中考压轴题分类专题六《抛物线中的圆》1

中考压轴题分类专题六——抛物线中的圆
例1、已知如图，过O 且半径为5的⊙P 交x 的正半轴于点M （2m ，0）、交y 轴的负半轴于点D ，弧OBM 与弧OAM 关于x 轴对称，其中A 、B 、C 是过点P 且垂直于x 轴的直线与两弧及圆的交点.
（1）当m =4时，
①填空：B 的坐标为 ，C 的坐标为 ，D 的坐标为 ；
②若以B 为顶点且过D 的抛物线交⊙P 与点E ，求此抛物线的函数关系式和写出点E 的坐标； ③除D 点外，直线AD 与②中的抛物线有无其它公共点？并说明理由．
（2）是否存在实数m ，使得以B 、C 、D 、E 为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
D
C
B
A
P
M
O y x
例2、在ABC ∆中，90A ︒
∠=，4,3AB AC ==，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作
//MN BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM x =． （1）用含x 的代数式表示MNP ∆的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？
（3）在动点M 的运动过程中，记MNP ∆与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
A
B
C
M
N
D
图 2 O
A
B
C
M
N
P
图 1
O A
B
C
M
N
P
图 3
O
C O
D E
A
B
O
例3、如图，在RT ∆ABC 中，∠C=90
(∠A>∠B)。

它的两个锐角正弦值恰为方程
0)1(242=++-m x m x 的两根。

他的内切圆半径为13-，抛物线c bx ax y ++=2过A 、B 、C 三点
(1).求m 的值
(2).求抛物线的解析式
(3).在抛物线上是否存在点P,使APB S ∆=83,若存在，求出P 的坐标，若不存在说明理由 如图，直线y =－
3
3
x +1与两轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边长在第一象限内作正三角形ABC.圆O '为∆ABC 的外接圆与x 轴交于另一点E (1).求C 点坐标
(2).求过C 点与AB 中点的直线的解析式
(3).求过点E 、O '、A 三点的二次函数的解析式
C
A F O
B D 例4、如图，在平面直角坐标系中，圆D 与y 轴相切于点C(0,4).与x 轴相交于A 、B 两点，且AB=6 (1).求sin ACB 的值
(2)求经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式
(3)设抛物线的顶点为F,判断直线FA 与圆D 的关系
例5、如图8，抛物线y = ax 2 + bx + c 经过A （1，0）、B （5，0）两点，最低点的纵坐标为–4，与y 轴交
于点C 。

（1）（3分）求该抛物线的函数解析式；
（2）（3分）如图8 -1，若△ABC 的外接圆⊙O 1交y 轴不同于点C 的点D ，且CD = AB
， 求tan ∠ACB 的值。

（3）（4分）如图8 – 2，设⊙O 1的弦DE//x 轴，在x 轴上是否存在点F ，使△OCF 与△CDE 相似？若存
在，求出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由。

x y C D O A B O 1 图8 - 1 ⌒ ⌒ x y C D O A B E O 图8-2
例6、抛物线2
y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为1x =，
(3,0)B ,(0,3)C -.
（1）求二次函数2
y ax bx c =++的解析式；
（2） 在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．
· O
x
y
A ·
C B 1
例7、已知抛物线y=－x 2－2kx+3k 2（k>0）交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C ,以AB 为直径的⊙E 交y 轴于点D 、F (如图),且DF=4,G 是劣弧AD 上的动点(不与点A 、D 重合),直线CG 交x 轴于点P . (1) 求抛物线的解析式;
(2) 当直线 CG 是⊙E 的切线时,求tan ∠PCO 的值.
(3) 当直线CG 是⊙E 的割线时,作GM ⊥AB ,垂足为H ,交PF 于点M ,交⊙E 于另一点N ,设MN=t,GM=u,求u 关于t 的函数关系式. Y G
P
A
E
F
O
D
C
X Y P
H F
C G
A
E M
O
D
B
X
N
例8.（2010深圳中考）如图10，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直
线y ＝－
33 x － 533
与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（3分）
（2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP :PH ＝3:2，求cos ∠QHC 的值；（3分） （3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于
点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．（3分）
x
D A
B H
C
E
M O F
图10
x
y
D A B H
C
E
M O 图11
P
Q
x
y
D
A
B
H
C E
M O F 图12
N
K
y。