确定圆的条件培优专题

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（一）. 求半径：

1、一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm ，则圆的半径为 cm 。

（拓展练习）如图，已知直线334

y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是 （ ）

A ．8；

B ．12；

C ．

212；D ．172

；

2、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为25cm 2,则该半圆的半径为___________

3、工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其中工件槽的两

个底角均为90︒，尺寸如图(1)所示(单位：cm)．将形状规则的铁球放人槽内时，若同时具有图(1)所示的,,A B E 三个接触点，该球的大小就符合要求．

如图(2)所示的是过球心及,,A B E 三点的截面示意图．已知O 的直径就是铁球的直径，AB 是O 的弦，CD 切O 于点E ，,,AC CD BD CD ⊥⊥请你结合图中的数据，计算这种铁球的直径．

4、如图所示，要把残破的圆片修复完整．已知弧上的三点 A、B、C．

（1）用尺规作图的方法找出 AB 所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若△ABC 是等腰三角形，底边 BC＝8cm，腰 AB＝5cm．求圆片的半径．

5、阅读材料：

小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：

说明：方案一图形中的圆过点A，B，C，圆心O也是正方形的顶点；

回答问题（直接写出结果）：

（1）方案二中，直角三角形纸片的两条直角边长分别为_______cm和_______cm；

（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率是________（填准确值），近似值约为38．2%．相比之下，方案二的利用率是________%．小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率是________.

6、【问题提出】苏科版（数学）九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，

M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？说明理由。

在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”只需证明．

【初步思考】如图②，BD 、CE 是锐角△ABC 的高，连接DE ，求证：∠ADE=∠ABC ．（请你在空白处根据小敏的思路完成证明过程）．

【推广运用】

如图③，BD 、CE 、AF 是锐角△ABC 的高，连接DE 、EF 、FD ，猜想∠EFB 与∠DFC 之间存在的关系，并说明理由．

7、（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知

识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 是△ABC 外一点，且AD=AC ，求∠BDC 的度数，若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助圆⊙A ，则点C 、D 必在⊙A 上，∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，从而可容易得到∠BDC= °．

（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC 的度数．小刚同学认为用

添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD 的外接圆就是以BD 的中点为圆心，21BD 长为半径的圆；△ACD 的外接圆也是以BD 的中点为圆心，2

1BD 长为半径的圆．这样A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC 的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．

（3）【问题拓展】如图3，在△ABC 中，∠BAC=45°，AD 是BC 边上的高，且BD=4，CD=2，求AD 的长．

8、[发现]：如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）

[思考]：如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A， B，C三点的圆上吗？

我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在圆O外，要么在圆O内，以下该同学的想法说明了点D不在圆O外。请结合图④证明点D也不在⊙O内.

知识拓展

[结论]：综上可得结论：如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：点A、B、C、D四点共圆。

[应用]：利用上述结论解决问题：

如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转一个角度得△ADE，连接BE CD，延长CD交BE于点F，

（1）求证：点B、C、A、F四点共圆；

（2）求证：BF=EF.

图⑤