；问题探究（2）如图②，已知扇形COD中，∠COD＝90°，DO＝CO＝6，点A是OC的中点，延长OC到点F，使CF＝OC，点P是上的动点，点B是OD上的一点，BD＝1．（i）求证：△OAP～△OPF；（ii）求BP+2AP的最小值；问题解决：（3）如图③，有一个形状为四边形ABCD的人工湖，BC＝9千米，CD＝4千米，∠BCD＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P，且BP＝3千米，为方便游客观光，从C、D分别建小桥PD，PC．已知建桥PD每千米的造价是3万元，建桥PC每千米的造价是1万元，建桥PD和PC的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P的位置并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．（桥的宽度忽略不计）答案解析例1、（2019•定远县二模）如图：在矩形ABCD 中，AB ＝1．BC ＝，P 为边AD 上任意一点，连接PB ，则PB +PD 的最小值为（ ） A ．+B ．2C ．D ．解：如图，连接BD ，在矩形ABCD 中，AB ＝DC ＝1．BC ＝，∴tan ∠DBC ＝＝，∴∠DBC ＝30°，作∠DBN ＝∠DBC ＝30°，过点D 作DM ⊥BN 于点M ，BN 交AD 于点P ． ∴∠MDB ＝60°，∵AD ∥BC ，∴∠PDB ＝∠DBC ＝30°，∴∠MDP ＝30°，∴PM ＝PD 此时BP +PD ＝BP +PM 最小，最小值为BM 的长，∵∠MBD ＝∠CBD ，∠BMD ＝∠C ＝90°，BD ＝BD ，∴△BMD ≌△BCD （AAS ），∴BM ＝BC ＝∴PB +PD 的最小值为．故选：C ．练习：1、如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝4，点M 为菱形ABCD 对角线AC （不含A 点）上的任意 一点，则BM +AM 的最小值为 2．MAC BDMACBD E解：连接BD ，作BE ⊥AD 于E ，当B 、M 、E 在同一条直线上时，BM +ME 的值最小； ∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，BE 是AD 边上的中线，∴AE ＝DE ＝AB ＝2， ∵∠DAC ＝30°，∴ME ＝AM ，∴BM +AM 的最小值BE ＝＝2；Y中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD 2、（2019•南通）如图，ABCD的最小值等于 3 ．解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD ∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝∴EP＝PD∴PB+PD＝PB+PE，∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A＝＝∴BE＝3例2、（2019秋•金牛区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D 使CD＝BC，连接AD，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP+AP的最小值为 4 ．解：如图中，作PF⊥AD于F，BF′⊥AD于F′，交AC于P′．∵∠P AF＝30°，∠PFPFA A＝90°，∴PF＝P A，∴2BP+AP＝2（PB+P A）＝2（PB+PF），∴当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB+PF最短，最小值为线段BF′，在Rt△DF′B中，∵∠D＝60°，DB＝4，∴EF′＝EB•sin60°＝2，∴2BP+AP的最小值为4，练习：（2016秋•武侯区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝ BC，连接AD．若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP．则EP+AP 的最小值为 ；2BP+AP的最小值为 ．解：①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．∵∠P AF＝30°，∠PFPFA A＝90°，∴PF＝P A，∴PE+P A＝PE+PF，∴当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE+PF最短，最小值为线段EF′，在Rt△EF′B中，∵∠B＝60°，EB＝3，∴EF′＝EB•sin60°＝，∴EP+AP的最小值为． ②如图2中，作PF⊥AD于F，EF′⊥AD于F′，交AC于P′．∵∠P AF＝30°，∠PFPFA A＝90°，∴PF＝P A，∴2BP+AP＝2（PB+P A）＝2（PB+PF）， ∴当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB+PF最短，最小值为线段BF′，在Rt△DF′B中，∵∠D＝60°，DB＝4，∴EF′＝EB•sin60°＝2，∴2BP+AP的最小值为4．例3、如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB＝8 时，则CD+OD的最小值为 ．解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图2所示，则∠AOF＝∠COF＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，CD+OD =DH+FD最小，∵OF＝OA＝4，∴此时FH＝DH+FD＝OF•sin∠FOH＝4×＝6，即CD+OD的最小值为6． 练习：1、如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C交AB的延长线于点E．设点D是弦AC上任意一点（不含端点），若∠CEA＝30°，BE＝4，则CD+2OD的最小值为（ ）A．2 B． C．4 D．4解：如图，作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，∵CE切⊙O于点C，∴∠OCE＝90°， 又∵∠CEA＝30°，∴∠AOC＝120°，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°． ∵BE＝4，∴2OC＝OB+BE，即2OC＝OC+4，则OC＝4，即圆的半径为4，∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时CD+2OD＝2（DH+FD），∵FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝2，∴CD+2OD＝2（DH+FD）＝2FH＝4，故选：D．2、（2015秋•天河区期末）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB＝8时，则CD+OD的最小值为 ．解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图2所示，则∠AOF＝∠COF＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，CD+OD =DH+FD最小，∵OF＝OA＝4，∴此时FH＝DH+FD＝OF•sin∠FOH＝×4＝2，即CD+OD的最小值为2． 3、（2018秋•新罗区校级月考）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且⊙O的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为 时，则⊙O的直径AB的长为 ．解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，则∠AOF＝∠COF＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，CD+OD =DH+FD最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝4，则OF＝8，AB＝2OF＝16．∴当 CD+OD的最小值为 时，⊙O的直径AB的长为16．4、（2015•内江）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，则⊙O 的直径AB的长为 ．解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．例4、（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（ B ）A．2 B．4 C．5 D．10方法一：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等）） ∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．满足题意．通过三角形相似或三角函数证得从而得到CD +BD ＝CM ＝4．故选：B ．例5、（2019•路桥区一模）如图，在扇形OCD 中，∠COD ＝90°，OC ＝3，点A 在OD 上，AD ＝1，点B为OC 的中点，点E 是弧CD 上的动点，则AE +2EB 的最小值是 2 ．解：如图，延长OC 至F ，使得CF ＝OC ＝3．连结EF ，OE ，∵，∠EOB 为公共角，∴△OBE ∽△OEF ，∴，∴2BE ＝EF∴AE +2BE ＝AE +EF ，即A 、E 、F 三点共线时取得最小值.即由勾股定理得：AF ＝＝. 例6、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则223CM AM ''+的最小值为2373.例7、（2018秋•惠山区校级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB ＝12，⊙C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P 是上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝6，AF＝6∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3，∴AD＝＝3，∴AP+BP的最小值为3（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5，∴AP+PC的值最小值为5，（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴∴PF＝2AP，∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．练习：1、（2019•清江浦区一模）问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 ．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2P A+PB的最小值．解：（1）如图1，连结AD，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为.（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD＝，∴，∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP， ∴，∴PD＝AP，∴AP+BP＝BP+PD，∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．（3）如图3，延长OA到点E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，连接PE、OP，∵OA＝3，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP＝2P A， ∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13．2、（2019•宝鸡模拟）问题提出：（1）如图①，已知线段AB和BC，AB＝2，BC＝5，则线段AC的最小值为 3 ；问题探究（2）如图②，已知扇形COD中，∠COD＝90°，DO＝CO＝6，点A是OC的中点，延长OC到点F，使CF＝OC，点P是上的动点，点B是OD上的一点，BD＝1．（i）求证：△OAP～△OPF；（ii）求BP+2AP的最小值；问题解决：（3）如图③，有一个形状为四边形ABCD的人工湖，BC＝9千米，CD＝4千米，∠BCD＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P，且BP＝3千米，为方便游客观光，从C、D分别建小桥PD，PC．已知建桥PD每千米的造价是3万元，建桥PC每千米的造价是1万元，建桥PD和PC的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P的位置并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．（桥的宽度忽略不计）解：问题提出：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AC有最小值，∴线段AC的最小值＝5﹣2＝3 问题探究（2）（i）∵点A是OC的中点，DO＝CO＝6＝OP，∴∵CF＝OC，∴OF＝2OC＝2OP， ∴,∴，且∠AOP＝∠FOP,∴△OAP～△OPF；（ii）∵△OAP～△OPF,∴,∴PF＝2AP，∵BP+2AP＝BP+PF∴当点F，点P，点B三点共线时，BP+2AP有最小值，最小值为BF，∴DO＝CO＝6，BD＝1∴BO＝5，OF＝12，∴BF＝＝13问题解决：（3）如图，以点B为圆心，3为半径作圆交AB于点E，交BC于点F，点P为上一点，连接BP，PC，PD，在BC上截取BM＝1，连接MD，过点D作DG⊥CB，∵，且∠PBM＝∠PBC，∴△BPM∽△BCP ∴，∴PC＝3PM∵建桥PD和PC的总造价＝3×PD+1×PC＝3PD+3PM＝3（PD+PM）∴当点P在线段MD上时，建桥PD和PC的总造价有最小值．∵∠BCD＝150°∴∠DCG＝30°，且DG⊥BC∴DG＝DC＝2，CG＝DG＝6，∴MG＝BC+CG﹣BM＝9+6﹣1＝14∴MD＝＝4，∴建桥PD和PC的总造价最小值＝3×4＝12万元。
中考数学最值—胡不归问题(解析+例题)
中考数学最值——胡不归问题（点在直线上运动）（PA+k·PB型最值）【历史典故】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为射线AC上一动点。
②问题：P在何处时，BP+nm AP最短（nm＜1）。
③方法：第一步在AC的一侧，PB的异侧构造∠CAE=α，使得sinα=nm 第二步做BH⊥AE，交AC于P，点P就是所求位置，BH就是其最小值。
【模型分析】【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D 选在何处时，所用时间最短?个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标。
【巩固训练】练习1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上BM的最小值为_____。
任意一点，则AM＋12练习2：如图，等腰ΔABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为A0，点D为射线A0上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当 AD= 时，运动时间最短为秒。
中考数学常见几何模型最值模型-胡不归问题
专题10 最值模型---胡不归问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V 的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）V 1V 2V 1驿道砂石地AB C V 2V 1M N CBA1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值. 2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH k AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值. 3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
中考最值专题--“胡不归模型”
中考最值专题--“胡不归模型”【模型识别】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．【问题分析】【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CH/AC=K，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【模型总结】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【掌握重难点】1．“胡不归”之情景再现，模型识别2．本质：“两定一动”型——系数不为1的最值问题处理3．三步处理：①作角；②作垂线；③计算胡不归最值模型典例讲解胡不归模型 巩固训练1．如图，ABC △在平面直角坐标系中，AB =AC ，A （0，22），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为（ ）A .），（20B . ），（220C . ），（320D . ），（422．如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC =6，∠ABC =150°，则P A +PB +PD 的最小值为__________．3. 如图，在ACE △中，CA =CE ， CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上． （1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若ACE △中AE 边上的高为h ，试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径AB ； （3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当21CD +OD 的最小值为6时，求⊙O 的AB 的长．4. 如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+−（k 为常数，k >0）与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +−=33与抛物线的另一个交点为D ． （1）若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数关系式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？5. 如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321+−=x y 交于A 、B 两点，交x 轴于D 、C 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （3，0）．（1）抛物线的函数关系式为____________________，tan ∠BAC =__________；（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位的速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到点A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（－1，0），B（0，－3），C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；1的最小值为__________．（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PDPB+27. 已知抛物线）)(1)(3(≠−+=axxay，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A 的直线bxy+−=3与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为____________________；（2）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒332个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？。
中考数学专题复习几何最值之胡不归知识精讲
中考数学专题复习几何最值之胡不归知识精讲从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。
由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DG⊥AE于点G，则，将转化为DG＋DB，再过点B作BH⊥AE于点H，，则就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小值为BH，，综上，所需时间的最小值为，B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.解决此类问题的一般方法：第一步：将所求的线段和改写成的形式；第二步：构造一个角，使得；第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；第四步：计算.例1：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值.【解析】连接AC，作∠DBE＝∠30º，交AC于点E，过点A作AF⊥BF，垂足为F，如图所示：在Rt△PBF中，∵∠PBF＝30º，的最小值即为线段AF的长。
在△ABF中，∵∠BAE＝45º，∠ABE＝75º，∴∠AEB＝60º，解得，∴AP＋BP＋CP.例2：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED.（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB＝6.①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连结OP，一动点Q从点O出发，以1个单位每秒的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5个单位每秒的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.【解答】（1）见解析；（2【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵AC与BD交于点O，且△COD、△CED关于CD对称，∴DO＝OC，DO＝ED，OC＝CE，∴DO＝OC＝CE＝ED，∴四边形OCED是菱形；（2）①设AE交CD于点K，∵四边形OCED是菱形，∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，∴，又∵AB＝CD＝6，∴DK＝2，CK＝4，在Rt△ADK，。
中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)
中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)在数学中，经典几何模型是考试中经常出现的题型之一。
其中，胡不归最值模型是一种常见的最值问题。
这类问题通常涉及到形如“PA+kP”的式子，可以分为两类问题：胡不归问题和阿氏圆问题。
胡不归问题的故事源于一个少年外出求学，得知父亲病危后，他立即赶回家。
虽然他所在的位置到家的路上有一片砂石地，但他仍然义无反顾地走了这条路。
当他到家时，父亲已经去世了，他深感悔恨并痛哭流涕。
邻居告诉他，父亲在临终前一直念叨着“胡不归？胡不归？……”（“胡”同“何”）。
这个故事启发我们思考如何求解“PA+kP”型问题中的最值。
以胡不归问题为例，我们需要求解一个动点P在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使得AC+BC的值最小，即求BC+kAC的最小值。
为了解决这个问题，我们可以构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CH=kAC。
这样，我们可以将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小。
在解决“PA+kP”型问题时，关键是构造与kP相等的线段，将“PA+kP”型问题转化为“PA+PC”型。
而这里的P必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kP的等线段。
举个例子，如图所示，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值为5.这个问题的关键在于处理“CD+BD”的式子，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，sin ABE⊥AB交AB于H点，则DH=BD/5.通过构造HD，我们可以将问题转化为求CD+CH的最小值，其中CH=kAC，k=sin∠DAN=BD/5.过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即CD+BD的最小值为5.综上所述，胡不归最值模型是一类常见的最值问题。
几何最值之胡不归知识精讲-冲刺2020年中考几何专项复习
几何最值之胡不归知识精讲
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。
由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，
由可得，提取一个得，
若想总的时间最少，就要使得最小，
如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，
作DG⊥AE于点G，则，
将转化为DG＋DB，
再过点B作BH⊥AE于点H DG＋DB的最小值
为BH，
，
综上，所需时间的最小值为，
B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.
解决此类问题的一般方法：
第一步：将所求的线段和改写成的形式；
第二步：构造一个角，使得；
第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；
第四步：计算.
例1：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值.
【解析】连接AC，作∠DBE＝∠30º，交AC于点E，过点A作AF⊥BF，垂足为F，如图所示：。
2020中考专题9——最值问题之胡不归
2020中考专题9——最值问题之胡不归班级姓名.【模型解析】◆条件：A、B 为定点，P 为射线AC 上一个动点◆问题：点P 在何处，AP m n BP +（1<mn）最短。
◆方法：第一步.在AC 的一侧，PB 的异侧，构造∠CAE=α,使得mn=αsin ;第二步.作BH ⊥AE 于点E，交AC 于点P,此时点P 就是所求位置，BH 就是AP mnBP +的最小值.【例题分析】例1.【问题提出】如图①，已知海岛A 到海岸公路BD 的距离为AB ，C 为公路BD 上的酒店，从海岛A 到酒店C ，先乘船到登陆点D ，船速为a ，再乘汽车，车速为船速的n 倍，点D 选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n ＝2，则时间t ＝aCDa AD 2+，当a 为定值时，问题转化为：在BC 上确定一点D ，使得2CDAD +的值最小．如图②，过点C 做射线CM ，使得∠BCM ＝30°．（1）过点D 作DE ⊥CM ，垂足为E ，试说明：2CDDE =；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D ′，并说明理由．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）．【模型运用】（4）如图③，海面上一标志A 到海岸BC 的距离AB ＝300m ，BC ＝300m ．救生员在C 点处发现标志A 处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m /s ，在海中游泳的速度都是2m /s ，求救生员从C 点出发到达A 处的最短时间．2.（2019•南通）如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB +23PD 的最小值等于．例2图例3图例3.（2019•长沙）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tan A ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值是（）A ．2B ．4C ．5D ．10【巩固训练】1.(2018台州仙居县一模）如图1，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°,边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则PC BP +21的最小值是（）A.3B.233 C.3 D.23433+图1图2图32.（2015无锡二模）如图2，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6,∠ABC=150°,则求PA+PB+PD的最小值为.3.如图3,△ABC 在直角坐标系中,AB=AC,A(0,22),C(1,0),D 为射线AO 上一点,一动点P 从A 出发,运动路径为A →D →C,点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D 的坐标应为()A.(0,22)B.(0,22) C.(0,32) D.(0,42)图4图55.（2015内江）如图5，在△ACE 中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当AB=8时，则21CD+OD 的最小值．中，BC=2,∠B=30°，求c bx ++的图象经过点A(-1,0)、图78.（2015日照）如图8，抛物线y=21x 2+mx+n 与直线y=-21x+3交于A，B 两点，交x 轴与D，C 两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠BAC 的值；（3）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？图82020中考专题9——最值问题之胡不归答案例1.解：（1）如图①，∵DE ⊥CM ，∴∠DEC ＝90°，∴在Rt △BCM 中，DE ＝CD •sin30°，∴DE ＝．（2）如图①过点A 作AE ⊥CM 交CB 于点D '，则D '点即为所用时间最短的登陆点．理由如下：由第（1）问可知，D 'E '＝．AD '+最短，即为AD '+D 'E ′最短．由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短．可知此时D '点即为所求．（3）如图②，过点C 做射线CM ，使得sin ∠BCM ＝n1，过点A 作AE ⊥CM ，垂足为E ，交CB 于点D ，则D 即为所用时间最短的登陆点．（4）∵救生员在岸上跑的速度都是6m /s ，在海中游泳的速度都是2m /s ，∴此时sin ∠BCM ＝，可得sin ∠DAB ＝，∴在Rt △ADB 中，AB ＝300，AD ＝225，DB ＝75，CD ＝300﹣75．∴时间为+＝（50+100）s ．例2.解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB ∥CD ∴∠EDP ＝∠DAB ＝60°，∴sin ∠EDP ＝∴EP ＝PD∴PB+PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A＝＝∴BE＝3故答案为3例3.解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．【巩固训练】答案1.解：如图作PM⊥AB于M，CH⊥AB于H．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠PBM ＝∠ABC ＝30°，∴PM ＝PB ，∴PB +PC ＝PC +PM ，根据垂线段最短可知，CP +PM 的最小值为CH 的长，在Rt △CBH 中，CH ＝BC •sin60°＝，∴PB +PC 的最小值为，故选：B ．2.26 3.D4.964 5.32 6.327.【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣x ﹣，∵y ＝x 2﹣x ﹣＝（x ﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时PB +PD 最小．理由：∵OA ＝1，OB ＝，∴tan ∠ABO ＝＝，∴∠ABO ＝30°，∴PH ＝PB ，∴PB +PD ＝PH +PD ＝DH ，∴此时PB +PD 最短（垂线段最短）．在Rt △ADH 中，∵∠AHD ＝90°，AD ＝，∠HAD ＝60°，∴sin60°＝，∴DH ＝，∴PB +PD 的最小值为．故答案为．8.解：（Ⅰ）把A （0，3），C （3，0）代入y ＝x 2+mx +n ，得，解得：．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．如图1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（2）如图,过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°．∴EF＝AE•sin45°＝．∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x＝2代入l AC：y＝﹣x+3．，得y＝1．所以E（2，1）．9.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．∴OD＝OB＝OC＝OA，∵△EDC和△ODC关于CD对称，∴DE＝DO，CE＝CO，∴DE＝EC＝CO＝OD，∴四边形CODE是菱形．（2）①设AE交CD于K．∵四边形CODE是菱形，∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，∴＝＝∵AB＝CD＝6，∴DK＝2，CK＝4，在Rt△ADK中，AK＝＝＝3，∴sin∠DAE＝＝，②作PF⊥AD于F．易知PF＝AP•sin∠DAE＝AP，∵点Q的运动时间t＝+＝OP+AP＝OP+PF，∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，∴OF＝CD＝3．AF＝AD＝，PF＝DK＝1，∴AP＝＝，∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为cm，点Q走完全程所需的时间为3s．。
胡不归最值问题(解析版)
胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sin α=b a 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．ACV 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC ，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【练习】1.如图，AC 是圆O 的直径，AC =4，弧BA =120°，点D 是弦AB 上的一个动点，那么OD +12BD 的最小值为( )A.32B.3C.1+32D.1+3【解答】解：∵BA 的度数为120°，∴∠C =60°，∵AC 是直径，∴∠ABC =90°，∴∠A =30°，作BK ⎳CA ，DE ⊥BK 于E ，OM ⊥BK 于M ，连接OB ．∵BK ⎳AC ，∴∠DBE =∠BAC =30°，在Rt ΔDBE 中，DE =12BD ，∴OD +12BD =OD +DE ，根据垂线段最短可知，当点E 与M 重合时，OD +12BD 的值最小，最小值为OM ，∵∠BAO =∠ABO =30°，∴∠OBM =60°，在Rt ΔOBM 中，∵OB =2，∠OBM =60°，∴OM =OB ⋅sin60°=3，∴12DB +OD 的最小值为3，故选：B ．2.如图，在ΔABC 中，∠A =15°，AB =10，P 为AC 边上的一个动点(不与A 、C 重合)，连接BP ，则22AP +PB 的最小值是( )A.52 B.53 C.1033 D.8【解答】解：如图，以AP 为斜边在AC 下方作等腰Rt ΔADP ，过B 作BE ⊥AD 于E ，∵∠PAD =45°，∴sin ∠PAD =DP AP =22，∴DP =22AP ，∴22AP+PB=DP+PB≥BE，∵∠BAC=15°，∴∠BAD=60°，∴BE=AB sin60°=53，∴22AP+PB的最小值为53．故选：B．3.ΔABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为( )A.4B.3+3C.6D.23+3【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在RtΔDFC中，∠DCF=30°，∴DF=12DC，∵2AD+DC=2AD+12DC=2(AD+DF)，∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B=∠ADB=60°，∴ΔABD是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，在RtΔABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，∴BC=4，∴DC=2，∴DF=12DC=1，∴AF=AD+DF=2+1=3，∴2(AD+DF)=2AF=6，∴2AD+DC的最小值为6，故选：C．4.如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OP的最小值为( )A.4B.5C.25D.35【解答】解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，∴OJ=JB=25，CJ=OC2-OJ2=52-(25)2=5，∴AC=2CJ=25，∵AH⊥OC，∴OC⋅AH=12⋅OB⋅AC，∴AH=12×45×255=4，∴sin∠POF=PFOP=CJOC=55，∴PF=55OP，∴AP+55OP=AP+PF，∵AP+PF≥AH，∴AP+55OP≥4，∴AP+55OP的最小值为4，故选：A．5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=16，∠ABC=60°，D为弧AC的中点，M是弦AC上任意一点(不与端点A、C重合)，连接DM，则12CM+DM的最小值是( )A.43B.33C.23D.4【解答】解：过点M作ME⊥OC于E，过点D作DF⊥OC于F，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=30°，∴ME=12MC，∴12CM+DM=ME+DM，∴ME +DM 的最小值为DF 的长，∵D 为弧AC 的中点，∴∠AOD =∠COD =60°，在Rt ΔODF 中，sin ∠DOF =sin60°=DF OD =32，∴DF =32OD =43，∴12CM +DM 的最小值为：43，故选：A ．6.在ΔABC 中，∠ACB =90°，P 为AC 上一动点，若BC =4，AC =6，则2BP +AP 的最小值为( )A.5B.10C.52D.102【解答】解：以A 为顶点，AC 为一边在下方作∠CAM =45°，过P 作PF ⊥AM 于F ，过B 作BD ⊥AM 于D ，交AC 于E ，如图：2BP +AP =2BP +22AP ，要使2BP +AP 最小，只需BP +22AP 最小，∵∠CAM =45°，PF ⊥AM ，∴ΔAFP 是等腰直角三角形，∴FP =22AP ，∴BP +22AP 最小即是BP +FP 最小，此时P 与E 重合，F 与D 重合，即BP +22AP 最小值是线段BD 的长度，∵∠CAM =45°，BD ⊥AM ，∴∠AED =∠BEC =45°，∵∠ACB =90°，∴sin ∠BEC =sin45°=BC BE ，tan ∠BEC =BC CE，又BC =4，∴BE =42，CE =4，∵AC =6，∴AE =2，而sin ∠CAM =sin45°=DE AE ，∴DE=2，∴BD=BE+DE=52，∴2BP+AP的最小值是2BD=10，故选：B．7.【问题探究】在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AB=2．(1)如图1．E为AD的中点，则点E到AB的距离为 34 ；(2)如图2，M为AD上一动点．则12AM+MC的最小值为 ；【问题解决】如图3，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在距A地 km处．【解答】解：(1)∵ΔABC是等边三角形，∴AB=BC=2，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，BD=1，∴AD=3，过E作EM⊥AB，垂足为M，∵E为AD的中点，∴AE=32，∴EM=12AE=34，故答案为：3 4；(2)如图，作CN⊥AB，垂足为N，此时12AM+MC最小，最小值等于CN，∵在正三角形ABC中，AB=BC=AC=2，CN⊥AB，∴∠ACN=∠BCN=30°，∴AN=12AC=1，由勾股定理得，CN=AC2-AN2=22-12=3，由(1)知，MN=12AM，∴MN+CM=12AM+MC=CN=3，即12AM+MC的最小值为3，故答案为：3；【问题解决】如图，作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于M，则点M即为所求，在RtΔABD中，AB=600km，BD=360km，∴AD=6002-3602=480，易知∠MB D=∠MAF=30°，在RtΔMBD中，∠MB D=30°，BD=360km，则MB=2MD，由勾股定理得MD=1203km，∴AM=AD-MD=(480-1203)km．故答案为(480-1203)．8.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM= 3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是 732 ．【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵四边形ABCD是菱形，AB=AC=10，∴AB=BC=AC=10，∠ABD=∠CBD，∴ΔABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠CBD=30°，∵PE⊥BC，∴PE=12PB，∴MP+12PB=PM+PE，∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，∵AM=3，∴MC=7，∵sin∠ACB=MEMC=3 2，∴ME=732，∴MP+12PB的最小值为732，故答案为73 2．9.如图，直角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，AC=3，BD是∠ABC的平分线，点P是线段BD上的动点，求CP+12BP的最小值 32 ．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠A=30°，BC=1，∠ACB=90°，∴AB=2BC=2，∠ABC=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°，∵PE⊥AB，∴PE=12PB，∴CP+12PB=CP+PE，∴当点P，点C，点E三点共线，且CE⊥AB时，CP+12PB有最小值为CE，∴CE=AC×BCAB=1×32=32，故答案为：3 2．10.如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延长BC至D使CD=BC，连接AD，且AD=4，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP+AP的最小值为 43 ．【解答】解：如图中，作PF⊥AD于F，BF′⊥AD于F′，交AC于P′．∵∠PAF=30°，∠PFA=90°，∴PF=12PA，∴2BP+AP=2PB+12PA=2(PB+PF)，∴当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB+PF最短，最小值为线段BF′，在Rt△DF′B中，∵∠D=60°，DB=4，∴BF′=DB∙sin60°=23，∴2BP+AP的最小值为43，故答案为：43．11.如图，▱ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则PB +32PD 的最小值等于 33 ．【解答】解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB ⎳CD∴∠EDP =∠DAB =60°，∴sin ∠EDP =EP DP =32∴EP =32PD∴PB +32PD =PB +PE ∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ，∵sin ∠A =BE AB=32∴BE =33故答案为：3312.如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x +4的图象分别与y 轴和x 轴交于点A 和点B ．若定点P 的坐标为(0，63)，点Q 是y 轴上任意一点，则12PQ +QB 的最小值为 53 ．【解答】解：过点P 作直线PD 与y 轴的夹角∠OPD =30°，作B 点关于y 轴的对称点B ，过B 点作B E ⊥PD 交于点E 、交y 轴于点Q ，∵B E ⊥PD ，∠OPE =30°，∴QE =12PQ ，∵BQ =B Q ，∴12PQ +QB =QE +B Q =B E ，此时12PQ +QB 取最小值，∵∠OPD =30°，∠POD =90°，∴PD =2OD ，∠ODP =60°，∵P 的坐标为(0，63)，∴PO =63，∴OD 2+(63)2=(2OD )2，∴OD =6，∵直线y =-x +4的图象分别与y 轴和x 轴交于点A 和点B ，∴A (0,4)，B (4,0)，∴OB =4，∴OB =4，∴B D =10，∵B E ⊥PD ，∠ODP =60°，∴∠EB D =30°，∴DE =12B D =5，∴B E =B D 2-DE 2=102-52=53，∴12PQ +QB 取最小值为53，故答案为：53．13.如图，在ΔABC 中，AB =5，AC =4，sin A =45，BD ⊥AC 交AC 于点D ．点P 为线段BD 上的动点，则PC +35PB 的最小值为 165 ．【解答】解：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB =90°，∵sin A =BD AB=45，AB =5，∴BD =4，由勾股定理得AD =AB 2-BD 2=52-42=3，∴sin ∠ABD =AD AB =PE BP =35，∴EP =35BP ，∴PC +35PB =PC +PE ，即点C 、P 、E 三点共线时，PC +35PB 最小，∴PC +35PB 的最小值为CH 的长，∵S ΔABC =12×AC ×BD =12×AB ×CH ，∴4×4=5×CH ，∴CH =165．∴PC +35PB 的最小值为165．故答案为：165．14.如图，在ΔABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，那么：(1)AE = 25 ；(2)CD +55BD 的最小值是 ．【解答】解：(1)∵tan A =2，BE ⊥AC ，∴BE AE=2，∴设BE =2x ，AE =x ，∴x 2+(2x )2=102，∴x =25(负值舍去)，∴AE =25，故答案为25；(2)作DF ⊥AB 于F ，CH ⊥AB 于H ，∵AE =25，AB =10，∴AE AB=2510=55，∴sin ∠ABD =DF BD =55，∴DF =55BD ，∴CD +55BD =CD +DF ，要想CD +DF 最小，只要C 、D 、F 三点共线，即最小值为CH ，∵AB =AC ，根据等积法可知：CH =BE ，由(1)知：BE =2AE =45，∴CD +55BD 的最小值是45，故答案为：45．15.如图，在ΔABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =2，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值为 6 ．【解答】解：如图所示，作点A 关于BC 的对称点A ，连接AA ，A D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，∵ΔABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AB =2，∴BH =1，AH =3，AA =23，∠C =30°，∴Rt ΔCDE 中，DE =12CD ，即2DE =CD ，∵A 与A 关于BC 对称，∴AD =A D ，∴AD +DE =A D +DE ，∴当A ，D ，E 在同一直线上时，AD +DE 的最小值等于A E 的长，此时，Rt △AA E 中，A E =sin60°×AA =32×23=3，∴AD +DE 的最小值为3，即2AD +CD 的最小值为6，故答案为：6．16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，P 为y 轴上的一个动点，已知A (-2,0)、C (0,-23)，且抛物线的对称轴是直线x =1．(1)求此二次函数的解析式；(2)连接PB ，则12PC +PB 的最小值是 33 ；【解答】解：(1)将A ，C 点坐标代入函数解析式，及对称轴，得4a -2b +c =0c =-23-b 2a =1，解得a =34b =-32c =-23，抛物线的解析式为y =34x 2-32x -23，(2)连接AC ，作BH ⊥AC 于H ，交OC 于P ，如图1，此时12PC +PB 最小．理由：当y =0时，34x 2-32x -23=0，解得x =-2(舍)x =4，即B (4,0)，AB =4-(-2)=6．∵OA =2，OC =23，∴tan ∠ACO =OA OC=33，∴∠ACO =30°，∴PH =12PC ，∴12PC +PB =PH +PB =BH ，∴此时12PB +PD 最短(垂线段最短)．在Rt ΔABH 中，∵∠AHB =90°，AB =4-(-2)=6，∠HAB =60°，∴sin60°=BHAB=3 2，∴BH=6×32=33，∴12PC+PB的最小值为33，故答案为：33．17.已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0,-6)，直线y=-13x+2交x轴于点B，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在线段OB上有一动点P，直接写出10DP+BP的最小值和此时点P的坐标．【解答】解：(1)∵直线y=-13x+2过点B，C，令y=0，则-13x+2=0，∴x=6，令x=0，则y=2，∴B(6,0)，C(0,2)，∵抛物线y=x2+bx+c经过点B(6,0)和D(0,-6)，∴36+6b+c=0 c=-6，∴b=-5 c=-6 ，∴抛物线的解析式为y=x2-5x-6；(2)如图，以点D为直角顶点作RtΔPDM，使DM=3DP，在RtΔPDM中，根据勾股定理，PM=DM2+DP2=10DP，要使10DP+BP最小，则有点B，P，M在同一条线上，而点B，P在x轴上，所以，点M在x轴上时，10DP+BP最小，此时，点M记作M ，点P记作P ，设P (m,0)，∵∠DOP =∠M DP =90°，∠OP D=∠DP M ，∴ΔDOP ∽△M DP ，∴DP P M =OP DP ，∴m DP =DP10DP ，∴DP =10m，在RtΔDOP 中，OD=6，根据勾股定理得，(10m)2-m2=36，∴m=2或m=-2(舍)，∴P(2,0)，∴10DP+BP=10×210+(6-2)=24，即10DP+BP的最小值为24，此时点P的坐标为(2,0)．18.如图，已知抛物线y=k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-33x+b与抛物线的另一交点为D．(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】解：(1)将点B(4,0)代入y=-33x+b，得-33×4+b=0，∴b=433，∴BD:y=-33x+433，当x=-5时，y=-33×(-5)+433=33，∴D(-5，33)，将点D代入y=k8(x+2)(x-4)，得：k8×(-5+2)×(-5-4)=33，∴k=839，∴抛物线的表达式为：y=39(x+2)(x-4)=39x2-239x-839，(2)由题意得：点M的运动时间为AF+12DF，过点D作DE⊥x轴于点E，∵D(-5，33)，B(4,0)，∴DE=33，EB=9，BD=63，∴∠DBE=30°，过点D和点F分别作x轴的平行线和y轴的平行线，交于点N，∴∠DBE =∠FDN =30°，∴NF =12DF ，∴AF +12DF =AF +NF ，过点A 作AH ⊥DN 于点H ，此时(AF +NF )min =AH ，∴AH 与直线BD 的交点即为所求点F ，∵A (-2,0)，∴当x =-2时，y =-33×(-2)+433=23，∴点F 的坐标为(-2，23)时，点M 在整个运动过程中用时最少．19.抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且B (-1,0)，C (0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且DD =2CD ，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，MN ⎳y 轴交直线OD 于点N ，连结CN ．当55D N +CN 的值最小时，求MN 的长．【解答】解：(1)∵y =-x 2+bx +c 经过B (-1,0)，C (0,3)，∴c =3-1-b +c =0 ，解得b =2c =3，∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3．(2)如图，连接AD ′，过点N 作NJ ⊥AD ′于J ，过点C 作CT ⊥AD ′于T ．∵抛物线y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，∴顶点D (1,4)，∵C (0,3)，∴直线CD 的解析式为y =x +3，CD =2，∵DD ′=2CD ，∵DD ′=22，CD ′=32，∴D ′(3,6)，∵A (3,0)，∴AD ′⊥x 轴，∴OD ′=OA 2+D ′A 2=32+62=35，∴sin∠OD′A=OAOD′=5 5，∵CT⊥AD′，∴CT=3，∵NJ⊥AD′，∴NJ=ND′⋅sin∠OD′A=55D′N，∴55D N+CN=CN+NJ，∵CN+NJ≥CT，∴55D N+CN≥3，∴55D N+CN的最小值为3，此时N为OD 与CT的交点，∴N(1.5,3)，∵平移后抛物线的解析式为y=-(x-3)2+6，MN平行y轴，将x=1.5代入抛物线解析式，∴M(1.5,3.75)，∴MN=0.7520.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形为ΔCED．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)连接AE，若AB=6cm，BC=5cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形．∴OD=OB=OC=OA，∵ΔEDC和ΔODC关于CD对称，∴DE=DO，CE=CO，∴DE=EC=CO=OD，∴四边形CODE是菱形．(2)①设AE交CD于K．∵四边形CODE是菱形，∴DE⎳AC，DE=OC=OA，∴DK KC=DEAC=12∵AB =CD =6，∴DK =2，CK =4，在Rt ΔADK 中，AK =AD 2+DK 2=(5)2+22=3，∴sin ∠DAE =DK AK=23，②作PF ⊥AD 于F ．易知PF =AP ⋅sin ∠DAE =23AP ，∵点Q 的运动时间t =OP 1+AP 32=OP +23AP =OP +PF ，∴当O 、P 、F 共线时，OP +PF 的值最小，此时OF 是ΔACD 的中位线，∴OF =12CD =3．AF =12AD =52，PF =12DK =1，∴AP =52 2+12=32，∴当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，AP 的长为32cm ，点Q 走完全程所需的时间为3s ．。
中考数学几何最值模型第2讲胡不归问题
0，
4
径为A>>D>>C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为________.
y
A
D
B
C
X
【解析】假设P在AD上的速度为3V,在CD上的速度为V,总时间
1
AD
=
+ =
+ CD , 要使得t最小，就要 + 最小，
3
3
3
∵AB=AC=3，过点B作BH⊥AC交AC于点H,交OA于点D,
【模型总结】
在求解形如“PA + k ∙ ”的式子的最值问题中，关键是构造与相
等的线段，将“PA + k ∙ ”型问题转化为“PA + ”型．而这
里的必须是一条方向不变的线段，方能构造出定角，并利用三角
函数得到k ∙ 的等线段．
CH
= , = ∙
2、胡不归问题-模型总结
CD+DH的最小值。故C、D、H共线时值最小，此时
CD+DH=CH=BE=4 5.
【小结】本题题干已将BA线作出，只需要分析三角函数值，
作出垂线DH,即可解决问题，若稍加改变，将图形改造如
B
下：则需自行构造α，如右图，这正是解决 “胡不归”问
题的关键所在。
A
E
D
=
H
E
D
α
C
B
C
牛刀小试
不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走
砂石地，会不会更早些到家？
【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为v1 ，在直线MN上运动的速度为
初中数学几何最值专题25：胡不归最值(最全修正版)
最值系列之“胡不归”问题PA+kPB 解决策略之一【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN 上运动的速度为V2，且V1<V2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC+kAC 的最小值．2驿道2M构造射线AD 使得sin ∠DAN=k ，k ACCH，CH=kAC ．将问题转化为求BC+CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小．【模型总结】在求形如“PA+kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB ”型问题转化为“PA+PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．M M解析提示：总结：例2、如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80km/h，而在草地上的最快速度是40km/h，则消防车在出发后最快经小时可到达居民点B.解析提示：总结：例3、如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为。
中考数学复习之胡不归问题
中考数学复习之胡不归问题中考数学复习之胡不归问题中考数学复习是一个关键的阶段，学生需要将过去几年的数学知识进行梳理和复习，以便在中考中取得好成绩。
在复习过程中，有一种问题被称为“胡不归问题”，这类问题通常涉及了速度、时间和距离等概念，需要学生掌握一定的解题技巧和方法。
“胡不归问题”是一种经典的数学问题，通常涉及到运动学中的速度、时间和距离等概念。
这类问题的基本思路是通过已知的速度、时间和距离等量之间的关系，来求解未知量。
在求解过程中，需要学生掌握一定的代数知识和方程构建能力。
针对“胡不归问题”，学生需要掌握以下解题步骤和方法：1、仔细审题，理解题意。
在理解题意的过程中，需要明确已知量和未知量，以及它们之间的关系。
2、根据题意构建方程。
通过分析题意，确定方程的形式和内容，并列出方程。
3、解方程。
通过代数方法或计算工具，解出未知量。
4、验证答案。
根据题意和已知条件，验证所得答案是否合理。
在复习过程中，学生可以通过做一些相关的练习题来加深对“胡不归问题”的理解和掌握。
也可以通过向老师或同学请教，解决自己在解题过程中遇到的问题和困难。
总之，“胡不归问题”是中考数学复习中的一个重要问题，学生需要认真掌握其解题技巧和方法。
在解题过程中，需要审题仔细、构建方程准确、解方程无误、验证答案严谨。
通过不断的练习和思考，相信学生一定可以在中考数学中取得好成绩。
中考数学最值—胡不归问题中考数学最值问题一直是同学们关注的焦点，而胡不归问题又是其中的一种常见类型。
本文将结合实例，详细解析胡不归问题的解决方法，帮助大家更好地掌握这一难点。
首先，需要明确胡不归问题的基本形式。
一般情况下，胡不归问题可以转化为以下形式：在一条直线上有若干个点，求这些点关于某一点对称的点中最远（或最近）的点的距离。
解决这类问题的关键在于如何找到对称点，以及如何运用勾股定理等数学知识进行计算。
下面，我们通过具体例子来解析胡不归问题的解决方法。
例如，在中考数学最值问题中，经常会出现求正六边形内一点到六边形的六条边的距离之和的最小值。
2020年深圳中考数学压轴题专题总结----胡不归问题总结(word版)
2020年深圳中考数学压轴题专题总结----胡不归问题为了方便同学们掌握，以下为简化版胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
例题精讲例1、如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan ∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解答】解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s 速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AQ的长，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，∴OC=4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y=﹣x+4，解方程组得或，则E 点坐标为（﹣，），∴AQ=，∴蚂蚁从A 爬到G 点的时间==（s ），即蚂蚁从A 到E 的最短时间为s ．故答案为．例2、如图，已知抛物线)4)(2(8-+=x x k y （k 为常数，且0>k ）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=33与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止。
中考数学几何复习---最值系列之胡不归问题
中考数学几何复习--最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．2M【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．M将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．M【模型总结】在求形如“P A+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“P A+kPB”型问题转化为“P A+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【长沙中考】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______．ABCDE【分析】本题关键在于处理”，考虑tan A =2，△ABE三边之比为1:2sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H点，则DH =． HEDCBAABCDEH问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H共线时值最小，此时CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：EDCB则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsin α5HEDC BAEDCB【南通中考】如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则PB 的最小值等于________．ABCDP【分析】考虑如何构造”，已知∠A =60°，且sin60°，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，即可得PH =，将问题转化为：求PB +PH 最小值． M HPDCBA当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．ABCDPH M【成都中考】如图，已知抛物线()()248ky x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ． （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A （y =+，D 点坐标为(-，故抛物线解析式为)()24y x x +-，化简为：2y =点M 运动的时间为12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即求12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值．接下来问题便是如何构造2DF，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH =2DF． 当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果．【重庆中考】抛物线2y x =x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）【分析】根据抛物线解析式得A ()-、B )、C (，直线AC的解析式为：y =+知AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH并无公共端点，故用代数法计算，设2,P m ⎛- ⎝，则E m ⎛+ ⎝，H ⎛ ⎝，2PE =-，CH =，22=PE CH m +=+sin ABE ∠=当P点坐标为(-时，取到最小值，故确定P 、C 、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．。
中考数学专题复习最值问题胡不归 (2)
中考数学专题复最值问题胡不归学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则2PD＋PC的最小值是（）A．4B．2＋22C．22D．32223+2．如图，在ABC∆中，90A∠=︒，60B∠=︒，2AB=，若D是BC边上的动点，则2AD DC+的最小值（）A．236+B．6C．33+D．4评卷人得分二、填空题3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为_____．4．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则32AP PC的最小值是______．5．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P 在x轴上运动，则2PC＋PB的最小值为___．6．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E为线段AB上一动点，连接CE，则12AE ＋CE的最小值为___．7．如图，∠ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则∠ABC的面积为_；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则∠DEF的周长最小值为_．8．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝2．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则12DQ+CQ的最小值为___．9．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为_____．10．如图，∠ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.11．如图，ABC中，10AB AC==，tan2A=，BE AC⊥于点E，D是线段BE上的一个动点，则55CD BD+的最小值是__________．12．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E,，且tan ∠EBA=43，有一只蚂蚁从A 出发,先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最短时间是________s评卷人 得分三、解答题 13．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =108°，DE 垂直平分AB ，且交BC 于点D ，连接AD ．(1)证明直线AD 是△ABC 的自相似分割线；(2)如图2，点P 为直线DE 上一点，当点P 运动到什么位置时，P A +PC 的值最小？求此时P A +PC 的长度．(3)如图3，射线CF 平分∠ACB ，点Q 为射线CF 上一点，当514AQ CQ -+取最小值时，求∠QAC 的正弦值．14．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt∠BEF绕点B 旋转，BE＝BF＝10，连接AE，CF．(1)求证：∠ABE∠∠CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示∠BCF的面积）(3)如图3，当Rt∠BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G 时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足2MP+PG的值最小时，求MP的值．15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝33x＋3和直线l2：y＝﹣3x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求∠ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋22OP的最小值．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l 13:33y x =+和直线l 2相交于y 轴上的点B ，分别交x 轴于A 、C 且∠OBC ＝30度．（1）求直线l 2的解析式；（2）点E 坐标为（5，0），点F 为直线l 1上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF ＋CF 最小时，点F 的坐标，并求出此时22PF OP +的最小值．17．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为(23,4)，一次函数33yx b 的图象与边OC 、AB 、x 轴分别交于点D 、E 、F ，30DFO ∠=，并且满足OD BE =，点M 是线段DF 上的一个动点．（1）求b 的值；（2）连接OM ，若ODM ∆的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标；（3）求12OM MF +的最小值．18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N 为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求12PB＋PD的最小值．19．∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MD1+2OD的最小值．20．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tan∠CBD4=3，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．∠过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF∠PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求∠BCF的面积的最大值；∠连接PB，求35PC＋PB的最小值．21．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a=>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B 的左侧)，1OA=，经过点A的一次函数()0y kx b k=+≠的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，ABD∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE∆面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA+的最小值．22．已知抛物线2(0)y ax bx c a=++≠过点(1,0)A，(3,0)B两点，与y轴交于点C，=3OC．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM BC⊥，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC∆面积最大时，求点P的坐标；(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：12AQ QC+是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+13PC 的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值HF +FP +1/3PC 取得小值时，把点P 向上平移个22单位得到点Q ，连结AQ ，把∠AOQ 绕点O 瓶时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到∠AOQ ，其中边AQ 交坐标轴于点C 在旋转过程中，是否存在一点G 使得''Q Q OG ∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（∠）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（∠）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（∠）点1(,)2Q Q b y +在抛物线上，当22AM QM +的最小值为3324时，求b 的值．25．如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC：y=-1x-6交y轴与点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF∠x轴交AC于点F，2交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；（2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）∠在y轴上存在一点H，连接EH、HF，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E、H的坐标；∠在∠的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为∠E上一动点，求12AM+CM的最小值.26．如图，已知抛物线()()248k y x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与ｙ轴交于点C ，经过点B 的直线33yx b 与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与∠ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少．参考答案：1．A【解析】【分析】过点P作PJ∠BC于J，过点D作DH∠BC于H．根据()22222PD PC PD PC PD PJ⎛⎫+=+=+⎪⎪⎝⎭，求出DP PJ+的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P作PJ∠BC于J，过点D作DH∠BC于H．∠二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∠c＝﹣3，∠二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∠A（﹣1，0），B（0，-3），∠OB＝OC＝3，∠∠BOC＝90°，∠∠OBC＝∠OCB＝45°，∠D（0，1），∠OD＝1，BD＝4，∠DH∠BC，∠∠DHB＝90°，设DH x=，则BH x=,∠222DH BH BD+=，∠2224x x+=，∠22x=，∠22DH ＝，∠PJ ∠CB ，∠90PJC ∠︒＝，∠22PJ PC ＝， ∠()22222PD PC PD PC PD PJ ⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∠DP PJ DH +≥，∠22DP PJ +≥，∠DP +PJ 的最小值为22，∠2PD PC +的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2．B【解析】【分析】作点A 关于BC 的对称点A'，连接AA', A'D,过D 作DE∠AC 于E ，易得2DE = CD ，AD= A'D ，从而得出AD+ DE = A'D+ DE ，当A'，D, E 在同一直线上时，AD + DE 的最小值等于A' E 的长是3，进而求出2AD 十CD 的最小值．【详解】如图所示，作点A 关于BC 的对称点A',连接AA', A'D,过D 作DE∠AC 于E∠∠BAC = 90o ，∠B = 60o ，AB= 2∠BH=1,AH=3,AA'=23，∠C= 30o∠DE =12CD,即2DE = CD∠A 与A'关于BC 对称∠AD= A'D∠AD+ DE = A'D+ DE∠当A'，D, E 在同一直线上时AD + DE的最小值等于A' E的长,在Rt∠AA' E中：A' E= sin60o×AA'=32×23= 3∠AD十DE的最小值为3∠2AD十CD的最小值为6故选B【点睛】本题主要考察了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键．3．5【解析】【分析】因为DG＝12EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证∠GDI∠∠CDG，从而得出GI＝12CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在Rt∠DEF中，G是EF的中点，∠DG＝122EF ，∠点G 在以D 为圆心，2为半径的圆上运动，在CD 上截取DI ＝1，连接GI ，∠DI DG ＝DG CD＝12， ∠∠GDI ＝∠CDG ，∠∠GDI ∠∠CDG ，∠IG DI CG DG=＝12， ∠IG ＝12CG ， ∠BG +12CG ＝BG +IG ≥BI ， ∠当B 、G 、I 共线时，BG +12CG 最小＝BI ， 在Rt∠BCI 中，CI ＝3，BC ＝4，∠BI ＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G 的运动轨迹是解题的关键．4．3332+##3332+ 【解析】【分析】作∠OCE =120°，过点P 作PG ∠CE 于点G ，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG =32PC ；当A 、P 、G 在同一直线时，AP +32PC = AP +PG = AG 的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：∠点A 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∠OA =3，OC =3，作∠OCE =120°，∠∠OCB =60°，则∠OCB =∠BCE =∠FCE =60°，过点P 作PG ∠CE 于点G ，如图：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，∠CG=12PC，由勾股定理得PG=32PC，∠AP+32PC= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，延长AG交y轴于点F，∠∠FCG=60°，∠CGF=90°，∠∠CFG=30°，∠CF=2CG，GF=32CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OF A=30°，∠AF=2OA=6，OF=333OA=，∠CF=OF-OC=333-，∠GF=32(333-)=93322-，∠AG=AF-FG=93333362222-+=+，即AP+32PC的最小值为33322+．故答案为：3332+．【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+32PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．5．4【解析】【分析】【详解】思路引领：过P作PD∠AB于D，依据∠AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到∠BDP是等腰直角三角形，故PD22=PB，当C，P，D在同一直线上时，CD∠AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．答案详解：如图所示，过P作PD∠AB于D，∠直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∠A（0，﹣3），B（3，0），∠AO＝BO＝3，又∠∠AOB＝90°，∠∠AOB是等腰直角三角形，∠∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∠∠BDP是等腰直角三角形，∠PD22=PB，∠2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CD∠AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，∠ACD是等腰直角三角形，又∠点C（0，1）在y轴上，∠AC ＝1+3＝4，∠CD 22=AC ＝22， 即PC +PD 的最小值为22，∠2PC +PB 的最小值为222⨯=4，故答案为：4．6．3【解析】【分析】【详解】思路引领：在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ∠AM 于T ，过点C 作CH ∠AM 于H ．易证ET 12=AE ，推出12AE +EC ＝CE +ET ≥CH ，求出CH 即可解决问题． 答案详解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠B ＝90°，∠tan∠CAB 33CB AB ==， ∠∠CAB ＝30°，∠AC ＝2BC ＝23，在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ∠AM 于T ，过点C 作CH ∠AM 于H ． ∠ET ∠AM ，∠EAT ＝30°，∠ET12=AE，∠∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝23，∠CH＝AC•sin6°＝2332⨯=3，∠12AE+EC＝CE+ET≥CH，∠12AE+EC≥3，∠12AE+EC的最小值为3，故答案为3．7．6+23326+【解析】【分析】（1）过点A作AH∠BC于H，根据∠BAC＝75°，∠C＝60°，即可得到（2）过点B作BJ∠AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时∠FE′D′的周长＝MN的长，然后证明∠BMN是等腰直角三角形，BM的值最小时，MN的值最小，再根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，由此求解即可.【详解】解：∠如图，过点A作AH∠BC于H．∠∠AHB=∠AHC=90°，∠∠BAC＝75°，∠C＝60°，∠∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝45°，∠HAC=30°∠BH=AH，122HC AC==∠2223AH AC HC=-=∠AH＝BH＝23，∠BC＝BH+CH＝23+2，∠S△ABC＝12•BC•AH＝12•（23+2）3＝6+23．∠如图，过点B作BJ∠AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时∠FE′D′的周长＝MN的长．∠BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN，∠∠MBN＝2∠ABC＝90°，∠∠BMN是等腰直角三角形，∠BM的值最小时，MN的值最小，根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，∠21243==334ABCSBJAC+=+△,∠MN的最小值为2BJ＝326+，∠∠DEF的周长的最小值为326+．故答案为：6+23，326+．【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．5【解析】【分析】连接AC 、AQ ，先证明∠BCP ∠∠ACQ 得22AQ BP =即AQ ＝2，在AD 上取AE ＝1，证明∠QAE ∠∠DAQ 得EQ ＝12QD ，故12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，求出CE 即可． 【详解】解：如图，连接AC 、AQ ，∠四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∠∠ACB ＝∠PCQ ＝45°，∠∠BCP ＝∠ACQ ，cos∠ACB ＝22BC AC =，cos∠PCQ ＝22PC QC =， ∠∠ACB =∠PCO ，∠∠BCP ∠∠ACQ ，∠22AQ BP = ∠BP ＝2，∠AQ ＝2，∠Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE ＝1，∠12AE AQ =，12AQ AD =，∠QAE ＝∠DAQ ， ∠∠QAE ∠∠DAQ ，∠12EQ QD =即EQ ＝12QD ， ∠12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，连接CE ，∠225CE DE CD =+=，∠12DQ +CQ 的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.9．43【解析】【分析】如图，过点A作AT∠BC于T，过点M作MH∠BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝12BM，于是可得AM+12BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．【详解】解：如图，过点A作AT∠BC于T，过点M作MH∠BC于H．∠四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∠∠DBC＝12∠ABC＝30°，∠MH∠BC，∠∠BHM＝90°，∠MH＝12BM，∠AM+12BM＝AM+MH，∠AT∠BC，∠∠ATB＝90°，∠AT＝AB•sin60°＝43，∠AM+MH≥AT，∠AM+MH≥43，∠AM+1BM≥43，2BM的最小值为43，∠AM+12故答案为：43．【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．10．6【解析】【分析】过点P作PE∠AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E AB∠CD，推出PE=12三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=12 AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE∠AD交AD的延长线于点E，∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB∠CD，∠∠EDC=∠DAB＝30°，PD，∠PE=12PD）=2(PB+PE)，∠2PB+ PD=2（PB+12∠当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∠∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∠PB+PE的最小值=1AB=3，2∠2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD 转化为三点共线的形式是解题的关键.11．45【解析】【分析】过点D 作DH AB ⊥于H ，过点C 作CM AB ⊥于M ，首先通过勾股定理及tan 2A =求出AE,BE 的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM BE =，然后通过锐角三角函数得出55DH BD =，进而可得出55CD BD CD DH +=+，最后利用CD DH CM +即可求值．【详解】解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，过点C 作CM AB ⊥于M ．∠BE AC ⊥，∠90AEB =︒∠，∠tan 2BE A AE==， 设AE a =，2BE a =，222AB AE BE =+∠221004a a =+，∠220a =，∠25a =或25-（舍弃），∠245BE a ==，∠AB AC =，BE AC ⊥，CM AB ⊥，∠45CM BE ==（等腰三角形两腰上的高相等）∠DBH ABE ∠=∠，BHD BEA ∠=∠，∠5sin 5DH AE DBH BD AB ∠===， ∠55DH BD =， ∠55CD BD CD DH +=+，∠CD DH CM +，∠5455CD BD +， ∠55CD BD +的最小值为45, 故答案为：45．【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．12．649【解析】【详解】过点E 作EF ∠AB ，过点A 作AH ∠EF 于点H ，交EF 于点D ，易知A （-1，0），B （3，0），又4tan 3EBA ∠=，则4:43BE l y x =-+，所以E （73-，649）， 因为EF ∠AB ，所以∠DEH =∠ABE ，所以4tan 3DEH ∠=，则4sin 5DH DEH DE ∠==，故1.25DE DH =. 蚂蚁从A 到H 所用的时间t =1 1.25AD DE +=1AD DH AD DH AH +=+=. 因为AH =649，所以t 的最小值是649.点晴：本题是一个求最小时间的胡不归问题，解题的关键是化12v DE v =DH ，一般的以目的地E 为角的顶点，以12sin v BEF v ∠=构造直角三角形，得到直角边EF ，再过A 作AH ∠EF 交BE 于点D ，则可解决问题. 13．(1)直线AD 是∠ABC 的自相似分割线；(2)当点P 运动到D 点时，P A +PC 的值最小，此时512PA PC ++=； (3)∠QAC 的正弦值为514+ 【解析】【分析】（1）根据定义证明∠DBA ∠∠ABC 即可得证；（2）根据垂直平分线的性质可得PA PC PB PC BC +=+≥，当点P 与D 重合时，PA PC PB PC BC +=+=,此时PA PC +最小，设BD x =，则1BC x =+ 根据DBA ABC ∽，列出方程，解方程求解即可求得BD ，进而即可求得BC 的长，即PA PC +最小值；（3）过点A 作AH BC ⊥于点H ，过点Q 作QG BC ⊥于点G ，连接AG ，设CF 与AD 交于点M ，根据已知条件求得514GQ CQ -=，进而转化为514AQ CQ AQ GQ -+=+，则当Q 点落在AG 上时，点G 与点H 重合，此时514AQ CQ -+的值最小，最小值为AH ，进而根据sin sin CH QAC HAC AC ∠=∠=求解即可． (1)∠∠ABC 中，AB =AC =1，∠BAC = 108°∠∠B =∠C =12（180°-∠BAC ）= 36° ∠DE 垂直平分AB∠AD = BD∠∠B =∠BAD = 36°∠∠C =∠BAD又∠∠B =∠B∠∠DBA ∠∠ABC∠直线AD 是∠ABC 的自相似分割线．(2)如图，连接PB ，AD ，DE 垂直平分AB ，PA PB ∴=PA PC PB PC BC ∴+=+≥ 当点P 与D 重合时，PA PC PB PC BC +=+=,此时PA PC +最小， 72ADC B BAD ∠=∠+∠=︒，72DAC BAC BAD ∠=∠-∠=︒ ADC DAC ∴∠=∠1CD CA ∴==设BD x =，则1BC x =+ DBA ABC ∽ BD AB AB BC∴= 111x x ∴=+ 210x x ∴+-=解得：152x -±=0x x ∴=152-+ 5112BC x +∴=+= ∴P A +PC =512+ ∴当点P 运动到D 点时，P A +PC 的值最小，此时512PA PC ++=； (3)如图，过点A作AH BC⊥于点H，过点Q作QG BC⊥于点G，连接AG，设CF与AD交于点M，AB AC=，15124CH BC+∴==由（2）知，1DC AC==CF平分ACB∠CM AD∴⊥15124DM AM AD-===sinGQMCDCQ∴∠=514DMCD-==514GQ CQ-∴=514AQ CQ AQ GQ AG-∴+=+≥AG AH≥Q∴点落在AG上时，点G与点H重合，即此时514AQ CQ-+的值最小，最小值为AHQAC HAC∴∠=∠,AB AC AH BC=⊥15124CH BC+∴==51sin sin4CHQAC HACAC+∴∠=∠==∴∠QAC的正弦值为514+【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键．14．(1)见解析(2)2或6(3)1152- 【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABE ∠∠CBF ；（2）由“SSS ”可证∠ADE ∠∠ABE ，可得∠DAE ＝∠BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ ∠CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∠∠EBF ＝90°＝∠ABC ，∠∠ABE ＝∠CBF ，又∠BE ＝BF ，AB ＝BC ，在∠ABE 和∠CBF 中， AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠CBF （SAS ）；(2)解：如图2，过点E 作EH ∠AB 于H ，∠∠ABE∠∠CBF，∠S△ABE＝S△CBF，∠AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∠∠ADE∠∠ABE（SSS），∠∠DAE＝∠BAE＝45°，∠EH∠AB，∠∠EAB＝∠AEH＝45°，∠AH＝EH，∠BE2＝BH2+EH2，∠10＝EH2+（4﹣EH）2，∠EH＝1或3，当EH＝1时∠S△ABE＝S△BCF＝12AB×EH＝12×4×1＝2，当EH＝3时∠S△ABE＝S△BCF＝12AB×EH＝12×4×3＝6，∠S△BCF的值是2或6；(3)解：如图3，过点P作PK∠AE于K，由（1）同理可得∠ABE∠∠CBF，∠∠EAB＝∠BCF，∠∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∠∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∠∠AGC＝90°，∠∠AGC＝∠ADC＝90°，∠点A，点G，点C，点D四点共圆，∠∠ACD＝∠AGD＝45°，∠PK∠AG，∠∠PGK＝∠GPK＝45°，∠PK＝GK＝22PG，∠MP+22PG＝MP+PK，∠当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+22PG值最小，即2 MP+PG最小，如图4，过点B作BQ∠CF于Q，∠BE＝BF＝10，∠EBF＝90°，BQ∠EF，∠EF＝25，BQ＝EQ＝FQ＝5，∠CQ＝2216511BC BQ-=-=，∠CE＝CQ﹣EQ＝115-，∠MK∠AE，CE∠AE，∠MK∠CE，∠DM MPDC CE=，又∠M是CD的中点，∠DC＝2DM，∠MP＝12CE＝1152-．【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．15．（1）S△ABC=23；（2）点F坐标为（1，433）；PF＋22OP的最小值为26232+．【解析】【分析】（1）根据l1的解析式可得A、B坐标，把点B坐标代入y＝﹣3x＋b可求出b值，进而可得出点C坐标，即可求出AC、OB的长，利用三角形面积公式即可得答案；（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，根据A、B、C坐标可得∠ABC是直角三角形，可得点C′在直线l2上，根据两点间距离公式可得出C′坐标，可得C′E为EF＋CF的最小值，利用待定系数法可得出直线C′E的解析式，联立直线C′E与l1解析式即可得出得F的坐标；作二、四象限对角线l3，过点F作FG∠l3于G，交y轴于P，可得∠GOP=45°，可得PG=22OP，可得FG为PF＋22OP的最小值，过点F作FQ∠x轴，交l3于Q，可得∠FGQ为等腰直角三角形，可得FG=22FQ，由l3的解析式为y=-x及点F的坐标可得点Q坐标，进而可得FQ的长，即可得FG的长，可得答案．【详解】（1）∠l1：y＝33x＋3，∠当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3，∠A（-3，0），B（0，3），∠点B直线l2：y＝﹣3x＋b上，∠b=3，∠直线l2的解析式为y＝﹣3x＋3，∠当y=0时，x=1，∠C（1，0），∠AC=4，OB=3，∠S△ABC=12AC OB⋅=1432⨯⨯=23．（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，∠A（-3，0），B（0，3），C（1，0），∠AB2=（-3）2+（3）2=12，BC2=12+（3）2=4，AC2=42=16，∠AC 2=AB 2+BC 2，∠∠ABC 是直角三角形，∠点C ′在直线l 2上，∠点C 与点C ′关于直线l 1的对称，∠CC ′=2BC =4，设点C ′（m ，﹣3m ＋3，）∠（m -1）2+（﹣3m ＋3）2=42，解得：m 1=-1，m 2=3，∠点C ′在第二象限，∠m =-1，∠﹣3m ＋3=23，∠FC=FC′，∠EF ＋CF =EF+FC′，∠当C ′、F 、E 三点共线时EF ＋CF 的值最小，设直线C ′E 的解析式为y =kx +b ，∠2350k b k b ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：33533k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠直线C ′E 的解析式为35333y x =-+， 联立直线C ′E 与l 1解析式得35333333y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：1433x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∠F （1，433）． 如图，作二、四象限对角线l 3，过点F 作FG ∠l 3于G ，交y 轴于P ，过点F 作FQ ∠x 轴，交l 3于Q ，∠直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°，∠∠GOP是等腰直角三角形，∠PG=22OP，∠G、P、F三点共线时，PF＋22OP的值最小，最小值为FG的长，∠∠GOP=45°，∠POE=90°，∠∠EOQ=45°，∠∠FQO=45°，∠∠FGQ是等腰直角三角形，∠FG=22FQ，∠F（1，433），直线l3的解析式为y=-x，∠Q（1，-1），∠FQ=433-（-1）=433+1，∠FG=22FQ=22×（433+1）=26232+，∠PF＋22OP的最小值为26232+．【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键．16．（1）33y x=-+；（2）F（1，433），PF+22OP的最小值为22623+；【解析】【分析】（1）求出B（0，3），再由OC=BO•tan30°=1，求出C（1，0），再由待定系数法求直线解析式即可；（2）先确定∠ABC=90°，则可知C点关于直线l2的对称点C'在l2上，过点C'作C'K∠y轴交K点，易证△C'KB∠∠COB（AAS），则C'的纵坐标为23，即可求C'（-1，23），连接C'E交l1于F，因为EF+CF=EF+C'F≥C'E，所以当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E；当P、F、Q三点共线时，PF+22OP的值最小，过F作FG∠x轴交l3，于点G，易证△FQG为等腰直角三角形，然后求出最小值即可．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，∠B（0，3），∠OB=3，∠∠OBC=30°，∠OC=BO•tan30°=3×313=，∠C（1，0），设直线l2的解析式为y=kx+b，则3bk b⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∠33kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∠直线l2的解析式为33y x=-+；（2）令y=0，则3303x+=，∠x=-3，∠A（-3，0），∠OA=3，∠tan∠ABO=333AOBO==，∠∠ABO=60°，∠∠ABC=90°，∠C点关于直线l1的对称点C'在l2上，如图1，过点C '作C 'K ∠y 轴交K 点，∠∠KBC '=∠CBO ，∠C 'KB =∠BOC ，BC =BC '，∠∠C 'KB ∠∠COB （AAS ），∠BK =BO =3，∠C '的纵坐标为23，∠3323x -+=，∠x =-1，∠C '（-1，23），连接C 'E 交l 1于F ，∠EF +CF =EF +C 'F ≥C 'E ，∠当C '、E 、F 三点共线时，EF +CF 的值最小为C 'E ，设直线C 'E 的解析式为y =kx +b ，∠E （5，0），C '（-1，23），则5023k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， ∠33533k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠35333y x =-+，∠35333333y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得x =1，∠F （1，433）， 作第二、四象限的角平分线l 3，，过点F 作FQ ∠l 3，，交y 轴于点P ，交l 3，于点Q ， 在Rt △PQO 中，∠POQ =45°，∠22OP PQ =， ∠PF +22OP =PF +PQ ≥FQ ， 当P 、F 、Q 三点共线时，PF +22OP 的值最小， 过F 作FG ∠x 轴交l 3，于点G ，∠∠FQG 为等腰直角三角形，∠FQ =22FG ， ∠l 3，的解析式为y =-x ，∠G （1，-1），∠FG =1+433， ∠FQ =22+263， ∠PF +22OP 的最小值为22+263． 【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过构造坐标象限的角平分线将22PF OP 转化为求FQ 的长是解（2）问的关键，数形结合，利用坐标平移的性质是解题关键．17．（1）3b =；（2）237(,)33M ；（3）92 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，用b 表示点E 的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）首先求出四边形OAED 的面积，再根据条件求出ODM △的面积，即可解决问题；（3）过点M 作MN x ⊥轴交于点N ，则12OM MF OM MN +=+，即可转化为求OM MN +的最小值，作点O 关于一次函数的对称点O '，过点O '作x 轴的垂线交x 轴于点N '，交一次函数于点M ，即OM MN +的最小值为O N ''，算出长度即可．【详解】（1）在33y x b 中，令0x =，则y b =， ∴点D 的坐标为(0,)b ，OD BE =，(23,4)B ，(23,4)E b ∴-，把(23,4)E b -代入33yx b 中得：34233b b -=-⨯+， 解得：3b =； （2）由（1）得一次函数为333y x =-+，(0,3)D ，(23,1)E ， 3OD ∴=，1AE =，23=OA ，11=()(31)234322OADE S OD AE OA ∴+⋅=⨯+⨯=四边形， ODM ∆的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3， ODM 的面积与四边形OADE 的面积之比为1:4，134ODM OADE S S ∴==四边形， 设点M 的横坐标为a ，则1332a ⨯=， 解得：233a =， 把233x =代入333y x =-+中得：73y =， 237(,)33M ∴； （3）如图所示，过点M 作MN x ⊥轴交于点N ， 30DFO ∠=，12MN MF ∴=， 12OM MF OM MN ∴+=+，作点O 关于一次函数的对称点O '，且OO’与直线DF 交于Q 点，过点O '作x 轴的垂线交x 轴于点N '，OM O M '∴=，12OM MF OM MN O M MN '∴+=+=+，当O '、M 、N 在同一直线时O M MN '+最小，即12OM MF OM MN O M MN '+=+=+的最小值为O N ''，30DFO ∠=︒，60ODF ∴∠=︒，30DOQ ∠=︒，903060O ON ''∠=︒-︒=︒，在Rt ODQ 中，333sin 60322OQ OD =⋅︒=⨯=， 233OO OQ ∴=='，在Rt ON O ''中．39sin 603322O N OO =︒='⨯=''， 12OM MF ∴+的最小值为92．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题． 18．（1）y =32（x 12-）2938-，（12，938-）；（2）（12，72）或（12，72-）或（12，153+2-）或（12，1532--）或（12，36-）；（3）334【解析】 【分析】 【详解】思路引领：（1）将A 、B 、C 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c ，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；（2）当以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：∠以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ；∠以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ；∠线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ，分别列出方程，求解即可；（3）连接AB ，作DH ∠AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．最小值就是线段DH ，求出DH 即可．答案详解：（1）由题意03420a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得 32323a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩，∠抛物线解析式为y 32=x 232-x 3-， ∠y 32=x 232-x 332-=（x 12-）2938-，∠顶点坐标（12，938-）； （2）设点M 的坐标为（12，y ）．∠A （﹣1，0），B （0，3-）， ∠AB 2＝1+3＝4．∠以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ， 则（12+1）2+y 2＝4，解得y ＝±72，即此时点M 的坐标为（12，72）或（12，72-）；∠以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ， 则（12）2+（y 3+）2＝4，解得y 1532=-+或y 1532=--，即此时点M 的坐标为（12，1532-+）或（12，1532--）；∠线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ， 则（12+1）2+y 2＝（12）2+（y 3+）2，解得y 36=-，即此时点M 的坐标为（12，36-）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为（12，72）或（12，72-）或（12，1532-+）或（12，1532--）或（12，36-）；（3）如图，连接AB ，作DH ∠AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．理由：∠OA ＝1，OB 3=，∠tan∠ABO 33OA OB ==， ∠∠ABO ＝30°， ∠PH 12=PB ， ∠12PB +PD ＝PH +PD ＝DH ， ∠此时12PB +PD 最短（垂线段最短）．在Rt∠ADH 中，∠∠AHD ＝90°，AD 32=，∠HAD ＝60°， ∠sin60°DHAD=， ∠DH 334=， ∠12PB +PD 的最小值为334． 19．3 【解析】 【分析】【详解】思路引领：(胡不归经典)作∠BON ＝∠AOB ＝30°，过点M 作MC ∠ON 于点C ，交OB 于点D ′，当MC ∠ON 时，（此时点D ′即为点D ）MD 12+OD ＝MD +CD 的值最小，最小值是CM的长，答案详解：如图，作∠BON ＝∠AOB ＝30°，过点M 作MC ∠ON 于点C ，交OB 于点D ′，∠CD ′12=OD ′ 所以当MC ∠ON 时，（此时点D ′即为点D ）MD 12+OD ＝MD +CD 的值最小，最小值是CM 的长，∠在Rt∠OCM 中，∠OMC ＝30°，OM ＝2 ∠OC ＝1， ∠CM 3=．答：MD 12+OD 的最小值为3．20．（1）241620999x x -++；（2）∠32；∠245【解析】 【分析】 【详解】思路引领：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），可得对称轴为直线x ＝2，由锐角三角函数可求点C 坐标，代入解析式可求解析式；（2）∠先求出直线BC 解析式，设P （2，t ），可得点E （534-t ，t ），点2315244F t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，可求EF 的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；∠根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，过点P 作PG ∠AC 于G ，可得PG35=PC ，可得35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ∠AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，即BH 是35PC +PB 的最小值，由三角形面积公式可求解． 答案详解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5）， ∠抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∠D （2，0）， 又∠43CDtan CBD DB∠==， ∠CD ＝BD •tan∠CBD ＝4， 即C （2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5）， 解得 49a =-，∠二次函数的解析式为 ()()441599y x x =-+-=-x 2162099x ++； （2）∠设P （2，t ），其中0＜t ＜4， 设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ，∠0542.k b k b =+⎧⎨=+⎩，， 解得 4320.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线BC 的解析式为 42033y x =-+，令y ＝t ，得：354x t =-，∠点E （534-t ，t ），把354x t =- 代入()()4159y x x =-+-，得 24t y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2315244F t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， ∠221244t EF t t t t ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∠∠BCF 的面积12=⨯EF ×BD 32=（t 24t -）()223334(2)882t t t =--=--+，∠当t ＝2时，∠BCF 的面积最大，且最大值为32；∠如图，据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，∠35AD sin ACD AC ∠==， 过点P 作PG ∠AC 于G ，则在Rt∠PCG 中，35PG PC sin ACD PC =⋅∠=，∠35PC PB PG PB +=+， 过点B 作BH ∠AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ， ∠线段BH 的长就是35PC PB +的最小值，∠11641222ABCSAB CD =⨯⨯=⨯⨯=， 又∠1522ABCSAC BH BH =⨯⨯=， ∠5122BH =， 即245BH =， ∠35PC PB +的最小值为245．21．(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516，此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)35PE PA +的最小值是3.【解析】 【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点()1,0A -代入可求得a 的值，由ABD ∆的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由A 、D 的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； (2)作EMy 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由ACE AME CME S S S ∆∆∆=-构建关。
中考数学几何专项练习：胡不归(解析版)
中考数学几何专项练习：胡不归【答案】3332/3332【答案】42【分析】在∠BAC 的外部作∠CAE ＝15°，作 12PF PB ＝2BF ，通过解直角三角形ABF 【详解】解：如图，在∠BAC 的外部作∠CAE ＝15°，作BF 此时PA +2PB 最小，∴∠AFB ＝90°∴∴【答案】453(1)若点D 的横坐标为5 ，求抛物线的函数表达式；(2)在（1）条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到时，点M 在整个运动过程中用时最少?【答案】(1)232383999y x x(2)2,23∵5,33D ， 4,0B ，(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P为抛物线上位于直线BC下方的一动点，当PBC面积最大时，求点P的坐标；(3)若点Q为线段OC上的一动点，问：32AQ CQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；（3）解：存在最小值，理由如下：如下图所示，将直线CQ 绕着Q 点逆时针旋转分别连接AQ ，QN ，CN ，则30CQN∴在Rt CNQ △中，cos cos30NQ CQN CQ∴随着Q 点的运动，总有32NQ CQ，∴32AQ CQ AQ NQ ，要使得32AQ CQ 取得最小值，即要使得如下图，当A 、Q 、N 三点共线时，满足AQ 此时，90CNQ AOQ ，CQN AQO ∵1OA ，∴2AQ ，3OQ ，∴33CQ OC OQ ，∴ 3333cos303322NQ CQ令0x ，则3y ，即 0,C ∵()1,0A ， 0,3C ，∴，3OC ，1OA ，在Rt AOC 中，3OC ，OA ∵MN AC ，抛物线解析式为：233y x ∴对称轴是：=1x ，即 1,0D ∴112AD OA OD ，在Rt ADN △中，60DAN ，∴sin 3DN AD DAN ，(1)求此抛物线的解析式；∵A（−3，0），B（0，−4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵3 sin5AO HPABOAB BP，∴35HP BP，∴35BP EP HP PE＋＝＋，根据平行四边形的性质可知：AC∥NM，AC根据平行四边形的性质可知：AC∥MN，AC1∴tan∠（1）求直线l的解析式；2上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l12。
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2020中考数学复习微专题：最值（“胡不归”问题）
突破与提升策略
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻
居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？⋯”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
B
砂石地V1
V1
驿道
A V
2
C
【模型建立】
如图，一动点P在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，
且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN 上，确定点C的位置使AC BC
的值V
2
V1
最小．
B
V1
M N
A V2 C
【问题分析】
AC BC 1 V1
AC，记k V1，
V2
= BC
V2V2 V1V1
即求BC+kAC的最小值．
【问题解决】
构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
B
M
α C N
A
CH
H
sinα= =k
AC
D
CH=kAC
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
B
M
C
A
αN
H
D
【模型总结】
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一
个动点，则CD
5
BD的最小值是_______．
5
A
E
D
B C
【分析】本题关键在于处理“5BD”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，
5
sinABE 5，故作DH⊥AB交AB于H点，则DH 5BD．
5 5
A A
H
E H E
D
D
B C B C
问题转化为CD+DH 最小值，故C、D、H 共线时值最小，此时
CD DH CH BE 4 5．
【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：
E
D
B C
则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．
A
E
D H E
B C
D
α
sin
α=
5
C
B
5
2.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一
动点，则PB
3
PD的最小值等于________．
2
D P C
A B
【分析】考虑如何构造“3PD”，已知∠A=60°，且sin60=°3
2 2
，故延长AD，作
PH⊥AD延长线于H点，即可得PH
3
PD，将问题转化为：求PB+PH最小值．2
M
H
D P C
A B
当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH 即可得BH长．
M
H
D P C
A B
3.如图，已知抛物线y k x2x4（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依次
8
交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y
3
xb与抛物线的另一3
交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
y
D
A O
B x
C
【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A（-2,0），
B（4,0），直线解析式为y 3 x 43，D点坐标为5,3 3 ，故抛物线解析式
3 3
为y 3x2x 4，化简为：y
2
23x8 3．另外为了突出问题，此3x
9 9 9 9 处略去了该题的第二小问．
点M运动的时间为AF 1
，即求AF
1
的最小值．DF DF
2 2
y y
F H
M
D D
F
A O
B x A O B x
C C
接下来问题便是如何构造DF
2
，考虑BD与x轴夹角为30°，且DF方向不变，故
过点D作DM∥x轴，过点F作FH⊥DM交DM于H点，则任意位置均有FH=DF．
2
当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据
A 、D 两点坐标可得结果．
6 2 2 3 与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 4.抛物线y
x x6
6 3
轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线
段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O1B1，当
1 周长的最小值，并求出对应的点O1
PEEC 的值最大时，求四边形PO1B1C 2
的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）
y
P C
E
A
FO 1B 1OB
x
【分析】根据抛物线解析式得
A32,0、B2,0 、C0, 6，直线AC 的解析 式为：y 3
，可知AC 与x 轴夹角为30°．
x6
3
根据题意考虑，P 在何处时，PE+EC
取到最大值．过点
E 作EH ⊥y 轴交y 轴于
2
H 点，则∠CEH=30°，故CH=EC
，问题转化为PE+CH 何时取到最小值．
2
y
P C E H
AFO
B OB x 1
1
6 2 2 3
，考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设Pm, m m6
6 3
则Em, 3
m6 ，H0, 3
m6
，PE 6m 2 3m ，CH 3
m ，
3 3
6 3
6 2 4 3 6 2
4 6
5
PECH
22 sin
m 3 m=
m
3 ABE
6
6
5
当P 点坐标为
2 2
, 6 时，取到最小值，故确定 、 C 、求四边形面积最小值，
P
运用将军饮马模型解题即可．
y
P C E
A
FO 1B 1OB
x
C 1。