2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章+第六节 双 曲 线+Word版含答案
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章 第五节 椭 圆 Word版含答案
第五节 椭 圆2019考纲考题考情1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。
这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
(1)若a＞c，则M点的轨迹为椭圆。
(2)若a＝c，则M点的轨迹为线段F1F2。
(3)若a＜c，则M点不存在。
2．椭圆的标准方程和几何性质1．椭圆方程中的a ，b ，c (1)a ，b ，c 关系：a 2＝b 2＋c 2。
(2)e 与：因为e ＝＝＝，所以离心率e b a c aa 2－b 2a1－(ba)2越大，则越小，椭圆就越扁；离心率e 越小，则越大，椭圆就b a ba 越圆。
2．在求焦点在x 轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用以下不等关系：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0<e <1。
3．焦点三角形椭圆上的点P 与焦点F 1，F 2若构成三角形，则称△PF 1F 2为焦点三角形，焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定理、余弦定理的联系。
一、走进教材1．(选修1－1P 42A 组T 1改编)若F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 到F 1，F 2距离之和为10，则P 点的轨迹方程是( )A ．＋＝1 B ．＋＝1x 225y 216x 2100y 29C ．＋＝1D ．＋＝1或＋＝1y 225x 216x 225y 216y 225x 216解析 设点P 的坐标为(x ，y )，因为|PF 1|＋|PF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，所以点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其中a ＝5，c ＝3，b ＝＝4，故点P 的轨迹方程为＋＝1。
故选A 。
a 2－c 2x 225y216答案 A2．(选修1－1P 42A 组T 4改编)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A ．B ．222－12C ．2－D ．－122解析 设椭圆方程为＋＝1，依题意，显然有|PF 2|＝x 2a 2y 2b 2|F 1F 2|，则＝2c ，即＝2c ，即e 2＋2e －1＝0，又0<e <1，b 2a a 2－c 2a 解得e ＝－1。
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章 第六节 双 曲 线
第六节 双 曲 线2019考纲考题考情1．双曲线的概念平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。
(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。
(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。
(3)当a＞c时，M点不存在。
2．双曲线的标准方程和几何性质1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线。
(2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。
(3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线。
(4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。
2．方程－＝1(mn >0)表示的曲线x 2m y 2n (1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。
(2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。
3．方程的常见设法(1)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2y 2b 2－＝λ(λ≠0)。
x 2a 2y 2b 2(2)若渐近线的方程为y ＝±x ，则可设双曲线方程为b a －＝λ(λ≠0)。
x 2a 2y 2b2一、走进教材1．(选修1－1P 54A 组T 1改编)已知双曲线x 2－＝1上一点y 216P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________。
解析 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c －a ＝－1>2，故|PF 2|＝6。
17答案 62．(选修1－1P 53练习T 3改编)以椭圆＋＝1的焦点为x 24y 23顶点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。
人教版高考数学文科一轮总复习配套课件8.6双曲线
3,0),则其渐近线方程为
y=± 2x .
解析:∵ 焦点坐标为(- 3,0),∴ a>0 且 a+2=3,∴ a=1. ∴ 双曲线方程为 x - 2 =1,渐近线方程为 y=± 2x.
2 2 ������
9
-10考点一 双曲线的定义及应用
【例 1】已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=(C) A.4
������ ������
±x
������
������
x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标: A1 (0,-a) , A2 (0,a) y= ±x
������ ������
e= ,e∈(1,+∞),其中 c= ������2 + ������ 2 线段 A1A2 叫做双曲线的 实轴 ,它的长|A1A2|= 2a ;线段 B1B2 叫做双曲线的 虚轴 ,它的长|B1B2|= 2b ; a 叫做 双曲线的实半轴长, b 叫做双曲线的虚半轴长 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
3
-4-
2.双曲线的标准方程和几何性质
x2
标准方程
a2
− 2=1
b
y2
y2 a2
− 2=1
b
x2
(a>0,b>0)
(a>0,b>0)
图形
4
-5-
续表
标准方程 范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率
x2 a2
− 2=1(a>0,b>0)
b
y2
y2 a2
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第三章 第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
11。
1．解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已
知角”表示。①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为
两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，
此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系。
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)
( ) α＋β α－β α＋β α－β α－β
3 15＋8 3
× 2 ＝ 34 。故选 D。
答案 D
二、走近高考
( )5π 1
α－ 3．(2018·全国卷Ⅱ)已知 tan 4 ＝5，则
tanα＝________。
5π tanα－tan
4
( )5π
5π tanα－1 1
α－ 1＋tanαtan
解析 tan 4 ＝
4 ＝1＋tanα＝5，解得 tanα＝
( ) 1＋tanα π ＋α (4)1－tanα＝tan 4 。
1．两角和与差的正切公式的变形：
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)。
2．二倍角余弦公式的变形：
1－cos2α
1＋cos2α
sin2α＝ 2 ，cos2α＝ 2 。
3．一般地，函数 f (α)＝asinα＋bcosα(a，b 为常数)可以化
第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2019 考纲考题考情
1．两角和的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ。 (2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。
tanα＋tanβ (3)tan(α＋β)＝1－tanαtanβ。 2．两角差的正弦、余弦、正切公式 (1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)。 (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)。
2020版一轮复习文科数学 (8)
∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故函数 f(x)＝x2＋x 2在(3，＋∞)上为增函数．
B组 1．如果某林区森林面积每年比上一年平均增长 10%，经过 x 年可以增长到原来的 y 倍，那么函数 y ＝f(x)的图象大致是( )
【解析】假设原来森林面积为 1，则 y＝(1＋10%)x ＝1.1x，故选 D.
3．若直角坐标平面内的两个不同点 P、Q 满足条 件：
①P、Q 都在函数 y＝f(x)的图象上； ②P、Q 关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数 y
＝f(x)的一对“友好点对”(注：点对[P，Q]与[Q，P]
看作同一对“友好点对”)．
已知函数 f(x)＝12x，x>0，
则此函数的
【答案】(1，1)
8．已知函数 f(x)＝x2＋x 2. (1)它是奇函数还是偶函数？并给出证明； (2)它的图象具有怎样的对称性？
(3)它在(3，＋∞)上是增函数还是减函数？并用定
义证明．
【解析】(1)因为 x≠0，且 f(－x)＝x－2＋x2＝－x2＋x 2
＝－f(x)， 故函数 f(x)为奇函数． (2)图象关于原点对称． (3)在3，＋∞上是增函数．
则 P′的坐标为(2m－x0，y0)．
由已知 f(x＋m)＝f(m－x)，得 f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m－x0)]＝f(x0) ＝y0. 即 P′(2m－x0，y0)在 y＝f(x)的图象上． ∴y＝f(x)的图象关于直线 x＝m 对称．
(2)对定义域内的任意 x，有 f(2－x)＝f(2＋x)恒成 立．
高三数学一轮复习 第六章 第八节 数学归纳法及其应用课件 理 新人教A版
【解析】 检验n＝3. 【答案】
三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应
C
2．若 f(n)＝ 1＋ ( ) A．1
1 1 1 ＋ ＋…＋ (n∈N*)，则f(1)为 2 3 6n－ 1 1 B. 5 D．非以上答案
1 1 1 1 C．1＋ ＋ ＋ ＋ 2 3 4 5
1 1 1 1 【解析】 f(1)＝1＋ ＋ ＋ ＋ ，故选C. 2 3 4 5
1)(n∈N*)．
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝2，右边＝21·1＝2，
∴n＝1时，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1· 3· 5· …· (2k－1)． 当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋ 2)
（ k＋1） 2 （ 2k＋ 1）（ 2k＋ 3） ＝ k（ k＋ 1） 2（ 2k＋ 1） ＋ （ k＋ 1） 2 （ 2k＋ 1）（ 2k＋ 3） ＝
k（ k＋ 1）（ 2k＋ 3）＋ 2（ k＋ 1） 2 2（ 2k＋ 1）（ 2k＋ 3） （ k＋ 1）（ 2k2＋ 5k＋ 2） （k＋ 1）（ k＋ 2） ＝ ＝ ， 2（ 2k＋ 1）（2k＋ 3） 2（ 2k＋ 3） 所以当 n＝ k＋ 1时，命题成立． 由①② 可得对任意 n∈ N*，等式成立．
1 ． 用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清 等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多
少．
2．由n＝k时命题成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要
找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用
归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
求 证 ： (n ＋ 1)(n ＋ 2)·…·(n ＋ n) ＝ 2n· 1· 3· 5· …· (2n －
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 §8.6 双曲线
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章§8.6 双曲线1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的等于非零常数(_____|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .绝对值小于焦点焦距注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程图形性质焦点________________________________________焦距__________F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )|F 1F 2|＝2c标准方程性质范围或，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：；对称中心：_____顶点________________________________________轴实轴：线段，长：；虚轴：线段B1B2，长：，实半轴长：，虚半轴长：___x≤－a x≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22a2ba b标准方程性质渐近线________________离心率a，b，c的关系c2＝ (c>a>0，c>b>0)(1，＋∞)a2＋b2常用结论1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹×是双曲线.( )×√√A.－1<k<5B.k>5√C.k<－1D.k≠－1或5若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，3.(选择性必修第一册P127T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是________.4.(选择性必修第一册P127T1改编)设P 是双曲线＝1上一点，F1，F217分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝______.根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.返回第二部分探究核心题型例1 (1)(多选)(2024·邵阳模拟)已知点P 为定圆O 上的动点，点A 为圆O 所在平面上异于点O 的定点，线段AP 的垂直平分线交直线OP 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是A.一个点B.直线C.椭圆D.双曲线题型一 双曲线的定义√√√分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R，①当点A在圆O上，连接OA(图略)，则|OA|＝|OP|，所以点O在线段AP 的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可知|AQ|＝|PQ|.又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合，此时，点Q的轨迹为圆心O，故A正确；②当点A在圆O内，且点A不与圆心O重合，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，所以|QA|＋|QO|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝R>|OA|，此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确；③当点A在圆O外，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得|QA|＝|QP|，所以||QA|－|QO||＝||QP|－|QO||＝|OP|＝R<|OA|，此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为R的双曲线，故D 正确.(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为_______.不妨设点P 在双曲线的右支上，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，12F PF S △微拓展圆锥曲线的第二定义平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：(1)当0<e<1时，轨迹为椭圆.(2)当e>1时，轨迹为双曲线.①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，由双曲线第二定义知，思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.跟踪训练1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M 同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为√设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，√所以|PF1|＝|PF2|＋4，题型二 双曲线的标准方程√椭圆C的焦点坐标为(0，±2)，√因为PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，所以|F1Q|＝|F2Q|＝|F2P|＝|PQ|，所以∠PF2Q＝60°，∠F1F2Q＝30°，故PF2⊥F1F2，思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.跟踪训练2 (1)(2024·榆林模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是√由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上.∴△OPF1是等腰三角形，|OP|＝|OF1|＝c，又|OF2|＝c，∴△F1PF2的外接圆是以O为圆心，|OF1|＝c为半径的圆，∴F1P⊥PF2，根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，命题点1 渐近线例3 (1)(2023·连云港模拟)若双曲线经过点(1， )，其渐近线方程为y＝±2x ，则双曲线的方程是____________.题型三 双曲线的几何性质4x 2－y 2＝1综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.方法二 由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∴双曲线方程为4x2－y2＝1.即bx－ay＝0，2AOF S △12AF F S △22AOFS △思维升华命题点2 离心率√。
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第六节双曲线2019考纲考题考情1．双曲线的概念平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。
(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。
(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。
(3)当a＞c时，M点不存在。
2．双曲线的标准方程和几何性质1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线。
(2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。
(3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线。
(4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。
2．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。
(2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。
3．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)。
(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)。
一、走进教材1．(选修1－1P 54A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________。
解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1>2，故|PF2|＝6。
答案62．(选修1－1P53练习T3改编)以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。
解析设要求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由椭圆x2 4＋y23＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。
所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2,0)。
所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－y23＝1。
答案x2－y23＝1二、走近高考3．(2018·浙江高考)双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A．(－2，0)，(2，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－2)，(0，2) D．(0，－2)，(0,2)解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)。
故选B。
答案B4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是________。
解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝ba x，所以|bc| a2＋b2＝b＝32c，所以b2＝c2－a2＝34c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝ca＝2。
答案25．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A．2B．2 C．322D．22解析由离心率e＝ca＝2，得c＝2a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x。
由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22。
故选D。
解析：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22。
故选D。
答案D三、走出误区微提醒：①忽视双曲线定义的条件致误；②忽视双曲线焦点的位置致误。
6．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________。
解析由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b 2＝c 2－a 2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 27＝1的下支。
答案 双曲线y 29－x 27＝1的下支7．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为________。
解析 若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝ca ＝2；若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得ab ＝tan π3＝3，a ＝3b ，可得c ＝233a ，则e ＝233。
综上可得e ＝2或e ＝233。
答案 2或233考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (2019·江西联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左，右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2解析 由双曲线的对称性，不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，所以△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，所以|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，所以cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a ＝14。
所以sin ∠F 1AF 2＝154，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2。
故选B 。
答案 B双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P 与两焦点的距离的差的绝对值||PF 1|－|PF 2||＝2a (其中0<2a <|F 1F 2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题。
【变式训练】 (1)已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 24－y 25＝1(y >0)B ．x 24－y 25＝1(x >0) C ．y 24－x 25＝1(y >0) D ．y 24－x 25＝1(x >0)(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析 (1)由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为x24－y25＝1(x>0)。
(2)由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2。
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4。
答案(1)B(2)B考点二双曲线的标准方程【例2】(1)(2019·德州二中模拟)“0<n<2”是“方程x2n＋1＋y2n－3＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝34x，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为()A．x216－y29＝1 B．x29－y216＝1C．x264－y236＝1 D．x236－y264＝1(3)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y＝±13x，则双曲线的标准方程是__________________。
解析(1)若方程x2n＋1＋y2n－3＝1表示双曲线，则(n＋1)(n－3)<0，解得－1<n<3，则0<n<2的范围小于－1<n<3，所以“0<n<2”是“方程x2n＋1＋y2n－3＝1表示双曲线”的充分不必要条件。
故选A。
(2)因为双曲线的一条渐近线方程是y＝34x，所以ba＝34。
又因为|3c|25＝6，所以c＝10。
因为c2＝a2＋b2，所以a2＝64，b2＝36。
所以双曲线方程为x264－y236＝1。
故选C。
(3)设双曲线的方程是y2－x29＝λ(λ≠0)。
因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1。
故双曲线的标准方程为y2－x29＝1。
答案(1)A(2)C(3)y2－x29＝11．利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值。
2．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)。
3．双曲线的焦点到渐近线的距离是b。
【变式训练】(1)若实数k满足0<k<9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的()A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等(2)已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线l：x＋3y＝0垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则双曲线C 的标准方程为()A．y29－x23＝1 B．x29－y23＝1C．y24－x26＝1 D．x24－y26＝1解析(1)由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由25＋9－k＝25－k＋9，得两双曲线的焦距相等。