八年级数学下册 第十七章 勾股定理第一节勾股定理

八年级数学下册第十七章勾股定理

第一节勾股定理

【教学目的要求】知道勾股定理的由来，理解和掌握勾股定理的证明方法。能够灵活地运用勾股定理及其计算。

【教学重点难点】

重点：勾股定理的发现、验证和应用。

难点：用拼图方法、面积法证明勾股定理

【知识结构导图】

【考点精讲】毕达哥拉斯与勾股定理及赵爽弦图的故事

☞考点1、勾股定理的内容及证明

2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？

定理证明

（1）赵爽利用弦图证明。．．．．．

显然4个 的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积. 即4×

2

1

× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简后得到 . 概括:由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a,b,斜边为c ，那么一定有 这个关系我们称为勾股定理。 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）毕达哥拉斯勾股定理的证明

毕达哥拉斯勾在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系. 请观察一下，看看能发现什么？ ⅰ引导学生观察三个正方形之间的面积的关系； ⅱ引导学生把面积的关系转化为边的关系.

结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.

（3）一般直角三角形勾股定理的证明（欧几里德证明）

a

b

c

c

在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，以AB 、AC 、BC 为边向外有三个正方形：正方形ABDE ，正方形ACGF ，正方形BCHJ 。连接DC 、AJ 。过A 点作AN ⊥JH ，垂足为N ，交BC 于M 。 先通过SAS ，可得△ABJ ≌△DBC ，∴S △ABJ=S △DBC 而S 正方形ABDE=2S △DBC

S 长方形BMNJ=2S △ABJ ∴S 正方形ABDES 长方形BMNJ

同理可得 S 正方形ACGF= S 长方形CMNH 从而： BC 2=AB 2+AC 2 ☞考点2、勾股定理的应用

例1：一个门框的尺寸如图所示： (1) 若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否从门框内通过？ (2) 若有一块长3米，宽1.5米的薄木板，能否从门框内通过？ (3) 若有一块长3米，宽2.2米的薄木板，能否从门框内通过？

例2：如图，一个3米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米．如果梯子的顶端A 沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B 也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）

C'

B'

A'

C

B

A

B

C

D

A

2m

1m

例3：一个大树高8米，折断后大树顶端落在离大树底端2米处，折断处离地面的高度是多少？

☞考点3

、勾股定理与在数轴上表示n ☞

例4：（尺规作图）在数轴上画出表示2、5、13、17的点

例5：如图，螺旋状图形是由若干个直角三角形所组成的，其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。那么OA 1＝ ,OA 2＝ ,OA 3＝ ,OA 4＝ ,OA 5＝ ,OA 6＝ ,OA 7＝ ,…,OA 14＝ , …,OA n ＝ .

思考：怎样在数轴上画出表示n （n 为正整数）的点？

O

B

D

C

A C

A

O B

O

D

5

●

●

●

●

●

●

O

1

2

3

4 5

● ●

●

●

●

●

O

1

2

3

4 5

●

●

●

●

●

●

O

1

2

3

4 5

● ●

●

●

●

●

O

1

2

3

4

考点4、常见的勾股数

勾三股四弦五：3，4，5 5·12记一生：5，12，13 连续的偶数：6，8，10 企鹅是二百五 7，24，25 八月十五在一起：8，15，17 等腰直角三角：1，1，2 30°的直角三角形：1，3，2

【典例精析】

【典例1】已知矩形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在同一平面内C ’处，BC ’与AD 交于点E ，

AD=6，AB =4，求DE 的长.

【典例2】如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是______。

【典例3】如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，20,12,9===AC AD BD ，则ABC ∆是（ ） A 等腰三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形

B

C

A

D

C'

E

3

2

1

ABCD AE BE AE BE

【典例4】一个零件的形状如上右图所示，按规定这个零件中DBC A ∠∠,都应是直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图，这个零件符合要求吗？

【典例5】如图，有一个池塘，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少？

【典例6】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和是多少？

【典例7】如图，某隧道的截面是一个半径为4.2m 的半圆形，一辆高3.6m 、宽3m 的卡车能通过该隧道吗？

．

【典例8】（1）如图，直线上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别为3和4，则正方形b 的面积为 .