高次方程求根公式的故事
高次方程求根故事
高次方程求根的故事源远流长，涉及到多个数学家和学派的发展。
以下是关于高次方程求根的几个关键故事：1. 塔尔塔利亚与卡丹的故事：塔尔塔利亚（Tartaglia）是意大利人，他在1535年发现了三次方程的一般解法，被称为“塔尔塔利亚公式”或“卡尔丹公式”（Cardano's formula），尽管公式实际上是由塔尔塔利亚发现的，但他的名字并未被广泛认可。
这个公式的发表对于数学的发展有重要影响，它解决了长久以来三次方程求解的难题。
2. 霍纳方法与鲁菲尼方法的争议：1819年，英国人霍纳（Horner）在皇家学会宣读了一篇数学论文，提出了一种解任意高次方程的巧妙方法，被称为“霍纳方法”。
这一方法在数学界引起了轰动，但由于当时数学界对高次方程求解的理解有限，该方法并未立即被广泛接受。
意大利数学界一度要求将其命名为“鲁菲尼方法”，但这一提议并未得到广泛支持。
3. 费罗的贡献：在文艺复兴时期，意大利数学家费罗（Scipione del Ferro）也对三次方程的解法做出了贡献。
他可能是第一个找到三次方程一般解的人，但遗憾的是，他的方法并未公开，直到塔尔塔利亚独立发现了同样的方法。
4. 高次方程求解的困境：尽管数学家们对于三次和四次方程的求解方法有了突破，但对于五次及以上方程的求解，他们遇到了巨大的困难。
在长达两个世纪的时间里，数学家们尝试了各种方法来求解五次方程，但都未能成功。
这其中包括了诸如莱布尼茨等天才数学家的努力。
最终在19世纪初，挪威数学家阿贝尔（Abel）证明了五次及以上方程无法用根式求解，这一结论标志着高次方程求解问题的一个重要转折点。
这些故事展示了高次方程求根历史的复杂性和多样性，也反映了数学家们在面对难题时的坚韧和创造力。
谁先推出三次方程的求根公式
谁先推出三次方程的求根公式解代数方程是古典代数学中基本的组成部分。
我们知道：形如n n-1ax+ax +…+a=0（a ≠0）的一元n次方程，必定有n个根，这就是著名0 1 n 0的代数基本定理。
这是德国大数学家高斯在1799年第一次给出证明的。
然而，高斯的证明以及其他的一些证明方法纯属非构造性的。
也就是说高斯仅仅肯定了根的存在，而并未给出具体求根的方法。
因此，在高斯的前后，人们对解方程的方法曾作了长期的艰苦探索。
早在数千年以前，古代巴比伦人曾研究过这样一个有趣的问题：求出一个未知数，使它与它的倒数之和等于已知数。
这个问题如果用现代的记号来表述的话，也就是需要求出这样的x，使xx = 1，x + x = b。
毫无疑问，从这2样的两个方程中就可以得出关于x的一个二次方程式，即x-bx+1=0。
据说，b b 2古代巴比伦人解决这个问题的过程是先分别求出与（），再求出2 2 b b b ( )2 2 2 2古代巴比伦人早就会用配方法来解一元二次方程了。
二次方程的求解有了很完美的代数方法，人们可以很方便地根据求根公式求出它们的全部根。
人们自然会想到三次、四次以至高次的代数方程是否会有类似的求根公式，即能不能把一个方程的根用该方程的系数经过有限次的使用加、减、乘、除、开方运算得到代数式来表示呢？3阿拉伯人奥玛尔·海牙姆曾利用圆锥曲线对特殊的三次方程如x+Bx+c=0提出了几何解法，但是这种方法只能得到表示未知数的线段长度，而不是理想的求根公式。
1494年，著名的数学家柏沙尔曾断言：一般的三次方程是不可能求解的。
这个论断既代表了当时一般人的认识，又刺激了人们对寻找三次方程求根公式的强烈兴趣，以至于使寻找三次方程的公式解法成了当时数学界十分时髦的课题。
在寻求三次方程求根公式的研究中，16世纪意大利数学家作出了很大贡献。
当时，意大利有一所欧洲最大也是最著名的大学——波罗尼亚大学。
波罗尼亚大学教授齐波·德尔·菲洛在1514～1515年期间，把三次方程全部简 3 3 3化为三种简单类型：x+px=q，x=px+q，x+q=px，其中p、q均为正数。
公式背后的故事高中数学探秘
公式背后的故事高中数学探秘在高中数学的学习中，我们经常会遇到各种各样的公式。
公式看起来简单明了，但你是否想过它们背后的故事？本文将为你揭秘公式的来历和应用，带你深入了解高中数学背后的故事。
1. 一元二次方程的根公式一元二次方程是我们在高中数学中学习的一个重要的概念。
它可以用来解决许多实际问题，比如抛物线的轨迹、物体的运动等等。
而一元二次方程的根公式则是解决这类问题的重要工具。
根公式可以帮助我们求解一元二次方程的根，即解出方程的x的值。
它的形式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中a、b、c分别为方程的系数。
这个公式的推导过程非常精巧，让人叹为观止。
它的发现和证明经历了数百年的努力，包括许多伟大数学家的智慧结晶。
2. 泰勒级数展开泰勒级数展开是另一个让人着迷的数学工具。
它可以将一个函数在某一点附近展开成无穷多个项的和，从而近似表示该函数的值。
这个思想非常有用，在许多实际问题中都能得到应用，比如信号处理、数值计算等等。
泰勒级数展开的公式形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...，其中f(x)是要展开的函数，f'(x)、f''(x)分别是一阶、二阶导数，a是展开点。
3. 向量的叉积公式在几何学和物理学中，向量的叉积是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们计算两个向量之间的关系，如夹角、平行、垂直等等。
向量的叉积公式给出了计算向量叉积的具体步骤和结果。
向量的叉积公式如下：A×B=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k，其中A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)是要进行叉积运算的两个向量。
这个公式的推导依赖于向量的性质和叉积的定义，需要一定的数学技巧和推导过程。
但一旦掌握了这个公式，我们就可以轻松地解决很多与向量相关的问题。
4. 概率论中的基本公式概率论是数学中一个非常重要的分支，它研究随机事件的发生和可能性。
杨辉 高次方程
杨辉高次方程
杨辉是中国古代著名的数学家，他在数学领域的贡献非常突出，其中
最为著名的是杨辉三角。
除此之外，杨辉还研究了高次方程，提出了
一种解法，被称为“杨辉法”。
高次方程是指次数大于等于3的方程，例如x³+2x²-3x+1=0。
在古代，人们对高次方程的解法一直很感兴趣，但一直没有找到有效的方法。
直到杨辉提出了自己的解法，才让人们对高次方程有了更深入的认识。
杨辉的解法基于“求根公式”，即通过求出方程的根来解决问题。
他
首先将高次方程化为一个新的形式，然后通过一系列的变换，将其转
化为一个低次方程。
最后，通过求解低次方程的根，得到高次方程的解。
杨辉的解法虽然比较繁琐，但却是一种非常有效的方法。
他的方法不
仅适用于一般的高次方程，还可以用于解决一些特殊的高次方程，例
如“降次法”和“代换法”。
杨辉的研究成果对于中国古代数学的发展起到了重要的推动作用。
他
的方法不仅被广泛应用于数学领域，还被应用于其他领域，例如物理
学和工程学等。
杨辉的贡献被后人称为“中国数学史上的一座丰碑”。
总之，杨辉是中国古代数学领域的杰出人物，他的研究成果对于中国数学的发展起到了重要的推动作用。
他提出的“杨辉法”为解决高次方程提供了一种有效的方法，被广泛应用于数学和其他领域。
杨辉的贡献将永远被人们铭记。
高次方程的求解历史
这就促使人们进一步思考，是否对于任意次数的方程都能找到这种求根公式？寻找三次方程的求根公式，经历了二千多年的漫长岁月，直到十六世纪欧洲文艺复兴时期，才由几个意大利数学家找到，这就是通常据说的卡丹（Cardan, 1501——1576）公式，其原始想法是中作变量代换后把方程化为（1）它不再含有平方项了，设，这里m和n是两个待定的数，则有如果取m, n满足则对应的y值必满足（1）式。
另一方面，由可得所以，当取时，并令，就得原三次方程的一个根它的另两个根是这里（其中）是的两个不是1的根。
在三次方程求根公式发明过得中，有一个十分有趣的故事，四百多年前，意大利盛行数学竞赛，竞赛的一方是菲俄（Fior，十六世纪前半叶），他是意大利波洛那（Bologna）数学学会会长费罗（Ferro，1465——1526）的学生。
另一方面是威尼斯的数学教授塔尔塔里亚（Taritalia，1500——1557），他小时候就受伤后“口吃”，从小学拉丁文，希腊文，酷爱数学，与费罗一样，对求解三次方程很有研究，在1530年，塔尔塔里亚曾解决了另一个挑战者科拉(Colla)提出的以下两个三次方程求解问题：。
这引出了菲俄的不服，定于1535年2月22日在米兰市大教堂公开竞赛，双方各出三十个三次方程。
结果塔尔塔里亚在两个小时内解完，而菲俄却交了白卷。
1541后，塔尔塔里亚得到了三次方程的一般解法，准备在译完欧几里得和阿基米德的著作后，自己写一本书公开他的解法。
此时，卡丹出场了。
他再三乞求塔尔塔里亚给一首语句晦涩的诗。
这首诗写得很蹩脚，但的确把解法的每一步骤都写进去了，他本人说：“本诗无佳句，对此我不介意，为记这一规则，此诗堪作工具”。
卡丹在得到这一切后，却背信弃义，于1545年把这一解法发表在《大法》这本书中，并断定塔尔塔里亚的方法是费罗的方法，这是与菲俄竞赛时得知的。
这引塔尔塔里亚的极大愤怒，并向卡丹宣战。
双方各出31题，限定15于交卷。
求根公式的由来
求根公式的由来在我们学习数学的过程中，求根公式可是个相当重要的家伙。
那它到底是怎么来的呢？这可得好好说道说道。
还记得我上初中那会，有一次数学课上，老师在黑板上写下了一个一元二次方程，然后就开始给我们讲怎么求解。
当时我心里就犯嘀咕：“这咋整啊？”可当老师一步步推导出求根公式的时候，我就像突然被点亮了一盏灯，那种感觉真的太奇妙了。
咱们先来说说一元二次方程，一般形式是 ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）。
为了找到它的根，咱们就得想办法把 x 给弄出来。
最早的时候，人们尝试用各种方法来解决这类问题。
就像在黑暗中摸索，一点点试探。
后来，经过无数数学家的努力，终于找到了求根公式这个神奇的东西。
咱们来实际推导一下，先配方：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）两边同时除以 a 得到：x² + (b/a)x + c/a = 0然后配方：x² + (b/a)x + (b/2a)² - (b/2a)² + c/a = 0变形得到：(x + b/2a)² - (b² - 4ac) / 4a² = 0接着：(x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²然后开方：x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / 2a最后：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a这就是求根公式啦！其实，这个过程就像是搭积木，一块一块地拼凑，直到最后呈现出一个完整漂亮的建筑。
在实际应用中，求根公式可太有用了。
比如说，要计算一个果园里果树的种植数量，或者计算一个物体的运动轨迹，都可能用到一元二次方程和求根公式。
有一次，我去朋友家的果园帮忙。
朋友想知道按照一定的种植间距，在一块特定面积的土地上能种多少棵果树。
我们就列出了一个一元二次方程，然后用求根公式算出了答案。
一元三次方程万能求根公式
一元三次方程万能求根公式一元三次方程，听上去是不是有点吓人？其实它就像一道数学小题，咱们今天就来聊聊这个“万能求根公式”。
别担心，数学不一定得是严肃的，它也可以轻松有趣，咱们就像聊聊天一样。
想象一下你在海边捡贝壳，偶尔捡到一个特别的，嘿，就是一元三次方程！你心里想：“这玩意儿能干嘛？”其实它的世界大有可为。
这方程的形状就像个有点叛逆的孩子，写成了ax³ + bx² + cx + d = 0。
你一看就觉得，这一堆字母可不是简单的加减乘除呀。
可别急，其实它的背后藏着很多有趣的故事和小秘密。
咱们找找这个“万能求根公式”，听起来像是超能力一样，能让这复杂的方程轻松变得简单。
想象一下，拿出一把万能钥匙，哐当一下，门就开了，问题迎刃而解。
先来个大概念，咱们说的这个公式啊，通常写得有点复杂，但别被吓到。
其实就是为了找出那几个神秘的根，方程的解。
你可以把它看作是方程的好朋友，帮助它找到自己的归属。
想象一下，方程就像一个失落的小孩，根就是它的家，终于找到了可以回去的路。
说到这里，很多小伙伴可能会皱眉头：“这根到底是什么啊？”简单来说，根就是让方程等于零的那些数字。
比如说，咱们用这个公式来求解，可能会得到几个不一样的数字，嘿，这就是它的根。
就像你去找丢失的钥匙，结果翻遍了沙发底下，最后竟然在冰箱里找到了，哈哈，没想到吧？好，咱们再深入一点。
这个公式的确是有点长，像个古老的诗句，但其实它的用法不复杂。
你只需要代入你的系数 a、b、c 和 d，然后一通运算，哗啦啦，结果就出来了。
就像你跟朋友去做一顿丰盛的晚餐，准备食材、调料，然后一气呵成，最后享受美味的过程。
哎呀，光是想象都觉得美好。
很多人可能会觉得，这数学公式太高深，跟自己无缘。
其实啊，生活中到处都有数学的影子。
比如说，你在超市买菜，算算价格，或者打折的时候，看看划不划算，这不就是在做数学吗？一元三次方程也是其中之一，只不过它可能会让你感到一丝神秘感。
人教A版高中数学选修3-1-7.1-三次、四次方程求根公式的发现-课件(共27张PPT)
当塔尔塔利亚获悉菲
奥尔确实身怀绝技的时候， 心里产生了极大的忧虑， 因为他深知自己的方法没 有普遍性，要想赢得比赛 的胜利，必须掌握更完善 的解法。为此，塔尔塔利 亚废寝忘食，夜以继日的 冥思苦想，终于在比赛前 夕得到了x3+px=q(p,q为正 数）这一类方程的解法， 从而在世界上最早的数学 竞赛中大获全胜。
2、数学上最早的数学竞赛
直到1500年左右，意大利波伦亚大学教授费 罗发现了x3+px=q(p,q为正数）类型的三次方程的 解法，但他没有发表自己的方法。因为十六七世纪 的人们，常把所获得的发现保密，然后向对手们提 出挑战，要他们解出同样的问题，费罗在1510年 左右将其传授给自己的学生菲奥尔等人。由于受当 时欧洲保密风气的影响，他们也未将其公布于世。
直到1828年在挪威军事科学院当上了代课教 师前，他一直没有固定的工作，只能以私人授课维 持生计，用他的话说“穷得就像教堂里的老鼠”。 然而，他并没有在逆境中倒下去，仍在坚持研究， 并取得了许多重大的成果。他写下了一系列关于椭 圆函数的文章，发现椭圆函数的加法定理，双周期 性，并引进了椭圆函数的反演，正是这些重大发现 才使欧洲数学家们认识到他的价值。1828年9月， 四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为这位 天才安排一个合适的职位。
宋元时期的秦九韶、李冶以及朱世杰等
人都三次、四次方程的求解方面作出过突出 贡献。但中国古代的努力方向主要是放在求 方程的数值解上，尽管能够求得三次、四次 甚至更高次的代数方程任意精度的数值解， 但始终未能获得求解三次、四次方程的一般 公式。总而言之，在16世纪之前，数学家们 对三次、四次方程的求根公式的研究都以失 败告终。
受拉格朗日的影响，鲁菲妮在1799年到1813 年之间做过好几种尝试，要证明四次以上方程不 能用代数方法解出，但他的努力也20多年，高次方程公式求解问题 仍然悬未决，困扰着众多的数学家。这时，一位来 自北欧挪威的小青年阿贝尔勇敢地站出来迎接挑战， 严格证明了如下事实：如果方程的次数n≥5，并且 系数a1,a2,...an看成字母，那么任何一个由这些字母 组成的公式都不可能是方程的根。
求根公式的推导过程
求根公式的推导过程从古至今，数学领域的发展可以说是一步一个脚印，从古代到现代都有着不少重要的突破。
其中之一，毋庸置疑地是求根公式的出现。
多少年以来，求根公式一直受到学术界的关注，推导出求根公式的过程也一直令学者们兴奋不已。
下面，就让我们一起来看看，求根公式的推导过程有着怎样的精彩。
首先，需要简单介绍一下求根公式是什么。
求根公式，又叫做求解方程的根的公式，是指利用给定的各项系数，当等式的次方只有一项的时候，可以求解这个等式的根的公式。
求根公式由古希腊数学家凯撒（Caesar）提出，但是最早的记载是来自于印度古代数学家施蒂文蒂巴米耶拉斯（Sidhant Bhaskaras）的书籍《什么是求根公式》，被誉为“科学史上最伟大的发现”。
求根公式的推导过程可以通过椭圆和双曲线的数学研究来完成。
我们知道，椭圆和双曲线都是椭圆论的重要组成部分，椭圆论又被称为“椭圆穴论”。
可以说，椭圆论是求根公式的论据。
为了推导出求根公式，我们需要先对椭圆论和双曲线做一定的探索。
接下来，就让我们从研究椭圆开始吧。
椭圆是一种等式f(x, y)=0的曲线，其等式可以描述为：f(x, y)=ax2+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0（其中a, b, c, g, h, f均为系数）以上就是椭圆的一般形式。
而椭圆的点(x0, y0)满足f(x0, y0)=0，或者说，在椭圆上所有点都满足这个式子。
显然，椭圆上的点可以由以下方程求出：x=(f2-be2)x0/ae2+(2gh-bf)y0/ae2y=(e2-af2)y0/be2+(2gf-ah)x0/be2而椭圆的长轴和短轴长度则分别为：L1=2a(b2-ah2e2)1/2L2=2b(a2-bh2e2)1/2根据以上的椭圆及其属性，我们可以将椭圆的等式重新推导如下： (x-x0)2/L12+(y-y0)2/L22=1这就是椭圆的标准方程，由此我们可以推导出一般椭圆的系数a, b, c, g, h, f, x0, y0, L1, L2关系式。
阿贝尔-鲁菲尼定理-详解
阿贝尔-鲁菲尼定理-详解阿贝尔-鲁菲尼定理(Abel - Ruffini theorem)目录• 1 什么是阿贝尔-鲁菲尼定理• 2 阿贝尔-鲁菲尼定理的内容• 3 阿贝尔-鲁菲尼定理的历史• 4 阿贝尔-鲁菲尼定理的现代证明什么是阿贝尔-鲁菲尼定理阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。
它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。
这个定理以保罗•鲁菲尼和尼尔斯•阿贝尔命名。
前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。
埃瓦里斯特•伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死後的1846年才得以发表阿贝尔-鲁菲尼定理的内容阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解。
事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根。
然而代数基本定理并没有说明根的具体形式。
通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示。
例如，任意给定二次方程，它的两个解可以用方程的系数来表示：这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解。
三次方程、四次方程的根也可以使用类似的方式来表示。
阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：，那么不存在一个通用的公式（求根公式），使用和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解。
或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到。
换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式。
这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解。
比如X5− 2 = 0的解就是。
9高次方程的求根
3
初 等 数
3
学 专 题 研 究
x3 = ω
23
q q q p q p 3 + + +ω + 2 2 2 3 2 3
其中 ω =
2
1 + 3i 2
3
q p 这里 + 叫做方程（2）的判别式。 2 3
（1）当
q p + > 0 时， 2 3
第九讲 高次方程的求根 对于一元方程，人们在获得一次方程、二次方程的求根 公式后，便想寻找一般的n次方程的公式解法，通过努力，在 获得三次、四次方程的求根公式后，寻找五次方程的根式解 法的努力失败了，后来法国年轻的数学家伽罗华证明了次数高 于五次（含五次）的代数方程不可能有求根公式的结论后，人 们才停止了这种搜寻。因此对于高次方程，只能对一些结构 特殊的方程我们可以求出它的初等解，一般的高次方程只能 寻求它的近似解。 本讲主要介绍三次方程的求根公式和称为倒数方程的 求解方法。
a0 ( x 3 +
…③ ③
（次数是最高次数的一半）去除方程③的两边， x3
1 1 1 ) + a1 ( x 2 + 2 ) + a 2 ( x + ) + a 3 = 0 x3 x x
初 等 数 学 专 题 研 究
由于
1 1 3 1 x + 3 = ( x + ) 3( x + ) x x x 1 1 2 2 x + 2 = (x + ) 2 x x 1 所以 作变数替换 y = x + 可以使方程的次数降低一半。 可以使方程的次数降低一半 x
f ( 2) = 3 > 0
三次求根公式
三次求根公式
三次求根公式是一种有效的数学方法，可以用来求解任意一个高次方程的根。
它是由法国数学家卡尔·安东尼于1813年提出的，因此也被称为安东尼公式。
三次求根公式可以用来求解任意三次方程的根，其公式如下：
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a}\pm \sqrt{\frac{3a}{-b\pm \sqrt{b^2 - 3ac}}\frac{-c}{a} + \frac{2b^3 - 9abc}{27a^2}}$$
其中，a、b、c分别表示系数，x表示未知数。
使用该公式的方法是：首先把方程化简为标准的三次方程，然后将系数代入公式中，计算出根。
例如，求解方程$3x^3-2x^2-5x+2=0$，可以将其化简为$x^3-\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{3}x+\frac{2}{3}=0$，将系数代入公式中，可以求得其三个根为$\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{13}}{3}$，$\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{13}}{3}$，$-1$。
三次求根公式可以求解任意三次方程的根，但需要注意的是，当$b^2-3ac<0$时，求根的结果将变为复数，所以要使用三次求根公式，首先要判断出系数$b^2-3ac$的值。
三次求根公式是一种解决多元高次方程的经典方法，它比解析法更加直观，更加方便，在很多高等数学课程中都有深入的讨论。
它的
推广应用使得更多的数学问题得以解决，这也是它能够被广泛使用的原因。
高中数学选修3-1《数学史》：三次、四次方程求根公式的发现
花拉子米
系统研究二次方程的一般解法并给出了求根公式
早在古巴比伦时代，人类很早 就掌握了一元二次方程的解法，但 是直到公元9世纪，才有阿拉伯数 学家开始对二次方程的一般解法进 行了系统理论的研究，并给出了求 根公式.
对一元三次方程的研究，则是进展缓慢. 古代 中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过 一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅 仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三 次方程就不适用了 .
他未公布答案，引来波罗拉学派的愤怒
塔尔塔利亚与菲奥尔决定举行竞赛，塔 尔塔利亚胜出，这是有史记载的第一次数 学竞赛.
菲奥尔
塔尔塔利亚
数学竞赛时间:1535年2月13日 数学竞赛地点:意大利---米兰
规则:双方各出三十个三次方程的问题给对方.
最终结果: 0:30 菲奥尔 输给了 塔尔塔利亚.
比赛前:
世界上早期数学竞赛的形成及其对决. “卡尔达诺”公式 的由来.
费拉里发现的一元四次方程的解法
和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标 平移来消去四次方程 一般形式中的三次项. 所以只 要考虑下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r 关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方 形式.
随堂练习
求方程 x3 15x2 + 81x 175 = 0的根
但是未公开发表.而是将其传授给自己的 学生菲奥尔.
悲观派 乐天派
1494年,意大利数学家 帕西奥利
根本不可能
意大利波伦大学 教授费罗
x3+mx= n
m, n为正数
学生:菲奥尔
费罗
塔尔塔 利亚
1534年，塔尔塔利亚 宣称自己已掌握了形如
求根公式的历史与应用
求根公式的历史与应用求根公式是一种数学工具，用于解决多项式方程的根的问题。
它在数学领域具有重要的历史渊源和广泛的应用。
本文将通过探索求根公式的历史，并重点介绍其在代数学、物理学和工程学等领域中的应用。
一、求根公式的历史求根公式最早可以追溯到古希腊时期。
古希腊的数学家毕达哥拉斯提出了求解一次方程的方法，但对于二次及更高次方程仍然没有有效的解法。
直到公元16世纪，意大利数学家卡尔达诺提出了求解三次方程的方法，称为卡尔达诺方程。
然而，直到公元16世纪末，法国数学家维埃塔提出了关于四次方程的解法，它们解决了过去数学家们长期以来的难题。
然而，对于高于四次方程的求根问题，长期以来一直被认为是不可解的。
直到18世纪，法国数学家欧拉才提出了一个关于五次方程的求根公式，但这个公式过于复杂，难以应用。
直到19世纪，法国数学家伽罗华和挪威数学家阿贝尔独立地证明了五次及更高次方程无一般求根公式。
二、求根公式的应用虽然没有一般的求根公式，但求根公式仍然在数学和其他学科中有着广泛的应用。
1. 代数学中的应用在代数学中，求根公式被广泛应用于多项式的因式分解和根的特征等方面。
通过求根公式，我们可以将多项式分解为一系列一次因式的乘积，从而更好地理解和分析多项式函数的性质。
2. 物理学中的应用求根公式在物理学中也有重要的应用。
许多物理问题可以用方程描述，而求解方程的根则是解决问题的关键。
例如，在牛顿力学中，求根公式可以用来解决抛体运动、振动问题等。
在电磁学中，求根公式可以用来解决电路中的电压和电流分布等问题。
3. 工程学中的应用在工程学中，求根公式以及相关的数值方法被广泛应用于解决各种工程问题。
例如，在控制系统工程中，求根公式可以用来分析和设计控制系统的稳定性和性能。
在结构工程中，求根公式可以用来计算和优化结构的固有频率和振型等。
总结起来，求根公式是一种重要的数学工具，在数学和其他学科中有着广泛的应用。
尽管一般的求根公式已被证明不存在，但通过特定的数值方法和近似解法，我们仍然能够有效地解决多项式方程的根的问题。
古代的高次方程过程
古代的高次方程过程
古代高次方程的解法
在古代，数学是一门非常重要的学科，人们通过研究数学问题来解决各种实际的难题。
其中一个重要的数学问题就是高次方程的解法。
高次方程是指次数大于等于2的方程，例如二次方程、三次方程等。
解决高次方程的方法有很多种，但在古代，人们主要使用代数方法和几何方法来解决这些问题。
代数方法是通过符号运算来解决方程，其中代数学家们提出了一些重要的概念和技巧。
他们发现，对于一元n次方程，可以通过多次的因式分解和配凑的方法，将其转化为一元一次方程的形式，从而求得方程的解。
几何方法则是通过图形的性质来解决方程。
古代数学家们发现，对于二次方程，可以通过几何方法来求解。
他们发展出了求解二次方程的几何图形，通过观察图形的性质，可以得到方程的解。
这种几何方法不仅提供了解决方程的一种途径，也丰富了几何学的发展。
以二次方程为例，古代数学家们发现，二次方程的解可以通过求根公式来得到。
这个公式可以用来计算方程的根，并且可以适用于所有的二次方程。
这个公式的推导过程非常繁琐，需要运用代数的知识和技巧。
通过这个公式，人们可以求解各种各样的实际问题，例如求解物体的运动轨迹、求解图形的面积等。
总的来说，古代高次方程的解法涉及到代数和几何两个方面。
通过运用代数的方法和几何的观察，人们可以解决各种各样的高次方程问题。
这些解法不仅为古代人们解决实际问题提供了便利，也为数学的发展做出了重要的贡献。
作为现代人，我们应该向古代数学家们学习，继续发展和探索数学的奥秘。
高中数学备考——一元三次方程讲练故事
2021高中数学备考——一元三次方程讲练故事听说解不开一元二次方程的两个根的人无法寻找到自己的另一半。
一元二次方程真的和少男少女们心灵碰撞了好多年，那熟悉的二次三项式轮回轰炸，又有多少青少年从解一元二次方程的枪林弹雨中能够冲过来， 于是那些女生们善于直接开方法、公式法走出了困境，那些男生们享用因式分解法、配方法登上山峰，虽然都很艰难，但都做出了像样的努力，从这座山走到了那座山.可是一元三次方程是一座高高的山，能登上山的人却是很少的几个人。
那座高高的山，就是那一元三次方程，比那一元二次方程只是多了一个次幂，只是多了一个三次项，可是它的解法好难好难。
就像大峡谷中的悬崖古寨，在四周开阔之处兀然伫立，比河谷高出一二百米。
相比一元二次方程，一元三次方程的求解像一个非常险要的地形，几乎让人们望而生畏。
那标准型的一元三次方程是这样的：aX 3+bX 2+cX+d=0（a ，b ，c ，d ∈R ，且a ≠0），现在流传的解法只有：1.意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法；2.中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。
两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。
用卡尔丹公式解题方便，相比之下，盛金公式虽然形式简单，但是整体较为冗长，不方便记忆，但是实际解题更为直观。
你想看看他们的解法吗？卡尔丹开始将三次四项式化为一元三次方程：x 3+px+q=0。
它的解是：如果按照标准型的方程直接求解，那么标准型方程中卡尔丹公式的一个实根是：X=—ab 3+33222332332)93()542927(542927a b c a a b abc d a a b abc d a -++-++-程中或者存在的实数解。
因此，以下的举例，是使用最简捷、最容易看懂的方法：逆向操作实数解，完成解释一元2次方程和一元3次方程的通道→(M+N)= -x。
作为刚才探索过程中的实例，我们来看看以下例题的演算过程，你可以从这些演算步骤中感受这个奇妙通道的经典过程。
数学史：方程求解的趣味故事
数学史：方程求解的趣味故事金庸先生的武侠相信大家都看过，书中关于武林中故事情节一定记忆犹新，读来让人回味无穷，荡气回肠。
其实在数学的发展历史中，也成出现过这种类似的故事，甚至比武侠故事更让人回味，今天我就给大家分享一下。
学生时代我们都学习过一元一次方程和一元二次方程求解，那你知道人类是何时会求解这些方程的吗？一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。
公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解特殊的一元二次方程了。
公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解一元二次方程。
一元二次方程的解决就促使人们进一步的思考，一元三次方程是否能找到求根公式呢？然而，对更高次的一元三次方程的求解，却让很多数学家都陷入了困境。
经历了两千多年的漫长岁月。
，一元三次方程的解法始终没有定论。
数不清的数学家付出了一生的精力去探索三次方程，却以失败告终。
但这并没有让数学家停止对一元三次方程求根公式的寻找。
时间来到了16世纪的意大利，一个叫费罗的数学家终于找到了x+mx=n一类的缺项三次方程的求解公式。
然而，费罗却没有将自己的成果公布出来，而是秘而不宣，犹如武侠小说里面，某某懂得某种高深的武功，自然是不会教给别人的。
费罗凭借这一独门功夫，称霸意大利的数学江湖多年。
直到1526年费罗临终之际，才将自己的成果记录在了笔记本上，传给了自己的弟子菲奥尔。
自然费奥尔也没有将其公布于众。
（塔尔塔利亚）但不久之后，有一个叫尼科洛·塔尔塔利亚的数学家对外声称自己也会求解一元三次方程（塔尔塔利亚找到了缺少一次项的正系数三次方程“x^3+px^2=q”的一般解法）。
菲奥尔听说塔尔塔利亚会解三次方程后很是愤怒，发表公开声明，强调自己才是武林正宗，只有自己掌握三次方程的解法。
塔尔塔利亚听说后当然不干了，一场口水撕逼大战爆发。
最终塔尔塔利亚给菲奥尔下了挑战书，两人约定1535年2月22日在米兰的圣玛利亚大教堂进行公开比赛，两个人各自带30道题过去，在公证人面前交换题目，以50天为期，谁解出的题目越多谁就获胜，华山论剑就此开始。
一元二次方程的故事
⼀元⼆次⽅程的故事
⼀元⼆次⽅程的故事
⼀元⼆次⽅程（quadratic equation of one variable）是指含有⼀个未知数且未知数的最⾼次项是⼆次的整式⽅程．在公元前两千年左右，⼀元⼆次⽅程及其解法已出现于古巴⽐伦⼈的泥板⽂书中：求出⼀个数使它与它的倒数之和等于⼀个已给数.可见巴⽐伦⼈已知道⼀元⼆次⽅程并知道了求根公式．但他们当时并不接受负数，所以负根是略⽽不提的．
埃及的纸草⽂书中也涉及到最简单的⼆次⽅程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了⼀元⼆次⽅程的求根公式．
希腊的丢番图（246-330）却只取⼆次⽅程的⼀个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之⼀．
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到⼆次⽅程⼆次项系数为⼀的⼀个求根公式．
在阿拉伯阿尔．花拉⼦⽶的《代数学》中讨论到⽅程的解法，解出了⼀次、⼆次⽅程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数．把⼆次⽅程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法．阿尔．花拉⼦⽶除了给出⼆次⽅程的⼏种特殊解法外，还第⼀次给出⼆次⽅程的⼀般解法，承认⽅程有两个根，并有⽆理根存在，但却未有虚根的认识．⼗六世纪意⼤利的数学家们为了解三次⽅程⽽开始应⽤复数根．
韦达（1540-1603）除已知⼀元⽅程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系．
我国《九章算术．勾股》章中的第⼆⼗题是通过求相当于的正根⽽解决的．我国数学家还在⽅程的研究中应⽤了内插法．。
伽罗华的故事
法国的数学家伽罗华
殒落的新星
• 1832年5月30日清晨，法 国巴黎郊外进行了—场决 斗。枪声响后，一位青年 摇摇晃晃地倒下了，死时 还不到21岁。死前这个青 年沉痛地说： “请原谅 我不是为国家牺牲。我是 为了一些微不足道的事而 死的。” 这个因决斗而死去的青年，就是近代数 学的奠基人之一、历史上最华轻、最聪 明的、思想最深刻的、最倒霉的著名数 学家伽罗华。
的兴趣。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗华的眼睛盯上了：高次方程的求根 公式问题。 • 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。两年后，卡当的 学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当 时，数学家们非常乐观，以为马上就可以写出 五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根 公式了。然而，几百年后，谁也找不出一个这 样的求根公式。
他坚信自己的理论正确
• 伽罗华自豪地写道：“你可以公开请求 雅可比或者高斯，不是对这些东西的正 确性，而是对它的重要性表示意见。”
• 我希望，今后能有人认识这些东西的奥妙，并 作出恰当的解释。
假如伽罗华长寿（我们畅想） • 假如伽罗华没有遇见那个姑娘 • 假如他能够长寿，数学的今天也许没有 这样复杂 • 如果他能够活到高斯那样的岁数，也许， 伽罗华会成为最伟大的科学家，并与阿 基米德，牛顿，爱因斯坦齐名
经常被老师斥为“笨蛋”
• 1811年10月25日，伽 罗华出生在法国巴黎 附近的一个小镇上。 • 小时候，伽罗华并没 有表现出特殊的数学 才能，相反，他12岁 进入巴黎的一所公文 中学后，还经常被老 师斥为笨蛋。
伽罗华遇到了数学教师里沙
里沙老师非常善于启发学生思维，他把
全部精力都放在学生身上，还常常利用 业余时间去大学听课，向学生传授新知 识。很快，伽罗华就对数学产生了极大
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高次方程求根公式的故事
1545年意大利学者卡丹将一元三次方程ax3 +bx2+cx+d=0的求根公式公开发表，后来人们就把它叫做“卡丹公式（也有人译作“卡尔丹公式”）。
事实上，发现公式的人并不是卡丹本人，而是塔尔塔利亚。
塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。
他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了。
他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。
有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。
结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。
塔尔塔利亚大获全胜。
后来，意大利医生兼数学家卡丹请求塔尔塔利亚把解方程的方法告诉他，但遭到了拒绝。
尽管卡丹千方百计地想探听塔尔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔尔塔利亚都守口如瓶。
可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓对此保守秘密，于是塔尔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。
六年后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作中将经过改进的三次方程的解法公开发表。
他在书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友——布里西亚的塔尔塔利亚。
塔尔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。
我找到了几种证法。
证法很难，我把它叙述如下。
”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为“卡丹公式”，而塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。
卡丹没有遵守誓言，因而受到塔尔塔利亚及许多文献资料的指责。
但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔尔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。
卡丹用自己的工作对塔尔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。
一元三次方程应有三个根。
塔尔塔利亚公式给出的只是一个实根。
又过了大
约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。
一元四次方程的求根公式由卡丹的学生费拉里找到了。
一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。
后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n≥5)没有公式解。
不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n≥5)可有求根公式。
那么又是什么样的一元n次方程才没没有求根公式呢？
不久，这一问题在19世纪上半期，被法国数学家伽罗瓦利用他创造的全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。