等比数列前n项和学案(可编辑修改word版)
等比数列及前n项和教案
等比数列及前n项和教案【篇一：《等比数列的前n项和》教学案例设计】《等比数列的前n项和》教学案例设计一、设计思想1、设计理念本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”，体现“人人学数学”，“不同的人学不同的数学”的理念。
教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性，注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思维的效益。
通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养学生的社会意识，明确肯定“日常数学”的合理性等，另一方面，再调动学生生活经验的同时，又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。
2、设计背景传统的数学作业单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。
在新课程标准的理念下，重新认识作业的意义和价值，突破传统，改变现状，树立正确的作业观，创新作业方式，激发兴趣，发展学生数学素质，既注重基础知识的巩固，更要注重学生思维和能力的发展，既要创新又要保证其科学有效，使学生在做作业的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。
3、教材的地位与作用本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比数列n前项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关求和问题。
探索公式的推导、体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。
本节内容基础知识和基本技能非常重要，涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。
本设计是第一课时的教学内容。
二、学习目标⑴知识与技能掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。
⑵过程与方法通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。
⑶情感、态度与价值观通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。
等比数列的前n项和公式学案
等比数列的前n 项和公式学案教学过程一.复习回顾(1) 等比数列定义： （2）等比数列通项公式：二.探索与研究：采用印度国际象棋发明者的故事，你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？ 即求 636264228421+++++= s三.公式的一般推导：设n n n a a a a a S +++++=-1321四．公式应用例1：求相应的等比数列 的前n 项和S n （1） 1a =3,q=2,n=6 （2）1a =4，q=3， =108.（3）求数列231,,,,...x x x 的前n 项和S n .例2：我国古代也给出了一个无穷递减等比数列，记载在《庄子·天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”这段话从另一个方面反映古人对无穷等比数列的思考。
（《庄子·天下篇》中问题的改编）（1）若截去了5天，共截取木棰多少尺？（2）从第三天到第六天共截取木棰多少尺？{}n a n a【变式】已知是等比数列 (1)当时,求其前n 项和 (2)当 时,求其前n 项和 (3)当 时,求其前n 项和例3：已知在等比数列 中 ， 求 .五.课堂小结(1)已知数列是否为等比数列(2)注意q 是否等于1，如不确定，要分q=1和q ≠1两种情况讨论(3)注意求和公式是 ，不要和通项公式中的 混淆(4)错位相消求前n 项和)…1)(1(1)...1( (121211)121111321----++++-=-++++=++++=+++++=n n n n nn n q q q q q q q q a q a q a q a a a a a a a S 联想因式分解 ∴==--=++++++===---①①1111213212312代入又即由等比的性质，由定义，n n nn n n n n n q a a q a S a S q a a a a a a q a a a a a a⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1(1111q q q a a qq a a q na S n n n n q 1-n q {}n a n n a b 2=n T n T nT ()*N n ∈()*N n ∈12-=n n a b {}n a 9133=S 93646=S n a ()*N n ∈13-=n n a b七．课后作业1.书面作业（1）变式（2）完成小结中的两种推导过程2.研究性作业请同学们课后收集相关资料查一查其他推导等比数列前n项和公式的方法，整理为数学小论文，相互交流。
学案1：4.3.2 第1课时 等比数列前n项和公式
4.3.2 第1课时 等比数列前n 项和公式【新知初探】1．等比数列前n 项和公式思考：类比等差数列前n 项和是关于n 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n 项和S n ?2．错位相减法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ， ② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1(1－q n )1－q(q ≠1)．我们把上述方法叫 ，一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1.【初试身手】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 来求． ( )(2)等比数列的前n 项和公式可以简写成S n ＝－Aq n ＋A (q ≠1)． ( ) (3)1＋x ＋x 2＋…＋x n ＝1－x n1－x． ( ) 2．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 3a 2＝( )A ．3B ．4C ．72D ．1323．若首项为1的等比数列{a n }的前3项和为3，则公比q 为( ) A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－14．已知等比数列的首项为－1，前n 项和为S n ，若q ＝－12，则S 10S 5＝________.5．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．【合作探究】【例1】 在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q .[规律方法]1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．[跟进训练]1．已知数列{a n}是首项为a1，公比为q的等比数列，其前n项和为S n，且有5S2＝4S4，求公比q的值．【例2】借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)[规律方法]解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n，还是求S n？特别要注意项数是多少.②弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式. [跟进训练]2．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？[探究问题]1．对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?2．由项数相等的等差数列{n }与等比数列{2n }相应项的积构成新的数列{n ·2n }是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n 项和S n 的表达式是什么？3．在等式 S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n 两边同乘以数列{2n }的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求S n 的问题转化为等比数列的前n 项和问题吗？【例3】 设{}a n 是等差数列，{}b n 是等比数列，公比大于0，已知a 1＝b 1＝2，b 2＝a 2，b 3＝a 2＋4.(1)求{}a n 和{}b n 的通项公式；(2)记c n ＝a n2b n ，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2，n ∈N *.[母题探究]1．(变条件)本例题(2)中设c n ＝12a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ′.2．(变条件)本例题中设d n ＝2n －1b n，求数列{d n }的前n 项和T n .[规律方法]错位相减法的适用条件及注意事项若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项和时，常常采用将{a n b n }的各项乘公比q ，并向后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法.若公比为字母，则需对其进行分类讨论.【课堂小结】1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．设数列{a n }是公差为d (d ≠0)的等差数列，数列{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，数列{c n }满足c n ＝a n b n ，则{c n }的前n 项和为 S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n －1＋c n＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＋a n b n ，①qS n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n －2b n －1＋a n －1b n ＋a n b n ＋1.②①－②得(1－q )S n ＝a 1b 1＋d (b 2＋b 3＋…＋b n )－a n b n ＋1 ＝a 1b 1＋db 2(1－q n －1)1－q －a n b n ＋1，∴S n ＝a 1b 1－a n b n ＋11－q ＋db 2(1－q n －1)(1－q )2.【学以致用】1．已知等比数列{a n }的首项a 1＝3，公比q ＝2，则S 5等于( ) A ．93 B ．－93 C ．45 D ．－452．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若27a 4＋a 7＝0，则S 4S 2＝( )A ．10B ．9C ．－8D ．－53．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2B ．13(2n －1)C ．4n －1D ．13(4n －1)4．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________.5．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？【参考答案】【新知初探】1．等比数列前n 项和公式 na 1a 1(1－q n )1－q na 1a 1－a n q1－q思考：[提示] 可把等比数列前n 项和S n 理解为关于n 的指数型函数． 2．错位相减法 错位相减法【初试身手】1．[提示] (1)和(3)中应注意q ＝1的情况． [答案] (1)× (2)√ (3)×2．C [已知等比数列{a n }的首项为a 1，则S 3a 2＝a 1(1－23)1－2a 1×2＝72.]3．C [当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3，符合题意；当q ≠1时，S 3＝1＋q ＋q 2＝3，解得q ＝－2.] 4．3132 [∵q ＝－12≠1，∴S 10S 5＝(－1)(1－q 10)1－q ·1－q (－1)(1－q 5)＝1＋q 5＝1＋⎝⎛⎭⎫－125＝1－132＝3132.] 5．11(1.15－1)a [去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a ，1.13a ，1.14a ，1.15a .所以1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝a ·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a .]【合作探究】【例1】[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n11.(2)法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.法二：由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6， 得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10， 所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根．从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q 为2或12.[跟进训练]1．[解] 当q ＝1时，由5S 2＝4S 4知10a 1＝16a 1，则a 1＝0，不合题意，故q ≠1. 当q ≠1时，由5S 2＝4S 4知5a 1(1－q 2)1－q ＝4a 1(1－q 4)1－q ，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，解得1＋q 2＝54，即q ＝±12.【例2】[解] 法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元， 以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)， 则a 0＝10 000， a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a .由题意，可知a 6＝0， 即1.016a－(1＋1.01＋…＋1.015)a ＝0，a ＝1.016×1021.016－1.∵1.016≈1.061，∴a ≈1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月， 则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a (1.016－1)×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1.以下解法同法一，得a ≈1 739，故每月应支付1 739元． [跟进训练]2．[解] 余款10万元6年的本利和是105×(1＋0.1)6＝105×1.16. 设每年年底应支付款为a 元，支付6次的本利和应是 a ＋a (1＋0.1)＋a (1＋0.1)2＋…＋a (1＋0.1)5＝a ·1.16－11.1－1＝10a (1.16－1)． 由105×1.16＝10a (1.16－1)得a ＝104×1.161.16－1≈22 960(元)．∴每年年底应支付22 960元.[探究问题]1．[提示] 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝264－1.2．[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n ·2n }既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n 项和S n 的表达式为S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n . 3．[提示] 在等式S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， ① 两边同乘以{2n }的公比可变形为2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②②－①得：S n ＝－1·21－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－(21＋22＋23＋…＋2n )＋n ·2n ＋1.此时可把求S n 的问题转化为求等比数列{2n }的前n 项和问题．我们把这种求由一个等差数列{a n }和一个等比数列{b n }相应项的积构成的数列{a n b n }前n 项和的方法叫错位相减法． 【例3】[解] (1)设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q ，则q >0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2q ＝2＋d ，2q 2＝6＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，故a n ＝2＋2()n －1＝2n ，b n ＝2·2n －1＝2n .(2)∵c n ＝a n 2b n ＝2n 2·2n ＝n2n ，设数列{}c n 的前n 项和为S n ，∴S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ， ①∴12S n ＝122＋223＋…＋()n －12n ＋n 2n ＋1， ② ∴①－②得：12S n ＝⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －n2n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴S n ＝2－12n －1－n2n ，又∵n ∈N *，∴12n －1>0，n2n >0，∴S n ＝2－12n －1－n2n <2，即c 1＋c 2＋…＋c n <2，n ∈N *. [母题探究]1．[解] 由题意知c n ＝n ·2n ，所以S n ′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －2)×2n －2＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ， 2S n ′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)×2n －1＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得：－S n ′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以S n ′＝(n －1)·2n ＋1＋2. 2．[解] 由题意可得：T n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1， 两式相减得12T n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1 ＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以T n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n . 【学以致用】1．A [S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝3(1－25)1－2＝93.] 2．A [设数列{a n }的公比为q ，由27a 4＋a 7＝0，得a 4(27＋q 3)＝0.因为a 4≠0， ∴27＋q 3＝0，则q ＝－3，故S 4S 2＝1－q 41－q 2＝1＋q 2＝1＋9＝10.] 3．D [∵S n ＝2n －1，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝21－1＝21－1，故a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×(4n －1)4－1＝13(4n －1)．] 4．510 [a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝18，a 2＋a 3＝a 1(q ＋q 2)＝12，两式联立解得q ＝2或12， 而q 为整数，所以q ＝2，a 1＝2，代入公式求得S 8＝2(1－28)1－2＝510.] 5．[解] 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ， 因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列． 热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q ＝25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫45n<125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.。
【人教B版】2017年必修五：2.3.2《等比数列的前N项和》示范学案(含答案)
2.3.2 等比数列的前n 项和1．理解等比数列的前n 项和公式的推导过程．2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能用它解决有关等比数列问题．(1)在求等比数列{a n }的前n 项和公式时，应分q ＝1和q ≠1两种情况，若题目中没有指明，切不可忘记对q ＝1这一情形的讨论．(2)等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量，即a 1，a n ，q ，n ，S n ，通常已知其中三个量可求另外两个量，这一方法简称为“知三求二”．【做一做1－1】在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )． A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2【做一做1－2】在等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )． A ．81 B ．120 C ．168 D ．1922．等比数列前n 项和的常用性质性质(1)：在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则依次每k 项的和构成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k ，…成等比数列，其公比为________．性质(2)：在等比数列{an }中，若项数为2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝____. 性质(3)：数列{a n }是公比为q 的等比数列，则S m ＋n ＝S n ＋__________.【做一做2】已知等比数列{a n }，S n 是其前n 项和，且S 3＝7，S 6＝63，则S 9＝________.一、错位相减法的实质及应用剖析：(1)用错位相减法求等比数列前n 项和的实质是把等式两边同乘等比数列的公比q ，得一新的等式，错位相减求出S n －qS n ，这样可以消去大量的“中间项”，从而能求出S n .当q ＝1时，S n ＝na 1，当q ≠1时，S n ＝a 1－a 1q n1－q.这是分段函数的形式，分段的界限是q ＝1.(2)对于形如{x n ·y n }的数列的和，其中{x n }为等差数列，{y n }为等比数列，也可以用错位相减法求和．错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题．(3)利用这种方法时，要注意对公比的分类讨论．二、等比数列的前n 项和公式的推导(首项为a 1，公比q ≠1)剖析：除了书上用到的错位相减法之外，还有以下方法可以求等比数列的前n 项和． (1)等比性质法 ∵a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a na n －1＝q ， ∴a 2＋a 3＋a 4＋…＋a na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n ＝q ，解得S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1－q n 1－q. (2)裂项相消法S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝(a 11－q －a 1q 1－q )＋(a 1q 1－q －a 1q 21－q)＋(a 1q 21－q －a 1q 31－q )＋…＋(a 1q n －11－q －a 1q n 1－q )＝a 11－q －a 1q n 1－q ＝a 1－q n1－q. (3)拆项法S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －2＋a 1q n －1－a 1q n －1)，∴S n ＝a 1＋q (S n －a 1q n －1) ＝a 1＋q (S n －a n )．解得S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1－q n1－q.三、教材中的“？”例2中，有别的解法吗？将这个数列的前8项倒过来排，试一试．剖析：∵S 8＝27＋26＋25＋…＋2＋1， ∴S 8＝1＋2＋22＋…＋26＋27＝－281－2＝28－1＝255.此题说明了在一个等比数列{a n }中，若为有限项，如a 1，a 2，…，a n ，则a n ，a n －1，…，a 2，a 1也是等比数列，其公比为原数列公比的倒数．题型一 等比数列的前n 项和公式的应用 【例1】在等比数列{a n }中，(1)已知a 1＝3，q ＝2，求a 6，S 6；(2)已知a 1＝－1，a 4＝64，求q 和S 4； (3)已知a 3＝32，S 3＝92，求a 1，q .分析：在等比数列的前n 项和公式中有五个基本量a 1，a n ，q ，n ，S n ，只要已知任意三个，就可以求出其他两个．反思：在等比数列{a n }中，首项a 1与公比q 是两个最基本的元素；有关等比数列的问题，均可化成关于a 1，q 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)利用等比数列的有关性质；(3)注意在使用等比数列前n 项和公式时，要考虑q 是否等于1.题型二 等比数列的前n 项和的性质的应用【例2】在各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 10＝10，S 20＝30，求S 30.分析：可以利用解方程组解决，也可以利用等比数列的前n 项和的性质来解决．反思：由于等比数列中，无论是通项公式还是前n 项和公式，均与q 的若干次幂有关，所以在解决等比数列问题时，经常出现高次方程，为达到降幂的目的，在解方程组时经常利用两式相除，达到整体消元的目的．题型三 某些特殊数列的求和【例3】(1)已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n＋n ，求该数列的前n 项和S n ；(2)已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ·2n，求该数列的前n 项和S n .分析：(1)所给数列虽然不是等差数列或等比数列，但在求该数列的前n 项和时可以把a n 看成一个等比数列和一个等差数列的和的形式，分别求和，再相加．(2)写出数列的前n 项和，注意其与等比数列形式类似，考虑用推导等比数列求和公式的方法来求其前n 项和．反思：(1)分组求和法适用于某些特殊数列的求和，这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式；(2)错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n 项和．题型四 等比数列前n 项和的实际应用【例4】为了保护某处珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙，设计时，为了与周边景观协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层……依此类推，到第十层恰好将大理石用完，问共需大理石多少块？每层各用大理石多少块？分析：设出共用大理石的块数，即可求出各层大理石的使用块数，通过观察，此即为一等比数列，通过等比数列求和，求出总块数，再求出每层用的块数．反思：对于实际问题，可以采用设出未知量的方法使之具体化．通过对前几项的探求，寻找其为等比数列的本质，再通过等比数列求和公式来求解．题型五 易错辨析【例5】已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n，n 为奇数，n ，n 为偶数，试求其前n 项和．错解：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n )＝－4n21－4＋n2×2＋n 2n2－2×2＝13·2n ＋1＋n 24＋n 2－23. 错因分析：这里数列的通项a n 是关于n 的分段函数，当n 为奇数或为偶数时对应不同的法则，因此求和必须对项数n 进行分类讨论．1在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和为( )．A ．2－128B ．2－129C ．2－1210 D ．2－1211 2等比数列的前n 项和S n ＝k ·3n＋1，则k 的值为( )．A ．全体实数B ．－1C ．1D ．33某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )．A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8C ．ap [(1＋p )7－(1＋p )] D ．a p[(1＋p )8－(1＋p )]4已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 1a 5＝16，则S 5＝________. 5在等比数列{a n }中，S n ＝65，n ＝4，q ＝23，则a 1＝________.6在等比数列{a n }中，S 3＝4，S 6＝36，求a n . 答案：基础知识·梳理1．na 1 a 1(1－q n )1－q na 1 a 1－a n q1－q【做一做1－1】A 由题意，知q ≠1，故有S 5＝44＝a 1(1－q 5)1－q，将q ＝－2代入解得a 1＝4.【做一做1－2】B 由a 5＝a 2·q 3，得q 3＝2439＝27，∴q ＝3，从而a 1＝3.∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3×(1－34)1－3＝120.2．q k (q ≠－1) q q n·S m 【做一做2】511 典型例题·领悟【例1】解：(1)a 6＝a 1q 5＝3×25＝96.S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝3(1－26)1－2＝189.(2)∵a 4＝a 1q 3，∴64＝－q 3.∴q ＝－4，∴S 4＝a 1－a 4q 1－q ＝－1－64×(－4)1－(－4)＝51.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，①②②÷①，得1＋q ＋q2q2＝3， ∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，a 1＝32；当q ＝－12时，a 1＝6.【例2】解：解法一：设{a n }的公比为q ，显然q ≠1.由已知条件可列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧10＝a 1(1－q 10)1－q，30＝a 1(1－q20)1－q，两式作商，得1＋q 10＝3，∴q 10＝2.∴S 30＝a 1(1－q 30)1－q＝a 1(1－q 10)1－q(1＋q 10＋q 20)＝10×(1＋2＋4)＝70.解法二：由性质S m ＋n ＝S n ＋q n·S m ，得S 20＝S 10＋q 10S 10，即30＝10＋10q 10，∴q 10＝2.∴S 30＝S 20＋q 20S 10＝30＋40＝70.解法三：运用性质S m 1－q m ＝S n1－qn (q ≠±1)．由已知条件S 10＝10，S 20＝30，易得q ≠±1，∴S 101－q 10＝S 201－q 20，即101－q 10＝301－q20.∴q 10＝2. 又S 101－q 10＝S 301－q30，解得S 30＝70. 解法四：运用性质S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k ，…成等比数列．∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，而S 10＝10，S 20＝30，∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(30－10)2＝10×(S 30－30)．∴S 30＝70. 【例3】解：(1)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(2n＋n )＝(2＋22＋23＋ (2))＋(1＋2＋3＋…n )＝2(1－2n)1－2＋(1＋n )n2 ＝2n ＋1－2＋(n ＋1)n 2.(2)∵S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴S n ＝n .2n ＋1－(2＋22＋23＋ (2))＝n ·2n ＋1－2(1－2n)1－2＝n ·2n ＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1＋2.【例4】解：设共用大理石x 块，则各层用大理石块数分别为第一层：x 2＋1＝x ＋22；第二层：x －x ＋222＋1＝x ＋24；第三层：x －x ＋22－x ＋242＋1＝x ＋28；……第十层：x －x ＋22－x ＋24－…－x ＋2292＋1＝x ＋2210.所以从第一层到第十层所用大理石的块数构成首项为x ＋22，公比为12，项数为10的等比数列，故x ＝x ＋22＋x ＋24＋…＋x ＋2210，解得x ＝2 046.答：共用去大理石2 046块，各层分别为1 024,512,256,128,64,32,16,8,4,2块． 【例5】正解：(1)当n 为奇数时，S n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n )＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n －1)＝2(1－4n ＋12)1－4＋n －12×2＋n －12(n －12－1)2×2＝13·2n ＋2＋n 24－1112. (2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n )＝2(1－4n 2)1－4＋n 2×2＋n 2(n2－1)2×2＝13·2n ＋1＋n 24＋n 2－23. 随堂练习·巩固1．B 设其公比为q ，∵a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝18.∴q ＝12.∴S 10＝1×(1－1210)1－12＝2－129.2．B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3k ＋1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝k ·3n －k ·3n －1＝2k ·3n－1.令3k ＋1＝2k 得k ＝－1.3．D 2005年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )7,2006年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )6，依此类推，则2011年存入的a 元到2012年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2012年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2＋…＋a (1＋p )7＝a (1＋p )[1－(1＋p )7]1－(1＋p )＝a p[(1＋p )8－(1＋p )]．4．315．27 S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝a 1[1－(23)4]1－23＝65，解得a 1＝27.6．解：∵S 33≠S 66，∴q ≠1.∴S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝4，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝36.两式相除，得1＋q 3＝9，∴q ＝2.将q ＝2代入S 3＝4，得a 1＝47.∴a n ＝47·2n －1＝2n ＋17.。
等比数列前n项和公式教案
一、教案基本信息等比数列前n项和公式教案课时安排：1课时教学目标：1. 理解等比数列的概念；2. 掌握等比数列前n项和的计算方法；3. 能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
教学内容：1. 等比数列的概念介绍；2. 等比数列前n项和的公式推导；3. 等比数列前n项和的计算方法讲解；4. 运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
教学方法：1. 讲授法：讲解等比数列的概念、公式及计算方法；2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用等比数列前n项和公式解决问题；3. 互动教学法：引导学生积极参与讨论，提高课堂氛围。
教学准备：1. PPT课件；2. 教学案例及练习题。
二、教学过程1. 导入：利用PPT课件展示等比数列的图片，引导学生思考等比数列的概念。
2. 等比数列的概念介绍：讲解等比数列的定义，引导学生理解等比数列的特点。
3. 等比数列前n项和的公式推导：利用PPT课件展示等比数列前n项和的公式推导过程，引导学生跟随步骤进行思考。
4. 等比数列前n项和的计算方法讲解：讲解等比数列前n项和的计算方法，引导学生理解并掌握公式的运用。
5. 运用等比数列前n项和公式解决实际问题：出示教学案例，引导学生运用所学知识解决实际问题，巩固知识点。
6. 课堂练习：出示练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
7. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的运用。
8. 课后作业：布置课后作业，让学生巩固所学知识。
三、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
四、教学评价通过课堂表现、课后作业和练习题的完成情况，评价学生对等比数列前n项和公式的掌握程度。
五、拓展延伸引导学生深入研究等比数列的性质，探索等比数列前n项和的性质，提高学生的数学思维能力。
六、教学活动设计1. 复习导入：复习等比数列的概念，引导学生回顾等比数列的特点。
2. 等比数列前n项和的公式回顾：简要回顾等比数列前n项和的公式，提醒学生注意公式的构成和运用。
等比数列前n项和公式教案
等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。
2. 引导学生通过观察、分析、归纳等比数列前n项和的公式。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念及基本性质。
2. 等比数列前n项和的公式推导。
3. 等比数列前n项和公式的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导及应用。
2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解与运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列前n项和的公式。
2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子体会等比数列前n项和公式的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入：回顾等差数列的前n项和公式，引出等比数列前n项和公式的探究。
2. 新课：介绍等比数列的概念及基本性质，引导学生观察等比数列的前n项和的特点。
3. 推导：引导学生通过观察、分析等比数列的前n项和，归纳出等比数列前n项和的公式。
4. 巩固：通过例题讲解，让学生掌握等比数列前n项和的公式的应用。
5. 拓展：引导学生思考等比数列前n项和公式的推广应用，提高学生的思维能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的关键点。
7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和性质的理解程度，以及学生对等比数列前n项和公式的掌握情况。
2. 练习题：布置课后练习题，检验学生对等比数列前n项和公式的应用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生对等比数列前n项和公式的理解深度和团队合作能力。
七、教学反思1. 教师总结：本节课结束后，教师应总结自己在教学过程中的优点和不足，如教学方法、课堂组织等。
2. 学生反馈：收集学生对等比数列前n项和公式的学习反馈，了解学生的掌握情况，为后续教学提供参考。
学案2：6.3 等比数列及其前n项和
6.3 等比数列及其前n 项和导学目标1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝______________.3．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________ (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则__________________________．(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n } (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．(4)单调性：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎨⎧ a 1<00<q <1⇔{a n }是________数列；⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎨⎧a 1<0q >1⇔{a n }是________数列；q ＝1⇔{a n }是____数列；q <0⇔{a n }是________数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1q n －1q －1＝a 1q n q －1－a 1q －1. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为______．自我检测1．“b ＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是 ( )A ．3B ．1C ．0D ．－1 3．设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1 (n ∈N *)，则f (n )等于 ( )A.27(8n －1)B.27(8n ＋1－1)C.27(8n ＋2－1) D.27(8n ＋3－1) 4．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －2，a ＋2，a ＋8，则a n 等于 ( )A ．8·⎝⎛⎭⎫32nB ．8·⎝⎛⎭⎫23nC ．8·⎝⎛⎭⎫32n －1D ．8·⎝⎛⎭⎫23n －1 5．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1 (n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.考点突破探究点一 等比数列的基本量运算例1 已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n .变式迁移1 在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，S n ＝126，求n 和q .探究点二 等比数列的判定例2 已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式以及S n .变式迁移2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．探究点三 等比数列性质的应用例3 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝8，且1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝2，求a 3.变式迁移3 (1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值；(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.渗透数学思想分类讨论思想与整体思想的应用例 (12分)设首项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为80，它的前2n 项和为6 560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的第2n 项．【答题模板】解 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1＝2S n .∵S 2n ＝6 560≠2S n ＝160，∴q ≠1，[2分]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 11－q n 1－q ＝80， ①a 11－q 2n1－q ＝6 560. ②[4分]将①整体代入②得80(1＋q n )＝6 560，∴q n ＝81.[6分]将q n ＝81代入①得a 1(1－81)＝80(1－q )，∴a 1＝q －1，由a 1>0，得q >1，∴数列{a n }为递增数列．[8分]∴a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n ＝81·a 1q＝54. ∴a 1q ＝23.[10分] 与a 1＝q －1联立可得a 1＝2，q ＝3，∴a 2n ＝2×32n －1 (n ∈N *)．[12分]【突破思维障碍】(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数的思想：等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a 11－q当成整体求解． 本题条件前n 项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将q n 和a 11－q n1－q 的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．课堂小结1．等比数列的通项公式、前n 项公式分别为a n ＝a 1q n －1，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 11－q n 1－q， q ≠1. 2．等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *) (q 是与n 值无关的常数)． (2)中项法：证明一个数列满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ∈N *且a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0)． 3．等比数列的性质：(1)a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)；(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ；(3)设公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若{a n}是等比数列，且a n>0，则{lg a n}构成等差数列．答案自主梳理1．公比 q 2.a 1·q n －1 4.(1)q n －m (2)a k ·a l ＝a m ·a n(4)递增 递减 常 摆动 6.q n自我检测1．D 2.B 3.B 4.C 5.－9例1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有a 1，a n ，q ，n ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2)本例可将所有项都用a 1和q 表示，转化为关于a 1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解 方法一 由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q 4＋2a 21q 6＋a 21q 8＝100，a 21q 4－2a 21q 6＋a 21q 8＝36. ①②①－②，得4a 21q 6＝64，∴a 21q 6＝16.③代入①，得16q 2＋2×16＋16q 2＝100. 解得q 2＝4或q 2＝14. 又数列{a n }为正项数列，∴q ＝2或12. 当q ＝2时，可得a 1＝12， ∴a n ＝12×2n －1＝2n －2， S n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12； 当q ＝12时，可得a 1＝32. ∴a n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝26－n . S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝64－26－n . 方法二 ∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 25，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 即⎩⎪⎨⎪⎧(a 3＋a 5)2＝100，(a 3－a 5)2＝36. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝8，a 5＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8. 当a 3＝8，a 5＝2时，q 2＝a 5a 3＝28＝14. ∵q >0，∴q ＝12，由a 3＝a 1q 2＝8， 得a 1＝32，∴a n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝26－n .S n ＝32－26－n ×121－12＝64－26－n . 当a 3＝2，a 5＝8时，q 2＝82＝4，且q >0， ∴q ＝2.由a 3＝a 1q 2，得a 1＝24＝12. ∴a n ＝12×2n －1＝2n －2. S n ＝12(2n －1)2－1＝2n －1－12.变式迁移1 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a n －1＝a 1·a n ＝128，a 1＋a n ＝66， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64.若⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2，则S n ＝a 1－a n q 1－q ＝64－2q 1－q ＝126， 解得q ＝12，此时，a n ＝2＝64·⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴n ＝6.若⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64，则S n ＝2－64q 1－q ＝126，∴q ＝2. ∴a n ＝64＝2·2n －1.∴n ＝6.综上n ＝6，q ＝2或12.例2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法：①a n ＋1a n ＝q (q 为与n 值无关的常数)(n ∈N *)． ②a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (a n ≠0，n ∈N *)．(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．(1)证明 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *，可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，所以a 2＋a 1＝2a 1＋6，又a 1＝5，所以a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *，又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2， 即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)得a n ＋1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n )1－2－n ＝6·2n －n －6.变式迁移2 (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.(2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2， 故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3 解题导引 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．解 由已知得1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝a 1＋a 5a 1a 5＋a 2＋a 4a 2a 4＋a 3a 23 ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5a 23＝8a 23＝2， ∴a 23＝4，∴a 3＝±2.若a 3＝－2，设数列的公比为q ，则－2q 2＋－2q－2－2q －2q 2＝8， 即1q 2＋1q＋1＋q ＋q 2 ＝⎝⎛⎭⎫1q ＋122＋⎝⎛⎭⎫q ＋122＋12＝－4.此式显然不成立，经验证，a 3＝2符合题意，故a 3＝2.变式迁移3 解 (1)∵a 3a 11＝a 27＝4a 7，∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝4，∵{b n }为等差数列，∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.(2)a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41q 6＝1.①a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8.②②÷①：a 41·q 54a 41·q 6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a41·q166＝a41·q6·q160＝(a41·q6)·(q16)10＝1·210＝1 024.。
高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和(3)学案(无答案)新人教B版必修5(202
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2。
3.2数列通项公式的常见求法一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列,当题中已知数列是等差数列或等比数列,在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项,只需求得首项及公差公比. 1、等差数列公式例1已知等差数列｛a n ｝满足a 2=0,a 6+a 8=—10 （I)求数列｛a n ｝的通项公式； 2、等比数列公式例2。
设{}n a 是公比为正数的等比数列,12a =，324a a =+。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式 3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式,求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n nn n 求解。
一般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。
二。
当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法例4、数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-,1012b =，则8a =A ．0B ．3C ．8D ．11例5、 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n+==++,求数列{}n a 的通项公式.2、叠乘法例6、在数列｛n a ｝中，1a =1, （n+1）·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式.3、构造法当数列前一项和后一项即n a 和a n-1的递推关系较为复杂时,我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）.具体有以下几种常见方法. （1）、待定系数法 (2）、倒数法一般地形如11n n n a a ka b--=+、n n n n a a a a -=⋅--11等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式. 例7.已知数列{}n a 满足：1111,31n n n a a a a --==+,求{}n a 的通项公式.例8、在数列｛n a }中，311=a ,并且对任意2,≥∈*n N n 都有n n n n a a a a -=⋅--11成立,令)(1*∈=N n a b nn ．（Ⅰ）求数列｛n b ｝的通项公式 ；（3）构造新数列例9、已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝。
等比数列的前n项和公式 学案(含答案)
第四章 数列4.3.2 等比数列的前n 项和公式学案一、学习目标1. 理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；2. 掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题. 二、基础梳理1.等比数列的前n 项和公式：当1q ≠时， ()11(1)1n n a q S q q-=≠-或1(1)1n n a a qS q q-=≠-. 2.等比数列的前n 项和的性质（1）当q =1时，n m s m s n =，当1q ≠±时，11nn mm s q s q-=-. （2）m n n m m n n m s s q s s q s +=+=+.（3）设s 偶与s 奇分别是偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n ，则s q s =偶奇，若项数为2n +1，则1s a q s -=奇偶.（4）当1q ≠-时，连续m 项的和（232m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅，，，）仍成等比数列，公比为2m q m ≥，，注意：连续m 项的和必须非零才能成立. 三、巩固练习1.已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，正项等比数列{}n b 满足1134,1b a b a ==+，则使61n b S +≥成立的n 的最大值为( ) A.5B.6C.7D.82.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，2q =，且第m 项至第()n m n <项的和为112，则m n +的值为( ) A.11B.12C.13D.143.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知{}n a 和{}n S k - (k 为常数)均为等比数列,则k 的值可能为( )A.1aB.2aC.3aD.13a a +4.5个数依次组成等比数列,且公比为2-,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A.2120-B.2-C.2110-D.215-5.已知n S 是等比数列{}n a 的前 n 项和,若存在*m ∈N ,满足22519,1m m mm S a m S a m +==-,则数列{}n a 的公比为( ) A.2-B.2C.3-D.36.已知等比数列{}n a 的公比2q =,前100项的和10090S =,则246100a a a a ++++=( )A.15B.30C.45D.607.（多选）已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则以下结论正确的是( ) A.01q << B.9910110a a -<C.100T 的值是n T 中最大的D.使1n T >成立的最大正整数数n 的值为1988. （多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，则下列结论中正确的是( ) A.20192020S S <B.2019202110S S ⋅-<C.2019T 是数列{}n T 中的最大值D.数列{}n T 无最大值答案以及解析1.答案：D解析：设等比数列{}n b 的公比为q ， 由题意可知当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-； 当1n =时，112a S ==，2,1,21,2,n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩213412,18b b a b q ∴==+==. 0n b >，2,2n n q b ∴=∴=，66264b ∴==，2651n ∴≥+，8n ∴≤，∴n 的最大值为8，故选D.2.答案：B解析：由已知，得()()11121121121212n m -⨯-⨯--=--，即()11422127m n m --+⋅-=⨯，则14122217m n m --+⎧=⎨-=⎩，解得57m n =⎧⎨=⎩，所以12m n +=，故选B. 3.答案：C解析：若公比1q =,则{}1,n n S k na k S k -=--不可能为等比数列,因此1q ≠,此时1111111n nn a q a q S k a k k q q q ⎛⎫---=-=+- ⎪---⎝⎭,只需101a k q -=-即可.A 选项,{}1n S a -的首项为0,不满足题意；B 选项, 1211011a a a q q q ⎛⎫-=-=⎪--⎝⎭,即211300124q q q ⎛⎫-=⇒-+= ⎪-⎝⎭不成立；C 选项,21311011a a a q q q ⎛⎫-=-= ⎪--⎝⎭,即23210101q q q q -=⇒-+=-,该方程必然有解,成立；D 选项,()2113111011a a a a q q q ⎛⎫-+=--= ⎪--⎝⎭,即()221101001q q q q q q--=⇒-+=⇒=-,不成立. 4.答案：C解析：由题意可设这5个数分别为,2,4,8,16a a a a a --,其中0a ≠,故奇数项和与偶数项和的比值为416212810a a a a a ++=---,故选C.5.答案：B解析：设数列{}n a 的公比为 q ,若1q =,则22mmS S =,与题中条件矛盾,故1q ≠.()()21211119,811m m mm m m a q S q q q S a q q--==+=∴=--.2132111518,3,8,21m m m m m a a q m q m q q a a q m --+====∴=∴=∴=-. 6.答案：D 解析：1001210090S a a a =+++=,设1399S a a a =+++,则241002S a a a =+++,100290,30S S S S ∴+==∴=,故24100260a a a S +++==.故选D.7.答案：ABD解析：9910010a a ->，991001a a ∴>，0q ∴>.99100101a a -<-，()()99100110a a ∴--<，又11a >，01q ∴<<.故A 正确.由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，2991011001a a a ∴=<，9910110a a ∴-<，1009910099T T a T =<，故B 正确，C 不正确.()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===>，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===<，∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确. 8.答案：AC解析：由题意，得20191a >，202001a <<，所以01q <<，等比数列{}n a 是各项都为正数的递减数列，即122019202010a a a a >>>>>>>.因为2020201920200S S a -=>，所以20192020S S <，故A 正确；因为20191220191S a a a =+++>，所以()()22201920212019201920202021201920192020202120191S S S S a a S S a a S ⋅=⋅++=+⋅+>>，即2019202110S S ⋅->，故B 错误；根据122019202010a a a a >>>>>>>，可知2019T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确，D 错误.故选AC.。
5.3.2 等比数列的前 n项和(学案)-2020-2021学年高中数学同步备课学案
5.3.2 等比数列的前 n 项和知识点归纳知识点一、等比数列的前n 项和公式等比数列的前n 项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 1－a n q1－qq ≠1知识点二、等比数列前n 项和的性质1．在等比数列的前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 中，如果令A ＝a 1q －1，那么S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔数列{a n }为等比数列．2．等比数列{a n }中，若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q (S 奇≠0)；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q (S 偶≠0).3．涉及S n ，S 2n ，S 3n ，…的关系或S n 与S m 的关系考虑应用以下两个性质(1)等比数列前n 项和为S n (且S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n (q ≠－1)．(2)等比数列{a n }的公比为q ，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m . 4．错位相减法(1)推导等比数列前n 项和的方法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ① 用公比q 乘①的两边，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ， ② 由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，整理得S n ＝a 1（1－q n ）1－q(q ≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1.典例分析一、等比数列前n 项和的基本计算 例1 在等比数列{a n }中，(1)若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n ； (2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5；(3)若a 3＝32，S 3＝92，求a 1和公比q .解析 (1)由S n ＝a 1(1－q n )1－q，a n ＝a 1q n －1以及已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧189＝a 1－2a n 1－2＝a 1－2×96－1，96＝a 1·2n －1，∴a 1＝3.又∵2n －1＝963＝32，∴n ＝6.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q 2)＝10，a 1q 3(1＋q 2)＝54.①②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得，q 3＝18，即q ＝12，∴a 1＝8.∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝⎛⎭⎫123＝1，S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝8×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝312.(3)当q ＝1时，S 3＝3a 1，a 3＝a 1＝32.∴3×32＝S 3＝92，∴a 1＝32，q ＝1.当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝92，a 3＝a 1·q 2＝32，∴32q 2(1＋q ＋q 2)＝92，∴q ＝－12，q ＝1(舍去)，∴a 1＝6. 综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，q ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝1. 答案 见解析二、等比数列前n 项和的性质例2 (1)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8＝( )A ．－30B ．40C ．40或－30D ．40或－50 (2)等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，－a 4成等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 6S 3＝______.解析 (1)S 4，S 8－S 4，S 12－S 8构成等比数列，所以(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)， 因为S 4＝10，S 12＝130，∴(S 8－10)2＝10(130－S 8)．解得S 8＝40.故选B ．(2)因为等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，－a 4成等差数列，所以a 1q 2－a 1q 3＝2a 1q 4,2q 2＋q －1＝0，q ＝12或q ＝－1(舍去)，S 6S 3＝S 3＋q 3S 3S 3＝1＋(12)3＝98.答案 (1)B(2)98自我测试1．已知在等比数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝96，S n ＝189，则n 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析 由a n ＝a 1q n －1，得96＝3q n －1，∴q n －1＝32＝25.令n ＝6，q ＝2，这时S 6＝3(1－26)1－2＝189，符合题意，故选C ．答案 C2．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析 ∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝－13a n ，∴{a n }为等比数列，q ＝－13，又a 2＝a 1·q ＝－13a 1＝－43，∴a 1＝4，∴S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．故选C.答案 C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A ．13 B ．－13 C ．19 D ．－19解析 由题知公比q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C.答案 C4．已知数列{a n }是首项a 1＝14的等比数列，其前n 项和为S n ，S 3＝316，若a m ＝－1512，则m 的值为( )A ．8B ．10C ．9D ．7 解析 设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 3＝34≠316，不符合题意，∴q ≠1.由⎩⎨⎧a 1＝14，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝316，得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝－12，∴a n ＝14×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1.由a m ＝⎝⎛⎭⎫－12m ＋1＝－1512， 得m ＝8.故选A. 答案 A5．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N *)，则f (n )＝( )A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27(8n ＋4－1) 解析 ∵f (n )可看作是以2为首项，23为公比的等比数列的前n ＋4项和，∴f (n )＝2[1－(23)n ＋4]1－23＝27(8n ＋4－1)．故选D. 答案D6．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ，则a 3a 5＝( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32解析 S 1＝1＋a ，∴a 1＝a ＋1，S 2＝2＋a ，a 2＝1，S 3＝4＋a ，a 3＝2， ∴a 22＝a 1a 3，即1＝2(a ＋1)，解得a ＝－12，∴S n ＝2n －1－12，∴a 4＝S 4－S 3＝4， ∴a 3a 5＝a 24＝16，故选C ． 答案 C7．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋a (a 为常数)，则数列{a n }是( ) A ．等比数列B ．仅当a ＝－1时，是等比数列C ．不是等比数列D ．仅当a ＝0时，是等比数列解析 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋a (n ＝1)，2×3n －1(n ≥2). 当a ＝－1时，a 1＝2适合通项a n ＝2×3n －1，故数列{a n }是等比数列． 当a ≠－1时，{a n }不是等比数列．故选B. 答案 B8．已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，若5S 2＝S 4，则log 4a 3的值为( )A ．1B ．2C ．0或1D ．0或2 解析 由题意得，等比数列{a n }中，5S 2＝S 4，a 1＝1， 所以5(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，即5(1＋q )＝1＋q ＋q 2＋q 3， q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q ＋1)(q 2－4)＝0，解得q ＝－1或±2， 当q ＝－1时，a 3＝1，log 4a 3＝0. 当q ＝±2时，a 3＝4，log 4a 3＝1. 综上所述，log 4a 3的值为0或1.故选C. 答案 C9．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16解析 ∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，∴S n ·(S 3n －S 2n )＝(S 2n －S n )2， 即2×(14－S 2n )＝(S 2n －2)2，解得S 2n ＝6或S 2n ＝－4(舍去)． 同理，(6－2)(S 4n －14)＝(14－6)2，解得S 4n ＝30. 答案 B10．在等比数列{a n }中，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q ＝________. 解析 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3.∴q ＝a 4a 3＝3.答案 311．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝___________.解析 因为a 3＝32，S 3＝92，所以a 1＋a 2＋a 3＝92，则a 1＋a 2＝3，所以32q 2＋32q ＝3，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或－12.答案12．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝22n a -，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1， ∴a n ＝3＋(n －1)×1，即a n ＝n ＋2.(2)由(1)知b n ＝2n ，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝21＋22＋…＋210 ＝2(1－210)1－2＝2046.答案 (1)n ＋2 (2)204613．求和：12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n .解析 设S n ＝12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n＝12＋322＋523＋724＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，① 则12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.② ①－②，得12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12－12n －1×121－12－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1，∴S n ＝3－2n ＋32n . 答案 3－2n ＋32n14．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋n －1}是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析 (1)由已知得a n ＋1＋na n ＋n －1＝2，又a 1＋1－1＝1，所以数列{a n ＋n －1}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)知：a n ＋n －1＝2n －1， a n ＝2n －1＋1－n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(1＋2＋…＋2n －1)－(1＋2＋…＋n －1) S n ＝(2n－1)－12(n 2－n )＝2n－n 2－n ＋22.答案 (1)首项为1，公比为2的等比数列 (2)2n－n 2－n ＋22。
等比数列前n项和(优秀版)word资料
等比数列前n项和（优秀版）word资料教学设计说明一、基本情况授课专业：金融事务专业课题名称：等比数列求和公式授课学时：1课时授课地点：多媒体教室二、课程背景课程地位：本节课是职高数学第二册第八章第三节第3课时的教学内容。
大纲要求：掌握等比数列前n项和公式，能利用前n项和公式进行基本计算。
选用教材：北京市教育委员会编，高等教育出版社出版的北京市各类中等职业学校试用教材数学第二册。
对教材的处理：开头添加了国际象棋棋盘堆放麦粒的故事引入新课，并把这个例子作为一条线贯穿始终，中间加入了单位换算，彻底解决了国王为什么拿不出这么多麦粒的深层次原因，很好的提高了学生持之以恒探究知识的能力。
最后加入了实际问题的教学，贴近了数学知识与学生实际生活的联系，调动了学生学习的积极性。
三、学生情况分析学生是职业高中一年级的学生，所学专业是金融事务专业优势：金融事务专业的学生相对我校其他专业的学生来讲，有一定的数学基础，大部分学生上课能主动参与课堂教学，积极回答问题，有学习的愿望。
劣势：职业高中的学生的特点是计算能力比较低，理解能力也比较低，因此，引入了计算器的使用，设计问题逐层深入，为学生掌握知识铺路，搭桥。
四、目标的确定1．课程教学目标本课程是中等职业学校学生必修的一门文化基础课程。
课程重基础，渗透现代数学的观点和方法，为学生的终身可持续发展奠定基础。
课程注意能力培养，突出实用。
通过知识的形成过程及其所体现的数学思想、数学方法培养学生的逻辑思维能力、数形结合能力、计算能力和解决简单实际问题的应用意识；通过将数学知识与身边生活实际、社会实际紧密结合，激发学生学习兴趣，培养学生的创新精神，提高学生独立思考，解决问题的能力。
2．本单元教学目标（1）知识目标理解等比数列前n 项和公式，掌握公式的简单应用.（2）能力目标通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、解决问题的能力，提高学生运用前n 项和公式解题的能力.（3）情感态度价值观目标通过公式的运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想.通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.五、重点、难点确定及分析教学重点：等比数列前n项和公式及应用教学难点：等比数列前n项和公式的推导对职业高中的学生，这节课的教学目的是理解等比数列前n 项和公式，掌握公式的简单应用，而错位相减法推导公式对我的学生理解上来讲比较困难。
数学等比数列的前n项和学案1必修5
一般地，设等比数列 它的前n项和是
由
得
∴当 时， ①或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝ ＝
（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
教学过程：
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P55“国王对国际象棋的发明者的奖励”
Ⅱ.讲授新课
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
批注
教学重点：等比数列的前n项和公式推导
教学难点：灵活应用公式解决有关问题
教学用具：投影仪
教学方法：经历等比数列前n项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
课题：2.5等比数列的前n项和（1）第课时总序第个教案
课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日
教学目标：
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
由 可得
= = 。
等比数列的前n项和公式教案
等比数列的前n项和公式经典教案一、教学目标：1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的前n项和的定义。
2. 通过探究等比数列前n项和的公式，培养学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。
3. 能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二、教学内容：1. 等比数列的概念及其性质。
2. 等比数列的前n项和的定义。
3. 等比数列前n项和公式的探究。
4. 等比数列前n项和公式的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导过程，以及公式的应用。
2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生自主探究等比数列前n项和公式。
2. 利用多媒体辅助教学，直观展示等比数列前n项和的图形，帮助学生理解。
3. 实例分析法，让学生通过解决实际问题，掌握等比数列前n项和公式的应用。
五、教学过程：1. 引入：回顾等差数列的前n项和公式，引导学生思考等比数列的前n项和能否也有类似的公式。
2. 等比数列的概念复习：回顾等比数列的定义及其性质。
3. 等比数列的前n项和的定义：引导学生理解等比数列前n项和的含义。
4. 探究等比数列前n项和公式：引导学生分组讨论，归纳总结等比数列前n项和公式。
5. 公式验证与应用：利用多媒体展示等比数列前n项和的图形，帮助学生理解公式。
并通过实例分析，让学生掌握公式的应用。
6. 总结与评价：对本节课的内容进行总结，对学生的学习情况进行评价。
7. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和前n项和公式的理解程度。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和思考过程，评估他们的合作能力。
3. 练习题解答：收集学生的练习题答案，评估他们对等比数列前n 项和公式的掌握情况。
七、教学拓展：1. 等比数列的极限：引导学生思考等比数列前n项和的极限值，为后续学习数列极限奠定基础。
(完整版)等比数列的前N项和优秀教案.docx
等比数列的前n 项和一．教材分析1.在教材中的地位和作用在《数列》一章中，《等比数列的前n 项和》是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前 n 项和》与《等比数列》的顺延，也是前面所学函数的延续，实质是一种特殊的函数。
而且还为后继深入学习提供了知识基础，同时错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前 n 项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用。
等比数列的前 n 项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。
在实际问题中也有广泛的应用，如储蓄、分期付款的有关计算。
2.教材编排与课时安排提出问题——解决问题——等比数列的前n 项和公式推导——强化公式应用（例题与练习）二．教学目标知识目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
能力目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。
情感目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观。
三．教学重点与难点：教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的应用。
教学难点：公式的推导方法(“错位相减” )和公式的灵活运用。
四．教学过程：（一）、复习回顾：（1）等比数列及等比数列通项公式。
复习回顾例题1：a n为等比数列，请完成下表除s n外的所有项a1a2a3a4⋯⋯q a n s n127⋯⋯11⋯⋯22241 3⋯⋯3答案如下：a1a2a3a4⋯⋯qa n s n133227⋯⋯33n11111⋯⋯11222232422n3111⋯⋯1133233n2（2）回等差数列前n 和公式的推程，是用什么方法推的。
（二）、情境入：国象棋起源于古代印度 .相国王要国象棋的明者 .个故事大家听？“ 在第一个格子里放上 1 麦粒，第二个格子里放上 2 麦粒，第三个格子里放上 4 麦粒，以此推 .每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个格子 .我足的麦粒以上述要求 .” 就是国象棋明者向国王提出的要求。
《等比数列的前n项和》教案
《5.3.2等比数列的前n项和》教案第一主讲人：第二参赛人：
教学反思：
1、职高数学所针对的教育教学的对象普遍基础较差，对数学的学习没有兴趣，
而兴趣是最好的老师，本节课采用观看电视连续剧片段引入，旨在调动学生的学习积极性，同样对于知识的归纳、推理也多采用小组讨论的方式，同样是为了最大程度地调动学生。
2、从教材上分析，本节内容是在刚学了等差数列的公式之后，所以在本课一开
始首先复习了等差数列，在等比数列的前n项和公式推导中，运用类比的思想更能被学生所接受。
3、学生的基础较差，在教法上，老师要适时的提示引导，在分组讨论的分组上
要妥善安排，优差搭配，以免讨论不了的尴尬局面。
适时安排学生上讲台分析小组的解题思路，加强他们的自信心。
等比数列前n项和教学教案
等比数列前n项和教学教案一、教学目标1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的前n项和的定义及公式。
2. 能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生运用数学知识解决问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念：等比数列是一种特殊的数列，每一项与它前一项的比是常数。
2. 等比数列的前n项和公式：等比数列的前n项和为$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比。
3. 等比数列前n项和的性质及应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念，等比数列前n项和公式的推导及应用。
2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解和运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过思考和讨论，自主探索等比数列前n项和的概念和公式。
2. 利用多媒体课件，生动形象地展示等比数列前n项和的过程，帮助学生直观理解。
3. 结合典型例题，引导学生运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
五、教学安排1. 第1课时：介绍等比数列的概念，引导学生自主探索等比数列前n项和的概念。
2. 第2课时：讲解等比数列前n项和公式，引导学生理解和运用公式。
3. 第3课时：通过典型例题，培养学生的解题能力，提高学生运用数学知识解决问题的能力。
4. 第4课时：课堂小结，巩固等比数列前n项和的知识点。
5. 第5课时：布置作业，加深学生对等比数列前n项和的理解和运用。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的等比数列案例，让学生理解等比数列前n项和的实际意义。
2. 数形结合：利用图表和图形展示等比数列前n项和的变化规律，帮助学生直观理解。
3. 小组合作：组织学生进行小组讨论和合作交流，共同探索等比数列前n项和的性质和应用。
七、教学过程1. 导入新课：通过回顾等差数列的前n项和知识，引导学生自然过渡到等比数列前n项和的学习。
2. 自主探究：让学生自主探索等比数列前n项和的定义和公式，引导学生通过思考和讨论得出结论。
高中数学苏教版《等比数列的前n项和》word学案
等比数列的前n 项和（1） 学案 班级 学号 姓名学习目标1.了解等比数列前n 项和的推导，2.掌握等比数列的前n 项和公式,并能运用公式解决知三求二问题. 课堂学习一、重点难点1.重点：等比数列的前n 项和；2.难点：等比数列的前n 项和公式的发现及推导．教学过程一、问题情境求和 633222221+⋅⋅⋅++++=S二、学生活动2.设等比数列{}n a 的首项1a ，公比为q ，如何求它的前n 项和为n S ？三、知识建构设等比数列}{n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S 。
①当 时，=n S 。
②当 时，=n S 。
四、典型例题例1：在等比数列n a 中，（1）已知114,2a q =-=，求10S ； （2）已知11,243,3k a a q ===，求k S .例2：在等比数列n a 中，36763,22S S ==，求n a .例3：求数列⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++,1,,813,412,211n n 的前n 项和.课后作业.1．（1）等比数列1,3,9,,2187的和为 ；（2）等比数列1,1,3,3-的前10项和为 . 2．在等比数列n a 中，93,48,2n n S a q ===，则项数n 等于 。
3. 在公比为整数的等比数列n a 中，如果142318,12,a a a a +=+=那么该数列的前8项 之和是 .4.在等比数列n a 中，162533,32a a a a +==，则6S 的值为 。
5. 在等比数列n a 中，公比为2q =，且30123302,a a a a =则36930a a a a = 。
6．已知数列{}n a 的通项公式为32(15)32(6)n n n n a n +≤≤⎧=⎨⋅≥⎩，则前n 项和n S = 。
7.若等比数列{}n a 的前n 项和为3n n S a =+，则a 的值为 。
8．根据下列条件，求等比数列n a 的前n 项和n S .(1)13,2,6a q n ===； (2) 1118,,;22n a q a ===9.在等比数列｛a n ｝中，（1）已知171.5,96,a a =-=-求q 和n S ；（2）已知5131,28q S ==-求1a 和n a ； （3）已知132,26,a S ==求q 和n a .10.求和：2311234(0)n n S x x x nx x -=+++++≠。
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64 5.3.2 等比数列的前 n 项和
一、学习目标：
1. 掌握等比数列的前 n 项和公式；
2. 能用等比数列的前 n 项和和公式解决实际问题；
3. 通过公式的探索、发现、体会观察、猜想、归纳、分析、推理的数学思维。
二、新知引入：
在棋盘放麦粒的故事中，国王要是满足大臣的愿望，需要分别在每个棋盘放上的麦粒数按从小到大的顺序排列可以得到如下数列：
1 ，
2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，...
1. 这是一个 数列；
2. 这个数列一共有 项，首项 a1= ，公比 q= .
3. 根据等比数列的通项公式 ，最后一格应放麦粒 粒。
思考： 按照大臣的要求，国王一共要拿出多少麦子呢？聪明的同学们，请你们帮助国王想一想：
1. 这个问题实际上是等比数列 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ，... 的求和问题：
S 1 21 22 23 24 263 ①
结合等比数列性质，若①式两边同时乘以 2 会得到什么？
S 64 ② 容易发现②式减去①式：
这些麦粒围绕地球可以将地球铺满 3cm
思考：1.刚才我们在计算规程中，为什么要让 S64 乘以 2？
2.我们刚才的计算过程是怎样的？你能根据刚才的计算过程推导出等比数列的一般求和公式吗？
新课点睛： 等比数列的前 n 项和公式：
1.当q 1 时，
2.当q 1 时，
Sn = = Sn =
实时反馈：
1. 在等比数列{a n } 中，若已知a 1 和公比q 和a 30 ，则S 30 的表达式是什么？
2. 在等比数列{a n } 中，若若已知a 1 和公比q ，则S 100 的表达式是什么？
例题 1：求等比数列 1,1 2 4 1 , , 的前 8 项的和. 8
例题 2.已知a 1 27 ， a 9 1 243 ， q 0,求这个数列的前 5 项和.。