三角公式化简求值

三角函数与解三角形知识拓展(1) 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限． (2)同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. (3)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2,sin 2α＝1－cos 2α2.(4)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α,1－cos 2α＝2sin 2α. 题型分析(一) 三角变换,角为先锋三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果. 【例1】【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中】已知πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos2α的值是_____． 【答案】45-【解析】因为πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以cos2α=πsin 22α⎛⎫-- ⎪⎝⎭=22ππ2sin cos 44ππsin cos 44αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2π2tan 4πtan 14αα⎛⎫- ⎪⎝⎭-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=45-【点评】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝α＋β2－α－β2,α＝α＋β2＋α－β2,α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．(3)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【小试牛刀】【江苏省前黄、如东、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测】已知536ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，，且3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α的值是__________．【答案】410+ 【解析】5,03632ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ，，， 结合同角三角函数基本关系有：4sin 35πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，则：3333334135252410sin sin sin cos cos sinππααππππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=(二) 函数变换,乃是重点三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.【例2】若sin cos 3sin cos αααα+=-,tan()2αβ-=,则tan(2)βα-= ．【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值. 【解析】由sin cos tan 13tan 2sin cos tan 1ααααααα++==⇒=--,所以tan()tan 224tan(2)tan(2)tan()1tan()tan 1223αβαβααβαβααβα-++-=--=--+=-=-=---⨯.【点评】(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α,cos α的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1,可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(3)已知tan α＝m 的条件下,求解关于sin α,cos α的齐次式问题,必须注意以下几点：①一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0,所以可以用cos n α(n ∈N *)除之,这样可以将被求式化为关于tan α的表示式,可整体代入tan α＝m 的值,从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．【小试牛刀】【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α的值是__________． 【答案】45-(三) 常数化角,曲径通幽三角公式中有不少常数,如1322,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.【例3】函数sin 232y x x =的图象的一条对称轴方程为 。

A ． π12x =B ． π12x =-C ． π6x =D ． π6x =- 【分析】先用辅助角公式对所给函数进行变换：sin 22y x x ==12sin 2cos22cos sin 2sin cos22233x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】sin 222sin(2)3y x x x π==-,令232x k ππ-=π+,即212k x π5π=+()k Z ∈,当1k =-时,12x π=-,． 【答案】π12x =-【点评】常数的变换在辅助角公式中最常见,其他地方的常数变换相对更隐蔽,要细心观察表达式的特征,从中寻找蛛丝马迹.【答案】13【解析】因为,103)22cos(cos 2=++απα,所以即 2212tan 33tan 20tan 701tan 10αααα-=⇒+-=+所以()1tan ,tan 73αα==-舍 (四) 降幂化一,热点不断三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径.【例4】定义在R 上的函数()2sin cos 2sin f x x x x b =-+,其中0a >,且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ()[]1,2f x ∈-. （1）求a,b 的值；（2）若将()y f x =的图像沿x 轴向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图像,令()()()h x f x g x =+,求()h x 的最大值.【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．【解析】（1）∵()()223sin cos 2sin 3sin21cos2f x a x x x b a x a x b =-+=--+3sin2cos22sin 26a x a x b a a x b a π⎛⎫=++-=++- ⎪⎝⎭又∵当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ()[]1,2f x ∈- ∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,则1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ∴()[]2,f x b a a b ∈-+ ∴21b a -=-, 2a b += ∴1a =, 1b =【点评】在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时,常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的目的．总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆,达到使角相同；通过转换函数,达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形,达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降,达到幂的统一． ∈R 、k ∈N 等.【小试牛刀】已知函数()2sin cos f x x x x ωωω=⋅（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．【解析】（Ⅰ）()1cos22x f x x ωω-=+11cos222x x ωω=-+ π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以2ππ2ω=,解得1ω= （Ⅱ）由（Ⅰ）得()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．. 因为2π03x ≤≤, 所以ππ7π2666x -≤-≤.所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭.. 因此π130sin 2622x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭,即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.. (五) 和差倍分,注意结构三角变换中,函数表达式结构上的变换也要充分注意,结构式的差异往往隐藏着对条件和结论的联系. 【例5】已知02cos 22sin=-xx . (1)求x tan 的值； (2)求x x x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．【分析】先化简表达式,利用商数关系得到tan2x ,再利用倍角公式展开tan x ,将tan 2x代入到化简的式子中计算即可；第二问,利用第一问的结论,将所求表达式化简,利用倍角公式、两角和的余弦公式,化简表达式,再利用齐次式化成关于tan x 的式子,将第一问的结论代入得到所求式子的值.【点评】本题需要从多角度分析,一是角的倍分关系,二是函数的同角变换,最后再利用和差角、齐次式等思想方法,方能正确求解. 【小试牛刀】若1sin()63x π+=,则tan(2)3x π+= 【答案】42 【解析】由316sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx ,得322)6sin(16cos ±=+-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππx x ,故 tan 2tan 236x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22tan 42671-tan 6x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==±⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（六）公式变用,柳暗花明三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cosα＝ααsin 22sin ,t anα±tanβ＝tan (α＋β)(1μtanαtanβ)等.【例6】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为________．【分析】本题是非特殊角求值问题,注意表达式特征,其中的tan tan .tan tan αβαβ+在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.【解析】因为()()tan 1tan 12αβ--=，所以tan tan tan tan 1αβαβ+=- 因此()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--因为()30,4παβπαβ+∈∴+=【点评】三角公式是恒等式(当等式两边都有意义时),所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法 【小试牛刀】tan67.5tan22.5-oo的值是 【答案】2 【解析】tan67.5tan22.5-o o =()()tan 67.522.51tan67.5tan22.5-⨯+o o o o =()tan45112+=o ．五、迁移运用1．【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考】已知tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin cos 3cos θθθ-的值为__________．【答案】2-【解析】由题意得1tan tan 341tan πθθθ+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 2θ=．∴22222213sin cos 3cos tan 32sin cos 3cos 21sin cos tan 1()12θθθθθθθθθθ----====-+++．2．【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知3sin 5β=， ,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()sin cos αβα+=，则()tan αβ+=______．【答案】-23．【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知锐角θ满足tan 6cos θθ=，则sin cos sin cos θθθθ+=-__________．【答案】322+ 【解析】∵tan 6cos θθ=∴)22sin 6cos 61sin θθθ==- ∵θ为锐角 ∴6sin θ=∴tan 2θ=∴sin cos tan 12322sin cos tan 121θθθθθθ++===+---故答案为322+4．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，得到函数()y f x =的图象，则23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为_______. 【答案】3【解析】将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，得到222263y sin x sin xππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，所以()2f x sin x=，242332f sin ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭，故答案为5．【江苏省南京市多校2017-2018学年高三上学期第一次段考】在ABC V 中，角A ， B ，C 的对边分别为a ， b ， c，若222a b c ++=， 4ab =，则2sin tan sin2CA B的最小值是__________．【答案】42【解析】222a b c ++=， 4ab =， ．222cos 2242a b c C ab +--∴===-⨯,()0,C π∈Q3,,sin2sin2cos2444C B A B A A πππ⎛⎫∴==-=-= ⎪⎝⎭,22221tan sin2tan cos232cos 3cos A B A A A A ⎛⎫∴==-+≤- ⎪⎝⎭,22sin 42tan sin2tan cos22C A B A A ∴=≥=当且仅当2212cos cos A A=时成立. 6．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知22sin 2sin cos 3cos 0x x x x +-=，则cos2x =______________. 【答案】0或45-【解析】由题意得2tan 2tan 30x x +-=，得tan 1x =或tan 3x =-，当tan 1x =时，得sin 2x =±，则2cos212sin 0x x =-=，当tan 3x =-，得sin x =，则24cos212sin 5x x =-=-，所以cos20x =或45-。