自考04184线性代数经管类讲解矩阵

阵矩第二章

2.1矩阵的概念

n2.1.1m×由定义个数

ai=12…mj=12…n）排成，，，，，，；（ij mn 数

表一个列的行用

大小括号表示mn列矩阵。称为一个行nm×这矩阵的含义是：个数排成一个矩形阵列。aij列元素称为矩阵的第其中行第

ij i=12…mj=12…ni，而，，，，）；，，（jij列的变称为行标，称为列标。第行与第ij 。，）叉位置记为（ABC等表示，通常用大写字母，mn，和列数矩阵。有时为了标明矩阵的行数也可记为A=aaA 或））或（（nm ×nm×ijnm×ij

m=nA=a n阶为时，称）（当nijn×2n nn阶方阵是由矩阵，或者称为。阶方阵个数排成一个正方形表，它不是一个数（行n阶行列式是两个完），它与列式是一个数全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。nA

中从左上角到右下角的这条阶方阵一个An阶方阵的主对。的主对角线对角线称为aa…a，称为此方，角线上的元素，，nn1122阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零矩阵。用OO（大写字）表示。或者nm×a…m=1α=a，（时，称，，特别，当12a n1×n 矩阵。。它是）为维行

向量n m n=1维列向量为时，。称当

1 m×它是矩阵。向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。abc3维

行向量，）是，，（例如，

3维列向量。是几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵或简写形如

A）念为（那不是“尖”，，的矩阵，

称为对角矩阵

是一个三阶对角矩阵，例如，。也可简写为

2.数量矩阵n阶数量矩阵对角矩阵的主对角线上的元当

有如下形式：素都相同时，称它为数量

矩阵。。或N没标就不阶矩阵，（标了角标的就是知是多少的）na=1阶单位矩阵当时，称特n EI，单位

记为它为或阶nn别，矩阵。即

或E或在不会引起混淆时，也可以用

I 表示单位矩阵。naEaI表示。或阶数量矩阵常用nn2.2 节中的数乘矩阵运算。其含义见

n3.n阶下三角矩阵阶上三角矩阵与

的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角

矩阵。阵一个方阵是对角矩阵当且仅当它角矩对

必须是方既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。阵。

4.零矩阵

（可以是方阵也可以不是方阵）

2.2矩阵运算

数乘、减法、本节介绍矩阵的加法、只有在对矩阵定义乘法和转置等基本运算。才了一些有理论意义和实际意义的运算后，能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。

2.2.1矩阵的相等（同）

A=aB=bm=kn=l且，若设）（，），（lijnk×ijm ×a=bi=12…mj=1，；，，，，ijij2…nAB相等，记为，则称矩阵，与矩阵，A=B。

由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而ij）上的一且两个矩阵中处于相同位置（，。对数都必须对应相等特别，

A=a=Oa=0i=12…，，（），，ijijm×n mj=12…n 。，；，，注意行列式相等与矩阵相等有，本质区别例如

12）位置上的因为两个矩阵中（，

02 。但是却有行列式等式元素分别为和

（因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）

2.2.2矩阵的加、减法

2.2.2A=aB=和设）定义（nijm×n AB bm×，是两个（矩阵。由）与的nm×ij nm×称为对应元素相加所得到的一个矩阵，ABA+B ，即与的和，记为A+B=a+ b 。（）nijm×ij 即若

则

AB的当两个矩阵行数与列数分别相等与时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。

例如

注意：

1矩阵的加法与行列式的加法）（

有重大区别例如

（阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其）它的不变。21的方阵与数不能（）阶数大于

1它就是一个表，不是一（阶数大于相加。个数了）A=ann>1a，）为若阶方阵，（ij A+a n阶方阵无意义！但是为一个数，则A=aaE 可以相加：与数量矩阵（）nnm×

ij

aE 把数转化为数量矩阵（n就可以想加了）矩阵的加法满足下列运算律：ABnCm×nOm×都

是零矩阵，设是，，

矩阵，则1A+B=B+A.（交换律乘法没有交换律）（）2A+B+C=A+B+C. ）））结合

律（（（3A+O=O+A=A.

）（4A+C=B+CA=B.（）消去律

2.2.3数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）2.2.3A=a）定义（对于任意一个矩阵ij kkA的乘积为，规定和任意一个数与nm×kA=ka.（矩阵里的第个原数都乘

以（）nm×ij K ）数．

即若

则

Ak2.2.3的乘可知，数由定义与矩阵k kA，而数中的所有元素都要乘以积只是DkD

某一行与行列式乘的乘积只是用中nn Dk

中某一列的所乘的所有元素，或者用n有元素，这两种数乘运算是截然不同的。数根据数乘矩阵运算的定义可以知道，aEaE的乘积与单位矩阵就是数。量矩阵

nn乘运算律数

1klA=klA=klAkl和（），（）结合律（）为任意实数。2kA+B=kA+kBk+l）（（）分配律，（）A=kA+lAkl为任意实数。，和1 已知例

2A-3B 。求解

2已知例

A+2X=BX 。且，求解：

（注意是乘以矩阵里的每个元素）

2.2.4乘法运算

A=aB=bC=c）（（设矩阵）（，），令ijk×km×