恒成立习题(函数、不等式)精选精讲

能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.
恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：
①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形
结合型.
现在我们一起来探讨其中一些典型的问题.
策略一、赋值型——利用特殊值求解
等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、
选择题能很快求得.
选D
例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么
a=（
）.
A.1
B.-1
C.
D. -.
略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.
策略二、一次函数型——利用单调性求解
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有
0∴a0>0 综上可知0<a0<
例6：函数y＝f(x)在区间(0,
)内可导，导函数(x)是减函数，且
(x)>0。设x0(0, )，y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程
并设函数g(x)=kx+m
（Ⅰ）用x0，f(x0)，(x0)表示m；
（Ⅱ）证明：当x(0, )时，g(x)f(x)
例5.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围. 分析：的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示： 略解： 变式1：若时，恒成立，求的取值范围. 分析：要使时，恒成立，只需的最小值即可. 解：，令在上的最小值为. ⑴当，即时， 又 不存在.
⑵当，即时， 又 ⑶当，即时， 又 综上所述，. 变式2：若时，恒成立，求的取值范围. 解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把2移到等号的左边，则 把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题. 略解：，即在上成立.
对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利 用判别式直接求解，即
f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立. 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以 及根与系数的分布知识求解. 例4． 若函数的定义域为R，求实数 的取值范围. 分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系 数的讨论. 解：依题意，当恒成立， 所以，①当 此时 ②当 有 综上所述，f(x)的定义域为R时，
1
在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。所以以题为本， 关键抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，不拘泥于一种方法。
不等式恒成立问题 容易证明如下结论：若函数在D上存在离大值f(x)(或最小值
f(x))，则对一切xD不等式f(x)A（或f(x)B）恒成立当且仅当f(x)A（或 f(x)B）。
应用这一结论处理不等式恒成立问题很方便，现举例说明。 例1求使不等式sinx＋acosx＋ a1＋cosx对一切xR恒成立的负数a 的 取值范围。
值。因此，(x)0成立的充要条件是()0。即a 综上，不等式x2+1ax+b对任意x[0, ]成立的充要条件是 a………………………………………………① 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是： 不等式…………………………………………②
有解。 解不等式②得……………………………③ 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数a与b所满足的关系。
解
得 m>1
综合(1)(2)(3) 得 注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函 数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。
3分离参数法 在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再
利用a>fmax(x) （a<fmin(x)）求出参数范围。
例6.已知三个不等式①，②，③．要使同时满足①②的所有x的值 满足③，求m的取值范围.
略解：由①②得2<x<3, 要使同时满足①②的所有x的值满足③,即不等式在上恒成立，即上 恒成立，又所以 例7. 函数是奇函数，且在上单调递增，又，若 对所有的都成立， 求的取值范围 . 解：据奇函数关于原点对称，又 对所有的都成立.因此，只需大于或等于的最大值1， ， 即关于a的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立， 即： 利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问 题. 策略五、数形结合——直观求解 例8. 的取值范围. 分析：设y=|x+1|-|x-2|,即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小 值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.
解：原不等式化为 (x2－1)m－(2x－1)<0 记f(m)= (x2－1)m－(2x－1) (－2m2) 根据题意有： 即：
百度文库 得x的取值范围为
2 化归二次函数法
根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知
识，求出参数取值范围。
例2：在R上定义运算：xy＝(1－y) 若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实
f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于
ⅰ），或 ⅱ）
可合并定成
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有
n m o x y n m
o x y
例3．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立 的x的取值范围.
分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母 看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题 即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.
解：设f(x)=x2-2mx+2m+1
本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范
围。
(1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，
解
得 <m<0
(2)当0m1时，f(x)在x=m时取得最小值
解
得 0m1
(3)当m>1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值
∴tg(-1) 即 t5 例5：设a0为常数，数列｛an｝的通项公式为an＝[3n+(-1)n-1·2n]+ (-1)n·2n·a0(nN* )若对任意n≥1，nN*，不等式an>an-1恒成立，求a0 的取值范围。
解：依题意： [3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0>[3n-1+(-1)n-2·2n-1]+(-1)n-
（Ⅲ）若关于x的不等式x2+1ax+b在[0, ）上恒成立，其中a、b为
实数。求b的取值范围及a与b所满足的关系。
本题（Ⅲ）应用了此方法。
（Ⅲ）解：0b1，a>0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成
立。 x2+1ax+b 即x2-ax+(1-b)≥0对任意x[0, )成立的充要条件是a 令(x)=ax+b-，于是ax+b对任意x[0, )成立的充要条件是(x)0 由(x)=a-=0得x= 当0<x<时，(x) <0；当x>时，(x) >0,所以，当x＝时，(x)取最小
例4：已知向量=(x2,x+1), =(1-x,t) 若函数f(x)＝·在区间(－1，1) 上是增函数，求t的取值范围。
解：依题意，
f(x)＝x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t则f＇(x)=-3x2+2x+t
∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有f＇(x)0 即-3x2+2x+t0在x(-1，1)上恒成立 设g(x)=3x2-2x
数x成立，则
()
(A)－1<a<1
(B)0<a<2
(C)
(D)
解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x成立
即x2-x-a2+a+1>0对xR恒成立
记f(x)=x2-x-a2+a+1 则应满足(-1)2-4(-a2+a+1)<0
化简得 4a2-4a-3<0 解得 ,故选择C。
例3：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取 值范围。
解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2时恒成立, 设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
即解得： ∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞) 此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只 需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可. 策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解
函数中恒成立问题解题策略
函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热
点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立
问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次
函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、
化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题
解：原不等即cosx＋（1－a）cosx－a0 (*) 令cosx=t，由xR知t[-1，1]，于是(*)对一切xR恒成立当且仅当
f(t)=t＋（1－a）－a0 (**)对一切t[-1，1]恒成立，其充要条件 f(t)在[-1，1]上的最大值f(t)0,而f(t)= f(1)或 f(-1)，因此(**)对 一切t[-1，1]恒成立当且 a-2 故所求的a的范围为(-,-2]. 例2 定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有 恒成立，求实数m的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f，将“抽象函数”问 题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于0 在给定区间[a，b]上恒成立问题可以转化成为在[a，b]上的最小值问 题，若中含有参数，则要求对参数进行讨论。 【解析】由得到： 因为为奇函数，
4.数型结合法 例7：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是 解析：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出 0k1
K=1
例8：已知a>0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax<恒成立，则a的取值范 围 解析：不等式x2-ax<可化为 ax> x2画出y1= ax,y2= x2-的图像。由图可看出 a<1或1<a2
1·2n-1·a0 化简，得 (-1)n·3·2n-1·a0>-·3n-1+(-1)n·2n-1 (1)当n=2k-1 kN*时 a0<·()n-1+ 设g1(n)= ·()n-1+ ∵g1(n)在nN* 时且n=2k-1,kN*时是增函数 ∴g1(n)的最小值为g1(1)＝ ∴a0< (2) 当n=2k kN*时 a0>-·()n-1+ 设g2(n)=- ·()n-1+ ∵g2(n)在nN*且n=2k,kN*时是减函数∴g2(n)的最大值为g2(2)＝
例1．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=
(x+1)4+b1(x+1)3+
b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f：
(4,3,2,1) → (
)
A.10
B.7
C.-1
D.0
略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故
解：令 在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使只需. 故实数
本题中若将改为①，同样由图象可得a>3;②,构造函数，画出图象，得 a<3.
利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件 的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或 列出条件，求出参数的范围.
恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定的函数的 特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转 化，就能使问题获得顺利解决. 只有这样才能真正提高分析问题和解决 问题的能力.
不等式恒成立问题
1 转换主元法 确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函 数。
例1：若不等式 2x－1>m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x 的取值范围。
2 —2
⑴ ⑵ 综上所述，. 解法二：（运用根的分布） ⑴当，即时， 不存在. ⑵当，即时，，
⑶当，即时，， 综上所述. 此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与 区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样. 对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例
5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此 区间上的最值问题 策略四、变量分离型——分离变量，巧妙求解
运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的 任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x)min;若对于x取值范围内 的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，则g(a)>f(x)max.(其中f(x)max 和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)