均值不等式公式完全总结归纳非常实用
均值不等式的公式
均值不等式的公式1. 算术平均数(Arithmetic Mean):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ，它们的算术平均数定义为：A.M.(a₁,a₂,...,aₙ)=(a₁+a₂+...+aₙ)/n2. 几何平均数(Geometric Mean):对于任意正实数a₁,a₂,...,aₙ，它们的几何平均数定义为：G.M.(a₁,a₂,...,aₙ)=((a₁^t)*(a₂^t)*...*(aₙ^t))^(1/n)其中t为任意实数，通常取t=13.均值不等式(均值-均值不等式):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中t₁,t₂,...,tₙ为任意实数，且满足1/t₁+1/t₂+...+1/tₙ=1，则有：((a₁^t₁)*(a₂^t₂)*...*(aₙ^tₙ))^(1/(t₁+t₂+...+tₙ))≤((b₁^t₁)*(b₂^t₂)*...*(bₙ^tₙ))^(1/(t₁+t₂+...+tₙ))特别地，当t₁=t₂=...=tₙ=1时，即为均值不等式：((a₁+a₂+...+aₙ)/n)≤((b₁+b₂+...+bₙ)/n)4.广义均值不等式(均值-幂不等式):对于任意非负实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中p,q为实数，且p≠0，满足1/p+1/q=1，则有：((，a₁，^p+，a₂，^p+...+，aₙ，^p)/n)^(1/p)≤((，b₁，^q+，b₂，^q+...+，bₙ，^q)/n)^(1/q)5. 切比雪夫不等式(Chebyshev's Inequality):对于任意实数a₁,a₂,...,aₙ和b₁,b₂,...,bₙ，其中a₁≤a₂≤...≤aₙ，b₁≤b₂≤...≤bₙ，则有：(a₁+a₂+...+aₙ)/n≤(a₁+b₂+...+bₙ)/n≤(b₁+b₂+...+bₙ)/n特别地，当a₁=b₁,a₂=b₂,...,aₙ=bₙ时，即为等号情况，表明最小值和最大值可以取到。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)(汇编)
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
（1） （2） (3)
2．已知 ，求函数 的最大值.；3． ，求函数 的最大值.
条件求最值
1.若实数满足 ，则 的最小值是.
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解： 都是正数， ≥
当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是6．
变式：若 ，求 的最小值.并求x,y的值
解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进行拆、凑项，
，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1. 当 时，求 的最大值。
解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可。
技巧九、取平方
5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝ ＋ 的最值.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ≤ ，本题很简单
＋ ≤ ＝ ＝2
absence n. 缺席；不在某处解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
n. 大学毕业生W＞0，W2＝3x＋2y＋2 · ＝10＋2 · ≤10＋( )2·( )2＝10＋(3x＋2y)＝20
均值不等式公式完全总结材料归纳(非常实用)-不等式均值公式
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式公式完全总结归纳非常实用不等式均值公式
均值不等式归纳总结1. （1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+（2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ﻩﻩ(当且仅当b a =时取“=”)2． (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2ﻩ(２)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）３.若0x >,则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“＝”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)4.若0>ab ,则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2）求最值的条件“一正,二定，三取等”(３)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一:求最值例１:求下列函数的值域(1)y=3x２＋错误!（２）y=x+错误!解：（1)y=３x２＋错误!≥2错误!＝错误!∴值域为［错误!,+∞）(2)当ｘ＞0时,y=x+１ｘ≥2错误!＝2；当x<０时， ｙ＝ｘ＋错误!= －（－ ｘ－错误!）≤-2错误!=-２ ∴值域为（-∞,-２]∪[２,＋∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
ﻩ 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项,5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。
均值不等式公式四个及证明
均值不等式公式四个及证明1.算术均值-几何均值不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)证明：当n=2时，不等式成立。
因为(a1+a2)/2≥√(a1*a2)，即a1+a2≥2√(a1*a2)。
假设当 n=k 时，不等式成立，即(a1+a2+...+ak)/k ≥√(a1*a2*...*ak)。
现在考虑 n=k+1 的情况，即要证明(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ √(a1*a2*...*ak*ak+1)。
根据已知条件，我们有：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) = [(a1+a2+...+ak)/k]*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)由归纳假设，(a1+a2+...+ak)/k ≥ √(a1*a2*...*ak)。
因此，上式可以表示为：(a1+a2+...+ak+ak+1)/(k+1) ≥ (√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1)根据加权平均不等式，我们有：(√(a1*a2*...*ak))*(k/(k+1)) + ak+1/(k+1) ≥√(a1*a2*...*ak*ak+1)因此，不等式成立。
2. 广义均值不等式（Cauchy不等式）：对于非负实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+an*bn其中，p和q是正实数，满足1/p+1/q=1证明：当n=2时，不等式成立。
因为(a1^p+a2^p)^(1/p)*(b1^q+b2^q)^(1/q)≥a1*b1+a2*b2假设当 n=k 时，不等式成立，即 (a1^p+a2^p+...+ak^p)^(1/p) * (b1^q+b2^q+...+bk^q)^(1/q) ≥ a1*b1+a2*b2+...+ak*bk。
均值不等式公式完全总结归纳
均值不等式公式完全总结归纳均值不等式（Mean Inequality）是数学中的一种重要的不等式，它描述了一组数的算术平均值与几何平均值之间的关系。
这个不等式在数学中有广泛的应用，并且具有一般性质和特殊形式。
接下来我将对均值不等式的公式进行完全总结和归纳。
一、一般形式：设有n个实数a₁、a₂、..、aₙ，则它们的算术平均值（A.M., Arithmetic Mean）与几何平均值（G.M., Geometric Mean）满足以下不等式：G.M.≤A.M.二、特殊形式：1.对于正实数a₁、a₂、..、aₙ，它们的平均值满足以下不等式：G.M.≤H.M.≤A.M.其中H.M.表示它们的调和平均值（Harmonic Mean）。
这个不等式说明了几何平均值小于等于调和平均值，并且调和平均值小于等于算术平均值。
2.对于正实数a₁、a₂、..、aₙ，它们的平均值满足以下不等式：G.M.≤Q.M.≤A.M.其中Q.M.表示它们的平方平均值（Quadratic Mean），也称为均方根。
这个不等式说明了几何平均值小于等于平方平均值，平方平均值小于等于算术平均值。
三、加权均值不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和正实数w₁、w₂、..、wₙ（权重），则有以下加权均值不等式成立：A.M.≥G.M.≥H.M.≥Q.M.其中加权算术平均值（A.M.）大于等于加权几何平均值（G.M.），大于等于加权调和平均值（H.M.），大于等于加权平方平均值（Q.M.）。
四、一些常用的特殊不等式：1. Cauchy-Schwarz不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和b₁、b₂、..、bₙ(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)²≤(a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²)2. Jensen不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和函数f(x)，如果f(x)是凸函数（或凹函数），则有以下不等式成立：f(a₁) + f(a₂) + ... + f(aₙ) ≥ nf(A.M.)其中f(A.M.)是函数f(x)在x=A.M.处的值。
(完整版)均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1. (1)若，则(2)若，则（当且仅当R b a ∈,ab b a 222≥+R b a ∈,222b aab +≤时取“=”）b a =2. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取*,R b a ∈abb a ≥+2*,R b a ∈ab b a 2≥+b a =“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）*,R b a ∈22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab b a =3.若，则 (当且仅当时取“=”）0x >12x x +≥1x =若，则 (当且仅当时取“=”）0x <12x x+≤-1x =-若，则 (当且仅当时取“=”）0x ≠11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或b a =4.若，则 (当且仅当时取“=”）0>ab 2≥+ab ba b a =若，则 (当且仅当时取“=”）0ab ≠22-2a b a ba bbabab a+≥+≥+≤即或b a =5.若，则（当且仅当时取“=”）R b a ∈,2)2(222b a b a +≤+b a =『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋（2）y ＝x ＋12x 21x解：(1)y ＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）12x 266(2)当x ＞0时，y ＝x ＋≥2＝2；1x 当x ＜0时， y ＝x ＋= －（－ x －）≤－2=－21x 1x ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知，求函数的最大值。
54x <14245y x x =-+-解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所450x -<1(42)45x x --A以对要进行拆、凑项，42x -，5,5404x x <∴-> 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)精编版
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋ （2）y＝x＋
解：(1)y＝3x2＋ ≥2 ＝ ∴值域为[ ，+∞）
(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥2 ＝2；
当x＜0时， y＝x＋ = －（－x－ ）≤－2 =－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧
技巧一：凑项
例已知 ，求函数 的最大值。
法一：a＝ ，ab＝ ·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2 ＝8
∴ab≤18 ∴y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2 ∴ 30－ab≥2
令u＝ 则u2＋2 u－30≤0，－5 ≤u≤3
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
∴ ≤3 ，ab≤18，∴y≥
点评：①本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式 出发求得 的范围，关键是寻找到 之间的关系，由此想到不等式 ，这样将已知条件转换为含 的不等式，进而解得 的范围.
变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方
5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝ ＋ 的最值.
均值不等式公式完全总结归纳非常实用
均值不等式公式完全总结归纳非常实用1.算术平均值不等式（AM）：对于任意非负实数a1，a2，...，an，有（a1+a2+...+an）/n ≥ (√a1+√a2+...+√an)/√n这个不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的算术均值总是大于等于它们的平方根的算术均值。
2.几何平均值不等式（GM）：对于任意正实数a1，a2，...，an，有（a1·a2·...·an）^(1/n) ≤ (a1+a2+...+an)/n这个不等式告诉我们，对于一组正实数，它们的几何均值总是小于等于它们的算术均值。
3.平均数不等式（QM）：对于任意非负实数a1，a2，...，an，有(√(a1^2+a2^2+...+an^2))/n ≥ (a1+a2+...+an)/n这个不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的平方和的平均值总是大于等于它们的算术均值。
4. 加权平均值不等式（Weighted AM）：对于任意非负实数a1，a2，...，an和非负权重w1，w2，...，wn，有(w1a1+w2a2+...+wnan)/(w1+w2+...+wn) ≥(w1√a1+w2√a2+...+wn√an)/(√(w1+w2+...+wn))这个不等式告诉我们，对于一组非负实数和它们的对应权重，加权平均值总是大于等于加权平方根的平均值。
5. 广义均值不等式（Generalized Mean Inequality）：对于任意非负实数a1，a2，...，an和非零实数p，有[(a1^p+a2^p+...+an^p)/n]^(1/p) ≥[(a1^q+a2^q+...+an^q)/n]^(1/q)其中p和q是互为倒数的实数，即1/p+1/q=1这个不等式告诉我们，对于一组非负实数和给定的p和q，p次幂均值总是大于等于q次幂均值。
除了上述的基本均值不等式外，还有一些特殊形式的均值不等式：6. 帕纳不等式（Peano's Inequality）：对于两个非负实数a和b，有(a+b)^n ≥ a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
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1. (1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 时取=”)2. (1)若 a,b R *，则号..ab(2)若 a,b R *，贝卩 a b 2 ： ab时取=”）『ps.（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最 大”. （2） 求最值的条件“一正，二定，三取等”（3） 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实 际问题方面有广泛的应用』均值不等式归纳总结2ab ⑵若 a,b R ，则 ab （当且仅当a b（当且仅当a b⑶若a,b R *，则ab （当且仅当a b 时取=”）3.若 x 0 ,则 x -x若x 0 ,则x -x2 （当且仅当x 1时取=”） 2 （当且仅当x 1时取=”）-2（当且仅当a b 时取=”）4.若 ab 0,则 a b 2 b a（当且仅当a b 时取=”）若ab 0,则 5.若a,b R ，则（丄卫）22（当且仅当a （当且仅当a b 时取=”）b 时取=”）b2ab 2例1:求下列函数的值域1 (1) y=3x2 + :2x 21 (2) y=x + 一x解题技巧技巧一：凑项例已知x 5，求函数y 4x 2-的最大值。
44x 5解：因4x 5 0 ,所以首先要“调整”符号，又4x 2)诜 不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项，5 11Q x , 5 4x 0， y 4x 25 4x 32 3 144x 55 4x当且仅当5 4x -，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，y max 1。
5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1.当 ■:时，求y x(8 2x)的最大值。
解析：由1' ■ ■"知，；二，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
均值不等式的公式
均值不等式的公式
四个均值不等式:
a+b≥2ab;
√(ab)≤(a+b)/2;
a+b+c≥(a+b+c)/3;
a+b+c≥3×三次根号abc
公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几
何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即为均值不等式。
这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为
一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方
法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)-不等式均值公式
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
(2021年整理)均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
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均值不等式归纳总结1。
(1）若R b a ∈,,则ab b a222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2。
(1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”)(3）若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“="）3。
若0x >，则12x x+≥ （当且仅当1x =时取“=”)若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4。
若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 （当且仅当b a =时取“=") 5。
若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”)『ps 。
（1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小,和定积最大”．(2）求最值的条件“一正,二定，三取等"（3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋错误!解:(1)y＝3x 2＋错误!≥2错误!＝错误!∴值域为[错误!，+∞) (2）当x＞0时，y＝x＋错误!≥2错误!＝2；当x＜0时， y＝x＋错误!= －(－ x－错误!）≤－2错误!=－2∴值域为（－∞，－2]∪［2，+∞）解题技巧技巧一:凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
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纳总结均值不等式归22ba?当仅，则，则1. (1)若(2)若（当且”）时取“=ba?b?a（当且仅当，则(2)2. (1) 22ab?a2?bRa?R,b,ab??ab2若，则若**ab?b?2aR?R,baba,?ab?2”）时取“=b?a2ba???”）时取“，则(3)若=( 当且仅当*Ra,b?ba??ab??2??1”） 3.若，则(当且仅当时取“=2x??1x0?x?x1时取“若，则(当且仅当=”）2x???1x?0??x x111”）时取“= (若当且仅当，则b?0x?a-2???2或xx??2即?x xxxba当且仅当(时取“=4.若，则”）ba??ab02??ab babbaa”）( 若，则当且仅当时取“=b?ab?0a-2?2?或??2即??ababab22b?aba?时取“（当且仅当，则=5.若”）R,b?a ba?2?()22当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数『ps.(1)的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解(3) 决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值：求下列函数的值域1例11xyxy＋（2）（1）＝3 ＋＝2xx2 211 6 ∴值域为[6 3x解：(1)y＝＋≥，2+3x·∞）＝2 22x2x 2 211 x·2 ＝2；时，(2)当x＞0y＝x＋≥xx1112 ）≤－－（－= x =－2 －当x＜0时，y＝x＋x·xxx ∴值域为（－∞，－∞）2]∪[2，+解题技巧技巧一：凑项51，求函数的最大值。
例已知?x?24x?y?45?4x1不是常数，所以解：因，所以首先要“调整”符号，又0?x?542)(4x?5?4x要进行拆、凑项，对2?4x511??，1??2?3?0x???,?54x3??5?4x?y??4x?2????4x455?4x???1时，。
，即时，上式等号成立，故当当且仅当1y??x?541?x1x?max5?4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求的最大值。
)xx(8?2y?知，解析：由，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x?(8?2x)?8为定值，故只需将凑上一个系数即可。
)xx?(8?2y当，即x＝2时取等号当x＝2时，。
8的最大值为)x2?(8x?y评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
3变式：设，求函数的最大值。
??x0)?2xy?4x(32239x3?22x???∴解：∵∴?0?x0?3?2x?2x(3?2x)?2y?4x(3?2x)?2???222??33??即当且仅当时等号成立。
,x??0,x22x?3???24??分离技巧三：求例3. 的值域。
?y?x?1)(1x?）x＋1解析一：本题210??7xx看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（的项，再将其分离。
4 1时取“＝”号）。
,（当且仅当x＝当,即时9（y?2x?1)???51?x技巧四：换元，化简原式在1t=x＋解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令分离求最值。
4时取“＝”号）。
x＝1即当,t=时t=2,（当即9??5?2y?tt评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后A g(x)，将式子分开再利用不等式求最值。
即化为0)B??B(A?xy?mg()?0,)xg(恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数a的单调性。
?x(x)?fx2?x5的值域。
例：求函数?y24x?112x?5，则解：令22)??4t(t?x2???x?4?t(2)t??y t24?x24?x11??，故等号不成立，考虑单调解得不在区间因，但??2,?t??1tt?0,1??ttt性。
1????为单调递增函数，因为在区间单调递增，所以在其子区间??2,1,????ty t5故。
?y25??所以，所求函数的值域为。
??,??2??. 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值1121?3xx??)?(0,y?2sinx?,x(3) （（1）2）3y?x?x?,2?0)y,(x?xsin3x?x2)xy?x(1?，求函数的最大值.；2．已知3，求函数．1x?0??x0?3)x?x(2?3y. 的最大值条件求最值 .，则1.若实数满足的最小值是ba3?32a?b?定值，因此考虑利用均值分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33?定理求最小值，都是正数，≥解：bababa?ba33?33和6??2233?3时，得即当时等号成立，由当及baba3333??1?bbaba??2??1?a 6的最小值是．ba33?11?的值.的最小值并求变式：若x,y，求2ylogxlog??44xy技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
．91，求2：已知，且的最小值。
1??0??0,yx yx?yx．．91??919，，且错解：故0?x?0,y???1??12xyx?y???2?2x?y??yxxyyx????。
12?x?y min，等号成立条件是错因：解法中两次连用均值不等式，在yx?xyx?y?291取等号的条件的不一致，产生错,即在等号成立条件是991?x?9y2??yx xyxy误。
因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
??xy91991正解：，??16?10?6??y??xy10?????x1??x?0,y?0,??yxyyxx??91xy9时，，可得当且仅当时，上式等号成立，又1???12?4,y?x yxyx??。
16x?y?min?R,y?x1?y?2x11且）若变式：（1，求的最小值? yx ba?yx?Ra,y?,b,x (2)的最小值，求且已知1??yx技巧七y 2xyxyx 的最大值＋1 ＝，求.1＋已知，为正实数，且2 22ab＋2 2ab。
≤分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式2．1xxyyy 1＋＝中前面的系数为，同时还应化简1＋2222yy ＋11 2 2x·2 ＋＝2·222y1 2x分别看成两个因式：，＋下面将2211yy 2 2＋( ) ＋x＋x＋ 2 222222y31 2yxx＝＋＝·即＋＝≤ 1 242222y31 2x＋≤22 ·224技巧八：1yababba的最小值＝＝已知30，为正实数，2，求函数＋.＋ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
bb bb302＋－2 30－2－302aabb＝·＝法一：＝，bbb＋1＋11＋ab15＜＜0得，0＞由．tt16－231 ＋3416－2tttbtab≥＋34∵（2 ＋+1，1＜＜16，）＋＝令＝＝－ttt16t8·2 ＝t1atbyab 3＝，时，等号成立。
≥当且仅当＝＝4，即6 ∴≤18 ∴18bababaab ab2＋－≥＝2＋22∴30－∵≥法二：由已知得：30 ab 22uuuab≤u≤32 ≤0，令＝－则5＋22 2 －3021yabab≥，∴，≤18∴≤32 18ba?的应用、不等式的解法及运算点评：①本题考查不等式?）b?R,（aab?2的范围，关键能力；②如何由已知不等式出发求得?）（a,b?R ab30a?2b?ab?ba?，这样将之间的关系，由此想到不等式是寻找到?ab与ba?）Ra,b?（ab?2.的范围已知条件转换为含的不等式，进而解得abab baababab＋)＝1，求，>0，(－＋的最小值。
变式：1.已知>0 1，求它的面积最大值。
2.若直角三角形周长为技巧九、取平方yxxyxy. ＋W＝35、已知，2为正实数，3的最值＋2＝10，求函数baab＋＋2 2，本解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤22 题很简单xxyxyy＝3＋22＋（）3（≤ 2 2）＋32 ＝22 5 2．解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
yyxxyx ＋·210·2＋＝103W＞0，W＝＋22＋32≤3 2yyxx20 ＋(3)3＋)·(22＝)＝10(2 2 2≤5 20 ∴W＝51的最大值。
变式: 求函数)?2x(y??x2x?1?5?22x?22x?15与解析：注意到的和为定值。
，所以又220?y?0y?3x2x?15?2= 。
故，即当且仅当时取等号。
?x22y?max2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
应用二：利用均值不等式证明不等式c,,ba222ca??b??cbc?aab为两两不相等的实数，求证：1．已知abcbccabcaba )(1－，－满足8＋＋)＝1，求证：(1－≥1）正数，)(1111??????，且、c。
求证：例6：已知a、b?81?1??1?R?1c??b?a??????cab??????，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得分析：不等式右边数字8bcc2?ab?11，可由此变形入手。
三个“2”连乘，又??1??aaaa ac212bccb?a?11，。
，b、c。
同理解：a、?R?1?ba??c???1????1bb aaaa ab21。
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得??1cc1ac22ab1112bc??????。
当且仅当时取等号。
??ab?c?8?1?1?1???????3abcabc??????．应用三：均值不等式与恒成立问题91的取值范恒成立的实数且例：已知，求使不等式1??m m?x?y0?0,yx?yx围。
xy99x?y9x?9y101解：令，1??1???1.????0,?,?xy?kx?0,ykykykxxykkx310??。
，,16m?????2??116??k kk应用四：均值定理在比较大小中的应用：1a?b，则的大小关系例：若RQP,,)R),?lg(?,Q?(lgalgb?Pba??1,?lgalgb22 .是分析：∵∴0alg?0?lgb,1ba??1（plga?lgb)lg?b??alg?Q21ba?R>Q>P ∴。