椭圆的定义与标准方程讲解

F1
F2
套上铅笔, 拉紧绳子, 移
Hale Waihona Puke Baidu
动笔尖, 这时笔尖 动点
图2.1 1
画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一
段距离,分别固定在图板的两点处 (图2.11), 套
上铅笔 ,拉紧绳子,移动笔尖 ,画出的轨迹是什么
曲线 ? 在这一过程中, 你能说出移动笔尖 动点 满
足的几何条件吗?
操作打开的几何画板 ,形象地展现探究过程 .
所以 x c2 y2 x c2 y2 2a.
为化简这个方程, 将左边的一个根式移到右边, 得
x c2 y2 2a x c2 y2 ,
将这个方程两边平方, 得
x c2 y2 4a2 4a x c2 y2 x c2 y2,
整理得 a2 cx a x c2 y2 ,
截 面 与 圆 锥 侧 面 的 交线 是
一 个 圆.如 果 变 平 面 与 圆 锥 轴 线 的 夹 角, 会 得 到 什 么 图 形 呢?
如 图,用 一 个 不 垂 直 于 圆 锥 的轴 的 平 面 截 圆 锥,当 截 面 与 圆 锥 的 轴 夹 角 不 同 时,可 以 得 到 不 同 的 截 口 曲 线,它 们 分 别 是 椭 圆 、 抛 物 线 、 双 曲 线.我 们 通 常 把 圆 、 椭 圆 、 抛 物 线 、 双 曲 线统 称 为
成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话
第二章 圆锥曲线与方程
2020年9月25日星期五12时32分19秒
成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话
认识椭圆 椭圆形成 椭圆定义 标准方程 例题讲解 课堂练习 课堂小结 作业布置
2.1.1 椭圆的定义 与标准方程
我 们 知 道,用 一 个 垂 直 于 圆 锥 的 轴 的 平 面截圆 锥, 截 口 曲 线
自然推广.17世纪初期, 笛卡儿发明了坐标系, 人们 开始在坐标系的基础上, 用代数方法研究圆锥曲 线.本章我们继续采用必修课程《数学2 》中研究直 线与圆所用的坐标法, 在探究圆锥曲线几何特征 的基础上, 建立它们的方程, 通过方程研究它们的 简单性质,并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关 的简单几何问题和实际问题, 进一步感受数形结 合的其本思想.
距离叫做焦距 。焦距一般用 2c 表示, 常数一般用 2a 表示。
M
（理解定义时要注意条件：2a > 2c > 0 ）
A1
F1
F2
若 2a = 2c ,则动点的轨迹是: 线段F1F2.
若 2a < 2c ,则动点的轨迹又是什么呢? 不存在.
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定义演示
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思考 观察椭圆的形状,你认为怎样选择坐标
把细绳的两端拉开一段距离, 移动笔尖的过 程 中,细 绳 的 长 度 保 持 不 变,即 笔 尖 到 两 个 定 点 的 距 离 和 等 于 常 数.
到两个定点F1、F2的距离之和为定值（大于 |F1F2|）的点的轨迹是椭圆（ellipse）。这两 个定点叫作椭圆的焦点（focus），两个焦点 之间的距离称之为焦距（focus length）。
定 义： 平面内与定点距离等于定长的点的 集合(轨迹)叫做圆.
标准方程：
(x a)2 (y b)2 r2 x2 y2 r2
yy
r
OC
x
O
x
圆是与一定点的距离等于定长的点的集合。 那么,椭圆又是什么样的点的集合？ 椭圆的标准方程又是什么呢？
数学 实验
[1]取一条细绳，
[2]把它的两端固定在板上的 两点F1、F2
设M x, y是椭圆上任意
一点 ,椭圆的焦距为 2c
y M
c 0,那么焦点F1 ,F 2的 坐标分别为 c,0, c,0.
F1 c O c F2 x
又设 M与F1 , F2的距离的 和等于2a .
图2.1 2
由椭圆的定义, 椭圆就是集合
P M || MF1 | | MF2 | 2a .
因为| MF1 | x c2 y2 ,| MF2 | x c2 y2 ,
[3]用铅笔尖（M）把细绳拉 紧，在板上慢慢移动看看画出 的图形
观察做图过程：
[1]绳长应当大于F1、F2之 间的距离。
[2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。
M
F1
F2
flsh椭圆定义1.exe演示1
几何画板演示2
探 究 取一 条定 长 的
细绳, 把它的两端都固
M
定在图板的同一点处 ,
上式两边再平方, 得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 ,
下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的 坐标系, 建立椭圆的方程, 并通过方程研究椭 圆的性质.
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
椭圆定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|） 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的
圆 锥 曲线conic sections
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密
的关系.早在16、17 世纪之交,开普勒就发现行星 绕太阳运 行的轨道是一个椭圆;探照灯反射镜 面是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面;发电 厂冷却塔的外形线是双曲线 为什么圆锥曲 线有如此巨大的作用呢?我 们 可以从它们的几 何特征及其性质中找到答案. 圆 锥 曲 线 具 有 怎 样 的 几何 特 征 呢?如 何 研 究 圆 锥 曲 线 的 性 质? 事实上,圆锥曲线的发现与研究始于古希蜡.当时 人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切 相关的曲线, 它们的几何性质是圆的几何性质的
系才能使椭圆的方程简单?
类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程, 我
们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系,建
立 它 的 方 程.
如图2.1 2,以经过椭圆
y M
两焦点 F1, F2 的直线为 x 轴,线段 F1F2的垂直平分 线为 y 轴,建立直角坐标 系xOy.
F1 c O c F2 x
图2.1 2
2.1.1 椭圆的定义与标准方程
思考
1.注意观察小球的运动轨迹是个什么图形？
2.生活中还有哪些物品形状是椭圆
“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空
1、研究圆的方法:坐标法,利 用圆的方程来定量地研究圆 的性质.
2、圆的定义及标准方程是什么？