裂项相消法求和之再研究(例题有答案,习题无答案)

裂项相消法求和之再研究

撰写人：刘小明

一、多项式数列求和。 （1）用裂项相消法求等差数列前n 项和。即形如n a an b =+的数列求前n 项和

此类型可设22()[(1)(1)]n a An Bn A n B n an b =+--+-=+左边化简对应系数相等求出A,B 。 123222()0(42)()(93)(42)()[(1)(1)]

n n

S a a a a A B A B A B A B A B An Bn A n B n An Bn

=+++=+-++-+++-++++--+-=+

则

例1：已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，求它的前n 项和n S 。 2222

222222

123()[(1)(1)]21

2=21

22110

(1)12132(1)n n n n n a An Bn A n B n n a An B A n A A B A B a n n S a a a a n n n =+--+-=-=+--==⎧⎧∴⇒⎨⎨-=-=⎩⎩∴=--∴=+++=+-+-++--= 解：令 则有 （2）用裂项相消法求多项式数列前n 项和。即形如121210m m n m m a b n b n b n b ----=++++ 的数列求前n 项和。

此类型可111111()[(1)(1)(1)]m m m m n m m m m a c n c n c n c n c n c n ----=+++--+-++- 设

121210m m m m b n b n b n b ----=++++

上边化简对应系数相等得到一个含有m 元一次方程组。

说明：解这个方程组采用代入法，不难求。系数化简可以用二项式定理，这里不解释。

解出12,,,m c c c 。再裂项相消法用易知111m m n m m S c n c n c n --=+++

例2：已知数列{}n a 的通项公式为3n a n =，求它的前n 项和n S 。

432432322323

[(1)(1)(1)(1)]

(4641)(331)(21)4(63)(432)()

14411630243200n a An Bn Cn Dn A n B n C n D n A n n n B n n C n D

An A B n A B C n A B C D n A A A B B A B C C A B C D =+++--+-+-+-=-+-+-++-+=+-++-++-+-+===⎧⎪-+==⎪∴⇒⎨-+=⎪⎪-+-+=⎩解：设（） 140D ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩

4324322222222222111111[(1)(1)(1)]424424

(1)(1)221223123423(1)(1)(1)22222222n n a n n n n n n n n n n n n n n n n S ∴=++--+-+-+-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⨯⨯⨯⨯⨯+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（） 二、二、多项式数列与等比数列乘积构成的数列。

（1）用裂项相消法求等比数列前n 项和。即形如n n a aq =的数列求前n 项和。这里不妨设1q ≠。（1q =时为常数列，前n 项和显然为n S an =）

此类型可设1A n n n a q Aq -=-，则有()n n n A a A q aq q =-

=，从而有,1A aq A a A q q -==-。再用裂项相消法求得n n S Aq A =-

例3：已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，求它的前n 项和n S 。

解：设1A n n n a q Aq -=-，则有2333n n n A a == ，从而有32A =，故13322

n n

n a +=-。 232431112311(33333333)(33)22n n n n n S a a a a ++∴=+++=

-+-+-+++-=- （2）用裂项相消法求等差数列与等比数列乘积构成的数列前n 项和。即形如()n n a an b q =+的数列求前n 项和。

此类型通常的方法是乘公比错位错位相减法，其实也可以用裂项相消法。这里依然不妨设1q ≠，（1q =时为等差数列，不再赘述。）

可设1()[(1)]n n n a An B q A n B q -=+--+，则有11[())()n n n a Aq A n Bq A B q aqn bq q --=-++-=+，

从而得到方程组()Aq A aq Bq A B bq

-=⎧⎨+-=⎩，继而解出A ，B 。再用裂项相消法求得()n n S An B q B =+- 例4：已知数列{}n a 的通项公式为3n n a n =⋅，求它的前n 项和n S 。

解：设1()3[(1)]3n n n a An B A n B -=+--+，则有11[22)333n n n a An B A n --=++=⋅，

从而得到方程组2320A B A =⎧⎨+=⎩，解得3

234A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩。121233344n n n n n a +--=⋅-⋅ 222321112311[333335333(21)3(23)3][(21)33]44

n n n n n S a a a a n n n ++∴=+++=++⨯-+⨯-⨯++-⋅--⋅=-⋅+ （3）用裂项相消法求多项式数列与等比数列乘积构成的数列前n 项和。

即形如121210()m m n n m m a b n b n b n b q ----=+++ 的数列求前n 项和。

此类型有一个采用m 次错位相减法的方法求出，但是当次数较高时错位相减法的优势就完全失去了。同样这里依然不妨设1q ≠，（1q =时为多项式数列，不再赘述。）

下面介绍错位相减法的方法：