椭圆讲义(学生版)

椭圆讲义

1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．

2、椭圆的几何性质： 焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210x y a b a b +=>> ()22

2210y x a b a b

+=>> 范围

a x a -≤≤且

b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点

()1,0a A -、()2,0a A

()10,b B -、()20,b B

()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B

轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==-

对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称

离心率

)2

2101c b e e a a

==-<<

准线方程 2

a x c

=±

2

a y c

=±

3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则

12

12F F e d d M M ==． 四、常考类型

类型一：椭圆的基本量

1．指出椭圆36492

2

=+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率.

举一反三：【变式1】椭圆

116

252

2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________

【变式2】椭圆

125

162

2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的周长1ABF C ∆=___________.

【变式3】已知椭圆的方程为11622

2=+m

y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。 A ．－4≤m ≤4且m ≠0 B ．－4＜m ＜4且m ≠0 C ．m ＞4或m ＜－4 D ．0＜m ＜4

【变式4】已知椭圆mx 2+3y 2－6m=0的一个焦点为（0，2），求m 的值。

类型二：椭圆的标准方程

2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点⎪⎭

⎫

⎝⎛2523-，。

举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，，且椭圆经过点）（0,5。

【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14

92

2=+y x 有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。

3．求经过点P （－3，0）、Q （0，2）的椭圆的标准方程。

举一反三：【变式】已知椭圆经过点P （2，0）和点)2

3

3,1(Q ，求椭圆的标准方程。

4．求与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦距，且离心率为5

5

的椭圆的标准方程。

【变式1】在椭圆的标准方程中

，

，则椭圆的标准方程是（ ）

A ．

1353622=+y x B ．1353622=+x y C ．136

22

=+y x D ．以上都不对 【变式2】椭圆过（3，0）点，离心率3

6

=e ，求椭圆的标准方程。

【变式3】长轴长等于20，离心率等于5

3

，求椭圆的标准方程。

【变式4】已知椭圆的中心在原点，经过点P （3，0）且a=3b ，求椭圆的标准方程。

类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围

5．已知椭圆一条准线为4+=x y ，相应焦点为），（1-1，长轴的一个顶点为原点O ，求其离心率的取值。

举一反三：【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( )

A.

63 B.33 C.2

3

D. 不确定 【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）

【变式3】椭圆122

22=+b

y a x 上一点到两焦点的距离分别为

，焦距为

，若

成等差数列，

则椭圆的离心率为__________。

【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。

6．已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3

221π

=∠PF F ，

求其离心率的取值范围。

举一反三： 【变式1】 已知椭圆122

22=+b

y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭

圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ，求椭圆离心率的取值范围。

【变式2】已知椭圆122

22=+b

y a x （0>>b a ），以，，为系数的关于的方程

无

实根，求其离心率的取值范围。

类型四：椭圆定义的应用 7．若一个动点P （x ，y ）到两个定点A （－1，0）、A ＇（1，0）的距离的和为定值m （m>0），试求P 点的轨迹方程。