数学科学学院201211131946 杨梅
指数函数连续性的证明
证明：首先证明f x=a x在x=0点的连续性。
不妨设a>1。对于任意给定的正数ε<1,要使f x−f0<ε,即
|a x−1|<ε成立，即1−εlog a1−ε根据|log a1−ε|>log a1+ε, 可取δ=log a1+ε。当|x|<δ时，|a x−1|<ε成立，所以f x=a x在x=0点连续。其次证明一般情况下：即在x=c≠0点处函数f x=a x的连续性。对于任意给定的正数εlog a1−a−cε<−log a1+a−cε即 1−a−cε所以|a x−c−1|
log a1−ε根据|log a1−ε|>log a1+ε, 可取δ=log a1+ε。当|x|<δ时，|a x−1|<ε成立，所以f x=a x在x=0点连续。其次证明一般情况下：即在x=c≠0点处函数f x=a x的连续性。对于任意给定的正数εlog a1−a−cε<−log a1+a−cε即 1−a−cε所以|a x−c−1|
根据|log a1−ε|>log a1+ε, 可取δ=log a1+ε。
当|x|<δ时，|a x−1|<ε成立，所以f x=a x在x=0点连续。
其次证明一般情况下：即在x=c≠0点处函数f x=a x的连续性。
对于任意给定的正数εlog a1−a−cε<−log a1+a−cε即 1−a−cε所以|a x−c−1|
log a1−a−cε<−log a1+a−cε即 1−a−cε所以|a x−c−1|
即 1−a−cε所以|a x−c−1|
所以|a x−c−1|
