2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章+第六节 双 曲 线+Word版含答案

第六节双曲线

2019考纲考题考情

1．双曲线的概念

平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。

(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。

(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。

(3)当a＞c时，M点不存在。

2．双曲线的标准方程和几何性质

1．双曲线定义的四点辨析

(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线。 (2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。 (3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线。

(4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。 2．方程x 2m －y 2

n ＝1(mn >0)表示的曲线

(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。 (2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。 3．方程的常见设法

(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2

b 2＝λ(λ≠0)。

(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝λ(λ≠0)。

一、走进教材

1．(选修1－1P 54A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y

2

16＝1上一点

P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离

等于________。

解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1>2，故|PF2|＝6。

答案6

2．(选修1－1P53练习T3改编)以椭圆x2

4＋

y2

3＝1的焦点为顶

点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。

解析设要求的双曲线方程为x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)，由椭圆

x2 4＋y2

3＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。所以双曲线的顶点为

(±1，0)，焦点为(±2,0)。所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，

所以双曲线标准方程为x2－y2

3＝1。

答案x2－y2

3＝1

二、走近高考

3．(2018·浙江高考)双曲线x2

3－y2＝1的焦点坐标是()

A．(－2，0)，(2，0) B．(－2,0)，(2,0)

C．(0，－2)，(0，2) D．(0，－2)，(0,2)

解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)。故选B。

答案B

4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为

3

2c，则

其离心率的值是________。

解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝b

a x，所以

|bc| a2＋b2＝b＝

3

2c，所以b2＝c2－a2＝

3

4c2，得c＝2a，所以双曲线

的离心率e＝c

a＝2。

答案2

5．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)的

离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()

A．2B．2 C．32

2D．22

解析由离心率e＝c

a＝2，得c＝2a，又b2＝c2－a2，得b

＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x。由点到直线的距离

公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为

4

1＋1

＝22。故选D。

解析：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离

为

4

1＋1

＝22。故选D。

答案D

三、走出误区

微提醒：①忽视双曲线定义的条件致误；②忽视双曲线焦点的位置致误。

6．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________。

解析由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则

b 2

＝c 2

－a 2

＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y 29－x 2

7＝1的下支。

答案 双曲线y 29－x 2

7＝1的下支

7．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π

3，则双曲线的离心率为________。

解析 若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2

b 2

＝1，则渐近线的方程为y ＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π

3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝c

a ＝2；若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2

b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得a

b ＝tan π3＝3，a ＝3b ，可得

c ＝233a ，则e ＝23

3。综上可得e ＝2或e ＝23

3。

答案 2或23

3

考点一 双曲线的定义及应用

【例1】 (2019·江西联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左，右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )

A ．215a 2

B ．15a 2

C ．30a 2

D ．15a 2

解析 由双曲线的对称性，不妨设A 在双曲线的右支上，由