数学必修四人教A版 2.3.4平面向量共线的坐标表示(教、学案)

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人教A版2019高中数学必修4讲义：第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示_含答案

2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )A ．(2,1)B ．(－1,2)C ．(6,10)D ．(－6,10)答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案] A(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线．又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)， ∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.一般是看AB 与BC AB 与AC AC BC AC BC AB λBC ，或AB ＝λAC 设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB 与CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB 与CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又AB 与CD 方向相同，所以x ＝2.此时，AB ＝(2,1)，BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB 与BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP＝t OB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－OA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC＝OC－OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)，且向量CP ，CA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23 D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0，即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)， ∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线．AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )，DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)．又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)，由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

高中数学第2章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示教案含解析新人教A版必修4

2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb ．(2)如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b≠0)共线．思考：两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标条件能表示成x 1x 2＝y 1y 2吗？[提示] 不一定，x 2，y 2有一者为零时，比例式没有意义，只有x 2y 2≠0时，才能使用．1．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8) D [AB →＝(1，2)，根据平行条件知选D.] 2．下列各对向量中，共线的是( ) A ．a ＝(2，3)，b ＝(3，－2) B ．a ＝(2，3)，b ＝(4，－6) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(1，2) D ．a ＝(1，2)，b ＝(2，2)D [A ，B ，C 中各对向量都不共线，D 中b ＝2a ，两个向量共线．] 3．已知a ＝(－3，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝．－4 [∵a ∥b ，∴6－3＝y2，解得y ＝－4.] 4．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝．－9 [AB →＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)，∵A ，B ，C 三点共线，即AB →∥AC →，∴－8(y ＋6)－8×3＝0，解得y ＝－9.]【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断． (2)判断向量AB →，CD →平行→无相关点→AB ∥CD(1)D [A 中，－2×6－3×4≠0，B 中3×3－2×2≠0，C 中1×14－(－2)×7≠0，D 中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.](2)[解] ∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， CD →＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0， ∴AB →∥CD →.又AC →＝(2，6)，AB →＝(2，4)， ∴2×4－2×6≠0， ∴A ，B ，C 不共线， ∴AB 与CD 不重合， ∴AB ∥CD .向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线． [证明] AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b 与非零向量a 共线等价于b ＝λa (λ>0，b 与a 同向；λ<0，b 与a 反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k ，再利用b ＝λa 判定同向还是反向． [解] 法一：(共线向量定理法)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：(坐标法)由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )，所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路： (1)利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解． (2)利用向量平行的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝． 12[由题可得2a ＋b ＝(4，2)， ∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即λ＝12.故答案为12.]等于( )A ．3B ．－3C ．－45D ．45(2)如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．思路点拨：(1)先由a ∥b 推出sin α与cos α的关系，求tan α，再用“1”的代换求2sin αcos α.(2)要求点P 的坐标，只需求出向量OP →的坐标，由OP →与OB →共线得到OP →＝λOB →，利用AP →与AC →共线的坐标表示求出λ即可；也可设P (x ，y )，由OP →∥OB →及AP →∥AC →，列出关于x ，y 的方程组求解．(1)C [因为a ∥b ，所以cos α×1－(－2)sin α＝0，即cos α＝－2sin α，tan α＝－12，所以2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝－45.] (2)[解] 法一：(定理法)由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)，AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)．由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：(坐标法)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3，3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤3.如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．[解] 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.因为AM →∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.1．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，如何求线段P 1P 2的中点P 的坐标？提示：如图所示，∵P 为P 1P 2的中点，∴P 1P →＝PP 2→， ∴OP →－OP 1→＝OP 2→－OP →，∴OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴线段P 1P 2的中点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.2．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则P 点坐标是什么？提示：点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，分两种情况：①当P 1P →＝13P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 23，2y 1＋y 23；②当P 1P →＝23P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋23P 1P 2→＝OP 1→＋23(OP 2→－OP 1→)＝13OP 1→＋23OP 2→ ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，y 1＋2y 23.3．当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标是什么？提示：∵OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， ∴OP →＝OP 1→＋λOP 2→1＋λ＝11＋λ(x 1，y 1)＋λ1＋λ(x 2，y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λx 1，11＋λy 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λx 2，λ1＋λy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 【例4】已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．思路点拨：点P 在直线AB 上，包括点P 在线段AB 内和在线段AB 的延长线上，因此应分类讨论．[解] 设P 点坐标为(x ，y )， |AP →|＝2|PB →|.当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8， ∴P 点坐标为(－5，8)．综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0或(－5，8)．1．若将本例条件“|AP →|＝2|PB →|”改为“AP →＝3PB →”其他条件不变，求点P 的坐标． [解] 因为AP →＝3PB →，所以(x －3，y ＋4)＝3(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3－3x ，y ＋4＝6－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.2．若将本例条件改为“经过点P (－2，3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB →|＝3|AP →|”，求点A ，B 的坐标．[解] 由题设知，A ，B ，P 三点共线，且|AB →|＝3|AP →|，设A (x ，0)，B (0，y )， ①点P 在A ，B 之间，则有AB →＝3AP →， ∴(－x ，y )＝3(－2－x ，3)，解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)． ②点P 不在A ，B 之间，则有AB →＝－3AP →，同理，可求得点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)．综上，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)．求点的坐标时注意的问题(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．若点P 是P 1P 2的中点时，则P (x ，y )为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)求线段P 1P 2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．(3)若P 1P →＝λP 1P 2→，(λ≠0) ①0＜λ＜1时，P 在线段P 1P 2上； ②λ＝1时，P 与P 2重合；③λ＞1时，点P 在线段P 1P 2延长线上；④λ＜0时，点P 在线段P 1P 2反向延长线上．1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．下列说法不正确的是( )A ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2. B ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2≠x 2y 1，则a 与b 不共线． C ．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量． D ．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝－9.A [A 中，x 2或y 2为零时，比例式无意义，B 、C 很明显都正确；D 中AB →∥BC →，由AB →＝(－8，8)，BC →＝(11，y －2)，则－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.∴D 正确．]2．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 可以是( ) A ．(1，－2) B ．(9，3) C ．(－2，4)D ．(－4，－8)D [由题意，得AB →＝(1，2)，所以a ＝λAB →＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D 项，故选D.]3．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于． (－4，－8) [∵a ∥b ，∴1×m －(－2)×2＝0，∴m ＝－4，∴a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)， ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]4．设O 是坐标原点，OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，又A ，B ，C 三点共线，∴由两向量平行，得(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0，解得k ＝－2或k ＝11.即当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．。

人教A版高中数学必修四课件第二章2.3.4平面向量共线的坐标表示(共30张)

(D )
前置学习
2．已知 a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若 a∥b，则 y 的值是 ( D )
A．1
B．－1
C．4
D．－4
解析 ∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.
前置学习
3．若点 A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则使A→B＝λB→C
成立的实数 λ 的值为
即(1,2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ)．
∴2λmλ＝－12，λ＝2.
⇒λ＝12， m＝6.
即 m＝6 时，A，B，C 三点共线．
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．
解设 P 点坐标为(x，y)． ∵|A→P|＝2|P→B|，∴A→P＝2P→B或A→P＝－2P→B. 当A→P＝2P→B时，(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴D 为 BC 的中点， ∴A→G＝23A→D＝2312A→B＋12A→C ＝13A→B＋13A→C， ∴ ＝OO→→GA＋＝13O→(AO→＋B－A→GO→＝A)O＋→A13＋(O→13CA→－B＋O→A13A)→＝C 13(O→A＋O→B＋O→C) ＝x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3.
探究点三共线向量与线段分点坐标
＝1 时，P 为线段 P1P2 的中点；
当 λ∈ (－∞，－1)
时，P 位于线段 P1P2 的延长线上；
当 λ∈ (－1,0)
时，P 位于线段 P1P2 的反向延长线上.
探究点一平面向量共线的坐标表示 a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得 a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？

人教版高中数学高一A版必修4导学案平面向量共线的坐标表示

2．3.4 平面向量共线的坐标表示1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．能用向量的坐标表示判定向量共线，会用向量的坐标表示证明三点共线．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当______________时，a ∥b.(1)线段中点坐标公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 中点的坐标是M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. (2)若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 【做一做】下列各组向量中，共线的是( )A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2)C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)答案：x 1y 2－x 2y 1＝0【做一做】 D1．对向量共线条件的理解剖析：(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，由x 1y 2－x 2y 1＝0成立，可判断a 与b 共线；反之，若a 与b 共线，它们的坐标应满足x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，故在x 2y 2≠0的条件下，a 与b 共线的条件可化为x 1x 2＝y 1y 2，即两向量共线的条件为相应坐标成比例． 2．三点共线问题剖析：(1)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则A ，B ，C 三点共线的条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.(2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：①直接利用上述条件，计算(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)是否为0.②任取两点构成向量，计算出两向量如AB →，AC →，再通过两向量共线的条件进行判断．3．两个向量共线条件的表示方法剖析：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)当b ≠0时，a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．通过这种形式较容易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．题型一已知向量共线，求参数的值【例1】已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？分析：先由向量a ，b 求得向量k a ＋b 与a －3b ，再根据向量平行的条件列方程组求得k 的值，进而判断两向量的方向．反思：已知两向量共线，求参数的问题，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标中，二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示(如本题)，解题时需根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立方程求解．题型二三点共线问题【例2】求证：A (1,5)，B ⎝⎛⎭⎫12，4，C (0,3)三点共线．分析：可转化为证明AB →∥AC →.反思：证明三点共线的常见方法有：(1)证得两条较短的线段长度之和等于第三条线段的长度；(2)利用斜率；(3)利用直线方程即由其中两点求直线方程，再验证第三点在这条直线上；(4)利用向量共线的条件，如本题．其中方法(4)是最优解法．题型三求点或向量的坐标【例3】已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标．分析：设出点M 的坐标，利用待定系数法求得．利用A ，B ，M 三点共线且|AM →|＝3|MB→|，结合图形确定AM →＝λMB →中λ的值，利用向量相等的条件列方程组求解．反思：在求点或向量的坐标时，要充分利用两个向量共线的条件，要注意方程思想的应用，建立方程的条件有向量共线、向量相等等．题型四易错辨析【例4】已知a ＝(3,2－m )与b ＝(m ，－m )平行，求m 的值．错解：由题意，得3m ＝2－m －m，解得m ＝5. 错因分析：本题中，当m ＝0时，b ＝0，显然a ∥b 成立．错解原因在于利用坐标比例形式判断向量共线的前提是m ·(－m )≠0，由于疏忽了这一前提，造成了转化不等价．反思：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a 与b 共线的条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.要注意与条件x 1x 2＝y 1y 2的区别，应用x 1x 2＝y 1y 2时，分母应不为零．答案：【例1】解：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )，即(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行．这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )， ∵λ＝－13＜0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．【例2】证明：由A (1,5)，B ⎝⎛⎭⎫12，4，C (0,3)，得AB →＝⎝⎛⎭⎫－12，－1，AC →＝(－1，－2)．又－12×(－2)－(－1)×(－1)＝0， ∴AB →与AC →共线且有一个公共点A .∴A ，B ，C 三点共线．【例3】解：设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →|，则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x ，9－y )．当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得x ＝214，y ＝8. 当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x ，9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得x ＝152，y ＝11. ∴点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫214，8或⎝⎛⎭⎫152，11. 【例4】正解：∵a ∥b ，∴3(－m )－(2－m )m ＝0，解得m ＝0或m ＝5.1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A ．13B ．－13C ．9D ．－92．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．若向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，则当x ＝________时，a 与b 共线且方向相同．4．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且1||PP ＝22||3PP .求点P 的坐标．5．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件．答案：1．D AB ＝(－8,8)，BC ＝(11，y －2)，则AB ∥BC ，所以－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.2．D a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，则3(4x －2)－6(1＋x )＝0，解得x ＝2.3．2 ∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ∥b ，则x 2－4＝0，即x 2＝4，∴x ＝±2.当x ＝－2时，a 和b 方向相反．当x ＝2时，a 与b 方向相同．4．解：设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有1PP ＝223PP . 又1PP ＝(x －2，y ＋1)，2PP ＝(－1－x,3－y )，由题意得22(1),321(3),3x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩解得4,53,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P 坐标为43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 5．分析：转化为求A ，B ，C 不共线时m 满足的条件．解：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线．又AB ＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)，故知3(1－m)≠2－m，∴m≠12.∴m满足的条件为m≠12.。

高中数学新人教版A版精品教案《2.3.4 平面向量共线的坐标表示》

平面向量共线的坐标表示教学设计点评导学案：做的比较好的个人，小组予以表扬加分。

首先带领大家解读本节课的学习目标：1.掌握向量共线的坐标表示；学会根据向量的坐标判断向量是否共线；了解中点坐标公式.2.在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件.3.了解数学知识体系的延伸、变迁与发展，并体会运用数学知识解决实际问题的方法. 学习重难点使用坐标方法判断向量的共线.运用向量共线的坐标表示，用向量解决等分点的有关问题.复习回顾，知识梳理：1. 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可得，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。

这样，平面内的任一向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）y上式叫做向量的坐标表示。

其中的x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标。

2. 向量的坐标运算：，探究环节：探究一：向量共线的坐标表示向量的运算以及相等关系都可以用坐标表示，向量共线关系（向量共线定理）能否用坐标表示？若能，请写出表示过程设a =（x 1, y 1），b =（x 2, y 2），其中b ≠a ∥b ⇔问题: 上述过程中，λ是怎样消去的？当用坐标表示向量共线时，是否要求b ≠0？向量共线的两种表示形式各有什么特点？例1: 已知a =（4，2），b =（6，y ），且a ∥b ，求y22()b x y =，11()a x y =，12121212()()(,)a b x x y y a b x x y y a x y λλλ+=++-=--=，，11222121(,),(,),(,).A x yB x y AB x x y y =--若则思考 1: 本题中的a ，b 是同向还是反向？说出你的理由.2: 已知a =（2，-1），b =（x, 2）,c =(-3, y), 且a ∥b ∥c ，求x, y探究二：三点共线的判断例2 已知A （-1，-1），B （1，3），C （2，5），试判断A ，B ，C 之间的位置关系三点共线有哪些证法？请写下归纳小结：变式：判断下列各组的点是否共线：（1）7(1,2) (3,4)2,2A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、、；（2）1(9,1) Q(1,3)8,2P R ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、探究三：中点坐标公式例3：设点P 是线段P 1 P 2上的一点，P 1，P 2 的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2（1）当P 是线段P 1 P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当P 是线段P 1 P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标。

高二数学(人教A版)必修4精品教案—2.3.4平面向量共线的坐标表示

2. 3.4 平面向量共线的坐标表示教学目标：1．复习巩固平面向量坐标的概念和平面向量的坐标运算；2．能说出平行（共线）向量充要条件的坐标表示，并会用它解决向量平行（共线）的有关问题；3．弄清向量平行和直线平行的区别．教学重点：向量平行的充要条件的坐标表示．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解教学过程【提出问题】①如何用坐标表示两个共线向量?②已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，且向量a、b共线，试证明：x1 y2—x2 y1= 0。

③已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，且x1 y2—x2 y1= 0试证明：向量a、b共线。

【得出结论】当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.从而向量共线有两种表述形式:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔x1 y2—x2 y1= 0【应用示例】例1、已知a=(4,2), b=(6,y),且a∥b,求y.练习1：已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.例2、设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.练习2：①已知=(2,3),=(6,-3),点P是线段AB的三等分点，求P点坐标。

②已知A(2,3)，B（4，-3）点P在线段AB的延长线上，,求P点坐标。

例3、在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.练习3、已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,OP=OA+t AB.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.【课堂小结】1、复习平面向量的和、差、数乘的坐标运算。

2、学习两个向量共线的坐标表示.3、总结本节学习的数学方法和思想方法。

高中数学必修四《平面向量共线坐标表示》优秀教学设计

课题：平面向量共线坐标表示学习目标 1.知识与技能：1.知识与技能：掌握两个向量平行（共线）的基本定理，能根据定理判断两个向量是否平行（共线）2.过程与方法：体会转化思想。

3.情感态度价值观：培养学生分析问题，解决问题的能力。

学习重点两向量共线的条件学习难点两向量共线的条件课前预习案学习疑问1、向量平行（共线）：（1）定义：如果向量的基线相互平行或重合，则称这些向量规定：零向量与任何向量共线（平行）（2）向量共线的条件（平行向量基本定理）如果a b λ=，则。

反之，如果,a b 且0b ≠，则一定存在唯一一个实数，使课中探究案总结提升 1、给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量如果向量a 的单位向量记作0a ，则0aa a =，注意与向量a 共线的单位向量为0aa a =±2、平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2、y2），其中b ≠0，当且仅当时，a ∥b 。

课后训练案练习:1、把下列向量a 表示为数乘向量b 的形式（1）3a e =，6b e =- （2）23a e =，13b e =- （3）8a e =，16b e =2、已知：在ABC 中，11,33AM AB AN AC == 求证：MNBC ,并且BC MN 31=4、已知四边形ABCD 中，2,4,53,AB a b BC a b CD a b =+=--=--其中,a b 不共线，试判断三角形的形状5、数轴上两点A,B,的坐标分别是12,x x ，根据下列各题中的条件，求点A 的坐标1x（1）23,5x AB == (2) 24,3x BA ==-（3）25,2x BA =-=学习反思教师寄语：让过程更加完美，让结局不留遗憾!!。

【新导学案】高中数学人教版必修四：234《平面向量共线的坐标表示》.doc

2. 3.4《平面向量共线的坐标表示》导学案【学习目标】：1.会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；2.能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。

3.通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【学法指导】通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示的'充要条件进行预算.【知识链接】：1、 __________________________________________________________________ 知识冋顾：平面向量共线定理 _____________________________________________________________ .2.平面向量共线的坐标表示：设5=(x b yi) b =(x2, y2)( 其中b ,则a // b (5 ) o _________________________ .三、提出疑惑同学们，通孙你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中【学习过程】1.思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数入使得b = \a,那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设5=(x b yO, b =(x2, y2)( brO)其中b由a = \b，得_____________________ ，即________________________，消去入后得：____________________________ •__ .这就是说，当且仅当__________________ 时，向量运与5 共线.2.典型例题例 1 己知a = (4,2), b = (6,y),且d//5,求y.例2：己知A(—1, —1), B(l,3), C(2,5),求证A、B、C 三点共线.例3:设点P是线段P|P2±的一点，Pi、P?的坐标分别是(xi，yj, (x2, y2).(1)当点P是线段Pf,的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段P|P?的一个三等分点吋，求点P的坐标.【学习反思】1.平面向屋共线充要条件的两种表达形式是什么？2.如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行?3.判断两直线平行与两向量平行有什么异同？［基础达标］_ 一1.己知AB.= a^5 b , BC=—2a+Sh , CD =3. ( a —b )贝ij ( )A. A、B、D三点共线 B .A、B、C三点共线C. B、C、D三点共线D. A、C、D三点共线2•若向量5=(-1, x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，则x为________ .3 一 1 -一3.设a = (—,sina), b = (cosa,-), ae (0,2^),且d//b,求角 a.2 3【拓展提升】1.若3=(2, 3), b =(4, -1+y)，且a // b ,则y=( .)A.6B.5C.7D.82.若A(x, -1), B(l, 3), C(2, 5)三点共线，则尤的值为( )A.-3B.-\C.lD.33.若AB =i+2/, DC =(3-x)i+(4-y)/(其中i、/的方向分別与x、y轴正方向相同且为单位向量).AB 与说共线，则x、y的值可能分别为()A.1, 2B2, 2 C.3, 2 D2 44.已知3=(4, 2), b =(6, y),-且万〃/?,则严________________ .5.已知5=(1, 2), b =(x, 1),若a+2b与2&•方平行，则x的值为______________6•已知A(-l, -1), B(l, 3), C(l, 5) , D(2, 7),向量亦与而平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？参考答案：1. C2.B3.B4.35.0.56.解:••⑷ 讥1》3<1)K>, 4) , CD =(2-1, 7-5H1, 2)又\*2X2-4X1=O•\AB//CD又•・•5-(-l)Xi 6，4), 2X4-2XfeO ・••虫C 与AB ^4C=(l-(-l>•3 B, C丙壤・・・AB与CD不重合・・・AB〃CD.赠:我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。

高中数学必修四(人教新A版)教案20共面向量共线的坐标表示

教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
（一）创设情景，揭示课题
1．平面向量的坐标运算公式
2．向量的数乘运算
3.平面向量的共线定理
4.请说出下列各组中两向量的位置关系(共线或不共线),并指出它们的特点.
（二）研探新知
1.向量共线定理的坐标形式
学生回忆概念
学生完成
高中数学必修四课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
如果用坐标表示，可写为
消去可得
思考：若，能得到与共线吗？
（三）质疑答辩，排难解惑
例1.பைடு நூலகம்
例2.已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，
(x2，y2).⑴当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
是什么?
（三）巩固练习：
4． 4、5
在充分独立思考的基础上，进行小组讨论.
教
学
小
结
（1）根据向量的坐标，判断向量是否共线
（2）能用平面向量共线解决平面几何问题.
课后
反思
高中数学必修四课时教案
备课人
授课时间
课题
§2.3.4平面向量共线的坐标表示
课标要求
平面向量共线的坐标表示
教
学
目
标
知识目标
会用坐标表示平面向量共线条件
技能目标
通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用
情感态度价值观

新人教A版必修4高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示学案

高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A 版必修4【学习目标】1、理解平面向量的坐标的概念；2、掌握平面向量的坐标运算；3、会根据向量的坐标,判断向量是否共线.【重点难点】教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解。

【学习内容】平面向量的坐标运算一、预习导航：预习时完成下列题目,试试你的身手.(一)温故而知新：1、平面向量基本定理：如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a = .(1) 我们把向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一,关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底1e ,2e 的条件下进行分解；(4) 基底给定时,分解形式 . λ1,λ2是被a ,1e ,2e 唯一确定的数量.(二)阅读课本,完成下列题目1)若11(,)a x y =22(,)b x y =,则a b += ,a b -= 语言叙述：(2)若),(y x a = 和实数λ,则=a λ(3) 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=语言描述：(三)试试你的自学能力1、已知向量a ,b 的坐标,求b a +,b a -的坐标：(1)、)4,2(-=a ,)2,5(=b(2)、)3,4(=a ,)8,3(-=b2、已知)2,3(=a ,)1,0(-=b,求b a 42+-,b a 34+的坐标3、已知A (1,2)、B (－1,3)两点的坐标,求AB ,BA 的坐标二、课堂听评：你能掌握要领,提高能力吗？例1：已知a =(2,1),b =(－3,4),求a +b ,a －b ,3a +4b 的坐标.例2：已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C (3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4：已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AC AB AP λ+=(λ∈R),试求λ为何值时,点P 在第三象限内?。

人教版数学高一A版必修4学案平面向量共线的坐标表示

2.3.4 平面向量共线的坐标表示问题导学一、向量共线的坐标运算活动与探究1已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？迁移与应用1．已知平面向量a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，则3a ＋2b ＝( )A ．(－1,7)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(1，－2)2．已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，－4)，判断AB 与CD 是否共线．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0．当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．对条件的理解有两方面的含义：由x 1y 2－x 2y 1＝0，可判定a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则x 1y 2－x 2y 1＝0．二、三点共线问题活动与探究2向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？迁移与应用1．若点A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，C (x,1)共线，则x ＝__________． 2．已知OA ＝(1,1)，OB ＝(3，－1)，OC ＝(a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．三、向量共线坐标表示的应用活动与探究3在△AOB 中，已知点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．迁移与应用1．已知a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，若a ∥b ，则tan θ＝__________．2．已知向量a ，b ，满足a ＋b 平行于x 轴，a ＝(2，y )，b ＝(2，－2)，则a 与b 的夹角为__________．关于解决点共线或向量共线问题，主要是求出相关向量的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程(方程组)来解决．当堂检测1．已知向量a ＝(x,5)，b ＝(5，x )，两向量方向相反，则x ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．12．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( )A ．a －c 与b 共线B ．b ＋c 与a 共线C ．a 与b －c 共线D ．a ＋b 与c 共线3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,0)，λa ＋μb 与a －2b 共线，则λμ＝( ) A ．12B ．2C ．－12D ．－2 4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝______．5．已知向量a ＝(2x,7)，b ＝(6，x ＋4)，当x ＝__________时，a ＝b ；当x ＝__________时，a ∥b 且a ≠b ．答案：课前预习导学【预习导引】x 1y 2－x 2y 1＝0 x 1x 2＝y 1y 2预习交流：提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：先计算出k a ＋b 与a －3b 的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k ，再根据符号确定方向．解：因为a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，又∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴－4(k －3)＝10(2k ＋2)，∴k ＝－13．这时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－103，43，且a －3b 与－13a ＋b 的对应坐标异号， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且是反向的．迁移与应用 1．D 解析：a ∥b ⇒y ＝－4，∴3a ＋2b ＝(－3,6)＋(4，－8)＝(1，－2)．2．解：AB ＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)， CD ＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)．∵4×(－8)－4×(－8)＝0，∴AB ∥CD ，即AB 与CD 共线．(或CD ＝－2AB ，AB ∥CD ，∴AB 与CD 共线) 活动与探究2 思路分析：根据向量共线的充要条件，若A ，B ，C 三点共线，只要满足AB ＝λBC (或AC ＝λAB )，就可以列方程求出k 的值或利用向量平行的充要条件求出k 的值．解：方法一：∵AB ＝OB －OA ＝(4,5)－(k,12)＝(4－k ，－7)， BC ＝OC －OB ＝(10，k )－(4,5)＝(6，k －5)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝λBC ，即(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)＝(6λ，(k －5)λ)．∴46,7(5).k k λλ-=⎧⎨-=-⎩ 解得k ＝11，或k ＝－2．方法二：同方法一，∵A ，B ，C 三点共线，∴(4－k )(k －5)＝6×(－7)，解得k ＝11，或k ＝－2．迁移与应用 1.9 解析：∵AB ＝⎝⎛⎭⎫7，72，AC ＝(x －1，4)，AB ∥AC ，∴7×4－72×(x －1)＝0，∴x ＝9．2．解：(1)由题意知，AB ＝OB －OA ＝(2，－2)，AC ＝OC －OA ＝(a －1，b －1)，若A ，B ，C 三点共线，则AB ∥AC ，即2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，故a ＋b ＝2．(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴14,14,a b -=⎧⎨-=-⎩∴5,3,a b =⎧⎨=-⎩即C (5，－3)．活动与探究3 思路分析：充分利用向量共线的坐标表示，列出方程组求解．解：∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，∴OA ＝(0,5)，OB ＝(4,3)．∵OC ＝(x C ，y C )＝14OA ＝⎝⎛⎭⎫0，54， ∴点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，54．同理可得点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，从而AD ＝⎝⎛⎭⎫2，－72．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM ＝(x ，y －5)．∵A ，M ，D 三点共线，∴AM 与AD 共线．∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20．①易知CM ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB ＝⎝⎛⎭⎫4－0，3－54＝⎝⎛⎭⎫4，74． ∵C ，M ，B 三点共线，∴CM 与CB 共线．∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20．② 由①②得x ＝127，y ＝2． ∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2．迁移与应用 1．14解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ， ∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14． 2．90° 解析：由已知得a ＋b ＝(4，y －2)，∵a ＋b 与x 轴平行，∴y －2＝0，y ＝2．在坐标系中以原点为起点，画出向量a ，b ，则由图知，a 与b 夹角为90°．【当堂检测】1．A 解析：当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反．易知选A ．2．C 解析：由已知得b －c ＝(3,3)，∵a ＝(6,6)，∴6×3－3×6＝0．∴a 与(b －c )共线．3．C 解析：λa ＋μb ＝(λ－μ，λ)，a －2b ＝(3,1)，由共线条件可得，λ－μ＝3λ即λμ＝－12，故选C ．4．1 解析：a －2b ＝(3，1)－(0，－2)＝(3，3)，∵a －2b 与c 共线，∴存在实数λ使λ(3，3)＝(k ，3)，即(3λ，3λ)＝(k ，3)，∴,3k λ==⎪⎩∴1,k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩5．3 －7 解析：若a ＝b ，则26,74,x x =⎧⎨=+⎩⇒x ＝3．若a ∥b ，则2x (x ＋4)－42＝0，解得x ＝－7或x ＝3．当x ＝3时，a ＝b ，∴x ＝－7时，a ∥b 且a ≠b ．。

高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示教案新人教A版必修4

思考：
1. 若 a=(2 ， 3) ， b=(4 ， -1+ y) ，且 a∥b，则 y=（ C ）
A.6
B.5
C.7
D.8
2. 若 A( x，-1) ， B(1 ， 3) ， C(2 ， 5) 三点共线，则 x 的值为（ B ）
A.-3
B.-1
C.1
D.3
3. 若 AB =i +2j ， DC =(3- x) i +(4- y) j ( 其中 i 、 j 的方向分别与 x、 y 轴正方向相同且为单
∴ A， B， C不共线
∴ AB 与 CD不重合
∴ AB∥ CD
例 5 设点 P 是线段 P1P2 上的一点， P 1、 P2 的坐标分别是 (x 1， y1) ， (x 2 ，y2).
(1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时，求点 P 的坐标；
(2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时，求点 P 的坐标 .
位向量 ). AB 与 DC 共线，则 x、 y 的值可能分别为（ B ）
A.1 ， 2
B.2 ， 2 C.3
，2 D.2
4. 已知 a=(4 ， 2) ， b=(6 ， y) ，且 a∥ b，则 y= 3
解：∵ AB =(1-(-1) ， 3-(-1))=(2 ， 4) ， CD =(2-1 ，7-5)=(1 ，2)
又 ∵ 2× 2-4 × 1=0
∴ AB ∥ CD
又 ∵ AC =(1-(-1) ， 5-(-1))=(2 ，6) ， AB =(2 ， 4) ，2×4-2 × 6 0 ∴ AC 与
AB 不平行
2．若 A(0 ， 1) ， B(1 ， 2) ， C(3 ， 4) ，则 AB 2 BC = .

高中数学必修四 (2.3.4 平面向量共线的坐标表示)教案新人教A版必修4

2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学过程导入新课思路 1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y 的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？推进新课新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗?②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: ||=||=221221)()(y y x x -+-.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能. ②AB =OB -OA =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件? 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0. 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线.又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0. 2°充要条件不能写成2211x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0).3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x b a λ应用示例思路1例1 已知a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量21a 23-b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全国高考,3) 已知向量a =(-5,6),b =(6,5),则a 与b …( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A图2 例2 如图2,已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD 的坐标,进而得到点D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D 的坐标为(x,y). ∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x∴⎩⎨⎧==.2,2y x∴顶点D 的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知+=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D 的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图3如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2);当平行四边形为ACDB 时,仿例二得:D 2=(4,6);当平行四边形为DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点,观察图形,我们猜想A 、B 、C 三点共线.下面给出证明. ∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC =(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴AB ∥AC ,且直线AB 、直线AC 有公共点A,∴A、B 、C 三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练已知a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,求解:∵a ∥b ,∴4y -2×6=0.∴y=3.思路2例2 设点P 是线段P 1P 2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法: 由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y), 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4解:(1)如图4,由向量的线性运算可知=21 (1+2)=(.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++) (2)如图5,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,即21PP P P =21或21PP P P =2. 如果21PP P P =21,那么图5=1+P P 1=1+3121P P =1OP +31(2OP -1OP ) =321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理,如果21PP P P =2,那么点P 的坐标是.32,322121y y x x ++ 点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在△A BC 中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上,求点C 的坐标.解:(1)若AC 的中点在y 轴上,则BC 的中点在x 轴上,设点C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得,025,023=+=+y x ∴x=-3,y=-5,即C 点坐标为(-3,-5).(2)若AC 的中点在x 轴上,则BC 的中点在y 轴上,则同理可得C 点坐标为(2,-7). 综合(1)(2),知C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 已知点A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点,=+t .若点P 在第二象限,求实数t 的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若点P 在第二象限,则3132023013-<<-⇒⎩⎨⎧>+<+t t t 故t 的取值范围是(32-,31-). 点评:此题通过向量的坐标运算,将点P 的坐标用t 表示,由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组,这个不等式组的解集就是t 的取值范围.变式训练已知=(cos θ,sin θ),=(1+sin θ,1+cos θ),其中0≤θ≤π,求||的取值范围.解:∵=-=(1+sin θ,1+cos θ)-(cos θ,sin θ)=(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ). ∴|AB |2=(1+sin θ-cos θ)2+(1+cos θ-sin θ)2=［1+(sin θ-cos θ)］2+［1-(sin θ-cos θ)］2=2+2(sin θ-cos θ)2=2+2(1-2sin θcos θ)=4-4sin θcos θ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故||的取值范围是［2,6］.知能训练课本本节练习.解答:1.(1)a +b =(3,6),a -b =(-7,2);(2)a +b =(1,11),a -b =(7,-5);(3)a +b =(0,0),a -b =(4,6);(4)a +b =(3,4),a -b =(3,-4).2.-2a +4b =(-6,-8),4a +3b =(12,5).3.(1)=(3,4),=(-3,-4);(2)=(9,-1),=(-9,1); (3)=(0,2),=(0,-2);(4)=(5,0),=(-5,0).4.AB ∥CD .证明:=(1,-1),=(1,-1),所以=.所以AB ∥CD.点评:本题有两个要求:一是判断,二是证明.通过作图发现规律,提出猜想,然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程.5.(1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5).6.(310,1)或(314,-1). 7.解:设P(x,y),由点P 在线段AB 的延长线上,且|AP |=23|PB |,得 (x-2,y-3)=23(x-4,y+3), 即⎩⎨⎧+=--=-.9362.12342y y x x 解之,得⎩⎨⎧-==.15,8y x 所以点P 的坐标为(8,-15).。

人教A版《必修4》“2.3.4平面向量共线的坐标表示”导学案-教学文档

高一数学《必修4》导学案 2.3.4平面向量共线的坐标表示【预习自测】(阅读课本P98～99的内容，并完成下列内容)1、共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得________，设a =11(,)x y , b =22(,)x y （ b ≠），由a b λ=，得___________________,即______________________,消去λ后得:____________________.这就是说,当且仅当_________________时,向量a 与b 共线.2、已知(4,2)a =-，(-6,)b y =，且//a b ，则y =____________;3、已知(5,4),(3,6)A B --，则AB 的中点坐标是【课内探究】例1、已知(2,3)A ，(5,-6)B ，(6,-9)C ，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并给出证明．变式1：若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为 .变式2：已知点(0,1)A ，(1,0)B ，(1,2)C ，(2,1)D ，试判断AB 与CD 的位置关系，并给出证明. 例2、设点P 是线段12PP 上的一点， 1P 、2P 的坐标分别是(2,3),(6,3)-（1）当点P 是线段12PP 的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段12PP 的靠近端点1P 的三等分点时，求点P 的坐标. 变式：设点P 是线段12PP 上的一点， 1P 、2P 的坐标分别是1122(,),(,)x y x y .（1）当点P 是线段12PP 的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段12PP 上靠近端点2P 的三等分点时，求点P 的坐标.结论：若1122(,),(,)A x y B x y ,则线段AB 的中点的坐标是__________________.练习：口答课本P100练习第5题【总结提升】1．平面向量共线的两种表达形式是什么?2．如何用平面向量共线的坐标形式证明三点共线和两直线平行?3．如何计算线段上某些特定的点（中点，三等分点）的坐标?【课后作业】1.已知AB =a +5b ，=－2a +8b ，=3（a －b ），则（）A. A 、B 、D 三点共线B.A 、B 、C 三点共线C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线2.（1）x a b x 为_______时，=(2,3)与=(,-6)共线.（2）若向量(1,)a x =-与(,2)b x =-共线且方向相同，则x 为________；3.已知(2,3)A --，(2,1)B ，(1,4)C ，(7,4)D --，试判断直线AB 与CD 的位置关系，并给出证明.4.已知点(0,0)O ，向量(2,3)OA =，(6,3)OB =-，点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标.5.已知(2,3)A ，(4,-3)B ，点P 在线段AB 的延长线上，且AP PB =32，求点P 的坐标.。

高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必修4

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必修4

湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A 版必修4【学习目标】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。

2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。

【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += ，a b -= ，a λ=（二）自主探究：（预习教材P98—P101）探究：平面向量共线的坐标表示问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？若,a b （0b ≠）共线，当且仅当存在实数λ，使。

问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==（0b ≠），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？2、设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则//a b 等价于______________________。

二、合作探究1、已知()2,4-=，()6,b y =，且//a b ，求y .变式：判断下列向量a 与b 是否共线①(2,3) (3,4)a b ==②8(2,3) (,4)3a b ==2、向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k =，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.变式：证明下列各组点共线：（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --（2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2P R -3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y .⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.*变式：当12PP PP λ=，点P 的坐标是什么？三、交流展示1已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB 与CD 是否共线？2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==-，且////a b c ，求,x y 的值.3、平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，＝(4,1)，求：(1)求3a ＋b －2；(2)求满足a ＝m b ＋n 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k )∥(2b －a )，求实数k .四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知向量()2,4a =-，()1,2b =-，则a 与b 的关系是（）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2. 已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（）A.13-B.9C.9-D.13 3. 点(),A m n 关于点(),B a b 对称点坐标为（）A.(),m n --B.(),a m b n --C.()2,2a m b n --D.()2,2a m b n --4. 已知()1,2a =，(),1b x =，若2a b +与2a b -平行，则x 的值为 .B 组：1、(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心2、已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．。