第11讲 反比例函数

(1)分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式;
思路点拨:(1)用待定系数法求得函数的解析式即可;
解:(1)设线段 AB 所在的直线的解析式为 y1=k1x+b,
把点
A(0,20),B(10,40)代入,得
b 20, 10k1 b
40,
解得
bk1220,,
∴线段 AB 的函数解析式为 y1=2x+20(0≤x≤10).
1.(2019 江西)已知正比例函数 y1 的图象与反比例函数 y2 的图象相交于点 A(2,4), 下列说法正确的是( C )
(A)反比例函数 y2 的解析式是 y2=- 8 x
(B)两个函数图象的另一交点坐标为(2,-4) (C)当 x<-2 或 0<x<2 时,y1<y2 (D)正比例函数 y1 与反比例函数 y2 都随 x 的增大而增大
2.反比例函数的性质
反比例函数 k的符号
y= k x
k>0
k<0
图象的 大致位置
所在象限 性质
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在第 一、三 象限
在每一象限内,y随 x的增大而 减小 .
在第 二、四 象限
在每一象限内,y随 x的增大而 增大 .
3.k的几何含义
反比例函数 y= k (k≠0)中比例系数 k 的几何意义,即过双曲线 y= k (k≠0)上任
x x<-2 或 0<x<2 时,y1<y2,∴选项 C 正确.故选 C.
2.(2019 鄂州)在同一平面直角坐标系中,函数 y=-x+k 与 y= k (k 为常数,且 x
k≠0)的图象大致是( C )
解析:∵函数 y=-x+k 与 y= k (k 为常数,且 k≠0),∴当 k>0 时,y=-x+k 经过 x
解析:法一 根据反比例函数的性质. ∵k=12>0,∴反比例函数的图象在一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大 而减小. ∴当-6<-2<0时,x2<x1<0, 又∵y=2>0时,x3>0, ∴x2<x1<x3.故选B.
法二 数形结合法.
根据-6<-2<0<2,在函数图象上画出三个对应点
的大概位置,根据位置比较自变量的值的大小.
第11讲 反比例函数
反比例函数的概念
1.定义:形如
yk x
(k是常数,k ≠0
2.反比例函数解析式的三种形式
(1)
yk x
(k≠0);
(2) y=kx-1 (k≠0);
(3)xy=k(k≠0).
)的函数叫做反比例函数.
反比例函数图象和性质(常考点)
1.反比例函数 y= k (k≠0)的图象是 双曲线 . x
第一、二、四象限,y= k 经过第一、三象限,故选项 A,B 错误,当 k<0 时, x
y=-x+k 经过第二、三、四象限,y= k 经过第二、四象限,故选项 C 正确,选 x
项 D 错误,故选 C.
3.(2019 衡阳)如图,一次函数 y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 y2= m x
(m 为常数且 m≠0)的图象都经过点 A(-1,2),点 B(2,-1),结合图象,则不等
x ∴A 点的横坐标和纵坐标相等,
又∵点 A 在第一象限,∴xA=yA>0,∵OA=
2
,∴
xA2
+
y
2 A
=OA2=2,
∴xA=yA=1,∴点 A 的坐标为(1,1),∴k=1×1=1.
(2)连接OB,AB,求△OAB的面积.
解:(2)如图,作 AE⊥x 轴于点 E,BF⊥x 轴于点 F,
解:(2)当 x=5 时,代入 y1=2x+20,得 y1=2×5+20=30,
当 x=30 时,代入 y2= 1000 ,得 y2= 1000 = 100 ,
x
30 3
∵30< 100 , 3
∴第 30 分钟注意力更集中.
(3)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指标数 最低达到36,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲 解完这道题目?
反比例函数的图象和性质(易错点)
[例 1] 若点 A(x1,-6),B(x2,-2),C(x3,2)在反比例函数 y= 12 的图象上,则 x1,x2, x
x3 的大小关系是( B )
(A)x1<x2<x3
(B)x2<x1<x3
(C)x2<x3<x1
(D)x3<x2<x1
思路点拨:比较反比例函数自变量的值或函数值的大小都可以用反比例函数性 质法、数形结合法、特殊值法.
如图,x2<x1<x3.故选 B.
法三 取特殊值法 如果题目中给出了 y 的范围,可根据 y 的范围取特殊值,本题 y 的值已经 给出,直接代入计算.
把 y=-6,-2,2 分别代入 y= 12 得,x1=-2,x2=-6,x3=6,∴x2<x1<x3.故选 B. x
比较函数值的大小的方法 (1)在同一象限内的点可以比较横坐标的大小来判断函数值的大小; (2)在不同象限内的点,依据与x轴的相对位置来进行函数值的大小比较; (3)根据题目的特点,常用的方法有性质法、数形结合法、特殊值法.
与反比例函数有关的面积问题(常考点) [例 2] (2019 巴中)如图,反比例函数 y= k (x>0)经过 A,B 两点,过点 A 作 AC⊥
x y 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥y 轴于点 D,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E,连接 AD,已知
3
AC=1,BE=1,S 矩形 BDOE=4.则 S = △ACD 2 .
思路点拨:(3)分别求出注意力指数为36时的两个时间,再将两时间之差和 19比较,大于19则能讲完,否则不能.
解:(3)令 y1=36,则 36=2x+20,解得 x=8,
令 y2=36,则 36= 1000 ,解得 x= 1000 ≈27.8,
x
36
∵27.8-8=19.8>19,
∴经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.
x
x
意一点 P 作 x 轴,y 轴的垂线,设垂足分别为 A,B,则所得矩形 OAPB 的面积为
|k| ,S△POA=S△POB= 1 |k|. 2
反比例函数解析式的确定及应用
1.反比例函数解析式的确定仍然采用待定系数法,由反比例函数的定义看出, 只要 k 确定了,这个函数就确定了,而k可以由两个变量的任意一对对 应值的 积 来求得. 2.利用反比例函数解决实际问题,要通过分析题意,建立 反比例 函数模型.
∴点 A 的坐标为(-1,2),
把 A(-1,2),B(2,-1)分别代入 y=kx+b,得
k 2k
b b
2, 1
解得
k b
1, 1,
∴一次函数的解析式为 y=-x+1,
反比例函数的解析式为 y=- 2 . x
(2)若点D与点C关于x轴对称,求△ABD的面积;
解:(2)∵直线 y=-x+1 交 y 轴于点 C, ∴点 C 的坐标为(0,1), ∵点 D,C 关于 x 轴对称, ∴点 D 的坐标为(0,-1), ∵点 B 的坐标为(2,-1) ∴BD∥x 轴,
思路点拨:过点A作AH⊥x轴于点H,交BD于点F,则四边形ACOH和四边形ACDF 均为矩形,根据S矩形BDOE=4,可得k的值,即可得到矩形ACOH和矩形ACDF的面积, 进而可求出S△ACD.
解析:如图,过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H,交 BD 于点 F,则四边形 ACOH 和四边形 ACDF 均为矩形,
式 kx+b> m 的解集是( C ) x
(A)x<-1 (B)-1<x<0 (C)x<-1 或 0<x<2 (D)-1<x<0 或 x>2
解析:由函数图象可知,当一次函数 y1=kx+b(k≠0)的图象在反比例函数 y2= m (m 为常数且 m≠0)的图象上方时,x 的取值范围是 x<-1 或 0<x<2,
解析:如图,过点 C 作 CD⊥OA 于点 D. ∵菱形的周长是 8,∴OC=2. ∵在 Rt△OCD 中,∠COA=60°, ∴∠OCD=30°.
∴OD= 1 OC=1. 2
∴由勾股定理,得 CD= 22 12 = 3 . ∴C(1, 3 ). ∵顶点 C 在反比例函数 y= k 的图象上,
x ∴k=1× 3 = 3 .
设 C,D 所在双曲线的解析式为 y2= k2 , x
把 C(25,40)代入,得 k2=xy=25×40=1 000,
∴曲线 CD 的函数解析式为 y2= 1000 (x≥25). x
(2)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较,何时学生的注意力更集中?
思路点拨:(2)把x=5,x=30分别代入线段AB和双曲线CD的解析式,再比较函 数值的大小进行判断;
∵S 矩形 BDOE=4,反比例函数 y= k (x>0)经过 B 点, x
∴k=4,
∴S 矩形 ACOH=4, ∵AC=1, ∴OC=4÷1=4, ∴CD=OC-OD=OC-BE=4-1=3,
∴S△ACD= 1 AC·CD= 1 ×1×3= 3 .
2
2
2
比例系数k的几何意义应用 (1)根据解析式,确定图形的面积. (2)根据图形的面积,确定k的值或解析式.确定k的值时,注意要选取合适的矩 形或三角形,对于不能直接求得的面积往往可分割为方便计算的三角形面积 进行相关转化,同时要注意由函数图形的位置确定k的符号.
x ∴不等式 kx+b> m 的解集是 x<-1 或 0<x<2.故选 C.
x
4.(2019 张家界)如图,在平面直角坐标系中,菱形 OABC 的顶点 O 为坐标原点,
顶点 A 在 x 轴的正半轴上,顶点 C 在反比例函数 y= k 的图象上,已知菱形的周 x
长是 8,∠COA=60°,则 k 的值是 3 .
(1)反比例函数的应用是指运用反比例函数的有关概念、性质去解决实 际问题.它要求通过对题目的阅读理解,抽象出实际问题中的函数关系,将 文字语言转化成数学语言,再利用反比例函数的函数思想方法去解决实际 问题; (2)根据实际问题画反比例函数图象时,一定考虑自变量的取值范围,一般 不能使画出的图象有两个分支,图形只能在第一象限;求函数解析式时,也 不要忽视了自变量的取值范围.
反比例函数解析式的确定及综合应用 [例 3]如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= m 的图象相交于 A(-1,n),
x B(2,-1)两点,与 y 轴相交于点 C. (1)求一次函数与反比例函数的解析式;
解:(1)∵反比例函数 y= m 经过点 B(2,-1), x
∴m=xy=2×(-1)=-2,∵点 A(-1,n)在 y= 2 上,∴n=2, x
解析:∵正比例函数 y1 的图象与反比例函数 y2 的图象相交于点 A(2,4), ∴正比例函数 y1=2x,反比例函数 y2= 8 ,∴两个函数图象的另一个交点为
x (-2,-4),∴选项 A,B 错误,∵正比例函数 y1=2x 中,y 随 x 的增大而增大,反 比例函数 y2= 8 中,在每个象限内 y 随 x 的增大而减小,∴选项 D 错误,∵当
5.(2019 资阳)如图,直线 y=x 与双曲线 y= k (x>0)相交于点 A,且 OA= 2 ,将直 x
线向左平移一个单位后与双曲线相交于点 B,与 x 轴,y 轴分别交于 C,D 两点. (1)求直线 BC 的解析式及 k 的值;
解:(1)根据平移的性质,将直线 y=x 向左平移一个单位后得到 y=x+1, ∴直线 BC 的解析式为 y=x+1,∵直线 y=x 与双曲线 y= k (x>0)相交于点 A,
∴S△ABD= 1 BD·|yA-yB|= 1 ×2×3=3.
2
2
(3)若 M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数 y= m 上的两点,当 x1<x2<0 时,比较 y2 与 x
y1 的大小关系.
解:(3)∵反比例函数 y=- 2 ,在 x<0 时,y 随 x 的增大而增大,点 M(x1,y1), x
N(x2,y2)是反比例函数 y=- 2 上的两点,且 x1<x2<0, x
∴y1<y2.
求反比例函数的解析式的方法有两个:(1)根据图象特征求出双曲线上某 个点的坐标,然后用待定系数法求反比例函数解析式;(2)由k的几何意义 直接得反比例函数解析式.
反比例函数的实际应用
[例4]心理学家研究发现,一般情况下,一节课40分钟中,学生的注意力随教 师讲课的变化而变化.开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时 间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散.经 过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所 示(其中AB,BC分别为线段,CD为双曲线的一部分).