高等数学讲义-- 一元函数微分学

第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。

如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。

右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数)(x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。

例如，||)(x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。

4．微分的定义设函数)(x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式0()()y A x x o x ∆=∆+∆ （0→∆x ）其中)(0x A 为x ∆为无关，()o x ∆是0→∆x 时比x ∆高阶的无穷小，则称)(x f 在0x 处可微，并把y ∆中的主要线性部分x x A ∆)(0称为)(x f 在0x 处的微分，记以0x x dy =或0)(x x x df =。

我们定义自变量的微分dx 就是x ∆。

5．微分的几何意义)()(00x f x x f y -∆+=∆是曲线)(x f y =在点0x 处相应于自变量增量x ∆的纵坐标)(0x f 的增量，微分0x x dy=是曲线)(x f y =在点))(,(000x f x M 处切线的纵坐标相应的增量（见图）。

6．可微与可导的关系)(x f 在0x 处可微⇔)(x f 在0x 处可导。

且000()()x x dyA x x f x dx ='=∆=一般地，)(x f y =则()dy f x dx '=所以导数()dyf x dx'=也称为微商，就是微分之商的含义。

7．高阶导数的概念如果函数)(x f y =的导数()y f x ''=在点0x 处仍是可导的，则把()y f x ''=在点0x 处的导数称为)(x f y =在点0x 处的二阶导数，记以0x x y =''，或0()f x ''，或22x x dx yd =等，也称)(x f 在点0x 处二阶可导。

如果)(x f y =的1-n 阶导数的导数存在，称为)(x f y =的n 阶导数，记以)(n y，)()(x yn ，n n dxyd 等，这时也称)(x f y =是n 阶可导。

二、导数与微分计算 1．导数与微分表（略） 2．导数与微分的运算法则（1）四则运算求导和微分公式 （2）反函数求导公式（3）复合函数求导和微分公式 （4）隐函数求导法则 （5）对数求导法（6）用参数表示函数的求导公式（乙）典型例题一、用导数定义求导数例 设)()()(x g a x x f -=，其中)(x g 在a x =处连续，求()f a ' 解：()()()()0()limlim ()x ax a f x f a x a g x f a g a x a x a→→---'===--二、分段函数在分段点处的可导性 例1 设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f试确定a 、b 的值，使)(x f 在点1=x 处可导。

解：∵可导一定连续，∴)(x f 在1=x 处也是连续的。

由 1lim )(lim )01(211===---→→x x f f x xb a b ax x f f x x +=+==+++→→)(lim )(lim )01(11要使)(x f 在点1=x 处连续，必须有1=+b a 或a b -=1又 2111()(1)1(1)lim lim lim(1)211x x x f x f x f x x x ---------'===+=-- 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++++----+--'====--- 要使)(x f 在点1=x 处可导，必须(1)(1)f f -+''=，即a =2.故当1211,2-=-=-==a b a 时，)(x f 在点1=x 处可导.例2 设1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x n n e bax e x x f ，问a 和b 为何值时，)(x f 可导，且求()f x '解：∵1>x 时，+∞=-∞→)1(lim x n n e，1<x 时，0lim )1(=-∞→x n n e∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=++>=，x b ax ，x b a ，x x x f 1,1,211,)(2 由1=x 处连续性，1lim )(lim 211==++→→x x f x x ，121)1(=++=b a f ，可知1=+b a 再由1=x 处可导性，21(1)(1)lim 1x x f f x ++→-'=-存在1()(1)(1)lim 1x ax b f f x --→+-'=-存在且(1)(1)f f +-''=根据洛必达法则12(1)lim 21x xf ++→'== 1(1)lim 1x af a --→'==，∴ 2=a 于是11-=-=a b⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=,1,12,1,1,1,)(2x x x x x x f2,1,()2,1,x x f x x ≥⎧'=⎨<⎩三、运用各种运算法则求导数或微分 例1 设)(x f 可微，)()(ln x f e x f y ⋅=，求dy解：)(ln )(ln )()(x df e de x f dy x f x f +=()()1()(ln )(ln )f x f x f x e f x dx f x e dx x''=+ ()1[()(ln )(ln )]f x e f x f x f x dx x''=+例2 设xx x y =)0(>x ，求dxdy 解：x x y xln ln = 对x 求导，得11()ln x x y x x x y x''=+ 再令xx y =1，x x y ln ln 1=，对x 求导，111ln 1y x y '=+，∴ ()(ln 1)x x x x x '=+ 于是[]x x x x x x x x x dxdy1ln )1(ln -++= （0>x ）例3 设)(x y y =由方程xyy x =所确定，求dxdy 解：两边取对数，得y x x y ln ln =，对x 求导，ln ln y x y x y y x y''+=+ (ln )ln x y y x y y x '-=-，22n ln y xy yy x xy x-'=-例4 设⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰⎰tu t t u du u e y udue x 20)1ln(sin 22 求dy dx 解：)21ln(2sin sin 22224t e t e t te dtdy dt dx dy dx t t t +-== 四、求切线方程和法线方程 例1 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0x t y e dt -=⎰在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方程，并求2lim ()n nf n→∞。

解：由已知条件可知0)0(=f ，2(arctan )2(0)11x x e f x -='==+故所求切线方程为x y =2()(0)2lim ()lim 22(0)22n n f f n nf f nn→∞→∞-'=⋅== 例2 已知曲线的极坐标方程θcos 1-=r ，求曲线上对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程。

解：曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=-=-=θθθθθθθθθcos sin sin sin )cos 1(cos cos cos )cos 1(2y x1sin cos 2sin sin cos cos 62266=+-+-=====πθπθπθθθθθθθθθd dx d dy dxdy故切线方程)4323(14321+-⋅=+-x y 即 045343=+--y x 法线方程13()24y x -=-+ 即 041341=+-+y x例3 设)(x f 为周期是5的连续函数，在0=x 邻域内，恒有(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+。

其中0)(lim 0=→xx x α，)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点（)6(,6f ）处的切线方程。