用均值不等式求最值的方法和技巧

用均值不等式求最值的方法和技巧
几个重要的均值不等式 ①，、)(222
22
2R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112+2a
b ab +≤≤≤22
2b a +。

三、用均值不等式求最值的常见的技巧
1、 添、减项（配常数项）
例1 求函数2216
32y x x =++的最小值.
2、 配系数（乘、除项）
例2 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求
lg lg x y +的最大值.
3、 裂项
例3 已知1x >-，求函数()()
521x x y x ++=+的最小值.
4、 取倒数
例4 已知1
02x <<，求函数2
(1)(12)x
y x x +=-的最小值.
5、 平方
例5 已知0,0x y >>且2
2283y x +=求262x y +的最大值.
6、 换元（整体思想）
例6 求函数
2x y +=的最大值.
7、 逆用条件
例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .
8、 巧组合
例8 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .
9、 消元
例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2
y xz 的最小值是.
几个重要的均值不等式 ①，、)(222
22
2R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222
+∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112+2a b ab +≤≤≤22
2b a +。

三、用均值不等式求最值的常见的技巧
1、 添、减项（配常数项）
例1 求函数2216
32y x x =++的最小值.
22222
2216
20,32163(2)621623(2)62836
x y x x x x x x +>=+
+=++
-+≥+⋅+=解： 当且仅当22163(2)2x x +=+，即24323x =-时,等号成立. 所以y 的最小值是836.
2、 配系数（乘、除项）
例2 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值. 220,0
32lg lg lg()lg
6
132112lg lg 6262lg 6x y x y
x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.
3、 裂项
例3 已知1x >-，求函数()()
521x x y x ++=+的最小值.
()()141110,1
44(1)52(1)511
9
x x x y x x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦+>=+=+++≥+⋅++=解： 当且仅当4
11x x +=+，即1x =时，取等号. 所以min 9y =.
4、 取倒数
例4 已知
102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 解 由1
02x <<，得10x +>，120x ->.
取倒数，得 221(12)1312(1)31131211113212
x x x x y x x x
x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤+⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
当且仅当31211x x x x -=++，即15x =时，取等号. 故y 的最小值是12.
5、 平方
例5 已知0,0x y >>且2
2
283y x +=求262x y +的最大值. 2
22222
2222(62)(62)32(1)32(1)9333()22y x y x y x y x +=+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：
当且仅当22
2(1)3y x =+，即32x =，42y =时，等号成立. 故2
62x y +932 6、 换元（整体思想）
例6 求函数2
25x y x +=+的最大值.
222,0,2,(0)21
00;
1
201
4
1
222122=.32,24x t t x t t y t t t y t y t t t t t t t x +=≥=-=≥+==>=≤=+⋅==-则
当时，当时，当且仅当，即所以时
7、 逆用条件
例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .
190,0,1199()()109210169,4,12.16.x y x y
y x x y x y x y x y
y x x y
y x x y x y x y >>+=+=++=++≥⋅====+解：由，得当且仅当
即时，等号成立故的最小值是
8、 巧组合
例8 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .
2,,0,2()()
()()242332,,
31.
23 2.a b c a b c a b a c a b a c a ab ac bc
b c b c a a b c >++=+++≥++=+++=-====-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为
9、 消元
例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则
2y xz 的最小值是. 2222
3,0,,29666=3,
443,,=33.
x z
x z y y x z xz xz xz
xz xz xz y
x z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得
当且仅当即时，取“”.
故的最小值为。