一次函数的图像和性质

图象上,则y1,y2,0的大小关系是( B )
A.0<y1<y2
B.y1<0<y2
C.y1<y2<0
D.y2<0<y1
[解析]∵当x=-1时,得y1=-5;当x=4时,得y2=10, ∴y1<0<y2.故选B
2.已知一次函数y=(k-2)x-3k2+12.
(1)k为何值时,y随x增大而减小? (2)若k=3,且点(-1,y1),(-2,y2)在该函数图象上,试比较y1与y2的大小.
1.2 一次函数的性质
k>0 一次函数y=kx+b(k≠0)
k<0
左右平移:y=kx+b
平移规律 上下平移:y=kx+b
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
__y_=_k_(x_±__m__)+_b__ __y_=_k_x_+_b_±_m____
考向精析
1. [2017·温州]已知点(-1,y1),(4,y2)在一次函数y=3x-2的
∴l1∥l3 或 l2∥l3 或 l3 过点 C. 当 l3 过点 C 时,4=2k+1,∴k=32,∴k 的值为-12或 2 或32.
图10-7
小结
1、y=kx+b (k≠0)的图象和性质：
2、用待定系数法求一次函数表达式 3、一次函数与一次方程、一元一次不等式、方程组 4、综合性问题
考向精析
1 D 例11、、3 一次函数 y=43x-b 与 y=43x-1 的图象之间的距离等于 3,则 b 的值为(
)
A.-2 或 4
B.2 或-4
C.4 或-6
D.-4 或 6解析Leabharlann l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2;
考点2 用待定系数法求一次函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式的步骤: ①设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0); ②把已知点的坐标代入函数表达式,得关于待定系数 k,b的方程或方程组; ③解方程或方程组,写出函数表达式.
A. kb>0
B. kb<0
C. k+b>0
D. k+b<0
[解析]因为图像经过一、三、四象限，所以k > 0,b <0 故选B.
2. [2019·大庆]正比例函数y=kx(k≠0) 的函数值y随着x的增 大而减小,则一次函数y=x+k的图象大致是 ( A )
图10-1 [解析]因为正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随着 x的增大而减小,所以k<0,所以一次函数y=x+k的 图象随着x增大而增大,与y轴交于负半轴,故选A.
一次函数y=kx+b(k≠0)的值为 0 时,相应自变量的值为方 一次函数与一次方程
程kx+b=0的解
一次函数与一元一 一次函数y=kx+b(k≠0)的值大于(或小于)0,相应的自变量的
次不等式
值为不等式kx+b > 0(或kx+b < 0)的解
两直线的交点是两个一次函数表达式y=k1x+b1和y=k2x+b2
(k<0)经过点 A(3,1),当 kx+b<13x 时,x 的
取值范围为 x>3 .
[解析]当 x=3 时,13x=13×3=1, ∴点 A 在一次函数 y=13x 的图象上, 且一次函数 y=13x 的图象经过第一、三 象限,当 x>3 时,一次函数 y=13x 的图象在 y=kx+b 的图象上方,即 kx+b<13x.
设直线 l1 的解析式为:y=kx+b(k≠0),将 B(1,0),P(-1,2)的坐标代入,
得
���-���������++������������==02, ,解得:
������ ������
= =
-1,∴直线 1.
l1 的解析式为:y=-x+1.
1、[2019·乐山]如图10-3,已知过点B(1,0)的直线l1与直 线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a). (2)求四边形PAOC的面积.
图10-7
例1、4 [2018·河北]如图 10-7,在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=-12x+5 的图象 l1 分
别与 x,y 轴交于 A,B 两点,正比例函数的图象 l2 与 l1 交于点 C(m,4).
(3)一次函数 y=kx+1 的图象为 l3,且 l1,l2,l3
不能围成三角形,直接写出 k 的值. 解: (3)∵l1,l2,l3 不能围成三角形,
= =
���������������+��� +������,6的解为
������ = ������, ������ = ������ ;
x>3 (3)关于 x 的不等式 x+b>kx+6 的解集是
;
(4)关于 x 的不等式 x+b<kx+6 的解集是 x<3 .
图10-4
3、2.[2019·滨州]如图 10-5,直线 y=kx+b
解:(1)∵y随x增大而减小,∴k-2<0,∴k<2.
(2)当k=3时,一次函数为y=x-15, ∴y随x的增大而增大, 又-1>-2, ∴y1>y2.
1.3 两条直线的位置关系
若直线l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2,
① l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2; ② l1与l2相交⇔k1≠k2.
解:(2)∵直线 l1 与 y 轴相交于点 C, ∴点 C 的坐标为(0,1).
图10-3
∵直线 l2 与 x 轴相交于点 A,
∴A 点的坐标为(-2,0),则 AB=3, ∵S 四边形 PAOC=S△PAB-S△BOC,∴S 四边形 PAOC=12×3×2-12×1×1=52.
考点3 一次函数与方程、不等式的关系
宁波市海曙区教育局教研室初中数学精品微课资源
3.2 一次函数的图像和性质
本课编制：邬芳芳（宁波市第十五中学） 适用年级：九年级 教材版本：浙教版
考点1 一次函数的图象和性质 1.1 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0, b )和( -������������ ,0)的一条直线
图10-7
解:(1)将点 C 的坐标代入 l1 的解析式,得-12m+5=4,解得 m=2.∴C 的坐标为(2,4). 设 l2 的解析式为 y=ax.将点 C 的坐标代入得 4=2a,解得 a=2, ∴l2 的解析式为 y=2x.
例1、4 [2018·河北]如图 10-7,在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=-12x+5 的图象 l1 分
y= kx+b 的图象
k>0,b>0 经过第一、 二、三象限
k>0,b<0 经过第一、 三、四象限
k<0,b>0 经过第一、 二、四象限
k<0,b<0 经过第二、 三、四象限
考向精析
1. [2019·毕节]已知一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象
经过一、三、四象限,则下列结论正确的是( B )
一次函数与方程组
������ = ������������������ + ������������,
组成的方程组 ������ = ������������������ + ������������ 的解
考向精析
1.[2019·潍坊]当直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象 限时,k的取值范围是 1<k<3 .
[解析]∵直线经过第二、三、四 象限,∴ 2-2������ < 0,解得 1<k<3.
������-3 < 0,
例2、2 如图 10-4,直线 y=x+b 与直线 y=kx+6 交于点 P(3,5),则
(1)关于 x 的方程 x+b=kx+6 的解是 x=3 ;
(2)方程组
������ ������
考向精析
1、[2019·乐山]如图10-3,已知过点B(1,0)的直线l1与直
线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a).
(1)求直线l1的解析式;
(2)求四边形PAOC的面积.
图10-3
解:(1)∵点 P(-1,a)在直线 l2:y=2x+4 上,
∴2×(-1)+4=a,即 a=2,∴点 P 的坐标为(-1,2).
别与 x,y 轴交于 A,B 两点,正比例函数的图象 l2 与 l1 交于点 C(m,4). (2)求 S△AOC-S△BOC 的值;
解: (2)对于 y=-12x+5,当 x=0 时,y=5,∴B(0,5). 当 y=0 时,x=10,∴A(10,0). ∴S△AOC=12×10×4=20,S△BOC=12×5×2=5, ∴S△AOC-S△BOC=20-5=15.
3、[2019·杭州]已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),函 数y1和y2的图象可能是( A )
图10-2
[解析]①当a>0,b>0时,y1,y2的图象都经过一、二、三象限; ②当a<0,b<0时,y1,y2的图象都经过二、三、四象限; ③当a>0,b<0时,y1的图象经过一、三、四象限,y2的图象经过一、二、四象限; ④当a<0,b>0时,y1的图象经过一、二、四象限,y2的图象经过一、三、四象限, 所以选A.
图10-5
考点4 综合性问题
解决函数图象与满足相关条件的几何图形问题, 关键是把点的坐标与几何图形的边长作相应转化, 解答时要注意分类讨论.
考向精析 例1、4 [2018·河北]如图 10-7,在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=-12x+5 的图象 l1 分别
与 x,y 轴交于 A,B 两点,正比例函数的图象 l2 与 l1 交于点 C(m,4). (1)求 m 的值及 l2 的解析式; (2)求 S△AOC-S△BOC 的值; (3)一次函数 y=kx+1 的图象为 l3,且 l1,l2,l3 不能围成三角形,直接写出 k 的值.