现代控制理论基础图文 (7)

例6-3 系统状态方程为 x u ，以x0和xf为边界，求u*(t)
使下列性能泛函取最小值。
J tf ( x2 u2 ) d t 0
第6章 最 优 控 制
解：将方程 x u 代入性能泛函有
J tf ( x2 u2 ) d t tf ( x2 x2 ) d t
0
0
在此 L[x, x] x2 x2 ，故欧拉方程
min J[x] tf L(x, x,t)d t
x(t)
t0
(6-14)
其中， L(x, x,t) 及x(t)在[t0，tf]上连续可微，t0和tf给定，已 知x(t0)=x0，x(tf)=xf，则极值轨迹x*(t)满足如下欧拉方程：
及横截条件
L d L 0 x d t x
(6-15)
L
T
x
寻找一个最优控制u*(t)，使状态x(t)由x(t0)经过一定时间转 移到目标集S，并且沿此轨迹转移时，使相应的性能指标达
到极值(极大或极小)。
第6章 最 优 控 制
6.1.3 性能指标的分类 最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。指标函
数(又称价值函数、目标函数、性能泛函)按照实际控制性能 的要求大致可以分为：
表面，靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力f，赖 以控制飞船实现软着陆(落到月球表面上时速度为零)。要求 选择一最好发动机推力程序f(t)，使燃料消耗最少。
解：如图6-1所示，设飞船质量为m，它的高度和垂直 速度分别为h和v。月球的重力加速度可视为常数g，飞船的 自身质量及所带燃料分别为M和F。
T
J
φ
x(t
f
)
x(t f ) λT (t f ) x(t f )
tf t0
H x
T
x
H u
T
u
λT
xd t
0
将上式改写成
T
J
φ x(t f
)
λ(t
f
)
x(t f )
tf t0
H x
T
λ
x
H u
T
u
d
t
0
(6-24)
由于λ(t)未加限制，可以选择λ(t)使上式中δx和δx(tf)的系数等 于零。于是有
轨迹xd(t)，有
J 1 tf 2 t0
x t xd tT Q x t xd t uT t Rut
dt
(6-8)
F
x
t, ut,t
1 2
x t xd tT Q x t xd t uT t Rut
第6章 最 优 控 制 (4) 、(5)两类性能指标统称为二次型性能指标，这是工 程实践中应用最广的一类性能指标。
建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取 值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一 个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好 坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动 状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内 选取。因此，从数学上看，最优控制问题可以表述为： 在 运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状 态为变量的性能指标函数(称为泛函)求取极值(极大值或极小 值)。抽象为共同的数学模型，可以得到最优控制问题的一 般性提法。
H ( x, u, λ,t) L( x, u,t) λT (t) f ( x, u, t)
则
J φ[x(t f )] tf [H (x, u, λ,t) λT(t)x]d t t0
φ[x(t f )] tf H (x, u, λ,t) d t tf λT(t)x d t
t0
t0
对式(6-22)中的第三项进行分部积分，得
J φ[x(tf )]
tf H(x, u, λ,t) d t λT(t) x tf
t0
t0
tf λT(t)x d t
t0
当泛函J取极值时，其一次变分等于零，即δJ=0。
(6-20) (6-21) (6-22)
(6-23)
第6章 最 优 控 制
求出J的一次变分并令其为零。
边界条件为
r2 (x ax) ar2 (x ax) x 0
(1) x(0)=x0；
(2)
由
L x tf
r2(x ax) tf
0
，得 (x ax) tf 0
。
联立求解上述方程可求出u*(t)和x*(t)。
第6章 最 优 控 制
6.2.3 末值时刻和末端状态固定情况下的最优控制 非线性时变系统状态方程为
tf
x(t
f
)
L x
T
x(t0) 0
t0
(6-16)
注意： 满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。
第6章 最 优 控 制
如果x代表一个控制系统的输出，那么积分式(6-16)就是 系统全部性能的一个指标，而衡量性能的标准就在于使这个 积分最小化。由于控制问题多种多样，性能指标也有多种， 变分问题也就各不相同。对此，我们分别加以讨论。
第6章 最 优 控 制
第6章 最 优 控 制
6.1 最优控制问题概述 6.2 用变分法求解最优控制问题 6.3 极小值原理 6.4 用动态规划法求解最优控制问题 6.5 线性二次型最优控制调节器 6.6 MATLAB在系统最优控制中的应用
第6章 最 优 控 制
6.1 最优控制问题概述
6.1.1 引言 什么是最优控制呢？下面举例说明。 例6-1 飞船的月球软着陆问题。飞船从宇宙中飞到月球
沿最优轨迹x(t)取极小值。
引入拉格朗日乘子
1(t) λ(t) 2 (t)
n
(t
)
(6-18) (6-19)
第6章 最 优 控 制
将性能指标式(6-18)改写为其等价形式
J φ[x(t f )] tf {L(x, u,t) λT(t)[ f (x, u,t) x]}d t t0
定义哈密顿函数
第6章 最 优 控 制
控制过程中推力f(t)不能超过发动机所能提供的最大推力fmax， 即
0≤f(t)≤fmax 满足上述限制，使飞船实现软着陆的推力程序f(t)不止 一种，其中消耗燃料最少者才是最佳推力程序，问题可归结 为求
为最大的数学问题。
J=m(tf)
第6章 最 优 控 制
6.1.2 最优控制问题的提法 由上面的具体实例可知，为了解决最优控制问题，必须
沿最优轨迹x(t)取极小值。
(6-30)
引入哈密顿函数
J
tf t0
H (x, u,
λ, t )
λT
x dt
(6-31)
第6章 最 优 控 制
对式（6-31）右边第2项进行分部积分，可以得到
J λT (t0 )x(t0) λT (t f )x(t f )
tf t0
H ( x,
u,
λ, t)
λT
x d t
令性能指标J的一次变分等于零，得
J
tf t0
H x
λT
x
H u
T
udt
0
选择 λ(t) ，使其满足 λ H
x
J
tf t0
H u
T
udt
0
(6-32) (6-33) (6-34)
在末端状态固定情况下，不是任意的。若系统能控，仍然有
控制方程 H 0 u
第6章 最 优 控 制
(1) 最短时间问题
J t f t0
tf dt,
t0
F x t，ut，t 1
(2) 最小燃料消耗问题
J
tf t0
ut dt,
F x t，ut ，t
u t
(3) 最小能量控制问题
J tf u2 td t, t0
F x t，u t，t u2 t
(6-3) (6-4) (6-5)
第6章 最 优 控 制
式（6-28）说明哈密顿函数对控制有极值，称为最优控制 问题的极值条件，式（6-25）称为伴随方程。这样前面的推导 就将最优控制问题转化为求解微分方程的两点边界值问题。
第6章 最 优 控 制
例6-2 已知系统状态方程x ax u, x(0) x0,tf 固定，
x方(t程f)自和由横。截试条写件出。为a, 使r为J常(x)数 。12 0t f (x2 r2u2 )为最小值的欧拉
(4) 线性调节器问题
n
J
i 1
x t f 2
t0 i
t
dt
x t f n
2
t0 i1 i
t
dt
(6-6)
或者有
J
tf t0
1 2
xT
tQx t
uT
t
Rut d t
(6-7)
F
x
t
,
u
t
,
t
1 2
xT
t
Qx
t
uT
t
Ru
t
(5) 状态跟踪器问题： 如果在过程中要求状态x(t)跟踪目标
第6章 最 优 控 制
6.2 用变分法求解最优控制问题
6.2.1 泛函与变分 1. 泛函的基本定义 如果对于某个函数集合{x(t)}中的每一个函数x(t)，变量
J 都有一个值与之对应，则称变量J为依赖于函数x(t)的泛函， 记作J[x(t)]。可见，泛函为标量，可以理解为“函数 的函数”。
第6章 最 优 控 制
L d L 2x 2x 0 x d t x
可解得x(t)=C1et+C2e－t，将边界条件代入得 x0=C1+C2
xf=C1etf+C2e－tf 解出积分常数
第6章 最 优 控 制
6.2.2 末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制 非线性时变系统状态方程为