2001年考研数学二试题及答案

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．） （1）2

13lim

21

-++--→x x x

x x ＝______．

【答案】6

-

【考点】洛必达法则 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一：

21

12(1)lim

lim 2(1)(2)x x x x x x x →→-=+--+112x x →=+6=- 方法二：使用洛必达法则计算

21

lim

2

x x x →+-1

2121

321lim 1++-

--

=→x x x x 623221221-=--=.

（2）设函数)(x f y =由方程1)cos(2-=-+e xy e y

x 所确定，则曲线)(x f y =在点)1,0(处

的法线方程为______． 【答案】022=+-y x

【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线 【难易度】★★ 【详解】解析：在等式2cos()1x y

e

xy e +-=-两边对x 求导,得

2(2')sin()(')0,x y e y xy y xy +⋅++⋅+=

将1,0==y x 代入上式,得'(0) 2.y =-故所求法线方程为1

1,2

y x -=

即 x −2y +2=0. （3）

x x x x d cos )sin (22π2

π23⎰

-+＝_______．

【答案】8

π

【考点】定积分的换元法 【难易度】★★

【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算. 在区间[,]22

ππ

-

上,32cos x x 是奇函数,22sin cos x x 是偶函数, 故

()()3

2

2

3

2

2

2

2

2222

2

2

1sin cos cos sin cos sin 24x x xdx x x x x dx xdx π

π

π

πππ

--

-+=+=⎰⎰⎰ 22

1(1cos 4)8x dx π

π-=-⎰.8π=

（4）过点)0,21(

且满足关系式11in arcs 2

=-+

'x

y

x y 的曲线方程为______． 【答案】1

arcsin 2

y x x =-

【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一:

原方程'arcsin 1y x =可改写为()'

arcsin 1,y x =

两边直接积分,得arcsin y x x C =+ 又由1()0,2y =解得1.2

C =- 故所求曲线方程为：1arcsin .2

y x x =- 方法二:

将原方程写成一阶线性方程的标准形式

1

'.arcsin y y x

=

解得

ln arcsin ln arcsin 1arcsin 1arcsin 1(),arcsin x x y e C e dx x e C e dx x C x x

-

-⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤

=+⎢⎥⎣⎦

=+⎰

⎰

又由1()0,2y =解得1.2

C =- 故曲线方程为：1arcsin .2

y x x =-

（5）设方程⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥

⎥

⎥⎥⎥

⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a ＝______．

【答案】2-

【考点】非齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一:

利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有

2

11

111211

1011311201112a a

A a a a a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦

()

()()

()1120113

,0

01222a a a a a a -⎡⎤⎢

⎥→--⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦

可见,只有当a =−2 时才有秩()()23,r A r A ==<对应方程组有无穷多个解. 方法二:

当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式

为零,即有211

1

1(2)(1)0,11a a a a a

=+-=解得2-=a 或1=a .

由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当1=a 时,原方程无解,因此只能是

2-=a .

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （1）设⎩⎨⎧>≤=,

1||,0,

1||,1)(x x x f 则)]}([{x f f f 等于（ ） （A ）0．

（B ）1．

（C ）⎩⎨

⎧>≤.

1||,0,1||,1x x

（D ）⎩⎨

⎧>≤.

1||,1,1||,0x x

【答案】B 【考点】复合函数 【难易度】★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。

解析：由题易知1)(≤x f ，所以1)]([=x f f ，1)1()]}([{==f x f f f ，选B.

（2）设当0→x 时，)1ln()cos 1(2

x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n

x x sin 是比

)1(2

-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）

（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4．

【答案】B

【考点】无穷小量的比较 【难易度】★★

【详解】解析：由题易知:

3

41021lim 21lim 0sin )1ln()cos 1(lim 14

022020<⇒<+⇒=⋅⋅⇒=+-+→→→n n x

x x x x x x x x x n x n x n x

（3）曲线2

2)3()1(--=x x y 的拐点个数为（ ） （A ）0． （B ）1．

（C ）2．

（D ）3．

【答案】C

【考点】函数图形的拐点

1

2

10lim lim 01

sin lim 2102002>⇒>+⇒==⋅⇒=-+→→→n n x x x x x e x x n x n x x n x