2020中考数学复习微专题：最值(“胡不归”问题)

2020中考数学复习微专题：最值（“胡不归”问题）

突破与提升策略

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻

居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？⋯”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

B

砂石地V1

V1

驿道

A V

2

C

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，

且V1

的值V

2

V1

最小．

B

V1

M N

A V2 C

【问题分析】

AC BC 1 V1

AC，记k V1，

V2

= BC

V2V2 V1V1

即求BC+kAC的最小值．

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

B

M

α C N

A

CH

H

sinα= =k

AC

D

CH=kAC

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

B

M

C

A

αN

H

D

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一

个动点，则CD

5

BD的最小值是_______．

5

A

E

D

B C

【分析】本题关键在于处理“5BD”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，

5

sinABE 5，故作DH⊥AB交AB于H点，则DH 5BD．

5 5

A A

H

E H E

D

D

B C B C

问题转化为CD+DH 最小值，故C、D、H 共线时值最小，此时

CD DH CH BE 4 5．

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：

E

D

B C

则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

A

E

D H E

B C

D

α

sin

α=

5

C

B

5

2.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一

动点，则PB

3

PD的最小值等于________．

2

D P C

A B

【分析】考虑如何构造“3PD”，已知∠A=60°，且sin60=°3

2 2

，故延长AD，作

PH⊥AD延长线于H点，即可得PH

3

PD，将问题转化为：求PB+PH最小值．2

M

H

D P C

A B

当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH 即可得BH长．

M

H

D P C

A B

3.如图，已知抛物线y k x2x4（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依次

8

交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y

3

xb与抛物线的另一3

交点为D．

（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

y

D

A O

B x

C

【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A（-2,0），

B（4,0），直线解析式为y 3 x 43，D点坐标为5,3 3 ，故抛物线解析式

3 3

为y 3x2x 4，化简为：y

2

23x8 3．另外为了突出问题，此3x

9 9 9 9 处略去了该题的第二小问．

点M运动的时间为AF 1

，即求AF

1

的最小值．DF DF

2 2

y y

F H

M

D D

F

A O

B x A O B x

C C

接下来问题便是如何构造DF

2

，考虑BD与x轴夹角为30°，且DF方向不变，故

过点D作DM∥x轴，过点F作FH⊥DM交DM于H点，则任意位置均有FH=DF．

2