中考数学总复习 基础讲练 第12讲 二次函数(含答案点拨) 新人教版

考纲要求

命题趋势

1．理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数是中考的重点内

容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考

查.

知识梳理

一、二次函数的概念

一般地，形如y ＝______________(a ，

b ，

c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数． 二次函数的两种形式：

(1)一般形式：____________________________；

(2)顶点式：y ＝a (x －h )2

＋k (a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________． 二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)

图象

(a ＞0)

(a ＜0) 开口方向 开口向上

开口向下

对称轴 直线x ＝－b

2a

直线x ＝－b

2a

顶点坐标

⎝

⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 2

4a ⎝

⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 2

4a 增减性

当x ＜－b 2a

时，y 随x

的增大而减小；当x ＞－b 2a

时，y 随x 的

增大而增大

当x ＜－b

2a

时，y 随x

的增大而增大；当x ＞－b

2a

时，y 随x 的增

大而减小

最值 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a 当x ＝－b

2a

时，y 有最

______值4ac －b

2

4a

四、二次函数图象的平移

抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：

五、二次函数关系式的确定

1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．

2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．

若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．

六、二次函数与一元二次方程的关系

1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．

2．ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线与x 轴交点的________．

3．当Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2

－4ac ＝0时，抛

物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2

－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．

4．设抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴两交点坐标分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________.

自主测试

1．下列二次函数中，图象以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( )

A ．y ＝(x －2)2＋1

B ．y ＝(x ＋2)2

＋1

C ．y ＝(x －2)2－3

D ．y ＝(x ＋2)2

－3

2．如图所示的二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b 2

－4ac ＞0；(2)c ＞1；(3)2a －b ＜0；(4)a ＋b ＋c ＜0.你认为其中错误的有( )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．1个

3．当m ＝__________时，函数y ＝(m －3)xm 2

－7＋4是二次函数．

4．将抛物线y ＝x 2

的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________． 5．写出一个开口向下的二次函数的表达式：__________________________.

考点一、二次函数的图象及性质

【例1】(1)二次函数y ＝－3x 2

－6x ＋5的图象的顶点坐标是( ) A ．(－1,8) B ．(1,8) C ．(－1,2) D ．(1，－4)

(2)已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)

解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－

b

2a

＝－－6

2×－3

＝－1，

4ac －b 24a ＝4×－3×5－－6

2

4×－3

＝8， ∴二次函数y ＝－3x 2

－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A.

(2)点(－1，y 1)，(2，y 2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y 1，y 2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y 3)，∵抛物线对称轴为直线x ＝1，

∴点(0，y 3)与点(2，y 2)关于直线x ＝1对称．∴y 3＝y 2. ∵a ＞0，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小． ∴y 1＞y 3.∴y 1＞y 2. 答案：(1)A (2)＞

方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a (x －h )2

＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k )，对

称轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－b 2a ，顶点坐标⎝ ⎛⎭

⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 来求对称轴及顶