方差分析(包括三因素)
方差分析(包括三因素)讲解
2、CLASS 变量表；
CLASS必须的MODEL之前。
3、MODEL 因变量表=效应；
输出因变量均数，对主效应均数间的检
4、MEANS 效应[/选择项]；
验。
5、ALPHA=p 显著性水平（缺省值为0.05）
是指因变量与自变量效应，模型如下：
1、主效应模型 MODEL y=a b c; (a b c是主效应，y是因变量）
计判断，得出结论。
5
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离差平方和 分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生 的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认 某些因素或交互作用的重要性。
用公式概括为：
各因素引起
由个体差异 引起（误差）
总变异=组间变异+组内变异
种类：常用方差分析法有以下4种 1、完全随机设计资料的方差分析（单因素方差分析） 2、随机区组设计资料的方差分析（二因素方差分析） 3、拉丁方设计资料的方差分析（三因素方差分析） 4、R*C析因设计资料的方差分析（有交互因素方差分析）
3
第一节 概述
因素（因子）—— 可以控制的试验条件 因素的水平 —— 因素所处的状态或等级 单（双）因素方差分析——讨论一个（两个） 因素对试验结果有没有显著影响。
4
例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进 行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影 响。
冲击强力 序号
1
浓度
2 3 4 56
计算出F值：
QA
4217.3
(3 1) 2 28.38
QE
1114.7
(3(6 1))
5
15
列表：
方差来源 因素A 试验误差 总误差
三因素方差分析.
7
三因素方差分析举例
残差的正态性检验结果：P=0.9422>0.05
Skewness/Kurtosis tests for Normality ------- joint -----Variable | Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi2 -------------+------------------------------------------------------e | 0.915 0.743 0.12 0.9422
8
三因素方差分析举例
Full model结果：二级交互作用项P=0.0214<0.05
Source | Partial SS df MS F Prob > F -----------+---------------------------------------------------Model | .347361264 7 .049623038 1.55 0.2202 a | .00201666 1 .00201666 0.06 0.8049 b | .044490835 1 .044490835 1.39 0.2554 c | .048001913 1 .048001913 1.50 0.2382 a*b | .0244907 1 .0244907 0.77 0.3944 a*c | .003112983 1 .003112983 0.10 0.7591 b*c | .017424103 1 .017424103 0.54 0.4711 a*b*c | .207824069 1 .207824069 6.50 0.0214 Residual | .511622125 16 .031976383 -----------+---------------------------------------------------Total | .858983389 23 .037347104
SAS-方差分析
kn
SST
xi2j C
i 1 j 1
SSt
1 n
k
Ti 2
i 1
C
SSe SST SSt
其中，C=T 2/kn称为矫正数。
（二）总自由度的剖分 kn
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要受 (xij 这 x.一.) 0 i1 j1
条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减1，
LSR SSR SE
SE
se 2 n
用各个p的LSRa即可测验各平均数两极差的显著性：两极 差<LSRa,接受H0，反之，否定H0.
由Duncan 1955年提出
３. 各处理平均数间的比较
采用的是标记字母法（或“*”）。若显著水平a=0.05，差
异显著性用小写英文字母表示，可先在最大的平均数上标上 字母a（或“*”），并将该平均数与以下各个平均数相比，
生态学统计分析方法与实践 郝彦宾
中国科学院研究生院
第六章 方差分析
方差分析（analysis of variance, ANOVA)
作用
当试验结果受到多个因素的影响，而且也受到每个 因素的各水平的影响，为从数量上反映各因素以 至各因素诸水平对试验结果的影响时使用方差分 析的方法。
基本思想
把全部数据关于总均值的离差平方和分解成几个 部分，每一部分表示某因素交互作用所产生的效 应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认 或否认某些因素或交互作用的重要性。
总变异＝处理效应+试验误差
几个术语
1. 试验指标(experimental index) 2.试验因素(experimental factor) 3.因素水平(level of factor) 4.试验处理(treatment) 5.试验单位(experimental unit) 6.重复(repetition)
完全随机设计的方差分析(1)
.
21
.
22
方差分析(Analysis of variance，ANOVA)
方差分析的定义
又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个 均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下 的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验 的一种引伸。为纪念Fisher，以F命名，故方差分析 又称F检验 。
1.特点 单因素方差分析是按照完全随机设计的原则将处理 因素分为若干个不同的水平，每个水平代表一个样本，只 能分析一个因素对试验结果的影响及作用。其设计简单， 计算方便，应用广泛，是一种常用的分析方法，但其效率 相对较低。该设计中的总变异可以分出两个部分，
•
即SS总＝SS组间＋SS组内。
2.常用符号及其意义
.
29
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
完全随机设计：(completely random design)是采
用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个
处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验 结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推 论处理因素的效应。
.
30
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
离均差平方和 X2
总体方差 样本方差
2 X 2
N
S2XX2X2X2/n
n1
n1
方差—随机变量离散的重要衡量方法
.
13
试验指标（experimental index）： 为衡量试验
结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体 测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用 的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、 DNA含量等等。
方差分析
第六章方差分析方差分析是R.A.Fister发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
方差分析主要用于：1、均数差别的显著性检验，2、分离各有关因素并估计其对总变异的作用，3、分析因素间的交互作用，4、方差齐性检验。
第一节Simple Factorial过程6.1.1 主要功能调用此过程可对资料进行方差分析或协方差分析。
在方差分析中可按用户需要作单因素方差分析（其结果将与第五章第四节相同）或多因素方差分析（包括医学中常用的配伍组方差分析）；当观察因素中存在有很难或无法人为控制的因素时，则可对之加以指定以便进行协方差分析。
6.1.2 实例操作[例6-1]下表为运动员与大学生的身高（cm）与肺活量（cm3）的数据，考虑到身高与肺活量有关，而一般运动员的身高高于大学生，为进一步分析肺活量的差异是否由于体育锻6.1.2.1 数据准备激活数据管理窗口，定义变量名：组变量为group （运动员=1，大学生=2），身高为x ，肺活量为y ，按顺序输入相应数值，建立数据库，结果见图6.1。
图6.1 原始数据的输入6.1.2.2 统计分析激活 Statistics 菜单选ANOV A Models 中的Simple Factorial...项，弹出Simple Factorial ANOV A 对话框（图6.2）。
在变量列表中选变量y ，点击 钮使之进入Dependent 框；选分组变量group ，点击 钮使之进入Factor(s)框中, 并点击Define Range...钮在弹出的Simple Factorial ANOV A:Define Range 框中确定分组变量group 的起止值（1,2）；选协变量x ，点击 钮使之进入Covariate(s)框中。
方差分析
k
nkΒιβλιοθήκη 2总平方和：SST
实验中产生的总变异
组内平方和：SSW
实验误差（包括个体差异）由于不同的实验处理而造 造成的变异 成的变异
组间平方和：SSB
三者之间的关系如下：
SS 总 SS 组间 SS 组内
组间自由度： 组内自由度: 总体自由度： 书266：这样
df B = k-1
df W = k(n-1)
df T = nk-1
在方差分析中，比较组间变异与组内变异时，不 能直接比较各自的平方和。因为平方和的大小与 项数有关，应该将项数的影响去掉。因此用平方 和除以各自自由度得到均方，再进行比较。
SS B MS B df B
书266
MSW
SSW df W
方差分析就是通过比较组内均方MS组内 和组间均方 MS组间 的大小关系来判断处 理因素有无效应。
变异分解
SS 总(T) SS 组间(B) SS 区组(R) SS 误差(E)
SS R
1 n
( R ) 2 k
( R ) 2 nk
总自由度也被分为三部分： dfT = nk-1
df B k 1
dfE=(k-1)(n-1)
dfR=n-1
例4：5名被试在四种不同的环境条件下参加某一心理测验， 结果如下。问不同的测验环境是否对这一测验成绩有显著影 响。
SSB n ( X j X t ) 2
j 1 k
SSw ( X ij X j ) n s j
2 j 1
k
2
1、求平方和
Xt
X1 X 2 X 3 X 4 6.4 4
k
SSB n ( X j X t ) 2 30.08
三因素混合方差分析事后简单效应多重比较语法
概念笔记Main effect 一个因素的独立效应，即其不同水平引起的方差变异。
三因素的实验有三个主效应。
把某一因素的一个水平同该因素的其他水平比较，不考虑其他因素。
Interaction 多个因素的联合效应，A因素的作用受到B因素的影响，即有交互——two-way interaction. 当一因素作用受到另外两个因素影响，即三因素交互three-way interaction.重复测量一个因素的三因素混合设计3*2*2的混合设计A3*B2*R2 【A, B为被试间因素】需要分析的有——A, B, R 各自主效应二重交互作用，A*B, A*R, B*R三重交互作用，A*B*C结果发现，A, B为被试间因素，交互作用SIG当二重交互作用SIG，需要进行simple effect检验。
A因素水平在B因素某一水平上的变异。
A在B1水平上的简单效应A在B2水平上的简单效应B在A1水平上的简单效应B在A2水平上的简单效应B在A3水平上的简单效应如果三重交互作用SIG，需要进行三因素的简单简单效应分析simple simple effect. 某一因素的水平在另外两个因素的水平结合上的效应在A1B1水平结合上，R1 与R2 差异在A1B2水平结合上，R1 与R2 差异在A2B1水平结合上，R1 与R2 差异在A2B2水平结合上，R1 与R2 差异在A3B1水平结合上，R1 与R2 差异在A3B2水平结合上，R1 与R2 差异重复测量方差分析之后，如果三重交互作用显著，需要编辑语法，得出三个因素各自的简单效应某一因素在其他两个因素的某一实验条件内的简单效应检验三因素重复测量方差分析对应的会有3种简单效应检验结果SPSS在输出简单效应检验结果的同时，也会报告多重比较结果，会有更直观的对比结果。
如果三重交互作用SIG，需要进行简单简单效应检验。
固定某两个因素水平组合，考察研究者最感兴趣的那个变量的效应。
MANOV A R1 R2 BY A(1,3) B(1,2)/WSFACTORS=R(2)/PRINT=CELLINFO(MEANS)/WSDESIGN/DESIGN/WSDESIGN=R/DESIGN=MWITHIN B(1) WITHIN A(1)MWITHIN B(2) WITHIN A(1)MWITHIN B(1) WITHIN A(2)MWITHIN B(2) WITHIN A(2)MWITHIN B(1) WITHIN A(3)MWITHIN B(2) WITHIN A(3)上述语法内容是检验被试内变量R在被试间变量A, B 上的简单简单效应。
1第6章方差分析
1第6章⽅差分析1第6章⽅差分析⽅差分析是R. A. Fister 发明的，⽤于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验. 由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，⼀是不可控的随机因素，另⼀是研究中施加的对结果形成影响的可控因素. ⽅差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献⼤⼩，从⽽确定可控因素对研究结果影响⼒的⼤⼩.6.1 单因素⽅差分析我们把在实验中或在抽样时发⽣变化的“量”称为因素或因⼦. ⽅差分析的⽬的就是分析因⼦对实验或抽样的结果有⽆显著影响. 如果在实验中变化的因素只有⼀个，这时的⽅差分析称为单因素⽅差分析；在实验中变化的因素不只⼀个时，就称多因素⽅差分析. 双因素⽅差分析是多因素⽅差分析的最简单情形.因⼦在实验中的不同状态称作⽔平. 如果因⼦A 有r 个不同状态，就称它有r 个⽔平. 我们针对因素的不同⽔平或⽔平的组合，进⾏实验或抽取样本，以便了解因⼦的影响. 当⽅差分析的影响因⼦不唯⼀时，必要注意这些因⼦间的相互影响. 如果因⼦间存在相互影响，我们称之为“交互影响”；如果因⼦间是相互独⽴的，则称为⽆交互影响. 互影响有时也称为交互作⽤，是对实验结果产⽣作⽤的⼀个新因素，分析过程中有必要将它的影响作⽤也单独分离开来.6.1.1 单因素⽅差分析的模型假设设某单因素A 有r 种⽔平：1A ，2A ，…，r A ，在每种⽔平下的试验结果服从正态分布2(,)i N µσ（1,2,,i r = ）. 在各⽔平下分别独⽴做了i n （1,2,,i r = ）次试验，所得数据见表，其中ij x 表⽰表⽰第i 种⽔平下第j 个试验数据. 判断因素A 对试验结果是否有显著影响. 这⾥我们假定各种⽔平下的试验结果有相同的标准差σ. 单因素⽅差分析问题可以归结为以下的假设检验: 012:r H µµµ=== 1:H 12,,,r µµµ 不全相等表6-1 单因⼦试验表6.1.2 单因素⽅差分析的原理如何检验统计假设0H ?⼀般情况下，1µ，2µ，，r µ不全相同将反映在ij x (1,2,,;i r = 1,2,,)i j n = 取值的⼤⼩不同上，这时离差211()in r ij i j S x x ===?∑∑也⽐较⼤. 其中111in r ij i j x x n ===∑∑，1ri i n n ==∑. 但是我们还不能只从S ⽐较⼤就断定1µ，2µ，，r µ不全相同，因为在1µ，2µ，，r µ全相同时，由于试验中的随机误差影响，S 也可能取⽐较⼤的值. 为了区别这两种情况，先把离差S 作⼀个分解. 令 11in i ijj ix xn ==∑2112112211111122111()()()()2()()()()ii ii iin rT ij i j n rij i i i j n n n rr r ij i i ij i i i j i j i j n rrij i i i i j i S x x x x x x x x x x x x x x x x n x x ==============?=?+?=?+?+??=?+?∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (5. 1)记上式分解的第⼀项为e S ，第⼆项为A S . 211()i n r e ij i i j S x x ===?∑∑ ， 1(rA i i i S n x x ==?∑有T A e S S S =+即总离差T S 等于组内误差e S 与组间离差A S 之和.下⾯分析e S : 对任⼀指定的1i r ≤≤，21()in ij i j x x =?∑是⽔平i A 下试验数据的离差，是由随机因素造成的. e S 是所有⽔平下离差的和，因⽽也是由随机因素造成的.形成A S 除了随机因素外，如果1µ，2µ，，r µ不全相同，这个差异也要从A S 反映出来，⼀般A S 取⽐较⼤的值. 因此，将A S 和e S ⽐较，如果A S 不太⼤，我们只能认为A S 是由试验的随机误差形成的，从⽽接受0H ；如果A S 太⼤，我们便有理由怀疑A S 完全是由试验的随机误差形成的，认为1µ，2µ，，r µ不全相同，从⽽拒绝0H . 我们将⽤形如A e S c S ??>的判别区域，c 由预先给定的信度α确定. 给定α后，需要计算统计量AeS S 在0H 为真时的分布. 可以证明，在0H 为真时，(1,)1A e S n p F p n p p S ～. 即1AeS n p p S ??服从参数为1p ?和n p ?的F 分布. 只需从F 分布表，查(1,)F p n p α??，使((1,))P F p n p αηα>??=. 其中(1,)F p n p η??～.最后得到的检验⽅法是: 若(1,)1AeS n p F p n p p S α??>，就拒绝0H ，否则接受0H图6-1. (4,10)F 时的F 曲线和0.05α=时的临界值6.1.3 单因素⽅差分析表对上⼀⼩节的分析进⾏总结，得到单因素⽅差分析表6-2. 表6-2 单因素⽅差分析表3若0.01(1,)F F r n r α>??，称因素A 对试验结果有⾮常显著的影响，⽤“* *”号表⽰；若0.050.01(1,)(1,)F r n r F F r n r α??<6.2 利⽤SPSS 进⾏单因素⽅差分析6.2.1 SPSS ⽅差分析对数据的要求应⽤⽅差分析对数据进⾏统计推断之前应注意样本分布的正态性，即偏态分布样本不宜⽤⽅差分析. 对偏态分布的样本应考虑⽤对数变换、平⽅根变换、倒数变换、平⽅根反正弦变换等变量变换⽅法变为正态或接近正态分布的数据后再进⾏⽅差分析.在⽅差分析的F 检验中，是以各个实验组内总体⽅差齐性（⽅差相等）为前提的，因此，按理应该在⽅差分析之前，要对各个实验组内的总体⽅差先进⾏齐性检验. 如果各个实验组内总体⽅差为齐性，⽽且经过F 检验所得多个样本所属总体平均数差异显著，这时才可以将多个样本所属总体平均数的差异归因于各种实验处理的不同所致；如果各个总体⽅差不齐，那么经过F 检验所得多个样本所属总体平均数差异显著的结果，可能有⼀部分归因于各个实验组内总体⽅差不同所致.但是，⽅差齐性检验也可以在F 检验结果为多个样本所属总体平均数差异显著的情况下进⾏，因为F 检验之后，如果多个样本所属总体平均数差异不显著，就不必再进⾏⽅差齐性检验.在使⽤SPSS 进⾏⽅差分析时，要求因⼦变量值为整数，⽽因变量应为定量变量（区间测量级别）. SPSS 对于偏离正态的样本数据也是稳健的. 各组数据应来⾃⽅差相等的总体.6.2.2 SPSS ⽅差分析过程⽤SPSS 进⾏⽅差分析时，选项如图 .图 6-2 SPSS ⽅差分析的选项这些选项的含义如下:描述性：计算每组中每个因变量的个案数、均值、标准差、均值的标准误、最⼩值、最⼤值和95%的置信区间.固定和随机效果：显⽰固定效应模型的标准差、标准误和95%置信区间，以及随机效应模型的标准误差、95%置信区间和成分间⽅差估计.⽅差同质性检验：计算Levene 统计量以检验组间⽅差是否相等. 该检验独⽴于正态分布的假设.Brown-Forsythe ：指采⽤Brown-Forsythe 分布的统计量进⾏的各组均值是否相等的检验.Brown-Forsythe分布也近似于F分布，但采⽤Brown-Forsythe检验对⽅差齐性没有要求，所以当因变量的分布不满⾜⽅差齐性的要求时，采⽤Brown-Forsythe检验⽐F检验更稳妥。
方差分析-统计学原理
H0 ：a1 =a2 =…=ar =0
第三节 两因素方差分析 随机区组设计资料的方差分析
一、 随机区组设计 随机区组设计（ randomized block design ），又称 配伍组设计，是配对设计的扩展。 具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素 将受试对象配成区组（block），再将各区组内的受 试对象随机分配到不同的处理组，各处理组分别接 受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别 有无统计学意义，以推断处理因素的效应。
各种变异之间的关系是：
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
其中：
v总 v处理 v区组 v误差
v区组 n 1
v误差 (n 1)(g 1)
v总 N 1 v处理 g 1
（1）总变异：反映全部试验数据间大小不等的状况，
SS总 X 2 C
方差分析的基本概念
将衡量试验结果的标志称为试验指标。 将影响试验结果的条件称为因素。 因素在试验中所处的不同状态称为该因 素的水平。
只考察一个影响条件即因素的试验称为单因素 试验，相应的方差分析称为单因素方差分析。
二、变异分解 完全随机设计资料的方差分析表 变异来源 自由度 SS MS F 总变异
单因子方差分析的统计模型：
yij i ij , j 1, 2,..., mi , i 1, 2,..., r , 2 诸 ij 相互独立，且都服从N (0, )
模型可以改写为
yij ai ij , j 1, 2,..., mi , i 1, 2,..., r , r mi ai 0 i 1 相互独立，且都服从N(0, 2 ) ij
均数间的差异没有统计学意义；反 之，如果处理有作用，则组间变异 不仅包含随机误差，还有处理因素
方差分析
F
MSBetween MSWithin
~ F(1 , 2 )
F分布
方差分析的最终统计推断和假设检验均依靠F分 布，所以适当了解一下F分布的特点十分有益。
F分布是英国统计学 家Fisher和Snedecor(斯内德 克 )提出的。
为了表示对Fisher的尊重， Snedecor将其命名为F分布。
进行一次假设检验，犯第一类错误的概率：
进行多次(k)假设检验，犯第一类错误的概率：
1－(1－)k
组数为3, k=3, 1－(1－0.05)k=0.1426 组数为4, k=6, 1－(1－0.05)k=0.2649 组数为5, k=10, 1－(1－0.05)k=0.4013 组数为6, k=15, 1－(1－0.05)k=0.5400
方差分析
方差分析，又称变异数分析。 Analysis of Variance，简写为ANOVA。 由英国统计学家R.A.Fisher提出。 方差分析的起源。 F检验。
Sir Ronald Aylmer Fisher
Fisher于Rothamste研究作物产量 时，完善了方差分析的思想
F 3.98
F(2,57)的F分布及界值
1
.8
.6
.4
.2
0.05
0
0
1
2
3
4
5
3.1588
完全随机设计资料的方差分析
1. H0: 1=2=3 ,即三总体均数相等； H1: 1, 2, 3 不等或不全相等。
＝0.05。 2. 计算检验统计量: F=3.98 >3.1588(界值) 3. 对应的概率: P=0.0241(p<0.05) 4. 结论: 在＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，
方差分析(包括三因素)
2
15.1 17.5 20.1
3
15.8 17.1 18.9
4
14.8 15.9 18.2
5
17.1 18.4 20.5
6
15.0 17.7 19.7
A1 A2 A3
方差分析就是把总的 试验数据的波动分成
1、反映因素水平改变引起的波动。 2、反映随机因素所引起的波动。
然后加以比较进行统 计判断，得出结论。
2 ij 2 2 ij
m
n
m
n
T2 X mn i 1 j 1
m n 2 ij
12
同样可推出：
1 m 2 QE X Ti n i 1 i 1 j 1
2 ij
m
n
1 m 2 T2 QA Ti n i 1 mn
2、数据的简化： 试验数据经过变换
' X ij b( X ij a)
3
离差平方和 1.56 11.56 3.1 16.22
3
自由度 2 2 4 8
F值 FA=1.01 FB=7.46
F0.05(2,4) F0.01(2,4) 6.94 6.94 18.0 18.0
显著性
*
Q X
i 1 j 1
2 ij
T2 16.22 3 3
1 3 T2 2 QA Ti. 1.56 3 i 1 3 3
试验结果
假设：美中不足组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。 所需要解决的问题是：所有Xij的均值是否相等。
18
假设检验：
1）在假设H0成立的条件下。 2）统计量
T2 Q X ml i 1 j 1
m l 2 ij
方差分析PPT课件
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
第一节 方差分析的基本问题
▪ 一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
结果的好坏和处理效应的高低，实际中具体测 定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标例如有：身高、体重、日增重、酶活 性、DNA含量等等。
影响因素（ experimental factor）： 观测中所
研究的影响观测指标的定性变量称之为因素。 当考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素的影响时，则 称为两因素或多因素试验。
N (3, 2)
A3
61.31 60.00
┆ 67.26 69.05
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 N (1, 2)，N (2, 2 )， N (3 , a2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断 1 ,2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1, x2, x3不相等，不能直接得出1, 2, 3不尽相等的结论， 原因是：造成 x1, x2, x3不相等可能有两个方面因素：一是 1, 2, 3 不等，二是1 2 3，但由于抽样误差，造成 x1, x2, x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断1, 2, 3之间有无 显著性差异。
山东省高等教育教师资格证《科研方法论》多选题
• 59 定量研究的测定尺度及特征包括名义尺度和（ ）、（ ）、（ ）。
名义尺度 顺序尺度 间距尺度 比例尺度
• 60 定性研究的理论基础则包括（ ）。
6
建构主义 后实证主义 博弈论 解释学
• 61 对比设计把实验对象分为两组，一组为（ ），施以实验处理；另一组为（ ），不加实验处理。
检索法 倒查法 抽查法 综合法
• 34 计算机检索方法包括（ ）。
布尔检索 截词检索 原文检索 聚类检索
• 35 文献综述是对有关文献进行全方位搜索，并对其进行整理、归纳、分析比较，从而发现他们的各自优缺
点，并对其进行评述，包括以下（ ）方式。
纵式写法 横式写法 纵横结合方式写法 网状式写法
• 36 课题立项的评审原则包括（ ）。
致谢 课题信息 附录 注释
• 94 专利申请文件的说明书包括（ ）和附图说明等等。
技术领域 背景技术 发明内容 照片
• 95 申请外观设计专利的，申请文件应当包括（ ）。
外观设计专利请求书 图片或者照片 外观设计的简要说明 权利要求书
• 96 申请发明专利的，申请文件应当包括（ ）。
请求书 摘要 说明书 权利要求书
时新性 权威性
3
实用性 条理性
• 31 按著录形式分类，检索工具可以分为（ ）、题录型检索工具、（）、（ ）。
目录型检索工具 摘要型 文摘型检索工具 索引型检索工具
• 32 世界著名的三大科技文献检索系统（ ），是国际公认的进行科学统计与科学评价的主要检索工具。
SCI CNKI EI ISTP
• 33 工具检索法也称常规法，是最主要的检索方法。它又分为顺查法和（ ）。
方差分析
第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij x.. )2
i 1 j 1 m r
式（1）
将式（1）进行分解：
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
i 1 j 1 i 1
m
r
m
式（2）
第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
fT=mr-1=n-1，fA=m-1，fe=mr-m=n-m
显然 fT= fA+ fe 式（10）
第二节 单因素试验方差分析
fT= fA+ fe 式（10）
式（10）称为偏差平方和自由度分解公式。因为总自 由度fT=n-1是总的数据个数减1，而组间自由度fA=m-1是因 素的水平数减1，都很好计算，所以一般先求出fT和fA，再 利用 fe =fT- fA 式（11） 求出组内自由度fe。
xi.
105.6 110.9 107.9 114.2 85.0 523.6
4
i 1
2 x ij
2820.24 3092.61 2958.13 3276.50 1807.24 13954.72
第二节 单因素试验方差分析
1、计算偏差平方和及自由度 x..=523.6 CT= x..2/n=523.62/20=13707.85
式（8） 式（9）
第二节 单因素试验方差分析
（三）计算自由度和方差
偏差平方和的大小，与参与求和的项数有关，为了比较 SA与Se的大小，应消除求和项数的影响，比较它们的平均值。 从数学上的理论推导知道，SA与Se的平均值，不是把SA与Se 分别除以相应的参与求和的项数，而应除以它们的自由度， 下面分别为ST 、SA与Se的自由度fT、fA和fe。
方差分析简介[统计学经典理论]
![方差分析简介[统计学经典理论]](https://img.taocdn.com/s3/m/3ebed87e001ca300a6c30c22590102020740f2f2.png)
方差分析简介1. 引言方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。
因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。
方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。
如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。
只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。
方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。
因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。
常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。
方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。
2. 单因素方差分析2.1 基本概念（1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。
它类似于数学中的因变量或目标函数。
试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成本等。
不能直接用数量表示的指标称为定性指标。
如颜色，人的性别等。
定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。
（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。
三因素方差分析.
三因素方差分析举例
Reduced Model 1：b*c项的P=0.5761，故剔除
Source | Partial SS df MS F Prob > F -----------+---------------------------------------------------Model | 4.16958384 6 .694930641 4.32 0.0079 a | .002016672 1 .002016672 0.01 0.9121 b | .077066736 1 .077066736 0.48 0.4981 c | .79935039 1 .79935039 4.97 0.0395 a*b | 1.9040668 1 1.9040668 11.84 0.0031 a*c | 1.33481659 1 1.33481659 8.30 0.0104 b*c | .052266656 1 .052266656 0.33 0.5761 Residual | 2.73359971 17 .160799983 -----------+---------------------------------------------------Total | 6.90318355 23 .300138415
三因素方差分析的基本概念三因素方差分析要求资料服从正态分布方差齐性三个因素的不同水平组合样本资料独立要求三个因素的不同水平组合情况的样本量相为二级交互作用称为一级交互作用称为主效应如果三因素方差分析模型中没有二级交互作用则称该模型为reducedmodel反之称为fullmodelabacbcabcabacbc某研究者以大白鼠作试验观察指标是肝重与体重之比研究正氟醚与观察指标的作用同时要考察用生理盐水和用戊巴比妥作为诱导药对正氟醚毒性作用的影响并且考略不同性别大白鼠对诱导物的作用和正氟醚毒性作用
三因素方差分析的原理及应用
三因素方差分析的原理及应用郭萍【摘要】基于双因素方差分析,推导出三因素方差分析的原理,给出了偏差平方和分解式及三因素方差分析表,并将推导的结果应用在具体的数学建模案例中,同时利用MATLAB实现了该案例的求解.求解结果的一致性说明了原理推导的正确性.【期刊名称】《沈阳大学学报》【年(卷),期】2015(027)001【总页数】4页(P40-43)【关键词】三因素方差分析;数学建模;MATLAB【作者】郭萍【作者单位】青岛理工大学琴岛学院基础部,山东青岛266106【正文语种】中文【中图分类】O29当今社会是一个信息高度发达、人们的社会经济活动日益频繁的社会,大量的信息、数据需要人们处理. 如何从这些海量的信息中提取有用的信息,指导人们的社会实践活动,越发显得必要而迫切,从而为数理统计提供了日益广阔的舞台[1].方差分析是数理统计中非常重要的内容. 方差分析又称“变异数分析”或“F检验”,是由 R A Fisher 发明的,用于对两个及两个以上样本均数差别的显著性检验[2]. 三因素方差分析是检验在三种因素影响下,三个以上总体的均值彼此是否相等的一种统计方法. 文献[3]给出了单因素及双因素方差分析的原理,但并未给出三因素方差分析的相关内容. 本文详细推导了无交互影响的三因素方差分析的原理及偏差平方和分解式,由此给出了三因素方差分析表,利用该分析表解决了一个具体的数学建模案例,并通过MATLAB实现了该案例的求解. 求解结果的一致性说明了原理推导的正确性.设有三个因素A,B,C,因素A取r个水平,分别记为A1,A2,…,Ar;因素B取s个水平,分别记为B1,B2,…,Bs;因素C取t个水平,分别记为C1,C2,…,Ct. 在水平组合(Ai,Bj,Ck)下样本相互独立,且记其中,i=1,2,…,r;j=1,2,…,s;k=1,2,…,t. 称μ为一般平均,αi为因素A的第i个水平的效应,βj为因素B的第j个水平的效应,γk为因素C的第k个水平的效应. 显然,αi,βj,γk满足如下关系式:若μijk=μ+αi+βj+γk,则数学模型为假设检验如下:记故无交互影响的三因素方差分析表如表1所示.(1) 若FA>F1-α(r-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1)),则拒绝H01,表示在因素A的各水平下的效应有显著差异;(2) 若FB>F1-α(s-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1)),则拒绝H02,表示在因素B的各水平下的效应有显著差异;(3) 若FC>F1-α(t-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1)),则拒绝H03,表示在因素C的各水平下的效应有显著差异.某集团为了研究商品销售点所在的地理位置、销售点处的广告和销售点的装潢这三个因素对商品的影响程度,选了三个位置(如市中心黄金地段、非中心的地段、城乡结合部)、两种广告形式、两种装潢档次在四个城市进行了搭配试验. 表2是销售量的数据.试在显著性水平0.05下,检验不同地理位置、不同广告、不同装潢下的销售量是否有显著差异[4].解法1 按照推导出的偏差平方和分解式,计算求得方差分析表,如表3所示.由于FA≈13.915 8>F0.95(2,7)=4.74,FB≈15.5966>F0.95(1,7)=5.59,FC≈12.323 2>F0.95(1,7)=5.59,因此,在显著性水平α=0.05下,因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都对该商品的销售量有显著影响. 为了使该商品的销售情况更好,地理位置、广告、装潢都需要进行合理的选择.解法2 MATLAB实现.统计工具箱中用anovan作多因素方差分析. 无交互影响的三因素方差分析命令为[p,t]=anovan(x,group). 返回值p是三个概率. 当p>α时接受H0,说明因素有显著影响;当p<α时拒绝H0,说明因素无显著影响. t是方差分析表.编写程序如下:clc,clearx=[955 927 905 855 880 860 870 830 875 870 870 821];group={[′A1′;′A1′;′A1′;′A1′;′A2′;′A2′;′A2′;′A2′;′A3′;′A3′;′A3′;′A3′;];[′B1′;′B1′;′B2′;′B2′;′B1′;′B1′;′B2′;′B2′;′B1′;′B1′;′B2′;′B2′;];[′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;′C1′;′C2′;]};[p,t]=anovan(x,group)求得p的值分别为0.003 6,0.005 5,0.009 9,方差分析表如表4所示.第一个p值是在因素A(即地理位置)的影响下得到的,第二个p值是在因素B(即广告)的影响下得到的,第三个p值是在因素C(即装潢)的影响下得到的. 由于三个p值均小于0.05,故拒绝原假设,说明因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都对该商品的销售量有显著影响.MATLAB实现的结果与利用偏差平方和分解式得到的结果是一致的,说明偏差平方和分解式及无交互影响的三因素方差分析表的推导都是正确的.近年来, 随着计算机技术的发展和普及, 借助于计算机及MATLAB[5]软件完成统计计算、分析统计结果、作出统计推断已经成为必然趋势. 但是没有理论支撑的应用, 就如空中楼阁.对无交互影响的三因素方差分析原理及偏差平方和分解式的推导, 对数据较少的实际问题, 不仅可以通过动手计算, 分析问题的结果; 而且有了理论的支撑, 可以更好地理解MATLAB软件中程序的意义, 同时对统计结果作出更透彻的分析.【相关文献】[1] 夏传武. MATLAB 在概率统计教学中的应用[J]. 徐州工程学院学报, 2005,20(S1):96-98. (Xia Chuanwu. The Application of MATLAB in Teaching of Probability Statistics[J]. Journal of Xuzhou Institute of Technology, 2005,20(S1):96-98.)[2] 易昆南,程勋杰. “假设检验”决策的误区:一场由全国大学生数学建模竞赛引发的争论[J]. 重庆理工大学学报:自然科学版, 2013,27(4):106-109.(Yi Kunnan,Cheng Xunjie. A Frequently Mistaken Concept in “Hypothesis Test”: A Dispute Triggered by China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling[J]. Journal of Chongqing University of Technology: Natural Science, 2013,27(4):106-109.)[3] 魏宗舒,等. 概率论与数理统计教程[M]. 北京:高等教育出版社, 2001:372-391.(Wei Zongshu,et al. The Course of Probability Theory and Mathematical Statistics[M]. Beijing: Higher Education Press, 2001:372-391.)[4] 司守奎. 数学建模算法与程序[M]. 北京:国防工业出版社, 2007:225.(Si Shoukui. Algorithm and Program of Mathematical Modeling[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2007:225.)[5] 季丽丽,马骥. 基于MATLAB转子绕线机控制系统调节器的仿真研究[J]. 沈阳大学学报:自然科学版, 2012,24(1):25-27.。
方差分析
Contrast Variable: TIME.5 Source DF MEAN 1 Error 11
Contrast Variable: TIME.6 Source DF MEAN 1 Error 11 Contrast Variable: TIME.7 Source DF MEAN 1 Error 11
Type III SS 10920.33333333 691.66666667
Mean Square 10920.33333333 62.87878788
F Value 173.67
Pr > F 0.0001
Type III SS 12096.75000000 416.25000000
Mean Square 12096.75000000 37.84090909
3.实例
例 为研究5个不同剂量的甲状腺提取液对豚鼠 甲状腺重的影响，考虑到鼠的种系和体重对 观测指标可能有一定的影响，设计实验时最 好将这2个重要的非处理因素一并安排，根据 专业知识得知,这3个因素之间的交互作用可 忽略不计,试选用合适的试验设计方案,并对所 收集的定量资料进行统计分析。
本例有3个因素,每个因素有5个水平: 剂量:A 273 B 308 C 319 D 391 E 410 种系:1 2 3 4 5 体重:一 二 三 四 五
Nx
2
SSB r ( x. j . x ) r
2
x
2 . j.
Nx
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
SSC r ( x .. K x ) r
F Value 0.66
Pr > F 0.4332
F Value 35.87
Pr > F 0.0001
方差分析-析因分析
2个或以上（处理）因素（factor）（分类变量）
2个或以上水平（level）
2个或以上重复（repeat）（样本数）
每次试验涉及全部因素,即因素同时施加
观察指标（观测值）为计量资料（独立、正态、等方差）
析因设计的特点
析因实验可分析多种交互作用；
01
二个因素间的交互作用称为一级交互作用，三个因素间的交互作用称为二级交互作用，四个因素间则称为三级交互作用，乃至更高级的交互作用。
PART 02பைடு நூலகம்
（三）三因素多水平 完全随机析因设计的方差分析
完全随机的三因素析因设计方差分析表
表8
例8:战士主观感觉冷热等级评分
计算两因素交叉分组的合计
表8-2
表8
方差分析有两个因素,任务和时间，各两个水平：任务（A, B），时间（1，2）。所有被试均完成任务A和任务B，任务A和B时间随机分配为1或2。
02
例如观察三个因素的效应，其一级交互作用为：A×B，A×C与B×C，二级交互作用为A×B×C。
03
当析因实验设计因素与水平过多时，使交互作用分析内容繁多，计算复杂，带来专业解释困难，一般多用简单的析因实验。
04
单独效应（simple effects）：其它因素（factor）的水平（level）固定为某一值时，某一因素的效应
当双向方差分析拒绝无效假设时，需要进一步确定哪些水平间的效应差异存在统计学意义。
当交互作用无统计学意义时，可直接对处理因素各水平的平均值进行比较。
当交互作用有统计学意义时，必须用两因素各水平组合下的平均值进行比较。
03
下面仍以例9-2资料为例介绍采用Tukey 法进行多重比较的方法
04
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2、交互模型 MODEL y=a b c a*b a*c b*c a*b*c;
3、嵌套效应 MODEL y=a b c(a b);
4、混合效应模型号 MODEL y=a b(a) c(a) b*c(a);
22
例：1、单因素方差分析
某劳动卫生组织研究棉布、府绸、的确凉、尼龙四种衣料内棉花吸附十 硼氢量。每种衣料做五次测量，所得数据如下。试检验各种衣料见棉花吸 附十硼氢量有没有显著差别？
(3 1) 2 28.38
QE
1114.7
(3(6 1))
5
15
列表：
方差来源 因素A 试验误差 总误差
离差平方和 4217.3 1114.7 5332
自由度 2 15 17
F值 28.38
F0.05 F0.01 显著性 3.68 6.38 **(十分显著）
说明： F F (2,15) ，说明酸液浓度对汗布冲击强力有十分显著的影响。
计判断，得出结论。
5
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离差平方和 分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生 的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认 某些因素或交互作用的重要性。
用公式概括为：
各因素引起
由个体差异 引起（误差）
总变异=组间变异+组内变异
种类：常用方差分析法有以下4种 1、完全随机设计资料的方差分析（单因素方差分析） 2、随机区组设计资料的方差分析（二因素方差分析） 3、拉丁方设计资料的方差分析（三因素方差分析） 4、R*C析因设计资料的方差分析（有交互因素方差分析）
QA
1 l
m i 1
Ti.2
T2 ml
QB
FB
(l 1) QE
F (l 1, (m 1)(l 1))
(m 1)(l 1)
QB
1 m
l j 1
T.
2 j
T2 ml
3）给定显著水平 ，查表得临界值 F (m 1, (m 1)(l 1)) QE Q QA QB
4）由样本观察值计算FA、FB
5）若 FA F (m 1, (,1)(l 1)) 时，接受H0，因素的影响不显著。 若 FA F (m 1, (,1)(l 1)) 时，拒绝H0。 对因素B同理说明。
17)
-22
-2 5 1 -11
5 6 Ti
1 -20 -80 14 7 14
6
X
'2 i
j 1
1454 396
A3
20 31 19 12 35 27 144 3820
由表中数据可算出
36
X '2 ij
5670
i1 j 1
36
3
T
X
' ij
Ti 78
i1 j 1
i 1
3
Ti2 27332
QE
2
2 (m(n 1))
QA
2
2 (m 1)
相互独立
10
方法：（检验方法）
（1）当H0：1=2=…=m 成立时。
（2）统计量： QA
2
F (m 1) F (m 1, m(n 1)) QE
2
m(n 1)
QA
即：
F
(m 1) QE
F (m 1, m(n 1))
[m(n 1)]
11
（3）给定显著性水平 ，查表得临界值 F (m 1, m(n 1))
（4）由样本观察值计算出F （5）若F > F (m 1, m(n 1)) ，则拒绝H0。 （说明因素A各水平间有显著性差异）
（6）若F F (m 1, m(n 1)) ，则接受H0。（说明因素A各水平间无显著性差异）
三、计算的简化
1、 对Q、QE、QA计算简化。（给出一个简化的计算公式和数据简化的方法）
例如：某厂对生产的高速钢铣刀进行淬火工艺试验，考察回火温度A和淬火温度B两 个因素对强度的影响。今对两个因素各3个水平进行试验，得平均硬度见表：
试验结果 Bj
Ai A1（280’C）
B1（1210‘C）B2（1235’C）B3（1250‘C）
64
66
68
A2（300‘C）
66
68
67
A3（320’C） 65
19
方差分析表：
方差来源 因素A 因素B 试验误差 总误差
离差平方和 自由度
1.56
2
11.56
2
3.1
4
16.22
8
F值 FA=1.01 FB=7.46
F0.05(2,4) F0.01(2,4) 显著性
6.94
18.0
6.94
18.0
*
3
Q
i 1
3 j 1
X
2 ij
T2 33
16.22
QA
A1
16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0
A2
16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7
A3
19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7
方差分析就是把总的 试验数据的波动分成
1、反映因素水平改变引起的波动。 然后加以比较进行统
2、反映随机因素所引起的波动。
i1
j 1
i1
9
故：
mn
mn
Q
( X ij X i )2
(Xi X )2
i 1 j 1
i 1 j 1
mn
m
( X ij X i )2 n ( X i X )2
i1 j 1
i 1
下面通过比较QE和QA来检验假设H0。 在假设H0成立的条件下，可以证明：
Q
2
2 (mn 1)
1 3
3
Ti.2
i 1
T2 33
1.56
QB
1 3
3
T.
2 j
j 1
T2 33
11.56
QE Q QA QB 3.1
FA F0.05 (2,4) A影响不显著。 F0.05 (2,4) FB F0.01(2,4) B影响显著，由于
高速钢洗刀的硬度越大越好，因此因素B可取B3水平，即淬火温度1250‘C为好，因素 A水平的确定，应考虑经济方便，取A1水平为好。
16
五、各水平下试验次数不等时的方差分析 设第 i个水平试验次数为ni, 则有
式中：
m
n ni
i 1
Q
m i 1
ni
( X ij X )2
j 1
m i 1
ni j 1
X
2 ij
T2 n
Ti
ni
Xij
j1
QE
m i1
ni
( X ij X i )2
j 1
m i1
ni
T 2 X ij n j 1
m i 1
n j 1
X
2 ij
T2 mn
12
同样可推出：
QE
m i 1
n j 1
X
2 ij
1 n
m
Ti 2
i 1
QA
1 n
m
Ti 2
i 1
T2 mn
2、数据的简化： 试验数据经过变换
X
' ij
b( Xij
a)
数据简化后对F值的计算没有影响，不会影响检验的结果 四、方差分析表
方差来源 因素A 试验误差 总误差
做法：为了检验假设H0，要从总的误差中将系统误差和随机误差分开。
8
二、离差平方和的分解与显著检验
记：
X i
1 n
n
X ij
j 1
X
1 mn
m i 1
n
X ij
j 1
将Q进行分解：
mn
Q ( Xij X )2 i1 j1
m n
Q
( X ij X i ) ( X i X ) 2
i 1 j 1
mn
mn
mn
( X ij X i )2
(Xi X )2 2
( X ij X i )( X i X )
i1 j1
i1 j1
i1 j1
mn
由于
( X ij X i )( X i X )
i 1 j 1
m
n
m
( X i X ) ( X ij X i ) ( X i X )(nX i nX i ) 0
令：
n
Ti X ij
j 1
mn
m
T X ij Ti
i1 j 1
i 1
mn
mn
Q
( X ij X )2
(
X
2 ij
2 X ij X
X
2)
i1 j 1
i1 j 1
m i 1
n
X
2 ij
mnX
2
j 1
m i 1
n j 1
X
2 ij
1 mn
(
m i 1
n
X ij )2
j 1
67
68
假设：美中不足组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。 所需要解决的问题是：所有Xij的均值是否相等。
18
假设检验：
1）在假设H0成立的条件下。
2）统计量
QA
FA
(m 1) QE
F (m 1, (m 1)(l 1))
(m 1)(l 1)
Q
m i 1
l j 1
X
2 ij
T2 ml
方差分析
1
日常生活中经常发现，影 响一个事物的因素很多， 希ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ找到影响最显著的因 素