计数原理与排列组合
基本计数原理和排列组合
附录一.两个基本计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的办法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法。
分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有m 1种不同的方法，做第二个步骤有m 2种不同的办法……做第n 个步骤有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法。
考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。
如果完成一件事情有n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理。
二.排列以下陈述中如无特别说明，n、m 都表示正整数。
一般的，从n 个不同的元素中任取m （m ≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
如果要求排列中诸元素互不相同，则称为选排列；反之，若排列中的元素可以有相同时，则称为可重复排列。
可重复排列在生活中比较常见，如电话号码、证件号码、汽车牌照，等等。
从n 个不同的元素中任取m（m ≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的排列数。
用符号m n A 。
为导出m n A 的计算公式，注意到对任一选排列，其第一位（从左到右计）可以放置编号1到n 的n 个元素的任意一个，共有n 种可能的结果；对于第一位的每一种放置结果，第二位可以放置剩下的n-1个元素中的任意一个，共有n-1种可能的结果；...,对于第m-1位的每一种放置结果，第m 位可以放置最后剩下的n-m+1个元素中的任何一个，共有n-m+1种可能结果。
计数原理、排列、组合
计数原理、排列、组合一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。
（2）排列数、组合数： 排列数的公式：)(!)1()2)(1(n m n m n n n n A m n ≤=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质：①1-=m m nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上； 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m m m A mA A 1-+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。
第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上） 即有11--m n mA 种不同的方法。
第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。
计数原理-排列组合
排列组合知识点一、排列定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示对排列定义的理解：定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。
因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列”相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。
若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。
比如abc 与acb 是两个不同的排列描述排列的基本方法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-⋅⋅⋅--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯=n n n n ，并规定1!0=。
全排列数公式可写成!n A n n =.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+-⋅⋅⋅--=（主要用于化简、证明等）二、组合 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；组合数用符号m n C 表示对组合定义的理解：取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点.只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。
组合数公式：),()!(!!!)1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n≤∈-=+-⋅⋅⋅--==*，且 变式：),,()!()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+⋅⋅⋅--=-=*-且组合数的两个性质1、m n n m n C C -=①计算m n C 时，若2n m ＞，通常不直接计算m n C ，而改为计算m n n C -，这样可以减少计算量②为了使这个公式在n m =时也成立，我们规定10=n C ，这只是一个规定，并没有实际的组合意义2、11-++=m n m n m n C C C题型一 投信问题【例1】1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.（1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？题型二染色问题1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．题型三相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位乙不在某位问题有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.（7）甲必须站在中间（8）甲不能站在开头,乙不站在排尾。
计数原理、排列组合
计数原理一、两个计数原理内容1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法.2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法.二、例题例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。
现要配成一荤一素一汤的套餐。
问可以配制出多少种不同的品种？分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择第二步配一个素菜有5种选择第三步配一个汤有2种选择共有N=3×5×2=30（种）例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。
（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？（1）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算。
解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择第二类从下层取一本书有4种选择共有N=5+4=9（种）（2）分析：1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择第二步从下层取一本书有4种选择共有N=5×4=20（种）例3、有1、2、3、4、5五个数字.（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（1）分析： 1、完成的这件事是什么？2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数）3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4、运用哪个计数原理？5、进行计算.略解：N=5×5×5=125（个）（2）（3）（4）自己完成。
计数原理与排列组合
计数原理与排列组合1．两个计数原理2．排列3．组合1．计数原理的两个不同点(1)分类问题中的每一个方法都能完成这件事．(2)分步问题中每步的每一个方法都只能完成这件事的一部分．2．排列与组合问题(1)三个原则①有序排列、无序组合．②先选后排．③复杂问题分类化简或正难则反．(2)两个优先①特殊元素优先．②特殊位置优先．即先考虑特殊的元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．3．正确理解组合数的性质(1)C m n＝C n－mn从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数．(2)C m n＋C m－1＝C m n＋1n从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C m n种方法；②含特殊元素A有C m－1种方法．n[四基自测]1．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．6B．8C．12D．16答案：C2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13 D．10答案：C3．(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项．答案：604．如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．答案：325．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)安排3人完成3项工作，每人完成一项，有______种安排方式．答案：6授课提示：对应学生用书第187页考点一计数原理◄考基础——练透[例1](1)已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9B．14C．15 D．21解析：因为P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P⊆Q，所以x∈{y，2}．所以当x＝2时，y＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况；当x＝y时，x＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况．故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14.答案：B(2)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有() A．10种B．25种C．52种D．24种解析：共分4步：一层到二层有2种，二层到三层有2种，三层到四层有2种，四层到五层有2种，一共有24种．答案：D(3)从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56 B．54C．53 D．52解析：在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52个．答案：D(4)从0，1，2，3，4这5个数字中任选3个组成三位数，其中偶数的个数为________．解析：按个位数字是否为0进行分类，因为0不能排在首位．若0在个位，则十位数字有4种排法，百位数字有3种排法，共有4×3＝12种．若2或4在个位，个位数字有2种排法，再分类，若0在十位，则百位数字有3种排法．若0不在十位，十位数字有3种排法，百位数字有2种排法．共有2×(1×3＋3×2)＝18，故总12＋18＝30.答案：30应用计数原理的三个注意点(1)注意完成“这件事”是做什么．(2)弄清完成“这件事”是分类还是分步．①根据完成事件的特点，进行“分类”，根据事件的发生过程进行“分步”．②分类要按照同一个标准，任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．③分步时各步相互依存，只有各步都完成时，才算完成这件事．(3)合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选择．1．将本例(3)改为从1，2，3，4，9中每次取出两个数记为a，b，则可得到log a b 的不同值的个数为()A．9 B．10C．13 D．16解析：显然a≠1，若a＝2，3，4，9，b＝1时，有log a b＝0，1个；若a＝2，b＝3，4，9时，有log23，log24＝2，log29，3个；若a ＝3，b ＝2，4，9时，有log 32，log 34，log 39＝2(舍去)，2个； 若a ＝4，b ＝2，3，9时，有log 42＝12，log 43，log 49＝log 23(舍去)，2个； 若a ＝9，b ＝2，3，4时，有log 92，log 93＝12(舍去)，log 94＝log 32(舍去)，1个，共有1＋3＋2＋2＋1＝9个． 答案：A2．将本例(4)改为用数字2，3，4，6，8组成无重复数字的三位偶数的个数为________．解析：先排个位有4种方法，再排十位有4种方法，最后排百位，有3种方法，故共有4×4×3＝48种排法，对应48个三位偶数． 答案：483．将本例(4)改为在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．解析：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题设条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知：符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 答案：36考点二 排列问题◄考能力——知法[例2] (1)室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8名同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.通过观察这8名同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，则有________种排法．(用数字作答)解析：把编号相邻的3组同学每两名同学捆成一捆，这3捆之间有A 33＝6(种)排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中，有A24＝12(种)插法，而捆好的3捆中每相邻的两名同学都有A22＝2(种)排法．所以不同的排法种数为23×6×12＝576.答案：576(2)(2019·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．解析：优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有5A55A22＝300种不同的编排方法．答案：300有限制条件的排列问题的解题方法1．(2019·衡水冀州中学月考)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放入相邻的抽屉内，则所有不同的放法有()A．120种B．210种C．420种D．240种解析：可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件排列，则有A22A22A35＝240种排法，所以选D．答案：D2．6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．解析：先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A44种站法．由分步乘法计数原理可知，共有A25A44＝480(种)不同的站法．答案：480考点三组合问题及混合问题◄考基础——练透角度1简单的组合问题[例3](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．法二：间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案：16(2)有甲、乙、丙3项任务，甲需2个人承担，乙、丙各需1个人承担，从10个人中选出4个人承担这3项任务，不同的选法有________．解析：要从10个人中选出4个人承担3项任务，甲需2个人承担，乙、丙各需1个人承担，先从10个人中选出2个人承担甲项任务，不同的选法有C210种；再从剩下8个人中选1个人承担乙项任务，不同的选法有C18种；最后从另外7个人中选1个人承担丙项任务，不同的选法有C17种．综上，不同的选法共有C210C18C17＝2 520(种)．答案：2 520角度2简单的组合与排列混合问题[例4](1)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为()A．18 B．24C．30 D．36解析：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C24A33＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A33＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种．答案：C(2)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是() A．150 B．300C．600 D．900解析：若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C25×A44＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C46×A44＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．答案：C角度3分组、分配问题[例5](1)(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有C24C12C11A22＝6种，再分配给3个人，有A33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．答案：D(2)将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有() A．12种B．10种C．9种D．8种解析：先从4名学生中选2人安排到甲地，有C24种不同的方法；再从2名老师中选1人安排到甲地，有C12种不同的方法；其余2名学生和1名老师安排到乙地只有一种方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C24C12＝12种，故选A．答案：A1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列．(3)由分类加法计数原理计算总数．2．“分组分配”问题的解题技巧1．(2019·河南豫北名校联考)2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A．18种B．24种C．48种D．36种解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C23＝3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有C12C12＝4种，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C13＝3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有C12C12＝4种，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B．答案：B2．(2019·福建福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有()A．90种B．180种C．270种D．360种解析：根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C24C22A22×A22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案，故选B．答案：B数学建模、数学运算——不定方程与组合问题中的学科素养在学习排列组合知识时，我们经常遇到把若干相同元素分成几组的问题．这类问题可以用一个比较简单的模型，就是转化为不定方程解的个数问题，从而得以快速解决．[直接隔板法][例]把6个相同的小球放入4个盒子中，每个盒子都不为空，有多少种不同的放法？解析：本题相当于将6个相同的球分为4组．可以先把6个球排成一排，中间有五个空位，我们只需在这五个位置中任取三个位置放上隔板就可把小球分隔成4组了，故有C35＝10种不同的放法．[拓展为不定方程法]设每个盒子中的小球数分别为x1，x2，x3，x4，求x1＋x2＋x3＋x4＝6的正整数解的组数．这是四元不定方程，把6分为6个1，6个1之间有5个空，选3个空放3个加号，所以有C35＝10种放法．一种放法就唯一对应不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝6的一组正整数解，故此不定方程有C35＝10组正整数解．[拓展模型]设n，m∈N*，n≥m≥1，则不定方程x1＋x2＋x3＋…＋x m＝n的正整数解有C m－1n－1组．拓展应用1把20个相同的小球放入4个盒子中，有多少种不同的放法？解析：与例题相比少了“每个盒子都不为空”这个条件，就是说盒子里可以为空．我们可以这样理解：设每个盒子的小球数分别为x1，x2，x3，x4，求不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的非负整数解的组数．那么能否转化为模型1来解决呢？先在每个盒子里放上1个球，保证每个盒子不空，然后再来放这20个球，就是模型1了．即(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＝20＋4＝24，令y1＝x1＋1，y2＝x2＋1，y3＝x3＋1，y4＝x4＋1，则y1，y2，y3，y4为正整数，问题转化为求不定方程y1＋y2＋y3＋y4＝24的正整数解的组数，从而转化为模型1，可知不定方程有C4－1＝C323组正整数解．所以，原20＋4－1问题中，有C323种不同的放球方法．拓展应用2把20个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中，且每个盒子里的球数不得少于编号，问有多少种不同的放法？解析：问题即是解不定方程x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝20，(x i≥i，x i∈N*)．我们先在2号盒子里放1个球，3号盒子放2个球，4号盒子放3个球，5号盒子放4个球，则有x1＋(x2－1)＋(x3－2)＋(x4－3)＋(x5－4)＝10，令y i＝x i－(i－1)，则y1，y2，y3，y4，y5为正整数，只需求y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝C49＝126种不同＝10的正整数解有多少组，从而转化为模型1，知有C5－110－1的放法．课时规范练单独成册：对应学生用书第325页A组基础对点练1．把标号为1，2，3，4，5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为()A．36B．20C．12 D．10解析：依题意，满足题意的放法种数为A22·A33＝12，选C．答案：C2．一个学习小组有6个人，从中选正、副组长各一个，则不同的选法种数为()A．C26B．A26C．62D．26解析：问题可转化为从6个元素中任选两个元素的排列问题，共有A26种不同的选法．答案：B3．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则集合A的含偶数个元素的子集的个数为()A．16 B．32C．64 D．128解析：由题意，集合A的含偶数个元素的子集的个数为C06＋C26＋C46＋C66＝1＋15＋15＋1＝32.答案：B4．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为()A．24B．18C．12 D．6解析：当从0，2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位、百位全排列即可，共有C23C12A22＝12个．当选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有C23C12＝6个．综上，共有12＋6＝18个．选B．答案：B5．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有()A．336种B．120种C．24种D．18种解析：分三步完成：第一步，插入第1本书，有6种方法；第二步，插入第2本书，有7种方法；第三步，插入第3本书，有8种方法，所以不同的插法有6×7×8＝336种．答案：A6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120C．72 D．24解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A34＝24种放法，故选D．答案：D7．若从1，2，3，…，9这9个数字中同时取4个不同的数字，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．答案：D8．(2019·洛阳模拟)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．72 B．56C．49 D．28解析：分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C12C27＋C22C17＝49.答案：C9．(2019·唐山模拟)某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为()A．8 B．16C．24 D．60解析：根据题意，9个座位中满足要求的座位只有4个，现有4人就座，把4人进行全排列，即有A44＝24种不同的坐法．答案：C10．(2019·成都模拟)由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，若2与4相邻，且1与2不相邻，则这样的五位数共有()A．12个B．24个C．36个D．48个解析：分步完成，先排2，4，有A22种排法，再把排好的2，4看成一个整体，与3，5再排，有A33种排法；最后把1插空，仅有3个空位可选，有3种插法，故共有A22A33·3＝2×6×3＝36个不同的五位数．答案：CB组能力提升练11．如图所示，∠MON的边OM上有四点，A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：分类完成．在O，A1，A2，A3，A4这5个点中取2个，在B1，B2，B3中取1个，有C25C13个三角形；在B1，B2，B3中取2个，在A1，A2，A3，A4中取1个，有C23C14个三角形，故共C25C13＋C23C14＝42个．答案：B12．某学习小组共6人，现遇到了两道难题，一道物理题，一道数学题，其中甲、乙、丙三人对数学题感兴趣，丁对两道题都感兴趣，戍、己两人对物理题感兴趣，现从感兴趣的人中各选2人解这两道难题，则不同的选法种数为() A．9 B．15C．18 D．30解析：若丁解数学题，则不同的选法为C24C22；若丁解物理题，则不同的选法为C23C23；故共有C24C22＋C23C23＝15种不同的选法．答案：B13．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对解析：正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C212＝66对，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角．相对两面上的4条对角线组成的C24＝6对组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3C24＝18对．所以成60°角的有C212－3C24＝66－18＝48(对)．答案：C14．在一次8名运动员参加的百米成绩测试中，甲，乙，丙三人要求在第三、四、五跑道上，其他人随意安排，则安排这8人进行成绩测试的方法的种数为________．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有3，4，5三条跑道可安排．所以安排方式有3×2×1＝6种．第二步：安排另外5人，可在余下的5条跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种．所以安排这8名运动员的方式有6×120＝720种．答案：72015．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：“小集团”处理，特殊元素优先，则不同的排法共有C36C12A22A33＝480(种)．答案：48016．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.解析：首先看图形中的3，5，7，有C13＝3种涂法．对于2，有两种涂法，对于4有两种涂法．当2，4涂的颜色相同时，1有2种涂法；当2，4涂的颜色不同时，1有1种涂法．根据对称性可知共有3×(2×2＋2×1)2＝108种涂法．答案：108第二节二项式定理授课提示：对应学生用书第190页[基础梳理]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)，其中右端为(a＋b)n 的二项展开式．2．二项展开式的通项公式＝C k n a n－k b k．第k＋1项为：T k＋13．二项式系数(1)定义：二项式系数为：C k n(k∈{0，1，2，…，n})．(2)二项式系数的性质和1．一对易混概念二项展开式中第r＋1项的(1)二项式系数是C r n .而不是C r ＋1n .(2)项的系数是该项的数字因数． 2．两个常用公式(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.(展开式的奇数项、偶数项的二项式系数相等) 3．三个重要特征(1)字母a 的指数按降幂排列由n 到0. (2)字母b 的指数按升幂排列由0到n .(3)每一项字母a 的指数与字母b 的指数和等于n .[四基自测]1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 26的展开式中，常数项的值是( )A ．240B ．60C ．192D ．180答案：A2．(x －1)10的展开式中第6项的系数是( ) A ．C 610 B ．－C 610 C ．C 510 D ．－C 510答案：D3．二项式(2a 3－3b 2)10的展开式中各项系数的和为________． 答案：14．C 111＋C 311＋…＋C 1111＝________.答案：2105．(2018·高考全国卷Ⅲ改编)(x 2＋2x )5的展开式的二项式系数和为________． 答案：32授课提示：对应学生用书第190页考点一 通项公式法解决特定项或系数问题◄考基础——练透[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. 故选C ． 答案：C(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6(a >0)展开式中x 2项的系数为15，则实数a ＝________．解析：由题意可知T r ＋1＝C r 6x 6－2r(－1)r ·a －r ，0≤r ≤6，r ∈Z ，则x 2项的系数是C 26a－2＝15，又a >0，则a ＝1. 答案：1(3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x (r＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120C 08x 4＝x 4，T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－128C 88x －2＝1256x 2. 答案：3通项公式法即利用二项展开式的通项公式，根据题意，对相应的指数进行赋值，从而解决指定项问题的方法．此方法适用于已知二项式，求常数项、指定项的系数等问题．破解此类题的关键点：(1)求通项，根据二项式(a ＋b )n 的展开式的通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0，1，2，…，n )，整理出T k ＋1＝m ·x f (k )．(2)找方程，依题设条件中的指定项的相关信息，寻找关于k 的方程． (3)解方程，通过解方程，求出k 的值． (4)得结论，把k 的值代入通项公式，得结论．1．在本例(2)的条件下求展开式中的常数项．解析：由于a ＝1，(x －1x )6的通项公式T r ＋1＝(－1)r C r 6·x 6－2r . 令6－2r ＝0，∴r ＝3. 常数项为T 4＝(－1)3C 36＝－20.2．将本例(1)改为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 4的系数为40，求a 的值．解析：T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 5·a r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4.∴r ＝2.∴C 25a 2＝40，∴a 2＝4，∴a ＝±2.考点二 赋值法解决二项展开式的各项系数和问题◄考能力——知法[例2] (1)设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中含x 的项为________．(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________． 解析：(1)由已知条件4n－2n＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r 54－r C r 4x ，令4－3r2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式的第6项是T 5＋1＝C 5n (－1)5x 2n －15，令2n －15＝1，得n ＝8.在二项式(1－3x )8的展开式中，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(－2)8＝256.所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝255. 答案：(1)150x (2)255赋值法是指对二项式中的未知元进行赋值，从而求得二项展开式的各项的系数和的方法．此方法体现的是从一般到特殊的转化思想．破解此类题的关键点： (1)赋值，认真观察已知等式，给未知元合理赋值．常赋的值有1，－1，0等． (2)求参数，通过合理赋值，建立关于参数的方程，并解方程，求出参数的值． (3)得结论，求出指定项的系数和．1．(2019·河北邯郸模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A ．15 B ．45 C ．135D ．405解析：令⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 中x 为1，得各项系数和为4n ，又展开式的各项的二项式系数和为2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，∴4n2n ＝64，解得n＝6，∴二项式的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·3r·x ，令6－32r ＝3，求得r ＝2，故展开式中x 3的系数为C 26·32＝135，故选C ．答案：C2．(2019·湖南湘潭模拟)若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A ．29 B ．29－1 C ．39D ．39－1解析：(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39， ∴a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39－1.故选D ． 答案：D考点三 求非二项式结构的展开的特定项(或系数)◄考基础——练透[例3] (1)如果(1＋x ＋x 2)(x －a )5(a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x 4项的系数为________；(2)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为________； (3)(1＋3x )6⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋14x 10展开式中的常数项为________． 解析：(1)∵(1＋x ＋x 2)(x －a )5的展开式所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a )5＝0， ∴a ＝1.∴(1＋x ＋x 2)(x －a )5＝(1＋x ＋x 2)(x －1)5＝(x 3－1)·(x －1)4＝x 3(x －1)4－(x －1)4，其展开式中含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04(－1)0＝－5.(2)由题意，(x 2－x ＋1)10＝[x (x －1)＋1]10＝C 010[x (x －1)]0·110＋C 110[x (x －1)]1·19＋C 210[x (x －1)]2·18＋C 310[x (x －1)]3·17＋…＋C 1010[x (x －1)]10·10 ＝C 010＋C 110x (x －1)＋C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＋…＋C 1010x 10(x －1)10， 因为x 3出现在C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＝C 210x 2(x 2－2x ＋1)＋C 310x 3(x 3－3x 2＋3x －1)中，所以x 3的系数为C 210(－2)＋C 310(－1)＝－90－120＝－210.(3)分别求两个因式的通项：T r ＋1＝C r 6x，T r ′＋1＝C r ′10x ，则C r 6x ·C r ′10x＝C r 6C r ′10x.又0≤r ≤6，0≤r ′≤10，则r 3－r ′4＝0，解得r ＝r ′＝0，r ＝3且r ′＝4，r ＝6且r ′＝8. 即常数项为1＋C 36C 410＋C 66C 810＝4 246.[答案] (1)－5 (2)－210 (3)4 246非二项式结构求指定项的方法1．(2017·高考全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.答案：C2．(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C ．答案：C3．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C ．答案：C考点四 二项式系数或项的系数的最值问题◄考基础——练透[例4] (1)已知二项式(a x ＋13x)n (a ＞0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中x 2项的系数为84，则a 的值为( ) A ．1 B ．14 C ．2D ．12解析：由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知n ＝9，则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9(a x )9－r(13x)r ＝C r 9a9－rx ·x＝C r 9a9－rx (r ＝0，1，2，3，…，9)，令92－5r 6＝2，则r ＝3，所以C 39a 9－3＝C 39a 6＝84，解得a ＝±1，因为a ＞0，所以a ＝1. 答案：A(2)(2019·石家庄模拟)在(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为________．解析：由二项式系数的性质知，2n －1＝128，解得n ＝8，(1－2x )8的展开式共有9项，中间项，即第5项的二项式系数最大，T 4＋1＝C 4814(－2x )4＝1 120x 4. 答案：1 120x 41．二项式系数的最大值，根据(a ＋b )y 的二项式系数性质求解．2．项的系数的最值，利用不等式法．求出展开式的通项公式T r ＋1＝C r n ·m ·x q ＝a r x q为最大系数，则⎩⎪⎨⎪⎧a r ≥a r ＋1，a r ≥a r －1.求r 的整数解．1．设n 为正整数，(x －2x 3)n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．解析：依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2x 3)r ＝C r 8x8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.答案：1122．(2019·厦门模拟)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．210 C ．252D ．45解析：由已知得，二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等．由展开式中只有第6项的系数C 52n 最大，可得展开式有11项，即2n ＝10，n ＝5. ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10xx＝C r 10x，令5－56r ＝0可得r ＝6，此时T 7＝C 610＝210.答案：B数学运算、逻辑推理——二项式定理的展开原理的应用 [例1] (x ＋2y －3z )9的展开式中含x 4y 2z 3项的系数为( ) A ．－136 000 B ．－136 080 C ．－136 160D ．136 280解析：由(x ＋2y －3z )9＝[x ＋(2y －3z )]9，得展开式的通项T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·(2y －3z )r ＝C r 9·x 9－r ·C t r ·(2y )r －t ·(－3z )t ＝C r 9·C t r ·2r －t ·(－3)t ·x 9－r ·y r －t ·z t (t ≤r ≤9)，令⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，r －t ＝2，9－r ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，r ＝5.故含x 4y 2z 3项的系数为C 59×C 35×22×(－3)3＝－136 080.故选B ． 答案：B[例2] (2019·临沂模拟)489被7除的余数为________．解析：由489＝(49－1)9＝C 09499＋C 19498(－1)＋C 29497(－1)2＋…＋C 8949(－1)8＋C 99(－1)9＝49[C 09498＋C 19497(－1)＋C 29496(－1)2＋…＋C 89(－1)8]－7＋6，知489被7除的余数为6. 答案：6课时规范练单独成册：对应学生用书第326页A 组 基础对点练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20D ．10解析：T k ＋1＝C k 515－k (2x )k ＝C k 5×2k ×x k ，令k ＝2，则可得含x 2项的系数为C 25×22＝40. 答案：B2．(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( ) A ．56 B ．－56 C ．28D ．－28解析：二项式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2y )r ，令8－r ＝6，即r ＝2，得x 6y 2项的系数为C 28(－2)2＝56.答案：A3．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15. 答案：C4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B ．54 C ．－1516D ．1516解析：T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4. ∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D ．。
计数原理与排列组合知识点总结
计数原理与排列组合知识点总结计数原理和排列组合是高中数学中重要的概念和工具，在各种数学问题的解决过程中起到了重要的作用。
本文将对计数原理和排列组合的相关知识点进行总结和介绍。
一、计数原理计数原理通过分析一个问题中的各个步骤或条件，来确定解决问题的方式和策略。
常用的计数原理有加法原理、乘法原理、容斥原理和抽屉原理等。
1. 加法原理加法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件发生的总方式数为m+n。
2. 乘法原理乘法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，则这两个事件发生的总方式数为m×n。
3. 容斥原理容斥原理适用于计算多个集合的并集的情况。
它指出如果有n个集合，分别有A1,A2,...,An个元素，那么这n个集合的并集中元素的个数为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
4. 抽屉原理抽屉原理也称为鸽笼原理，它指出如果有m+1个物体放入m个抽屉中，那么至少会有一个抽屉中放入两个或两个以上的物体。
二、排列组合排列组合是计数原理的一个重要应用，用于解决选择和安排问题。
它包括排列和组合两个不同的概念。
1. 排列排列是指从一组元素中按一定顺序选取若干元素的方式，其中元素的选取不可重复。
常见的排列问题有全排列和有限排列。
- 全排列是指将一组元素全部进行排列，例如3个元素的全排列有3! = 3×2×1 = 6种。
- 有限排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，其中元素的选取数目有限。
例如从3个元素中选取2个进行排列，有3×2 = 6种不同的排列方式。
2. 组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，其中元素的选取不按顺序进行，而是以集合的形式呈现。
排列与组合,分步乘法计数原理,分类加法计数原理
排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。
规定：0!=15、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。
组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。
b=屋=题…---掰+。
_ /3、组合数公式：1H史耀！的I一对；4、组合数性质：K - …,5、排列数与组合数的关系：量二5,排列与组合的联系与区别：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。
它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的排列，但却是同一个组合。
排列应用题的最基本的解法有:(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
排列的定义的理解：①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了 mWn,如果m<n,称为选排列；如果m=n,称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。
计数原理 排列组合
计数原理排列组合
计数原理是组合数学中的一种计数方法。
它主要用于确定一个事件发生的可能性的数量。
计数原理包括排列和组合两种方式。
排列是指将一组对象按照一定的顺序进行排列的方法。
假设有
n个不同的对象，要从中选择r个进行排列，那么排列数的计
算公式为：
P(n,r) = n! / (n-r)!
其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
当r=n时，排列数P(n,n)即为对象全部进行排列的方法总数，
也就是n的阶乘。
组合是指从一组对象中选择出一些对象，而不考虑它们的顺序。
假设有n个不同的对象，要从中选择r个进行组合，那么组合
数的计算公式为：
C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)
其中，”C”表示组合数，r!表示r的阶乘。
组合数的计算公式
中的分母的r!是考虑到组合中的对象不考虑顺序，因此要除去重复的排列情况。
计数原理的应用广泛，涵盖了很多领域。
在组合数学中，计数原理可以用于组合数的计算，例如在概率论中，计数原理可以用于确定事件的样本空间的大小；在统计学中，计数原理可以
用于计算某个总体中的子集数量等。
因此，熟练掌握计数原理对于解决各种计数问题是非常重要的。
计数原理与简单排列组合问题知识点及题型归纳
分析将同室4人分别记为a,b,c,d，然后利用4个取卡的情况分步来确定.
解析解法一：第一步，4个人中的任意一人（例如a）取一张，则由题意知共有3种取法；第二步：由第一人取走的贺卡的供卡人取，也有3种取法；第三步：由剩余的两人中的任一人取，只有1种取法；第四步：最后一人取，只有1种取法，由分步计数原理，共有3×3×1×1=9（种）.
当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法.
(3)可分两类：每一类又分两步.第1类：选1名教师和1名男生，因有两步，故3×8=24（种）选法；第2类：选1名教师和1名女生，因有两步，故有3×5=15（种）选法.再由分类计数原理，共有15+24=39（种）选法.
评注 在解决实际问题时，并不一定是单一地应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成，而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求取.
A. 6种 B. 8种 C. 10种 D. 16种
例12.4某外语组有10人，每人至少会英语、法语中的一门.其中7人会英语，5人会法语.从中选择会英语和法语的各一人派往两地参加会议，有多少种不同的方法？
第9章 第1节 计数原理与排列组合-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
►规律方法 解决组合应用题的方法
(1)“ 含 有 ” 或 “ 不 含 有 ” 某 些 元 素 的 组 合 题 型 ： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不 含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类 题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义， 谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直 接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
[例 2－1] 3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不 同的排队方案的方法种数．
(3)全体站成一排，男、女各站在一起； 288 (4)全体站成一排，男生不能站在一起． 1440
[自主解答](3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起， 是男生的全排列，有 A33种排法；女生必须站在一起，是女生 的全排列，有 A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，
_m__×__n__种不同的方法．
3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相
互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法
计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个
步骤都完成了才算完成这件事． 4．排列与组合的概念
名称
定义
从 n 个不同元素中 按照_一__定__的_顺__序__排成一
m！（n－m）！
性质 (3)0！＝1_；Ann＝_n_! (4)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝_C_nm_＋__C_mn_－_1 __
教材拓展
1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无 序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列； 如果与顺序无关，则是组合．
2025数学大一轮复习讲义人教版 第十章 基本计数原理与排列组合
自主诊断
2.(多选)下列结论正确的是
√A.3×4×5＝A35
B.C25＋C35＝C26 C.若 Cx10＝C210x－2，则 x＝3
√D.C07＋C27＋C47＋C67＝64
知识梳理
2.排列与组合的概念
名称 排列 组合
定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个 按照 一定的顺序 排成一列
对象
作为一组
知识梳理
3.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有 排列 的个数. (2)组合数：从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有 组合 的个数.
自主诊断
3.书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第 3层放有6本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为 __1_5___，从第1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为___1_2_0___.
由分类加法计数原理知，从书架上任取1本书，不同的取法种数为4＋ 5＋6＝15.由分步乘法计数原理知，从1,2,3层各取1本书，不同的取法 种数为4×5×6＝120.
第十章
§10.1 基本计数原理与排列组合
课标要求
1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.理解排列、组合的概念. 3.能利用基本计数原理、排列组合解决简单的实际问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.基本计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中 有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn 种不同的 方法. (2)分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不 同的方法.那么完成这件事共有N＝ m1×m2×…×mn 种不同的方法.
计数原理和排列组合
计数原理、知识要点1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m!种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N= _____________ 种不同的方法。
注意：1 )分类要全、清； 2 )任何一种方法均能完成此事；3)各类方法相互独立。
2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m!种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有的N=________________________________________________________________________________ 种不同的方法。
注意：1 )各步方法数相互独立；2)每步均完成后才能完成这件事。
3、用两个原理解决实际问题时可按下列步骤进行思考：(1)做什么事？定目标；(2 )怎么做？一一定方法(分类、分步、先分类后分步、先分步后分类等) ；(3)确定每类或每步的方法数；(4)利用原理计算出方法总数并作答。
二、例题分析：例1 :从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？例2 :如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。
从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？三、巩固练习：1.某班级有男三好学生5人，女三好学生4人。
(1)从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法?2、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？3、一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字组成，可以设置多少种三位数的密码4、如图,从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？甲地地到丙地有2条路可通。
计数原理与排列组合课堂PPT
(3)前后排问题，直排法.
授课：XX
10
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？
排在甲、乙2人中间，有 种排法，这时把已排好的5人视
为一整体，与最后剩下的2人再排，又有 种排法，这样
总共有
＝720种不同排法．
授课：XX
12
(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有 种排法；由 于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法；最后
把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定 公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
C A n m n (n 1 )n (2 ) (n m 1 )
n!
(nm)!
授课：XX
m n(n 1)n(2) (nm 1)
n n!
m !
nHale Waihona Puke !m!34。解排列组合问题基本思路
排 有序 排列 分类或分步 直接法
列 组
不易解
合
间接法
问
题
无序 组合 分类或分步
不易解 直接法
授课：XX
4
题型2 可重复元素排列问题 【例2】五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一
项，报名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比
赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少 种？
解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．
(完整版)两个计数原理与排列组合知识点及例题(最新整理)
m
1
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1n
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1 ! n
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n 1 !n
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C m1 n2
右
另法：利用公式
C
m n
Cm n1
C
m1 n1
推得
左
C m1 n
C nm
C
m n
C m1 n
C m1 n1
Cn n1
C m1 n2
右
点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质
并列需要分类计算
解：（1）A 中每个元都可选 0,1,2 三者之一为像，由分步计数原理，共有 3 3 3 3 34 个不同
映射
（2）根据 a, b, c, d 对应的像为 2 的个数来分类，可分为三类：
第一类：没有元素的像为 2，其和又为 4，必然其像均为 1，这样的映射只有一个；
第二类：一个元素的像是
（1）6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人； （2）6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾； （3）从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒； （4）6 人排成一排，甲、乙必须相邻； （5）6 人排成一排，甲、乙不相邻； （6）6 人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）
根据分类计数原理和点 A 共面三点取法共有 3C53 3 33 种
（2）取出的 4 点不共面比取出的 4 点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取 4 点（ C140
例 1 完成下列选择题与填空题
计数原理和排列组合教案
计数原理和排列组合教案【教案目标】1. 理解计数原理的基本概念和应用；2. 掌握排列组合的基本知识和技巧；3. 能够运用计数原理和排列组合解决实际问题。
【教案内容】一、计数原理的基本概念A. 计数原理的分类1. 乘法原理2. 加法原理B. 计数原理的应用1. 排列计数问题2. 组合计数问题二、乘法原理的应用A. 乘法原理的定义B. 定理证明与例题解析C. 真实应用场景案例分析三、加法原理的应用A. 加法原理的定义B. 定理证明与例题解析C. 真实应用场景案例分析四、排列组合的基本概念A. 排列的定义B. 组合的定义C. 排列组合的区别与联系五、排列和组合的计算方法A. 排列计算公式B. 组合计算公式C. 排列组合的应用案例分析六、计数原理和排列组合的综合应用A. 综合计数问题的解决方法B. 综合案例解析与思考七、课堂练习与讲评A. 计数原理和排列组合的基础练习题B. 学生课堂互动与讲解答疑【教学步骤】一、导入部分利用实际生活中的例子引导学生认识计数原理的重要性，并激发学生对数学的学习兴趣。
二、教学过程1. 计数原理的基本概念讲解与案例分析2. 乘法原理的应用讲解与示例演练3. 加法原理的应用讲解与示例演练4. 排列组合的基本概念讲解与案例分析5. 排列和组合的计算方法介绍与练习6. 计数原理和排列组合的综合应用实例讲解与思考三、课堂练习与讲评布置一些练习题，让学生在课堂上解答并讲解答案，及时纠正错误，并对正确答案进行讲评。
四、课堂总结与作业布置小结本节课所学的内容，概括计数原理和排列组合的要点，并布置相应的作业，以巩固已学知识。
【教学工具】黑板、彩色粉笔、PPT演示文稿、学生课本、练习题集。
【教学评价】通过学生在课堂练习中的表现和作业的完成情况，以及对学生的随堂测试，来评价他们对计数原理和排列组合的掌握程度。
【教学延伸】可以对计数原理和排列组合的应用进行深入研究，并引导学生通过自主学习来扩展应用，激发学生的创新思维和解决问题的能力。
计数原理与排列组合知识点总结
计数原理与排列组合知识点总结在数学的领域中，计数原理与排列组合是非常重要的概念，它们在解决许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
接下来，咱们就一起深入地探讨一下这部分的知识。
一、计数原理1、分类加法计数原理完成一件事，如果有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
比如说，从甲地到乙地，可以坐火车、汽车或者飞机。
如果坐火车有 3 种车次可选，坐汽车有 2 种路线可选，坐飞机有 1 种航班可选，那么从甲地到乙地一共有 3 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 6 种不同的出行方式。
2、分步乘法计数原理完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
例如，从 A 城市到 C 城市需要在 B 城市中转。
从 A 到 B 有 2 条路线可走，从 B 到 C 有 3 条路线可走，那么从 A 到 C 一共有 2×3 ＝ 6 条不同的路线。
这两个计数原理的区别在于：分类加法计数原理是“分类完成”，每一类中的方法都能独立完成这件事；分步乘法计数原理是“分步完成”，每个步骤相互依存，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成。
二、排列1、排列的定义从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
比如，从 1、2、3 这三个数字中取出 2 个数字进行排列，有 12、21、13、31、23、32 这六种情况。
2、排列数的定义从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A(n, m)表示。
高考数学一轮总复习第九章9_1计数原理与排列组合课件理新人教A版
等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3
B．4
C．6
D．8
(2)(2017·高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数
字是偶数的四位数，这样的四位数一共有
个．(用数字作答)
(3)(2018·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使
种选法；再从余下的5本中选2本，有C
2 5
种选法；最后余下3本全
选，有C33种选法．
故共有C16C25C33＝60(种)．
②有序不均匀分组问题．
由于甲、乙、丙是不同的三人，在①的基础上，还应考虑再分配，共有C
2．分步乘法计数原理的用法及要求 (1)用法：应用分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程进行“分步” 计算． (2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一步都不能单独完成这件事，只有当各 个步骤都完成，才算完成这件事． 3．使用这两个原理时，分清是应用“加法”原理，还是“乘法”原理或是两者同时都 用．
答案：B
(3)在奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须 在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有
种．
答案：2 880
考点二|排列问题 (方法突破)
【例2】 (1)室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他
法三
(等机会法)：9个人全排列有A
9 9
种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，
依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241 920(种)．
法四 (间接法)：A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．
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计数原理与排列组合计数原理一、知识导学1.分类计数原理：完成一件事ｎ类办法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法.2. 分步计数原理：完成一件事分成ｎ个步骤，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.二、经典例题导讲[例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ）A ．12 种B ．7种C ．24种D ．49种分析：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种. ∴应选D ．[例3]三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.解：解法一 第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有32＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数.[例5] 用0，1,2，3,4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（3）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？解：（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.（3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个四、典型习题导练1．将4个不同的小球放入编号为1、2、3的三个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有（ ）A ．43种B ．34种 C ．18种 D ．36种2某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？排列与组合一、知识导学1.排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.2.全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列.3. 排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数.用符号mn A 表示.4. 阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示.规定：0！＝15.组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.6.组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有组合的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数.用符号mn C 表示.7.本节公式（1）排列数公式 )1()3)(2)(1(+-⋅⋅⋅---=m n n n n n A m n （这里ｍ、ｎ∈*N ，且ｍ≤ｎ）（2）组合数公式n m n n n n n A A C m mm n mn )1()3)(2)(1(+-⋅⋅⋅---==（这里ｍ、ｎ∈*N ，且ｍ≤ｎ）（3）组合数的两个性质m n n m n C C -= 规定：10=n C11-++=m nm n m n C C C二、疑难知识导析1．常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题.解排列应用题时应注意以下几点：)!(!m n n A m n -=)!(!!m n m n C m n -=①认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法.②弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考.解排列应用题的基本思路：①基本思路：直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数. ②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等.4．对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.三、经典例题导讲元素多于位置[例1] 10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？分析：原问题抽象为从10个元素中作取6个元素占据6个不同的位置.显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题.从而，共有610A ＝151200种坐法. 捆绑法和插入法的应用[例4] 4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？（5）女生顺序已定的坐法有多少种？解：⑴从整体出发，视四名男生为一整体，看成一个“大元素”，与三名女生共四个元素进行排列，有44A 种坐法；而大元素内部的小元素间又有44A 种坐法.故共有44A 44A ＝576种坐法.⑵因为女生 互不相邻，故先将4名男生排好，有44A 种排法；然后在男生之间及其首尾的5个空档中插入3名女生，有35A 种排法.故共有44A 35A ＝1440种排法. ⑶类似（1）可得：334422A A A ⋅⋅＝288种⑷男生排好后，要保证男生互不相邻、女生也互不相邻，3名女生只能排在男生之间的3个空档中，有33A 种排法.故共有44A 33A ＝144种排法.⑸7个元素的全排列有77A 种，因为女生定序，而她们的顺序不固定时有33A 排法，可知77A 中重复了33A 次，故共有77A ÷33A ＝47A ＝840种排法.本题还可这样考虑：让男生先占7个位置中的4个，共有47A 种排法；余下的位置排女生，因为女生定序，故她们只有1排法，从而共有47A ＝840种排法. 解排列组合应用题的策略1.相邻问题捆绑法:例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种3.定序问题缩倍法:在问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()⋃=+-⋂.n A B n A n B n A B例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70种B、64种C、58种D、52种四、典型习题导练1．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？2.有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人.（1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少种分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（4）平均分成三堆，每堆2本，有多少种分法？。