高考数学大一轮复习 第1节 相似三角形的判定及有关性质 文 新人教版选修4-1

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考向三 射影定理及其应用 [典例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ析]
【例 3】 如图 7 所示，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°， AD⊥BC 于 D，DF⊥AC 于 F，DE⊥AB 于 E.试证明：
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图1 (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
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【解】 (1)因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE ∥BC.又已知 CF∥AB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF＝BD＝AD.而 CF∥AD，连结 AF，所以四边形 ADCF 是平 行四边形，故 CD＝AF.
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(2)由(1)得DBMM＝DBFE. 又因为 F 是 BC 中点，所以 DE＝2BF， 所以 DM＝2BM， 所以 BM＝13DB＝13×9＝3.
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1．证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等； (2)若只有一角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对 应成比例； (3)若无对应角相等，就证三边对应成比例．
图4
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【解析】 ∵DE∥BC，∴AADB＝AACE， ∵EF∥CD，∴AADF＝AACE， ∴AADB＝AADF， ∴AF＝AADB2＝ 222＝1. 【答案】 1
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考向二 相似三角形的判定与性质 [典例剖析]
【例 2】 如图 5，梯形 ABCD 中 ，AB∥CD，且 AB＝ 2CD，E，F 分别是 AB，BC 的中点，EF 与 BD 相交于点 M.
选修 4－1 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质
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考纲要求：1.了解平行线截割定理.2.理解相似三角形的 定义和性质，会证明直角三角形的射影定理.3.掌握判定两个 三角形相似的方法．
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[基础真题体验] 考查角度[相似三角形的判定与性质] 1．(2012·课标全国卷)如图 1，D，E 分别为△ABC 边 AB， AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F，G 两点．若 CF∥AB，证明：
(2)通过证明DDFE＝AABE，DDFE＝CCFB得出结论．
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【证明】 (1)∵CD∥AE，∴DGGE＝CAGG. 又∵AD∥CF，∴DGGF＝CAGG. ∴DGGE＝DGGF，即 DG2＝GE·GF. (2)∵BF∥AD，∴AABE＝DDFE. 又∵CD∥BE，∴CCFB＝DDFE.∴CCFB＝AABE.
图2 (1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.
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【证明】 (1)由 AC 与⊙O′相切于 A，得∠CAB＝∠ ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.
从而AADC＝BADB，即 AC·BD＝AD·AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD. 从而AAEB＝ABDD，即 AE·BD＝AD·AB. 结合(1)的结论知，AC＝AE.
图5 (1)求证：△EDM∽△FBM； (2)若 DB＝9，求 BM.
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【思路点拨】 (1)先证明四边形 CBED 是平行四边形， 再证明∠DEM＝∠BFM，进而证明△EDM∽△FBM.
(2)由△EDM∽△FBM 可得出比例关系，求出 BM 便可．
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【证明】 (1)因为 E 是 AB 的中点，所以 AB＝2EB， 又因为 AB＝2CD，所以 CD＝BE. 又 AB∥CD，所以四边形 CBED 是平行四边形． 所以 CB∥DE， 所以∠DEM＝∠BFM，∠EDM＝∠FBM， 所以△EDM∽△FBM.
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规律预测]
从近几年的高考试题看，对本节内容的考查
命题 规律
主要体现在以下两点： 1.相似三角形的判定及性质是高考命题的 热点，常与圆的几何性质交汇命题．
2.题型以解答题的形式出现，难度适中．
考向 预测
预测 2016 年高考，本节将与圆相结合综合 考查相似三角形的应用，着重考查学生的推 理论证能力，难度适中.
因为 CF∥AB，所以 BC＝AF， 故 CD＝BC.
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(2)因为 FG∥BC，故 GB＝CF. 由(1)可知 BD＝CF，所以 GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG. 由 BC＝CD 知∠CBD＝∠CDB， 又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.
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2．(2012·辽宁高考)如图 2，⊙O 和⊙O′相交于 A，B 两 点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C，D 两点，连结 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明：
图6
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【证明】 在梯形 ABCD 中， ∵AB＝DC， ∴∠ABC＝∠DCB. 又 BC＝BC，∴△ABC≌△DCB. ∴∠BAC＝∠BDC. ∵AC∥ED，AD∥BC， ∴∠E＝∠BAC＝∠BDC，∠EAD＝∠ABC＝∠DCB， ∴△EAD∽△DCB. ∴DEAC＝EDDB，即 ED·CD＝EA·BD.
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2．相似三角形性质的应用 (1)若证明等积式，可化等积式为比例式，再根据相似三 角形的性质求解． (2)相似三角形性质的应用可用来考查与相似三角形相关 的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、 外接圆的直径、内切圆的面积等．
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[对点练习] 如图 6，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，DE∥CA， 且交 BA 的延长线于 E，求证：ED·CD＝EA·BD.
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考向一 平行线分线段成比例定理 [典例剖析]
【例 1】 如图 3，在▱ABCD 中，E 是 AB 延长线上一点， DE 交 AC 于 G，交 BC 于 F.
求证：(1)DG2＝GE·GF； (2)CCFB＝AABE.
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图3
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【思路点拨】 (1)通过证明CAGG＝DGGE，CAGG＝DGGF得出结 论．
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1．本例在证明过程中，首先将等积式转化为比例式，然 后根据比例式的左、右两端的线段比寻找成比例的条件．
2．平行线分线段成比例定理及推论一方面可以判定线段 成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常 用这个定理及推论将两条线段的比转化为另外两条线段的 比．
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[对点练习] 如图 4 所示，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥CD，且 AB ＝2，AD＝ 2，则 AF＝________.