2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章+第六节 双 曲 线+Word版含答案

第六节双曲线
2019考纲考题考情
1．双曲线的概念
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。

(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。

(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。

(3)当a＞c时，M点不存在。

2．双曲线的标准方程和几何性质
1．双曲线定义的四点辨析
(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线。

(2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。

(3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线。

(4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。

2．方程x 2m －y 2
n ＝1(mn >0)表示的曲线
(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。

(2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。

3．方程的常见设法
(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)。

(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0)。

一、走进教材
1．(选修1－1P 54A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y
2
16＝1上一点
P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离
等于________。

解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1>2，故|PF2|＝6。

答案6
2．(选修1－1P53练习T3改编)以椭圆x2
4＋
y2
3＝1的焦点为顶
点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。

解析设要求的双曲线方程为x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)，由椭圆
x2 4＋y2
3＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。

所以双曲线的顶点为
(±1，0)，焦点为(±2,0)。

所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线标准方程为x2－y2
3＝1。

答案x2－y2
3＝1
二、走近高考
3．(2018·浙江高考)双曲线x2
3－y2＝1的焦点坐标是()
A．(－2，0)，(2，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－2)，(0，2) D．(0，－2)，(0,2)
解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)。

故选B。

答案B
4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为
3
2c，则
其离心率的值是________。

解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝b
a x，所以
|bc| a2＋b2＝b＝
3
2c，所以b2＝c2－a2＝
3
4c2，得c＝2a，所以双曲线
的离心率e＝c
a＝2。

答案2
5．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的
离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()
A．2B．2 C．32
2D．22
解析由离心率e＝c
a＝2，得c＝2a，又b2＝c2－a2，得b
＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x。

由点到直线的距离
公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为
4
1＋1
＝22。

故选D。

解析：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离
为
4
1＋1
＝22。

故选D。

答案D
三、走出误区
微提醒：①忽视双曲线定义的条件致误；②忽视双曲线焦点的位置致误。

6．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________。

解析由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则
b 2
＝c 2
－a 2
＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 2
7＝1的下支。

答案 双曲线y 29－x 2
7＝1的下支
7．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π
3，则双曲线的离心率为________。

解析 若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2
＝1，则渐近线的方程为y ＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π
3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝c
a ＝2；若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得a
b ＝tan π3＝3，a ＝3b ，可得
c ＝233a ，则e ＝23
3。

综上可得e ＝2或e ＝23
3。

答案 2或23
3
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】 (2019·江西联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左，右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )
A ．215a 2
B ．15a 2
C ．30a 2
D ．15a 2
解析 由双曲线的对称性，不妨设A 在双曲线的右支上，由
e ＝c
a ＝2，得c ＝2a ，所以△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，所以|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，所以cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|2
2|AF 1|·|AF 2|＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a ＝14。

所以sin ∠F 1AF 2＝15
4，所以S △AF 1F 2
＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×15
4＝15a 2。

故选B 。

答案 B
双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P 与两焦点的距离的差的绝对值||PF 1|－|PF 2||＝2a (其中0<2a <|F 1F 2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题。

【变式训练】 (1)已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( )
A ．x 24－y 25＝1(y >0)
B ．x 24－y 2
5＝1(x >0) C ．y 24－x 25＝1(y >0) D ．y 24－x 2
5＝1(x >0)
(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析 (1)由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c
＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为x2
4－
y2
5＝1(x>0)。

(2)由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2。

在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4。

答案(1)B(2)B
考点二双曲线的标准方程
【例2】(1)(2019·德州二中模拟)“0<n<2”是“方程
x2
n＋1＋
y2
n－3＝1表示双曲线”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线
方程为y＝3
4x，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方
程为()
A．x2
16－
y2
9＝1 B．
x2
9－
y2
16＝1
C．x2
64－
y2
36＝1 D．
x2
36－
y2
64＝1
(3)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y＝±1
3x，则双曲线的标准方程是__________________。

解析(1)若方程
x2
n＋1＋
y2
n－3＝1表示双曲线，则(n＋1)(n－
3)<0，解得－1<n<3，则0<n<2的范围小于－1<n<3，所以“0<n<2”
是“方程
x2
n＋1＋
y2
n－3＝1表示双曲线”的充分不必要条件。

故选
A。

(2)因为双曲线的一条渐近线方程是y＝3
4x，所以b
a＝3
4。

又因
为|3c|
25
＝6，所以c＝10。

因为c2＝a2＋b2，所以a2＝64，b2＝36。

所以双曲线方程为x2
64－
y2
36＝1。

故选C。

(3)设双曲线的方程是y2－x2
9＝λ(λ≠0)。

因为双曲线过点(3，
2)，所以λ＝2－9
9＝1。

故双曲线的标准方程为y2－x2
9＝1。

答案(1)A(2)C(3)y2－x2
9＝1
1．利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值。

2．与双曲线x2
a2－
y2
b2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程
为x2
a2－y2
b2＝λ(λ≠0)。

3．双曲线的焦点到渐近线的距离是b。

【变式训练】(1)若实数k满足0<k<9，则曲线x2
25－y2
9－k＝
1与曲线
x2
25－k－
y2
9＝1的()
A．离心率相等B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等D．焦距相等
(2)已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线l：x
＋3y＝0垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则双曲线C 的标准方程为()
A．y2
9－
x2
3＝1 B．
x2
9－
y2
3＝1
C．y2
4－
x2
6＝1 D．
x2
4－
y2
6＝1
解析(1)由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由25＋9－k＝25－k＋9，得两双曲线的焦距相等。

(2)设双曲线的方程为y2
a2－
x2
b2＝1(a>0，b>0)，因为双曲线C
的一条渐近线与直线l：x＋3y＝0垂直，所以双曲线C的一条渐近线为y＝3x。

设双曲线的一个焦点为(0，c)，则其到直线l
的距离为
|3c|
12＋(3)2
＝
3c
2＝3。

所以c＝23。

由双曲线的一条
渐近线为y＝3x，可知a
b＝3。

因为a2＋b2＝c2，所以a2＝9，
b2＝3。

故双曲线的标准方程为y2
9－
x2
3＝1。

答案(1)D(2)A
考点三双曲线的简单几何性质微点小专题方向1：双曲线的渐近线
【例3】(2019·福州四校联考)过双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)
的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±3x D．y＝±2x
解析由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与
y轴的交点到x轴的距离为4b2－c2＝3b2－a2，又4条直线分
别与两条渐近线平行，所以b
a＝3b2－a2
a2＋b2
，解得a＝b，所以该双
曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x。

故选A。

答案A
双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线是令
x2
a2－
y2
b2＝0，即得两
渐近线方程x
a±y
b＝0。

渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答。

方向2：双曲线的离心率
【例4】(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点。

过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。

若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为() A． 5 B．2
C． 3 D．2
解析不妨设一条渐近线的方程为y＝b
a x，则F2到y＝
b
a x的
距离d＝|bc|
a2＋b2
＝b，在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，
所以|PF1|＝6a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，
根据余弦定理得cos∠POF1＝a2＋c2－(6a)2
2ac＝－cos∠POF2＝－
a
c，即3a2＋c2－(6a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝c
a＝3。

故选C。

答案C
双曲线的离心率e ＝c
a 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，
b ，
c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e >1。

方向3：双曲线几何性质的综合应用
【例5】 (2019·太原模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π
3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝
( )
A ．1
B ．12
C ．13
D ．23
解析
如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a 。

又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝1
2|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×3
2＝23a 2。

设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|。

又知∠BAF 2＝π
3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2
，所以
S △AF 1F 2S △ABF 2
＝23a 243a
2＝12。

故选B 。

答案 B
双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系。

【题点对应练】
1．(方向1)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2
n 2＝1(m >0，n >0)的离心率与椭圆x 225＋y 2
16＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )
A ．4x ±3y ＝0
B ．3x ±4y ＝0
C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0
D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0
解析 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，所以椭圆的离心率e ＝
1－b 2a 2＝3
5，所以双曲线的离心率为
1＋n 2m 2＝53，所以n
m ＝
43，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±4
3x ，即4x ±3y ＝0。

故选A 。

答案 A
2．(方向2)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2
m 2－y 2
n 2＝1。

若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________。

解析 设椭圆的右焦点为F (c,0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知
A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c 2
，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 2
4b 2＝1，所以b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，因为b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，所以4a 4－8a 2c 2＋c 4
＝0，所以e 4椭－8e 2
椭＋4＝0，所以e 2椭＝4±23，
所以e 椭＝3＋1(舍去)或e 椭＝3－1，所以椭圆M 的离心率为3－1，因为双曲线的渐近线过点
A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c
2
，3c 2，所以一条渐近线方程为y ＝3x ，所以n
m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝
m 2＋n 2
m 2＝2。

答案
3－1 2
3．(方向3)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A ．32
B ．16
C ．8
D ．4
解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝b
a x 上，由题意可知|F 2M |＝bc
a 2＋b
2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a 。

由S △
OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2
，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16。

故选B 。

答案 B
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例6】 已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝5
2，虚轴长为2。

(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 相交于A ，B 两点(A ，B 均异于左、右顶点)，且以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点。

解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)。

由已知得
c a ＝5
2，2b ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2
＝1。

(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2
4－y 2
＝1，得(1－4k 2)x 2－8kmx －4(m 2＋1)＝0，
所以Δ＝64m 2k 2
＋16(1－4k 2
)(m 2
＋1)>0，x 1＋x 2＝8mk
1－4k 2
>0，
x 1x 2＝－4(m 2＋1)1－4k
2
<0，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k
21－4k 2。

因为以线段AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (－2，0)，
所以k AD ·k BD ＝－1，即
y 1x 1＋2·y 2
x 2＋2
＝－1， 所以y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0， 即m 2－4k 21－4k 2＋－4(m 2＋1)1－4k 2＋16mk 1－4k 2
＋4＝0， 所以3m 2－16mk ＋20k 2＝0，解得m ＝2k 或m ＝10k 3。

当m ＝2k 时，l 的方程为y ＝k (x ＋2)，直线过定点(－2,0)，与已知矛盾；
当m ＝10k
3时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋103，直线过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－103，0，
经检验符合已知条件。

故直线l
过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－103，0。

研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程与双曲线方程联立，消元得关于x 或y 的一元二次方程。

当二次项系数等于0时，直线与双曲线某支相交于一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定。

对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验。

【变式训练】 已知双曲线y 2－x
2
2＝1与不过原点O 且不平
行于坐标轴的直线l 相交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2＝( )
A ．12
B ．－12
C ．2
D ．－2
解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则y 2
1－x 212＝1，y 22
－x 22
2＝1，两式相减可得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)2，所以直线l 的斜率k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝x 02y 0，又直线OP 的斜率k 2＝y 0x 0，
所以k 1k 2＝x 02y 0·y 0x 0
＝1
2。

故选A 。

答案 A
教师备用题
1．(配合例1使用)P 是双曲线x 2a 2－y 2
9＝1上一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )
A ．9
B ．2
C ．10
D ．2或10
解析 因为双曲线的一条渐近线的方程为3x －2y ＝0，即y ＝32x ，又双曲线的渐近线方程为y ＝±3
a x ，不妨设a >0，所以可得3a ＝3
2，所以a ＝2。

于是，由双曲线的定义得|6－|PF 2||＝2a ＝4，解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝10。

又|PF 1|＝6>a ＋c ＝2＋13，所以点P 可能在双曲线的右支上，也可能在左支上，故所求|PF 2|＝2或|PF 2|＝10均有可能。

故选D 。

答案 D
2．(配合例2使用)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点O ，离心率为3。

若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( )
A ．x 24－y 2
8＝1
B ．y 24－x 2
8＝1
C ．x 2－y
22＝1
D ．y 2－x
22＝1
解析 由题意可知，OM 为Rt ΔMF 1F 2斜边上的中线，所以|OM |＝12|F 1F 2|＝c 。

由M 到原点的距离为3，得c ＝3，又e ＝c a ＝3，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝3－1＝2。

故双曲线C 的方
程为x 2－y
22＝1。

故选C 。

答案 C
3．(配合例4使用)过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，切点为M ，交y 轴于点P ，若＝λ，且双曲线的离心率e ＝6
2，则λ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 如图，|OF |＝c ，|OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝c 2b ，所以|PM |＝c 2
b －b ，所以λ＝＝
c 2
b －b b ＝
c 2－b 2b 2＝a 2b 2。

因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫622＝32，所以b 2a 2＝12。

所以λ＝2。

故选B 。

答案 B
4．(配合例5使用)已知双曲线C ：x 2－y
2b 2＝1(b >0)的左、右
焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C
上的任意一点，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A ，B
两点，若四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积为2，且·>0，则点P 的横坐标的取值范围为( )
A ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－
173∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫17
3，＋∞ B ．⎝
⎛⎭
⎪⎫
－
173，173
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2173∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫217
3，＋∞ D ．⎝
⎛⎭
⎪⎫
－
2173，2173 解析 由题易知四边形P AOB 为平行四边形，且不妨设双曲线C 的渐近线OA ：bx －y ＝0，OB ：bx ＋y ＝0。

设点P (m ，n )，则直线PB 的方程为y －n ＝b (x －m )，且点P 到渐近线OB 的距
离为
d ＝|bm ＋n |
1＋b 2。

由⎩⎪⎨⎪⎧
y －n ＝b (x －m )，bx ＋y ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝bm －n 2b ，
y ＝n －bm
2，
所
以
B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫bm －n 2b ，n －bm 2，所以|OB |＝(bm －n )24b 2＋(n －bm )2
4
＝1＋b 2
2b |bm －n |，
所以S ▱P AOB ＝|OB |·d ＝|b 2m 2－n 2|2b 。

又因为m 2－n 2b
2＝1，所以b 2m 2
－n 2
＝b 2
，所以S ▱P AOB ＝1
2b 。

又S ▱P AOB ＝2，所以b ＝22，所以
双曲线C 的方程为x 2－y
28＝1，所以c ＝3，所以F 1(－3,0)，F 2(3,0)，所以·＝(－3－m )(3－m )＋n 2>0，即m 2－9＋n 2>0，又因为m 2－n
2
8
＝1，所以m 2
－9＋8(m 2
－1)>0，解得m >173或m <－17
3，所以
点P 的横坐标的取值范围为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－
173∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫17
3，＋∞。

故选A 。

答案 A。