数值传热学陶文铨第四章作业

4-1

解：采用区域离散方法A 时；网格划分如右图。内点采用中心差分123278.8

77

69.9

T T T === 22d T T=0dx - 有 i+1i 122+T 0i i T T T x ---=∆ 将2点,3点带入

321222+T 0T T T x --=∆ 即321209

T T -+= 432322+T 0T T T x --=∆4321322+T 0T T T x --=∆ 即4321209T T T -+-= 边界点4

（1）一阶截差 由x=1 1dT dx =，得 4313

T T -= （2）二阶截差 11B M M q x x x T T S δδλλ

-=++V 所以 434111. 1.36311

T T T =++ 即 43122293

T T -=

采用区域离散方法B 22d T T=0dx - 由控制容积法 0w e dT dT T x dT dT ⎛⎫⎛⎫--∆= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以代入2点4点有

322121011336

T T T T T ----= 即 239028

T T -= 544431011363T T T T T ----= 即 34599 02828

T T T -+=

对3点采用中心差分有 432

322+T 013T T T --=⎛⎫ ⎪⎝⎭ 即 2349901919

T T T -+= 对于点5 由x=1 1dT dx =，得 5416

T T -= （1）精确解求左端点的热流密度

由 ()21

x x e T e e e -=-+ 所以有 ()2200

20.64806911x x x x dT

e e q e e dx e e λ-====-

+=-=++ （2）由A 的一阶截差公式

（3）由B 的一阶截差公式

（4）由区域离散方法B 中的一阶截差公式：

通过对上述计算结果进行比较可得：区域离散B 有控制容积平衡法建立的离散方程与区域离散方程A 中具有二阶精度的格式精确度相当！ 4-3

解：将平板沿厚度方向3等分，如图

由题可知该导热过程可看作无限大平板的一维稳态有源导热问题，则控制方程为

x=0， T 0=75℃

x=0.1 dT =h(T-T )dx f λ-

1点 ，2点采用中心差分有

21022+T 0T T S x

λ

-+=∆ （1） 3

2122+T 0T T S x λ-+=∆ （2） 右端点采用一阶截差的离散

231f hx T T T x h λλ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝

⎭V （3） 右端点采用二阶截差的离散

代入（1）（2）（3）得

1223132280.6

2 5.67625T T T T T T T -=--=-= 解得123278.877

69.9T T T ===

代入（4）得

解得 12380.63

80.6675.1

T T T ===

精确解 22d T +S=0dx

λ （4） x=0， T 0=75℃ （5） x=0.1 dT =h(T-T )dx

f λ- （6）

代入数据积分的

将 x 1=10.13⨯，x 2=20.13⨯, x 3=0.1

T 1=80.56 T 2=80.56 T 3=75.1

通过比较可得右端点采用二阶截差的离散更接近真实值。 4-4

解:采用区域离散方法B 进行离散，如图

控制方程为

x=0， T 0=75℃

x=0.1 dT =h(T-T )dx f λ-

对1点进行离散得1对点进行离散得32

43482.935/2T T T T T x x --=

=∆∆10

21

02

T T T T S x x x λλ---+∆=∆∆

对2点进行离散得

对右端点采用附加源法的

本题中()p w e

a a x λ

δ== C S S =

代入数据，

T 1= 82.4℃ T 2= 84.87 ℃ T 3=81.7℃

由Fourier 导热定理

得 482.935T =

4-12

function x=zhuiganfa

A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];

B=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9];

C=[1 2 3 4 5 6 7 8 10 0];

D=[3;11;25;45;71;103;141;185;235;190];

n=length(A);

u0=0;y0=0;B(1)=0;

%追得过程

L(1)=A(1)-B(1)*u0;

y(1)=(D(1)-y0*B(1))/L(1);u(1)=C(1)/L(1); for i=2:(n-1)

L(i)=A(i)-B(i)*u(i-1);

y(i)=(D(i)-y(i-1)*B(i))/L(i);

u(i)=C(i)/L(i);

end

L(n)=A(n)-B(n)*u(n-1);

y(n)=(D(n)-y(n-1)*B(n))/L(n);

%赶的过程

x(n)=y(n);

for i=(n-1):-1:1 x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1); end