线性代数复习题

若干公式
|A*|=|A|n-1, A*=A-1
|AT|=|A|
|lA|=ln|A|，AX=b 有解, AX=b 有唯一解
基本问题
lCh1计算行列式, 求逆矩阵，求解矩阵方程.
lCh2判断线性相关性, 求秩, 求最大无关组
lCh2解线性方程组(齐次的和非齐次的)
lCh3向量组的正交化
lCh4求特征值和特征向量
lCh4矩阵的对角化
lCh5二次型的正交标准化
lCh5二次型正定性的判断
一、 Ch1计算行列式
1.13 计算下列行列式
(2)
二、求逆矩阵
1.7利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:
(1)
(2)求解X:;
三、 Ch2判断线性相关性
2.1 讨论下列向量组的线性相关性
(3)
四、 Ch2求秩, 求最大无关组
2.2 求下列矩阵的秩
(3)
补充: 最大无关组有
五、 Ch2解线性方程组(齐次的)
2.3 求解下列齐次线性方程组
(1) ;
(1) 对方程组的系数矩阵作行初等变换
得简化行阶梯形(Reduced row echelon form, RREF). 对应的同解方程组为,
方程组的解为
.
六、 Ch2解线性方程组(非齐次的)
2.5 求下列非齐次线性方程组的通解
(1)
对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形
立刻得到方程组的解
七、 Ch3向量组的正交化
3.5设试用施密特正交化方法把这组向量正交规范化.
正交化:
单位化:
八、 Ch4求特征值和特征向量
4.1求下列矩阵的特征值和特征向量
(3)
(3)解特征方程
得特征值.
对于特征值, 解齐次线性方程组. 其系数矩阵
,
可见特征向量为.
对于特征值, .
可见特征向量为(不全为0).
九、 Ch4矩阵的对角化
4.10将下列矩阵对角化, 并求, 使(为对角阵)
(1)
解特征方程
得特征值.
对于,, 得特征向量. 选.
对于,, 得特征向量 (k2, k3不全为0). 选..
令, 则有.
十、 Ch5二次型的正交标准化
5.3 用正交变换化下列二次型为标准形
(2)
二次型的矩阵为. 解特征方程
,
得的特征值,,.
对于特征值, , 取特征向量.
对于特征值, . 取特征向量.
对于特征值, . 取特征向量.
是正交的. 令
,
则是正交的. 作正交变换, 则给出的二次型化为标准形
.
十一、Ch5二次型正定性的判断
5.7判别下列二次型的正定性:
(1)
(2)
(1)二次型的矩阵的各阶主子式依次为
.
故二次型是负定的.
(2) 二次型的矩阵的各阶主子式依次为
.
故二次型是正定的.
若干联系
向量组构成矩阵
线性组合
向量能由向量组线性表示Û有解Û
向量组线性相关Û有非零解Û(=向量个数=未知数个数)
基础解系含个解向量.
部分定理
定理2.1若线性无关, 而线性相关. 则可以由线性表示.
定理2.2()线性相关的充要条件是至少有一个向量是其余向量的线性组合.
定理2.3m个行向量线性相关的充要条件是
定理2.4矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r个行向量线性无关，但任意r+１个行向量（如果存在）都线性相关。

定理2.5 设有向量组T，如果
(1)在T中有r个向量线性无关。

(2)T中任意一个向量都可以由向量组线性表示。

则是向量组T的一个最大无关组。

定理2.6齐次线性方程组（2.10），当其系数矩阵的秩时，只有唯一的零解；当时，有无穷多个解。

引理2.1设向量组可由向量组线性表示.如果,则线性相关.
定理2.7非齐次线性方程组（2.16）有解的充要条件是，他的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。

定理2.8把非齐次线性方程组（2.16）的某个特解加到对应的齐次线性方程组（2.1）的每一个解向量上，就得到（2.16）的全部解向量。

基础解系含有n-r个解向量。

定理3.1对任意n 维向量χ和y ,恒有∣∣
定理3.2若n维向量组是正交向量组，则线性无关。

定理3.3设n维向量组线性无关，令
=
=－
=－－
=－－－…－
则得到的是正交向量组，且与等价。

上述定理3.3从线性无关组导出正交向量组的过程称为施密特(Schmidt)正交化过程。

它不仅满足与等价，还满足:对任何，向量组与等价。

定理3.4（1）方阵A是正交矩阵充分必要条件为A的列向量组是标准正交向量组。

（2）方阵A是正交矩阵的充分必要条件为A的行向量组是标准正交向量组。

定理3.5正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。

定理4.1阶方阵A与它的转置矩阵A-T有相同的特征值。

定理4.2 设阶方阵A 有互不相同的特征值，(λiE –A)χ= 0的基础解系为。

则
；；……；线性无关。

定理4.3设n阶方阵A = ( a ij ) 的特征值为λ1 ,λ2 ,… ，λn ，则有
（1）λ1 +λ2 + … +λn = a11 + a22 + … + an n (4.9)
(2) λ1λ2 …λn = | A| (4.10)
定理4.4设A为n阶方阵，(A) = a0E + a1A + am Am ，若λ为A的特征值，则(λ) = a0 +
a1λ+… + am λm是(A)的特征值。

定理4.5 若n阶方阵A与B相似，则它们具有相同的特征多项式和特征值。

定理4.6 n阶矩阵A与n阶对角阵
相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

P89定理4.6 阶矩阵与阶对角阵相似的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.
P90定理4.6推论4.2 若阶矩阵有个相异的特征值, 则与对角阵相似.
P88性质4.2 若阶方阵与相似, 则(1), (2).
推论4.2 若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则A与对角阵相似。

定理4.7n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重特征值对应着个线性无关的特征向量（证明略）。

定理4.8 实对称矩阵的特征值为实数。

定理4.9 设λ1、λ2是对称矩阵A的两个特征值，P1、P2是对应的特征向量。

若λ1≠λ2，则P1与P2正交。

定理4.10若λi是实对称矩阵A的k重特征值，则存在k个属于λi的线性无关的特征向量（证明略）。

定理4.11设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使
P -1AP = =
其中λ1,λ2,…, λn 是A的特征值。

定理5.1 任给可逆矩阵C，令B=CTAC，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且
R(B)=R(A)
定理5.2任给二次型f()=TA,总有正交变换=Py，使f化为标准形
f=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2
其中为A的所有特征值。

定理5.3二次型f=TA可通过可逆线性变换 =Py化为标准形
f=c1y12+c2y22+…+cryr2且 r=R(A)
(ci≠0,i=1,2, …,r; r称为f的惯性指标)
定理5.4 （Sylvester定理）二次型f=TA通过可逆线性变换化成标准形后，系数为正的平方项的个数（称为二次型f或矩阵A的惯性指标）不变。

定理5.5 实二次型f=TA为正定的的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。

定理5.6若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价：
（1）TA是正定二次型（或A是正定矩阵）；
（2）A的正惯性指标为n。

（3）存在可逆阵P，使得A=PTP
（4）A的n个特征值全大于零。

定理5.7（1）对称矩阵A正定的充分必要条件是，A的各阶主子式都为正，即
>0,>0, …, >0
（2）对称矩阵A负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。

即
>0 , (r=1,2, …,n)
这个定理称为霍尔维茨定理，这里不予证明。

Matlab部分函数名的义源
线性代数部分词汇英汉对照。