三维空间几何坐标变换矩阵课件28页PPT
第六讲二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示-精品
现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。 1）将P1点平移到原点； 2）旋转； 3）平移还原P1点。
2019/11/20
二维变换的复合(例二）
关于任意 点P1比例 变换一个 物体。
2019/11/20
二维变换的复合（小结）
假设我们想要使图中的房子以任意点P1为中心进行旋转、平移和缩放（比例）变换 。这时具体步骤与上述类似：先将点P1平移到原点，待完成比例变换和旋转变换后 再将房子从坐标原点平移到新的位置P2，因此记录变换的数据结构可以是包含比例 变换因子、旋转角、平移量和变换顺序的数据结构，或者只是简单地记录复合变换
过除以W）而得到形式为(x,y,1)的
坐标，因此，齐次化的点就形成
平面
了(x,y,W)空间中的一个平面,由等
式W=1定义。图中示出了这种联 系，注意：无穷远点没表示在该 平面中。
XYW齐次坐标系，其中示有W=1的平面和投影 到该平面上的点P（X，Y，W）
2019/11/20
二维变换的矩阵表示
平移变换
0, 10
1
绕x旋转
Rx()
0 0
0
cos sin
0
sin cos
0 0. 0
Байду номын сангаас
0 0 0 01
0 0
六讲二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示-精品
旋转之前
旋转之后
房子的旋转变 换，旋转的同 时也改变了位 置。
旋转矩阵的推导
小结
2020/7/31
r
正向旋转
r
其中:
齐次坐标系和二维变换的矩阵表示
齐次坐标表示
平移矩阵 平移变换
2020/7/31
P=T+P P=S•P P=R•P
希望能用一种一致的方法来表示这三种变换。
将（x,y)附加第三个坐标，于是每个点的坐标都用 一个三元组(x,y,W)来表示，称为点（x，y)的齐次 坐标。在齐次坐标系中，我们认为两组齐次坐标 (x,y,W)和(x,y,W)代表同一点当且仅当(x,y,W)与 (x,y,W)互为倍数，因此(2,3,6)和(4,6,12)是用不同 的三元组坐标表示的同一点。也就是说每个点齐次
坐标不唯一。要求齐次坐标中至少有一个不为零， 即(0,0,0)是不允许的。如果坐标W不为零，那么我 们可以用它作为除数：由(x,y,W)得到(x/W,y/W,1)， 它们代表同一点。一般来说，当W不为零时，我们 采用W为1的坐标，并将x/W和y/W称为齐次点 (x,y,W)的笛卡儿坐标。而W=0的点被称为无穷远点 ，在这里我们不讨论此类点。
SHx[x y 1]T=[x+ay y 1] T，表示在 x方向上的比例变化是y的函数。
SHy[x y 1]T=[x bx+y 1] T表示在y 方向上的比例变化是x的函数。
二维变换的复合(例一）
(x1,y1)
(x1,y1)
现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。 1）将P1点平移到原点； 2）旋转； 3）平移还原P1点。
射变换，只保留线段之间的平行关系，不 保持长度和角度不变。
既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称
第六讲：二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示
齐次坐标几何意义
三元组一般用来表示三维空间中
的点，但是此处是用来表示二维
空间的点。这两种表示之间具有
以下联系：如果取所有代表同一
点的三元组，即所有形式为
(tx,ty,W)的三元组（其中t≠0），
便可得到三维空间中的一条直线，
因此，每一个齐次点就代表了三
维空间中的一条直线。又由于我
们可以将一点的坐标齐次化（通
本讲介绍计算机图形学经常用到的基本的二维和三维几何变换，其 中的平移变换、比例变换和旋转变换对很多图形应用程序来说极其 重要。 许多应用程序或图形子程序软件包需要用到各种变换，例如：一个 城市规划程序，利用平移变换将表示建筑物和树木的图符移到合适 的位置，利用旋转变换确定图符的朝向，以及利用比例变换确定图 符的大小。一般来说，很多应用程序在绘图时都要用到几何变换来 改变物体（也称为图符或模板）的位置、方向和大小。本讲还介绍 如何应用三维变换(旋转变换、平移变换和比例变换)作为创建三维 物体的二维显示过程的一部分。
射变换，只保留线段之间的平行关系，不 保持长度和角度不变。
既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称
为刚体变换，因为进行变换的物体不会有任何变形。任意顺序的旋转、平移变换
都等同于这种形式的矩阵。
一系列任意的旋转、平移和比例变换的结果又是如何呢？这些变换称为仿射变换
，它们能够保持直线平行性，但不角和不保长。如上图所示，其中先将一个单位
单位正方体
方体在x方向上错切
正方体在y方向上错切
对单位正方体进行简单的错切变换， 每一种变换情况，斜边的长度都超过了1。
二维的错切变换分为两种：沿x轴的错切变换和沿y轴的错切变换。上图 示出了沿两个轴错切一个单位正方体的效果。
三维几何变换矩阵
三维几何变换矩阵
一、前言
在三维几何中，变换矩阵是一种重要的工具，用于描述物体在三维空间中的平移、旋转和缩放等变换。
这些变换不仅仅是数学上的概念，它们赋予了物体生动的形态和运动，让我们可以感知和理解世界的美妙之处。
本文将以人类的视角，向您展示三维几何变换矩阵的魔力。
二、平移变换的奇妙之处
平移变换是三维几何中最简单的变换之一，它使物体沿着某个方向移动一定的距离。
想象一下，当我们站在大海边，看着波浪一浪一浪地打来，我们会感受到大海的无穷魅力。
这种连绵不断的波浪，就像平移变换一样，让物体在空间中流动起来，给人一种动感和活力。
三、旋转变换的神奇之处
旋转变换是我们生活中最常见的变换之一，它使物体绕着某个中心点旋转一定的角度。
想象一下，当我们站在摩天轮上，缓缓升起，俯瞰整个城市的美景，我们会感受到旋转的魔力。
摩天轮的转动，就像旋转变换一样，让物体在空间中展现出不同的面貌，给人一种惊喜和惬意。
四、缩放变换的神秘之处
缩放变换是三维几何中最有趣的变换之一，它使物体在各个方向上按比例改变大小。
想象一下，当我们站在高山脚下，仰望巍峨的山峰，我们会感受到缩放的神秘。
山峰的高度和宽度，就像缩放变换一样，让物体的形态发生变化，给人一种壮丽和庄严的感觉。
五、总结
通过三维几何变换矩阵，我们可以将平凡的物体赋予生动的形态和运动，让我们感知和理解世界的美妙之处。
平移变换使物体流动起来，旋转变换给物体带来惊喜和惬意，缩放变换让物体充满神秘和庄严。
这些变换不仅仅是数学上的概念，更是我们生活中的魔力。
让我们一起感受三维几何变换矩阵的魅力，探索更多关于世界的奥秘吧！。
三维空间几何坐标变换矩阵课件
3
缩放变换的应用：在计算机图形学中，缩放变换 常用于物体的形状调整和场景构建。04坐标变源自矩阵推导过程平移变换矩阵推导
平移变换定义
将点$P(x,y,z)$沿$x$轴、$y$轴 、$z$轴分别平移$t_x$、$t_y$、
$t_z$个单位。
平移变换矩阵
$begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x 0 & 1 & 0 & t_y 0 & 0 & 1 & t_z 0 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$
02
三维空间几何基础
三维空间坐标系
01
02
03
右手坐标系
在三维空间中，通常采用 右手坐标系，其中x轴正 向向右，y轴正向向前，z 轴正向向上。
坐标原点
三维坐标系的原点O是三 个坐标轴的交点，其坐标 为(0,0,0)。
坐标表示
在三维空间中，任意一点 P的位置可以用一个三元 组(x,y,z)来表示，其中x、 y、z分别是点P在x轴、y 轴、z轴上的投影。
|1000|
```
01
03 02
旋转变换原理及方法
| 0 sin(θ) cos(θ) 0 |
|0001|
旋转变换原理及方法
```
旋转变换的应用：在计算机图形学中，旋转变换常用于物体的姿态调整和场景构 建。
缩放变换原理及方法
缩放变换定义
将三维空间中的点沿着某一方向进行放大或缩小，改变点的形状和大小。
平移变换过程
将点$P$的齐次坐标$(x,y,z,1)$与平 移变换矩阵相乘，得到平移后的坐 标$(x+t_x,y+t_y,z+t_z,1)$。
三维空间几何坐标变换矩阵ppt课件
19
利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：
y
P2 •
P1 • x
z
yA
• P’2
P• ’1
x
z
其中旋转轴A=[ax,ay,az]为
传统的方法通过绕坐标轴旋转变换的乘积表示绕任意轴旋 转的变换。与之相比，这种方法更直观。
20
7.2.4 三维变换矩阵的功能分块
（1）三维线性变换部分 （2）三维平移变换部分 （3）透视变换部分 （4）整体比例因子
P(x,y,z)
y
x
补充说明：点的平移、 物体的平移、多面体 的平移、逆变换
3
2. 比例变换
（1） 相对坐标原点的比例变换 一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩 阵可表示为
z
y 其中
x 为正值。
4
（2） 相对于所选定的固定点的比例变换
z
z
y (2)
y
（xf,yf,zf) x
z
（xf,yf,zf) x
y y
y
z
x
z
xz
(a)
xz (b)
(d) x
(c)
12
2. 绕任意轴旋转的变换
(1)平移物体使旋转轴通过坐标原点;
y
y
P2 •
• P’2
P1 •
P• ’1
x
xz
z
(1)
(2)旋转物体使旋转轴与某个坐标轴(如z轴)重合;
(3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转;
y
y
P• ’1
x
P2’’•
z
(2)
P• ’1 P2’’•
规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右 手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针 方向。
三维空间几何坐标变换矩阵课件
目录
• 三维空间几何坐标变换矩阵概述 • 三维空间几何坐标变换矩阵的构建 • 三维空间几何坐标变换矩阵的实现 • 三维空间几何坐标变换矩阵的优化 • 三维空间几何坐标变换矩阵的案例分析
01
三维空间几何坐标变换 矩阵概述
定义与性质
定义
坐标变换矩阵是用于描述三维空 间中点或向量在不同坐标系之间 转换关系的矩阵。
减少计算量优化
矩阵分解
将复杂的坐标变换矩阵分解为多个简 单的矩阵，降低计算复杂度。
避免重复计算
在坐标变换过程中，避免重复计算相 同的结果，利用存储机制保存中间结采用高精度的算法和数据类型，以减小计算过程中的误差。
迭代优化
通过迭代的方式逐步逼近精确值，提高坐标变换的精度。
减少内存占用优化
压缩存储
对变换矩阵进行压缩存储，减少内存占用。
动态内存分配
根据实际需要动态分配内存，避免不必要的内存浪费。
05
三维空间几何坐标变换 矩阵的案例分析
平移变换矩阵案例分析
平移变换矩阵
将三维空间中的点沿某一方向移动一定距离。
案例
将点A(1,2,3)沿x轴平移2个单位，得到点B的坐标为(3,2,3)。
使用数学软件实现坐标变换矩阵
数学软件如MATLAB、Octave等 提供了强大的矩阵计算功能，可 以进行复杂的数学运算和矩阵操
作。
使用数学软件可以实现复杂的坐 标变换矩阵，并进行精确的计算
和分析。
数学软件还提供了可视化的功能， 可以方便地展示三维坐标变换的
效果。
04
三维空间几何坐标变换 矩阵的优化
02
三维空间几何坐标变换 矩阵的构建
平移变换矩阵
常用坐标系介绍及变换PPT课件
目录
• 常用坐标系介绍 • 坐标变换基础 • 坐标变换的应用 • 坐标变换的数学表达 • 坐标变换的物理意义 • 坐标变换的计算机实现
01
常用坐标系介绍
笛卡尔坐标系
01
02
03
直角坐标系
以原点为中心，x轴、y轴、 z轴分别代表三个相互垂 直的坐标轴，用于描述平 面和空间中的点。
二维坐标变换
总结词
二维坐标变换是指平面内的坐标变化， 包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
二维坐标变换涉及平面内的点，可以 通过平移、旋转或缩放等操作进行坐 标变化。这种变换在平面几何、图形 处理等领域应用广泛，可以通过矩阵 运算实现快速变换。
三维坐标变换
总结词
三维坐标变换是指空间中的坐标变化，包括平移、旋转、缩放等操作。
详细描述
三维坐标变换涉及空间中的点，可以通过平移、旋转或缩放等操作进行坐标变化。这种变换在三维建模、动画制 作、机器人控制等领域应用广泛，需要使用三维矩阵运算进行实现。
03
坐标变换的应用
图形变换
图形变换是指通过数学方法将一个二维或三维图形在坐标系 中进行平移、旋转、缩放等操作，以达到改变图形位置、大是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个单元，可 以分析物体的受力情况和形变程度。有限元分析在工程领域中有着广泛 的应用，可以提高设计效率和精度。
06
坐标变换的计算机实现
OpenGL中的坐标变换
投影变换
将三维场景投影到二维屏 幕上，包括正交投影和透 视投影。
视图变换
将场景中的坐标系与观察 者的坐标系进行关联，实 现视景体裁剪。
旋转变换不改变图形的大小和形状， 只改变其方向。
三维几何变换
三维几何变换利用3×3矩阵，可以实现部分三维变换，如绕X轴、Y轴、Z 轴旋转的变换矩阵为Tx=[1 0 0 ][0 cosθ sinθ][0 -sinθ cosθ]Ty=[cosθ 0 -sinθ][ 0 1 0 ][sinθ 0 cosθ]Tx=[cosθ sinθ 0 ][-sinθ cosθ 0][ 0 0 1]但是，利用齐次坐标变换更方便。
三维空间点[X Y Z]用四维齐次坐标表示为[X Y Z]或[X’Y’ Z’ H]，因此三维空间点的变换可写为[X Y Z H]T=[X’ Y’ Z’H]=[X’/H Y’/H Z’/H1]=[X’ Y’ Z’ 1]式中T为变换矩阵，与二维变换矩阵对应，三维变换矩阵为4×4方阵，即T=[a b c|p][d e f|q][h i j|r][-------|-][l m n|s]=[3×3|3×1][----|----][1×3|1×1]此方阵也可以分为4个部分，由二维变换可知，其中3×3矩阵起比例变换，映射变换，错切变换和旋转变换的作用，1×3矩阵起平移变换的作用，3×1矩阵起透视变换的作用，而1×2矩阵起比例变换的作用，下面通过具体图例说明各部分算子的作用，也就是基本三维几何变换。
1、三维比例变换在3×3矩阵中，主对角线上算子a、e、j控制比例变换，令其他算子为零，则三维点[X Y Z]的比例变换写为[X Y Z 1]·S=[X Y Z 1][[a 0 0 0][0 e 0 0][0 0 j 0][0 0 0 1]]=[aX eY jZ 1]=[X* Y* Z* 1]由上式可知，a、e、j分别控制X、Y、Z的比例变换，若令a=e=j=1,则算子S可使整个图形按同一比例放大或缩小。
[X Y Z 1][[1 0 0 0][0 1 0 0][0 0 1 0][0 0 0 1]]=[X Y Z S]=[X/S Y/S Z/S 1]=[X* Y* Z* 1]上式中，若S>1，则整个图形缩小；若S<1，则整个图形放大。
三维坐标变换ppt课件
x, y, z,1 x, y, z,1T x0, y0,z0 R
说明：变换矩阵TR将一个直角坐标系变换为另一个 坐标系。即使一个坐标系是右手坐标系，另一个为 左手坐标系，结论依然成立。
26
习题7
7-1 对于点P(x,y,z) ，(1) 写出它绕x 轴旋转 角，然后再绕y轴旋 转 角的变换矩阵。 (2)写出它绕 y 轴旋转 角，然后再绕 x 轴 旋转 角的变换矩阵。所得到的变换矩阵的结果一样吗? 7-2 写出绕空间任意轴旋转的变换矩阵。
0 a
1 0
a2 b2 c2
0
0
a
0
a2 b2 c2
0
0
b2 c2
0
a2 b2 c2
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
AV Rx Ry
17
利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：
y
P2 •
P1 • x
z
y
• P’2
P• ’1
x
z
1) T
y
P• ’1
0 sz
0 0
0 0 0 1
x y
x xsx , y ysy , z zsz 其中 sx , sy , sz 为正值。
4
（2） 相对于所选定的固定点的比例变换
z
z
（xf,yf,zf)
(1)
（xf,yf,zf)
y (2)
y
x z
x yz
(3) （xf,yf,zf)
0
0
0 0 1 0
tx ty tz 1
图形变换的矩阵方法.ppt
17 ㈡对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换， 对坐标原点的对称变换。 A ⒈对坐标轴的对称变换 B C ⒉对直线的对称变换 ⒊对坐标原点的对称变换
x
1 0 变换矩阵 T 0 1 1 0 x x y x y 即 0 1 y y
规则：x、y坐标互换。
例：设△ABC 对应的矩阵为
A 1 5 5 1 A 变换后的 4 3 B B 3 4 矩阵为： C 1 3 3 1 C
15 ㈡对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换， 对坐标原点的对称变换。 A ⒈对坐标轴的对称变换 B C ⒉对直线的对称变换 ⑴对直线y=x的对称变换 ⑵对直线y=－x的对称变换
㈠比例变换（缩放变换）
10
x
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
A 0 0 B 2 0 例：设正方形ABCD的矩阵为 C 2 2 D′ D 0 2 1.5 0 设T ，对□ABCD进行变换： D 0 2 A 0 0 0 0 A 1.5 0 3 0 B B 2 0 C 2 2 0 2 3 4 C A A′ D 0 2 0 4 D
当ad图形沿x方向和y方向等比例缩放当ad1图形沿xy方向等比例放大比例变换缩放变换当ad图形沿x方向和y方向等比例缩放当ad1图形沿xy方向等比例放大当0ad1图形沿xy方向等比例缩小比例变换缩放变换当ad图形沿x方向和y方向等比例缩放当ad1图形沿xy方向等比例放大当0ad1图形沿xy方向等比例缩小当ad1图形不发生变化图形不变的变换称之为恒等变换
规则：y坐标不变，x坐标取反。
三维坐标变换矩阵
三维坐标变换矩阵
三维坐标变换矩阵是计算机图形学中非常重要的概念，它是用来
描述三维空间中的对象在进行各种变换时所采用的数学工具。
在三维
空间中，我们需要进行平移、旋转、缩放等一系列操作，这些操作都
要建立在坐标变换矩阵的基础之上。
三维坐标变换矩阵的形式一般为4X4的矩阵，其中包含了平移、
旋转、缩放等变换信息。
在建立三维坐标变换矩阵时，需要先确定操
作的顺序，再将每个操作分别对应到矩阵的不同位置，最后将这些操
作的矩阵相乘，得到最终的三维坐标变换矩阵。
三维坐标变换矩阵的建立有多种方法，其中最常用的是欧拉角法
和四元数。
欧拉角法是将旋转分解为绕x、y、z轴的三个旋转角度，
这种方法易于理解，但在旋转过程中容易产生“万向锁”问题。
而四
元数法则采用四维的数学概念描述旋转操作，避免了“万向锁”问题，但需要一定的数学基础。
三维坐标变换矩阵在三维图形学中有着广泛的应用，例如在三维
物体的运动、视角的变化、光照模型等方面都会用到。
在实际应用中，我们需要深入理解三维坐标变换矩阵的概念和原理，熟练掌握其生成
方法和应用技巧。
同时，还需要注意矩阵的精度问题，避免误差的积
累导致结果不准确。
总之，三维坐标变换矩阵是计算机图形学中重要的概念，它为我
们提供了描述三维空间中对象运动和变换的基础工具。
在三维图形学
的学习和实践中，深入理解和掌握三维坐标变换矩阵的原理和应用方法，对于提高图形学的实现和效果，都有着重要的指导意义。
三维坐标转换矩阵
三维坐标转换矩阵三维坐标转换矩阵是指将一个三维空间中的坐标系转换为另一个三维空间中的坐标系所需要的矩阵。
在计算机图形学、计算机视觉等领域，三维坐标转换矩阵是非常重要的基础知识。
1. 什么是三维坐标转换矩阵？在三维空间中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述一个点的位置。
一个点在笛卡尔坐标系中可以用三个数值表示，分别表示在 x、y、z 轴上的位置。
而不同的坐标系之间可能存在旋转、平移等变换，这时就需要使用三维坐标转换矩阵来描述一个点在不同坐标系下的位置。
2. 三维坐标转换矩阵有哪些类型？根据不同的变换类型，我们可以将三维坐标转换矩阵分为以下几类：（1）平移矩阵：用于描述一个点在 x、y、z 轴上平移后的位置。
（2）缩放矩阵：用于描述一个点在 x、y、z 轴上缩放后的位置。
（3）旋转矩阵：用于描述一个点在 x、y、z 轴上旋转后的位置。
（4）仿射矩阵：用于描述一个点在三维空间中的平移、缩放和旋转变换。
（5）投影矩阵：用于描述一个点在三维空间中的投影变换。
3. 如何计算三维坐标转换矩阵？对于不同类型的三维坐标转换矩阵，其计算方法也有所不同。
以平移矩阵为例，假设我们要将一个点从坐标系 A 移动到坐标系 B，其 x、y、z 轴上的平移距离分别为 Tx、Ty、Tz，则平移矩阵可以表示为：```1 0 0 Tx0 1 0 Ty0 0 1 Tz0 0 0 1```其中最后一行表示一个齐次坐标，通常情况下取值为 (0, 0, 0, 1)。
对于其他类型的三维坐标转换矩阵，其计算方法可以参考相关文献或教材。
4. 如何使用三维坐标转换矩阵？一旦得到了两个不同坐标系之间的转换矩阵，我们就可以使用它来将一个点从一个坐标系下的位置转换到另一个坐标系下的位置。
以平移矩阵为例，假设我们有一个点 P 在坐标系 A 中的位置为 (x, y, z)，则其在坐标系 B 中的位置可以表示为：```[x' y' z' 1] = [x y z 1] * T```其中 T 表示从坐标系 A 到坐标系 B 的平移矩阵，* 表示矩阵乘法运算。
维空间几何坐标变换矩阵
03
旋转过程
将二维图形的每个顶点坐标与旋转矩阵相乘，得到旋转后的新坐标。
缩放变换
缩放矩阵
用于将二维图形在x轴和y轴方向上进行缩放。
缩放公式
$S = begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 0 & s_y & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$，其中$s_x$和$s_y$分别为沿x轴和y轴的缩放因子。
缩放过程
将二维图形的每个顶点坐标与缩放矩阵相乘，得到缩放后的新坐标。
2023
PART 04
三维空间中的几何坐标变 换
REPORTING
平移变换
01
02
03
平移向量
表示空间中一个点沿着某 个方向移动的距离。
平移矩阵
用于实现三维空间中点的 平移变换，通常是一个 4x4的矩阵。
平移变换公式
通过平移矩阵与点的齐次 坐标相乘，得到平移后的 点坐标。
缩放矩阵
用于实现三维空间中点的缩放变换， 通常是一个3x3的矩阵。
2023
PART 05
几何坐标变换矩阵的应用
REPORTING
计算机图形学中的应用
三维图形变换
01
通过几何坐标变换矩阵，可以实现三维图形的平移、旋转、缩
放等变换，从而生成复杂的动画和视觉效果。
视图变换和投影
02
在计算机图形学中，几何坐标变换矩阵被用于将三维场景投影
旋转变换
旋转轴和旋转角
确定旋转的轴线和旋转的 角度。
旋转矩阵
用于实现三维空间中点绕 某轴的旋转变换，通常是 一个3x3的矩阵。
旋转变换公式
通过旋转矩阵与点的坐标 相乘，得到旋转后的点坐 标。
三维图形的几何变换讲课文档
先平移后旋转
先旋转后平移
第二十三页，共64页。
三、三维图形的几何变换
三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换的 原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩阵变换成新 的齐次坐标点(x’,y’,z’,1)，即
x ' y ' z '1 x y z 1 T
其中T为三维基本(齐次)变换矩阵：
1 0 0
T1
0
1
0
c / a 0 1
第十四页，共64页。
（2）将直线与平面图形一起按逆时针反向旋转
θ=arctan(-b/a)，使直线与轴重合。即作旋转变换。
cos sin 0
T2
sin
cos
0
0
0 1
第十五页，共64页。
（3）将旋转之后的图形对y轴作对称变换，相当于对y轴 进行对称变换。其变换矩阵为：
透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的， 因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线 间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生成 工程图的视图。
第三十四页，共64页。
投影变换分类:
正交投影 正平行
正等测投影
投影
平行 投影
正轴测 投影
正二测 正三测
斜平行 斜等测
投
投影
影
斜二测
一点透视
1001 0001
1000 窗口
0000
0101 0100
1010 0010 0110
第四十四页，共64页。
对线段的两端点分别进行编码。然后根据线段两端点编 码就能方便地判断出线段相对于窗口的位置关系：
第四十五页，共64页。
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（1）绕 z 轴旋转 xxcosysin
y
yxsin ycos
zz
x
x y z x z z
（2）绕 x 轴旋转
yycos zsin
y
zysinzcos
xx
x
x
（3）绕 y 轴旋转 zzcosxsin
x zsin xcos
y y
z
y
cos sin 0 0
x yz1xyz1sin cos 0 0
0 0 1 0
sin cos
0 0
0 0
0 1
(3) 绕y轴正向旋转 角，y坐标值不变，z、x的坐标相当 于在zox平面内作正 角旋转，于是
cos 0 sin 0
z yx1z yx1s0in
1 0
0
cos
0 0
0
0 0 1
cos 0 sin 0
即
x yz1xyz1si0n
1 0
0
cos
0 0
0
0
0
1
这就是说，绕y轴的旋转变换的矩阵与绕x轴和z轴 变换的矩阵从表面上看在符号上有所不同。
x
z
1) T
y
P• ’1
x
P2’’• z
2) RxRy
P2’’• z
P• ’1
x
3) Rz
R T R x R y R z R y 1 R x 1 T 1
7.2.3 绕任意轴旋转变换的简单算法 给定具有单位长的旋转轴A=[ax,ay,az]和旋转角 ，
7.1 简介
三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的 直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选 取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理 起来更为复杂。
与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术 来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描 述空间三维变换的变换矩阵是4×4的形式。 由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。
sin a ,co s b2c2
a2b2c2
a2b2c2
b2 c2
0
a2 b2 c2
Ry
0 a
1 0
a2 b2 c2
0
0
a
0
a2 b2 c2
0
0
b2 c2
0
a2 b2 c2
0
1
A VRxRy
利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：
y
P2 •
P1 • x
z
y
• P’2
P• ’1
y
y
P2 •
• P’2
P1 •
P• ’1
x
xz
z
(1)
(2)旋转物体使旋转轴与某个坐标轴(如z轴)重合;
(3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转;
y
y
P• ’1
x
P2’’•
z
(2)
P• ’1
x
P2’’•
z
(3)
(4) 应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向; (5) 应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。
y
• P’2
三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变 换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转 轴。
若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴， 则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。 此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变 换矩阵。
规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右 手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针 方向。
2. 比例变换
（1） 相对坐标原点的比例变换 一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩 阵可表示为
sx 0 0 0
z
x yz1xyz100
sy 0
0 sz
0 0
0 0 0 1
x
y
xxxs ,yyys ,zzzs 其中 sx , sy , sz 为正值。
（2） 相对于所选定的固定点的比例变换
0 1
0 0
，绕哪个坐标轴
0 0 0 1
旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图
形变换的情况，将其旋转矩阵 csoins csions
中的元素添入相应的位置中，即
(1) 绕z轴正向旋转 角，旋转后点的z坐标值不变, x、y
坐标的变化相当于在xoy平面内作正 角旋转。
cos sin 0 0
xy z
z
z
（xf,yf,zf)
(1)
（xf,yf,zf)
y (2)
y
x z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x yz
(3) （xf,yf,zf)
（xf,yf,zf)
x
x
y
sx
0
0 0
Txf,yf,zf Ssx,sy,szTxf,yf,zf
0 0
1sxxf
sy 0 1syyf
0
sz
1szzf
0
0 1
3. 绕坐标轴的旋转变换
7.2.2 组合变换
1. 物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤:
(1) 平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合;
(2) 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转;
(3) 平移物体使旋转轴移回到原位置。
y y
y
z
x
z (a)
xz
xz
(b)
R TR xT 1
(d) x
(c)
2. 绕任意轴旋转的变换
(1)平移物体使旋转轴通过坐标原点;
7.2 三维几何变换
7.2.1 基本三维几何变换
1. 平移变换
若空间平移量为(tx, ty, tz)，则平移变换为
x x tx
y
y
ty
z z tz
z
P’(x’,y’,z’)
P(x,y,z)
y
1 0 0 0
x
y
z1
x
y
z
1
0
1
0
0
0 0 1 0
tx ty tz 1
x
补充说明：点的平移、 物体的平移、多面体 的平移、逆变换
x yz1xyz1sin cos 0 0
0 0 1 0
0
0 0 1
x 1 0 0 0 y 0 1 0 0 z 0 0 1 0
0 0 0 1
(2)绕x轴正向旋转 角，旋转后点的x坐标值不变， Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正 角旋转。
1 0 0 0
x yz1xyz10
0
cos sin
P• ’1
x
z
(4)
y
P2 •
P1 • x
z
(5)
例. 求变换AV，使过原点的向量V=(a,b,c)与z轴的 正向一致。
y
y
V
实现步骤:
x
x
z
V’
z
V’
(1)将V绕x轴旋转到xz 平面上;
(2)再绕y轴旋转使之与z轴正向重合。
旋转角度的确定：绕x轴旋转的角度 等于向量V在yz 平
面上的投影向量与z 轴正向的夹角。
y
V1=(0,b,c)
V=(a,b,c)
x
z
根据矢量的点乘与叉乘，可以算出:
sin b ,co s c
b2c2
b2c2
因此，
1 0
Rx
0 0
0 c
b2 c2 b
b2 c2 0
0 0
b
b2 c2 c
0
0
b2 c2
0
1
V V x R a ,0 ,b 2 c 2
类似地，可以求出:
0
0 0 1
绕 z 轴旋转
1 0 0 0
x yz1xyz10 cos sin 0
0 sin cos 0
0 0
0 1
绕 x 轴旋转
cos 0 sin 0
x yz1xyz1si0n
1 0
0
cos
0 0
0
0
0
1
绕 y 轴旋转
旋转变换矩阵规律: xy z
x 1 0 0 0
对于单位矩阵
y 0 z 0
1 0