专题15 尺规作图、投影与视图(解析版)

专题15 尺规作图、投影与视图一．选择题（共8小题）1．（2020•苏州）如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是()A．B．C．D．【解答】从上面看，是一行三个小正方形．故选：C．2．（2020•泰州）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥【解答】观察展开图可知，几何体是三棱柱．故选：A．3．（2020•连云港）如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是()A．B．C．D．【解答】从正面看有两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：D．4．（2020•常州）如图是某几何体的三视图，该几何体是()A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥【解答】该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．5．（2020•盐城）如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是()A．B．C．D．【解答】观察图形可知，该几何体的俯视图是．故选：A．6．（2020•淮安）下列几何体中，主视图为圆的是()A．B．C．D．【解答】正方体的主视图为正方形，球的主视图为圆，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，故选：B．7．（2020•南通）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：)cm，则这个几何体的侧面积为()A ．248cm πB ．224cm πC ．212cm πD ．29cm π【解答】由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6， 所以这个几何体的侧面积216824()2cm ππ=⨯⨯⨯=．故选：B ．8．（2020•镇江）如图，将棱长为6的正方体截去一个棱长为3的正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】从正面看是一个正方形，正方形的右上角是一个小正方形， 故选：A ．二．填空题（共3小题）9．（2020•苏州）如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ．过点A 作//AD ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E ．设10OA =，12DE =，则sin MON ∠=2425．【解答】如图，连接DB ，过点D 作DH ON ⊥于H ． 由作图可知，AOD DOE ∠=∠，OA OB =， //AD EO ， ADO DOE ∴∠=∠， AOD ADO ∴∠=∠， AO AD ∴=，AD OB ∴=，//AD OB ，∴四边形AOBD 是平行四边形，OA OB =，∴四边形AOBD 是菱形，10OB BD OA ∴===，//BD OA ， MON DBE ∴∠=∠，BOD BDO ∠=∠， DE OD ⊥，90BOD DEO ∴∠+∠=︒，90ODB BDE ∠+∠=︒，BDE BED ∴∠=∠，10BD BE ∴==， 220OE OB ∴==，2222201216OD OE DE ∴=-=-=， DH OE ⊥， 161248205OD DE DH EO ⨯∴===， 48245sin sin 1025DH MON DBH DB ∴∠=∠===．故答案为2425． 10．（2020•扬州）如图，在ABC ∆中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、BC 于点D 、E ． ②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ．③作射线BF 交AC 于点G ．如果8AB =，12BC =，ABG ∆的面积为18，则CBG ∆的面积为 27 ．【解答】如图，过点G 作GM AB ⊥于点M ，GN AC ⊥于点N ， 根据作图过程可知： BG 是ABC ∠的平分线， GM GN ∴=， ABG ∆的面积为18，∴1182AB GM ⨯⨯=， 418GM ∴=， 92GM ∴=， CBG ∴∆的面积为：1191227222BC GN ⨯⨯=⨯⨯=．故答案为：27．11．（2020•徐州）如图，30MON ∠=︒，在OM 上截取13OA =．过点1A 作11A B OM ⊥，交ON 于点1B ，以点1B 为圆心，1B O 为半径画弧，交OM 于点2A ；过点2A 作22A B OM ⊥，交ON 于点2B ，以点2B 为圆心，2B O 为半径画弧，交OM 于点3A ；按此规律，所得线段2020A B 的长等于 192 ．【解答】111B O B A =，112B A OA ⊥， 112OA A A ∴=，22B A OM ⊥，11B A OM ⊥， 1122//B A B A ∴，112212B A A B ∴=， 22112A B A B ∴=，同法可得233221122A B A B A B ==，⋯， 由此规律可得192020112A B A B =，111tan3031A B OA =︒=⨯=， 1920202A B ∴=， 故答案为192．三．解答题（共3小题）12．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A 关于l 的对称点A '，线段A B '与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB 是最短的．为了证明点C 的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C '，连接AC '、BC '，证明AC CB AC C B '+<'+．请完成这个证明．（2）如果在A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）． ①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．【解答】证明：（1）如图②，连接A C ''， 点A ，点A '关于l 对称，点C 在l 上， CA CA '∴=，AC BC A C BC A B ''∴+=+=，同理可得AC C B A C BC '''''+=+， A B A C C B ''''<+， AC BC AC C B ''∴+<+；（2）如图③，在点C 出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB ，（其中点D 是正方形的顶点）； 如图④，在点C 出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD DE EB ++，（其中CD ，BE 都与圆相切） 13．（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．【解答】（1）如图①，过点P作PE CD⊥于点E，点P是边长为30厘米的正方形雕刻模具的中心，∴=，15PE cm同理：A B''与AB之间的距离为15cm，A D''与AD之间的距离为15cm，B C''与BC之间的距离为15cm，2001515170()A B C D cm ∴''=''=--=， 100151570()B C A D cm ''=''=--=，()170702480A B C D C cm ''''∴=+⨯=四边形， 答：图案的周长为480cm ；（2）连接PE 、PF 、PG ，过点P 作PQ CD ⊥于点Q ，如图②P 点是边长为的等边三角形模具的中心，PE PG PF ∴==，30PGF ∠=︒，PQ GF ⊥，GQ FQ ∴==，tan3015PQ GQ cm ∴=︒=， 30cos30GQPG cm ==︒，当EFG ∆向上平移至点G 与点D 重合时，由题意可得，△E F G '''绕点D 顺时针旋转30︒，使得E G ''与AD 边重合，DP ∴'绕点D 顺时针旋转30︒到DP ''，∴30305180p p l cm ππ'''⨯==， 同理可得其余三个角均为弧长为5cm π的圆弧，∴(20010025460020()C cm ππ=--⨯+⨯=-，答：雕刻所得图案的周长为(60020)cm π-+．14．（2020•南通）（1）如图①，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AD AE =，B C ∠=∠．求证：AB AC =．（2）如图②，A 为O 上一点，按以下步骤作图： ①连接OA ；②以点A 为圆心，AO 长为半径作弧，交O 于点B ； ③在射线OB 上截取BC OA =； ④连接AC ．若3AC =，求O 的半径．【解答】（1）证明：在ABE ∆和ACD ∆中 B C A A AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABE ACD AAS ∴∆≅∆， AB AC ∴=；（2）连接AB ，如图②， 由作法得OA OB AB BC ===， OAB ∴∆为等边三角形， 60OAB OBA ∴∠=∠=︒， AB BC =， C BAC ∴∠=∠， OBA C BAC ∠=∠+∠， 30C BAC ∴∠=∠=︒90OAC ∴∠=︒，在Rt OAC ∆中，3OA AC = 即O。