信号与线性系统分析重要公式汇总
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《信号与线性系统分析》重要公式
《信号与线性系统分析》重要公式信号与线性系统分析是电子信息专业重要的基础课程之一，具有重要的理论和实际应用价值。
随着信息技术的快速发展，信号与线性系统的研究在通信、图像处理、音频处理、控制系统等各个领域都扮演着重要的角色。
本文将介绍信号与线性系统分析中的一些重要公式，帮助读者更好地理解和应用信号与线性系统分析。
1.线性系统的定义：-叠加定理：线性系统对两个输入信号的线性组合作用后的响应等于对每个输入信号分别进行线性系统的响应再进行线性组合，即y(t)=a1*x1(t)+a2*x2(t)=>H[a1*x1(t)+a2*x2(t)]=a1*H[x1(t)]+a2*H[x2 (t)]-时间因果性：线性系统的输出，必须要随着输入的改变而改变，即输出仅依赖于当前和过去的输入值，而与未来的输入无关。
-线性系统的时不变性：线性系统的性质和特性在不同时刻都是不变的，即系统的输出只依赖于当前的输入和系统的当前状态。
-线性系统的稳定性：当输入系统后，输出会逐渐趋于有限值的性质。
2.常见信号的基本性质：-单位冲激函数δ(t)：在t=0时刻取值为无穷大，其他时刻取值为0，可以表示信号的零值以外的非零值。
-单位阶跃函数u(t)：在t=0时刻取值为0，t>0取值为1，可以表示信号的跃迁性质。
-正弦信号：具有周期性的函数，可表示信号的频率和相位。
-矩形信号：具有有限宽度和平坦的值，可表示信号的持续时间。
3.傅里叶级数与傅里叶变换：-傅里叶级数：将周期性信号分解为一系列正弦和余弦函数，以求得信号频谱的方法。
-傅里叶变换：将非周期性信号分解为连续频谱的方法，常用于信号的频谱分析和滤波等应用。
-时域与频域的转换关系：傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，反之，傅里叶逆变换可以将信号从频域转换到时域。
4.系统的频率响应：- 时域脉冲响应h(t)与频域频率响应H(f)的关系：频域频率响应等于时域脉冲响应与复指数e^(-j2πft)的卷积。
《信号与系统》重要公式
《信号与系统》重要公式信号与系统是电子信息类专业的一门重要课程，其中涉及到许多重要的公式。
下面是《信号与系统》中的一些重要公式。
1.线性系统的叠加性质：对于系统的输入信号x(t)和输出信号y(t)，以及系统的响应函数h(t)，有如下关系：h(a*x(t)+b*y(t))=a*h(x(t))+b*h(y(t))2.线性时不变系统的冲击响应函数：线性时不变系统的输出可以由输入和系统的冲击响应函数进行卷积运算得到：y(t)=x(t)*h(t)3.冲击函数的性质：冲击函数的面积等于单位冲击高度，即：∫h(t)dt = 14.线性卷积的性质：对于两个信号x(t)和y(t)进行卷积运算，然后再对结果进行线性组合，等于先对每个信号进行线性组合，再进行卷积运算：a*(x(t)*y(t))+b*(z(t)*y(t))=(a*x(t)+b*z(t))*y(t)5.单位冲击响应函数的性质：线性时不变系统的冲击响应函数和移位后的冲击函数进行卷积运算等于移位后的输出：h(t)*δ(t-t0)=h(t-t0)6.单位冲击响应函数和冲击响应函数的性质：系统的输出信号可以由冲击响应函数与输入信号通过卷积运算得到：y(t)=x(t)*h(t)7.卷积和频率域的乘积：信号的卷积运算可以转化为信号的频率域乘积运算，即傅里叶变换的频率域乘积等于两个信号的傅里叶变换之间的乘积：F{x(t)*y(t)}=F{x(t)}*F{y(t)}8.线性相位系统的频率响应函数：对于一个线性相位系统，其频率响应函数H(f)满足以下公式：H(f) = ，H(f)， * exp(j*ϕ(f))9.系统的频率响应函数与冲击响应函数的关系：系统的频率响应函数是冲击响应函数的傅里叶变换，即：H(f)=F{h(t)}10.系统的幅频特性：系统的幅频特性是指系统对不同频率的输入信号的幅度变化情况。
幅频特性可以通过频率响应函数的模进行描述，即：H(f)以上是《信号与系统》中的一些重要公式，它们是理解和分析信号与系统的重要工具。
信号与系统公式大全
信号与系统公式大全1.傅里叶变换公式：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dtf(t)=∫F(ω)e^(jωt)dω2.傅里叶级数公式：f(t) = a_0/2 + ∑[a_n*cos(nωt) + b_n*sin(nωt)] a_n = (2/T)∫[f(t)*cos(nωt)]dtb_n = (2/T)∫[f(t)*sin(nωt)]dt3.傅里叶变换与傅里叶级数之间的关系：F(ω)=2π∑[a_n*δ(ω-nω_0)+b_n*δ(ω+nω_0)]a_n=f(nT)/Tb_n=04.系统均方根误差公式：E = √(∫[y(t)-x(t)]^2dt)5.窄带系统的频率响应公式：H(ω)=，H(0)，*e^(jφ)φ=∠H(ω)-∠H(0)6.线性时不变系统的冲激响应公式：h(t)=L^{-1}[H(ω)]7.卷积公式：y(t)=h(t)*x(t)=∫h(τ)x(t-τ)dτ8.卷积定理：F_y(ω)=H(ω)F_x(ω)9.线性时不变系统的输入-输出关系公式：y(t)=x(t)*h(t)10.系统频率响应的幅度与相位关系：H(ω)=，H(ω)，*e^(j∠H(ω))11.奇谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*sin(kωt)]dt12.偶谐信号的频谱：F(ω)=∑[C_k*δ(ω-2kπ/T)]C_k = (2/T)∫[f(t)*cos(kωt)]dt13.系统频率响应的单位脉冲响应关系：H(ω) = ∫h(t)e^(-jωt)dt以上是信号与系统中的一些重要公式，这些公式是理解和分析信号与系统的基础。
在学习时，我们可以通过掌握这些公式，理解它们的意义和用途，以便更好地应用在实际问题中。
同时，信号与系统还涉及到很多其他的公式和定理，如采样定理、拉普拉斯变换、Z变换等，这些内容超过1200字无法一一列举。
如果对这些公式有更进一步的了解，推荐阅读相关的教材和参考资料，以便更好地理解信号与系统的知识。
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式总结一、信号的基本概念：1.离散信号：在离散时间点上取值的信号，用x[n]表示。
2.连续信号：在连续时间上取值的信号，用x(t)表示。
3.周期信号：在一定时间内重复出现的信号。
4.能量信号：能量信号的能量有限，用E表示。
5.功率信号：功率信号的能量无限，用P表示。
二、时域分析：1. 时域表示：x(t) = X(t)eiωt，其中X(t)是振幅函数，ω是角频率。
2.常用信号的时域表示：- 矩形脉冲信号：rect(t/T)- 三角函数信号：acos(ωt + φ)-单位跳跃信号：u(t)-单位斜坡信号：r(t)3.信号的分解与合成：线性时不变系统能够将一个信号分解为若干个基础信号的线性组合。
4.性质：-时域平移性：如果x(t)的拉普拉斯变换是X(s)，那么x(t-t0)的拉普拉斯变换是e^(-t0s)X(s)。
-线性性：设输入信号的拉普拉斯变换为X(s)，系统的拉普拉斯变换表达式为H(s)，那么输出为Y(s)=X(s)H(s)。
-倍乘性：设输入信号拉普拉斯变换为X(s)，输出信号的拉普拉斯变换为Y(s)，那么输出信号的拉普拉斯变换为cX(s)，即输出信号的幅度放大为c倍。
-时间反转性：x(-t)的拉普拉斯变换是X(-s)。
-时间抽取性：设输入信号的拉普拉斯变换为X(s)，那么调整时间尺度为t/T的信号的拉普拉斯变换为X(s/T)。
三、频域分析：1.傅里叶级数：将周期信号表示为一系列谐波的和。
2.离散傅里叶变换（DFT）：将离散信号从时域变换到频域的过程。
3.傅里叶变换：将连续信号从时域变换到频域的过程。
4.频域表示：- 矩形函数：sinc(ωt) = sin(πωt)/(πωt)- 高斯函数：ft(x) = e^(-πx^2)5.频域滤波：系统的传输函数是H(ω)，那么输出信号的频率表示为Y(ω)=X(ω)H(ω)。
四、信号与系统的系统分析：1.系统稳定性：-意义：系统稳定指的是当输入有界时，输出有界。
信与线性系统分析重要公式
信与线性系统分析重要公式线性系统分析是电路理论和控制理论中的重要内容，其涉及的公式也相对较多。
下面将介绍一些线性系统分析中的重要公式，包括线性系统的传递函数、频率响应等。
1.传递函数：传递函数是描述线性系统输入输出关系的重要工具，可以表示为：H(s)=Y(s)/X(s)其中，H(s)为传递函数，s为复变量，Y(s)为输出信号的拉普拉斯变换，X(s)为输入信号的拉普拉斯变换。
2.系统阶数：系统的阶数是指传递函数中最高次项分子多项式的阶数与分母多项式的阶数中较大者。
阶数可以决定系统的稳定性及动态性能。
3.零极点分布：传递函数的零点和极点对系统的频率特性和稳定性有很大影响。
零点是使传递函数为零的s值，极点是使传递函数为无穷大的s值。
4.极点及零点对应的频率响应：对于一阶系统，其频率响应可以表示为：H(jω)=，H(jω)，*e^(jφ)其中，H(jω)为频率响应，H(jω)，为幅频响应，φ为相频响应。
5.系统的稳定性判据：对于线性时不变系统，其稳定性可以通过判断传递函数的极点位置来进行判定。
当所有极点实部小于零时，系统是稳定的。
6.单位阶跃响应：单位阶跃信号是一种特殊的输入信号，对于线性系统，可以通过传递函数计算出输出信号的单位阶跃响应。
单位阶跃响应关注的是系统的动态性能。
7. 系统的频率响应：频率响应是指线性系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过频率响应，可以了解系统的通频带特性以及对不同频率信号的衰减和相位变化。
常用的频率响应图形包括Bode图、Nyquist图等。
8.系统的稳定域：对于控制系统，稳定性判据还可以通过频率响应的幅值结果进行判断。
当幅频响应在所有频率上均小于1时，系统是稳定的。
9.系统的增益裕度：增益裕度是稳定性的定量指标，可以表示为系统的幅频响应曲线与稳定界限之间的垂直距离。
10.系统的相位裕度：相位裕度是稳定性的定量指标，可以表示为系统的相频响应曲线与稳定界限之间的水平距离。
这些是线性系统分析中的一些重要公式，可以用于分析系统的稳定性、动态性能以及频率特性等。
信号与系统默写公式
信号与系统默写公式以下是一些常用的信号与系统公式：1. 傅里叶变换公式：$$ F[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi ft} dt $$其中，$F[f(t)]$ 是 $f(t)$ 的傅里叶变换。
2. 傅里叶逆变换公式：$$ f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} F[f(t)] e^{j2\pi ft} dt $$其中，$F[f(t)]$ 是 $f(t)$ 的傅里叶变换。
3. 拉普拉斯变换公式：$$ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt $$其中，$F(s)$ 是 $f(t)$ 的拉普拉斯变换。
4. 拉普拉斯逆变换公式：$$ f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(s) e^{st} ds $$ 其中，$F(s)$ 是 $f(t)$ 的拉普拉斯变换，$c$ 是任意实数。
5. 傅里叶分析中的三大变换关系：- 傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系：$$ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-st} dt - \int_{-\infty}^{0} f(t) e^{-st} dt $$- 傅里叶变换与Z变换的关系：$$ F(z) = \int_{0}^{\infty} f(t) z^{-t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) z^{-t} dt - \int_{-\infty}^{0} f(t) z^{-t} dt $$- 拉普拉斯变换与Z变换的关系：$$ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} f(t)(z/r)^{t} dt/r $$其中，$z$ 是复数，$r$ 是实数。
《信号与线性系统分析》重要公式汇总
信号与线性系统重要公式第一章：信号与系统1.1单位阶跃函数ε(t) 单位冲激函数δ(t )1.2冲激函数的性质：'''''()()()()()(0)()()()(0)()()(0)()(0)()()()(0)()()(1)(0)n n n f t t f t f t t dt f f t t f t f t f t t dt f f t t dt fδδδδδδδδ∞-∞∞-∞∞-∞===-=-=-⎰⎰⎰1111111'''11111''11()()()()()()()()()()()()()()()()()()f t t t f t t t f t t t dt f t t t dt f t f t t t f t t t f t t t f t t t dt f t δδδδδδδδ∞∞-∞-∞∞-∞-=--=-=-=----=-⎰⎰⎰''()()()1()()11()()11()()n n n at t a at t a aat t a a δδδδδδ===()()()()()()()()n n n n t t n t t n δδδδ-=-=-为偶数为奇数1.3线形系统的性质：齐次性 可加性[()]()T af af ∙=∙ 1212[()()][()][()]T f f T f T f ∙+∙=∙+∙11221122[()()][()][()]T a f a f a T f a T f ∙+∙=∙+∙零输入响应，零状态响应，全响应()[{(0)},{0}]x y T x ∙= ()[{0},{()f y T f ∙=∙ ()()()x f y y y ∙=∙+∙第二章 连续系统的时域分析法全解=齐次解（自由响应）()h y t +特解（强迫响应）()p y t 全响应=零输入响应()x y t +零状态响应()f y t()()()h p y t y t y t =+= ()()x f y t y t +零输入响应是指激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用 ()x y t 表示。
《信号与线性系统分析》重要公式汇总
《信号与线性系统分析》重要公式汇总信号与线性系统分析是电子信息工程及相关学科中的重要课程，对于学习者来说，熟悉和掌握相关公式是非常重要的。
下面是《信号与线性系统分析》中一些重要的公式汇总。
一、信号的基本概念与性质：1.单位冲激函数：δ(t)2.单位阶跃函数：u(t)3.奇偶性质：f(-t)=-f(t)，f(t)是偶函数；f(-t)=f(t)，f(t)是奇函数4.时域的线性性质：y(t)=a1f1(t)+a2f2(t)5.周期函数的性质：f(t+T)=f(t)，T为周期6. 时域尺度变换：y(at) = f(bt)7.时域平移变换：y(t-t0)=f(t)8.频域的线性性质：y(t)=a1f1(t)+a2f2(t)9. 延迟性质：F(s) = e^(-st0)F(s)10. 尺度变换：F(as) = (1/a)F(s/a)11.卷积定理：F[f*g]=F[f]×F[g]12.等式性质：F[e^(-at)f(t)] = F[s + a]二、线性时不变系统与系统概念：1.连续时间系统输出的表达：y(t)=∫[h(t-τ)x(τ)]dτ2.离散时间系统输出的表达：y[n]=∑[h[n-k]x[k]]，k取值范围∈(-∞,+∞)3.时不变系统输出与输入的傅里叶变换关系：Y(s)=H(s)X(s)4.线性系统的性质：系统的输出是输入的线性组合；系统对信号的平移不敏感；系统对信号幅度的线性变化三、连续时间系统的传递函数与频率响应：1.传递函数的定义：H(s)=Y(s)/X(s)2.传递函数与输出信号的拉氏变换关系：Y(s)=H(s)X(s)3.传递函数与等效电路：H(s)=Y(s)/X(s)=R(s)/S(s)4.系统的无穷大增益：，H(jω)，→∞5.零极点：分子多项式中令H(s)=0的根和分母多项式中令H(s)=∞的根6.频率响应：H(jω)=，H(jω)，e^(jθ)，θ为相位四、离散时间系统的传递函数与频率响应：1.离散时间线性时不变系统的传递函数：H(z)=Y(z)/X(z)2.离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应：h[n]=Z[x[n]]3.离散时间线性时不变系统的输出：y[n]=∑[h[n-k]x[k]]，k取值范围∈(-∞,+∞)4.离散时间线性时不变系统的传递函数与频率响应的关系：H(z)=X(z)e(z)/Y(z)5.频率响应：H(e^(jω))=，H(e^(jω))，e^(jθ)，θ为相位五、线性系统的稳定性与有限长度冲激响应(LTI)系统：1.有限长度冲激响应(LTI)系统的定义：输出的响应是输入信号与冲激响应的线性组合2.LTI系统的单位脉冲响应：h[n]={1,n=0;0,n≠0}3.稳定性的定义：输入有界时，输出也有界4.必要稳定性条件：系统的传递函数的所有极点都在单位圆内以上是《信号与线性系统分析》中的一些重要公式的汇总。
信号与系统公式总结
信号与系统公式总结在信号与系统的学习过程中，公式总结是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和掌握知识。
下面将对信号与系统中常见的公式进行总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、基本概念公式总结。
1. 信号的分类：连续时间信号，x(t)。
离散时间信号，x[n]2. 基本信号：单位冲激函数，δ(t)或δ[n]阶跃函数，u(t)或u[n]3. 基本性质：奇偶性，x(t) = x(-t)，x[n] = x[-n]周期性，x(t) = x(t+T)，x[n] = x[n+N]二、时域分析公式总结。
1. 基本运算：时移性质，x(t-t0)或x[n-n0]反褶性质，x(-t)或x[-n]放大缩小，Ax(t)或Ax[n]2. 基本运算公式：加法，x1(t) + x2(t)或x1[n] + x2[n]乘法，x1(t)x2(t)或x1[n]x2[n]三、频域分析公式总结。
1. 傅里叶变换：连续时间信号，X(ω) = ∫x(t)e^(-jωt)dt。
离散时间信号，X(e^jω) = Σx[n]e^(-jωn)。
2. 傅里叶变换性质：线性性质，aX1(ω) + bX2(ω)。
时移性质，x(t-t0)对应X(ω)e^(-jωt0)。
频移性质，x(t)e^(jω0t)对应X(ω-ω0)。
四、系统分析公式总结。
1. 系统性质：线性性，y(t) = ax1(t) + bx2(t)。
时不变性，y(t) = x(t-t0)对应h(t-t0)。
2. 系统时域分析：离散卷积，y[n] = Σx[k]h[n-k]连续卷积，y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ。
3. 系统频域分析：系统函数，H(ω) = Y(ω)/X(ω)。
五、采样定理公式总结。
1. 采样定理：连续信号采样，x(t)对应x[n]，x[n] = x(nT)。
重建滤波器，h(t) = Tsinc(πt/T)。
六、傅里叶级数公式总结。
1. 傅里叶级数：周期信号的傅里叶级数展开。
信号与系统公式大全
1 f (k ) = 2π
jθ
)e jθk dθ
af1 (t ) + bf 2 (t ) ↔ aF1 ( jω ) + bF2 ( jω ) f (t ± t 0 ) ↔ e ± jωt0 F ( jω )
af1 (k ) + bf 2 (k ) ↔ aF1 (e jθ ) + bF2 (e jθ ) f (k ± m) ↔ e± jθm F (e jθ ) e ± jkθ 0 f (k ) ↔ F (e j (θ θ 0 ) ) f ( k / n) f ( n ) (k ) = ↔ F (e jnθ ) 0 f ( − k ) ↔ F ( e − jθ ) f1 (k ) * f 2 (k ) ↔ F1 (e jθ ) F2 (e jθ ) f1 (k ) f 2 (k ) ↔ 1 2π
a k sin( βk )ε (k )
az sin β z 2 − 2az cos β + a 2
sgn(t )
1
β3
1 2β 3
[ βt − sin( βt )]ε (t )
a k cosh( βk )ε (k )
a k sinh( βk )ε (k )
az sinh β z 2 − 2az cosh β + a 2
∞ f (t ) ↔ F (η )dη s t
∫
f (k ) ↔ zm k+m
F (η )
f (0) = lim F ( z ) , f (1) = lim [ zF ( z ) − zf (0)]
z →∞
F ( jt ) ↔ 2πf (−ω )
∞
f (0 + ) = lim sF ( s ), F ( s ) 为真分式
信号与系统常用公式
信号与系统常用公式信号与系统是现代电子信息工程学科中的重要基础课程，它涉及到了信号的产生、传输和处理等方面的知识。
在学习和应用信号与系统的过程中，我们经常会使用到一些公式和定理。
本文将为大家介绍一些信号与系统中常用的公式和定理，希望能对大家的学习和工作有所帮助。
一、信号的基本性质：1.基本信号及其性质：矩形信号：rect(t/T) =1，-T/2≤t≤T/20，其他三角信号：tri(t/T) =1-，t/T，-T≤t≤T0，其他正弦信号：sin(ωt) = （e^jωt - e^(-jωt))/(2j)余弦信号：cos(ωt) = （e^jωt + e^(-jωt))/22.对称性：奇对称信号：如果s(t)=-s(-t)，则s(t)是奇对称信号。
偶对称信号：如果s(t)=s(-t)，则s(t)是偶对称信号。
3.平均功率：平均功率：P = lim(T→∞)1/T ∫_(T/2)^(T/2) ，s(t)，^2 dt4.交流分量：交流分量：s_AC=1/2*[s(t)-s_DC]二、线性时不变系统的基本性质：1.线性时不变系统的定义：线性性：s_1(t)+s_2(t)—>LTI—>s_1(t)+s_2(t)时不变性：s(t-t_0)—>LTI—>s(t-t_0)2.系统的冲激响应：系统的冲激响应：h(t) = d(s(t))/dt，其中d是微分算子。
3.系统的单位阶跃响应：系统的单位阶跃响应：H(t)=∫_(-∞)^th(τ)dτ4.线性卷积定理：线性卷积定理：s_1(t)*s_2(t)—>LTI—>S_1(ω)*S_2(ω)三、频域分析：1.傅里叶级数：傅里叶级数：s(t)=∑_(n=-∞)^∞C_n*e^(jω_nt)，其中C_n是频谱系数，ω_n是频率。
2.傅里叶变换：傅里叶变换：S(ω) = ∫_(-∞)^∞ s(t) * e^(-jωt) dt3.周期信号的频谱：周期性信号的频谱：S(ω)=∑_(k=-∞)^∞(1/T)*S(kω_0)*δ(ω-kω_0)，其中S(kω_0)是周期频谱系数。
信号与系统常用公式集
2)(10}Re{),(jw a a t u te at+↔>-natn jw a a t u e n t )(10}Re{),()!1(1+↔>---0,21)],()([sin 11000==-=+--↔-k a ja a w w w w t w δδπkk k t jkw k k akw w a e a ),(200-↔∑∑∞-∞=∞-∞=δπ其余k a a kw w e k tjkw ,0,1),(2100==-↔πδ0,21)],()([cos 11000===++-↔-k a a a w w w w t w δδπ0,1),(21)(0==↔=k a a w t x πδπππk T kw kw c T w k T kw T t T T t t x k 1010101011sin )T (sin sin 22||,0||,1)(=↔⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=∑∞-∞=级：k ,1),2(2)(对全部T a T k w T nT t k k n =-↔-∑∑∞-∞=∞-∞=πδπδw wT T t T t t x 111sin 2||,0||,1)(↔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧><=↔W w Ww jw X tWt ||,0||,1)(sin π1)(↔t δ)(1)(w jw t u πδ+↔0)(0jwte t t -↔-δjw a a a t u e at+↔>-1}Re{),(连续时间傅里叶变换 ∑∑∞-∞==-↔k k n N jk N k k a Nkw e a ),2(2)/2()(πδππ⎩⎨⎧±±==--↔∑∞-∞=kNm N m m k a l w w e k l n jw 其余级数,02,,,1:)2(200πδπ⎩⎨⎧±±±±±==-++--↔∑∞-∞=其余级数,02,,,1:)}2()2({cos 000Nm N m m k a l w w l w w n w k l πδπδπ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±--=-±±==-----↔∑∞-∞=k ,0,,212,,,21:)}2()2({s 000其余级数Nr r k j N r N r r k j a l w w l ww jn inw k l πδπδπ⎩⎨⎧±±==-↔=∑∞-∞=k,02,,0,1)2(21][其余NN k a l w n x k l πδπNN k NN a Nk k N k N N N k a N k w a N n N N n n x k kk k 2,,0,12,0,]2/2sin[)]2/1)(/2sin[()2(22/||,0||,1][1111±±=+=±=≠+-↔⎩⎨⎧≤<≤=∑∞-∞=πππδπk 1:)2(2][对于全部级数Na N kw N kN n k k k k =-↔-∑∑∞-∞=∞-∞=πδπδ0][0jwn en n -↔-δ2)1(11||],[)1(jw n ae a n u a n --↔<+离散时间傅里叶变换jwn ae a n u a --↔<111||],[)2/sin()]2/1(sin[||,0||,1][11w N w N n N n n x +↔⎩⎨⎧>≤ππππππ2,||,0||0,1)(0),(sin sin =⎩⎨⎧≤<≤≤=↔<<=T w W Ww w X W Wc W n W n n 1][↔n δ∑∞-∞=--+-↔k jw k w e n u )2(11][ππδrjw n ae n u a r n r n )1(11][)!1(!)!1(--↔<--+)()()()(jw bY jw aX t by t ax +↔+线性：)()(00jw X e t t x jw t -↔-时移：)(()(00w w j X t x e t jw -↔频移：)()(**jw X t x -↔共轭：)()(jw X t x -↔-时间反转：)(||1)(a jw X a at x ↔尺度变换：)()()(*)(jw Y jw X t y t x ↔卷积：)(*)(21)()(jw Y jw X t y t x π↔相乘：)()(jw jwX t x dtd ↔时域微分：⎰+↔∞)()0()(1)(t -w X jw X jwdt t x δπ积分：)()(jw X dwdjt tx ↔频域微分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-=--∠=∠↔)()(|)(||)(|)}(Im{)}(Im{)}(Re{)}({Re )()()(*jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X jw X t x 实共轭对称：ωπd jw X dt t x 22-|)(|21|)(|⎰⎰∞∞-∞∞=帕斯瓦尔：连续时间傅里叶变换性质)()(][][jw jw e bY e aX n by n ax +↔+线性：)(][00jw jwn e X e n n x -↔-时移：)(][)(00w w j n jw e X n x e -↔频移：)(][**jw e X n x -↔共轭：)(][jw e X n x -↔-时间反转：)(X k n 0k n ],/[][)(jkw k e k n x n x ↔⎩⎨⎧=的倍数不为，的倍数为若时域扩展：)()(][*][jw jw e Y e X n y n x ↔卷积：θπθθπd e Y e X n y n x w j j )()(21][][)(2-⎰↔相乘：）时域差分：jw jw e X e n x n x ()1(]1[][--↔--∑∑∞-∞=--∞=-+-↔k j jw jw k k w e X e X e k x )2()((11][0n πδπ）累加：dwe dX jn nx jw)(][↔频域微分：dwe X n x jw n 222|)(|21|][|⎰∑=∞-∞=ππ帕斯瓦尔定理：离散时间傅里叶变换性质S,1)(全部↔t δ0}Re{,1)(>↔s st u 0}Re{,1)(<↔--s st u 0}Re{,1)()!1(1>↔--s st u n t n n 0}Re{,1)-()!1(1<↔--s st u n t n n as sa t u e at ->+↔-}Re{,1)(as sa t u e at -<+↔--}Re{,1)(-as a s t u e n t n at n ->+↔---}Re{,)(1)()!1(1as a s t u e n t nat n -<+↔---}Re{,)(1)-()!1(-1S,T )-t (全部s T e -↔δ0}Re{,)(][cos 220>+↔s w s st u t w 0}Re{,)(][sin 20200>+↔s w s wt u t w 212121),()()()(R R s bX s aX t bx t ax 至少线性：+↔+Rs X e t t x s t ),()(00-↔-时移：]ROC R )([),(][:s 000中中，则就于在若的平移域平移s s R s s X t x e t s --↔]ROC s R s/a [/),(||1)(中就位于中，则在若时间尺度变换：aR a sX a at x ↔Rs X t x ),()(***↔共轭：212121),()()(*)(R R s X s X t x t x 至少卷积：↔R),(至少时域微分：s sX xt dtd↔Rs X dsdt tx s ),()(↔-域微分：}0}{Re{s R [)(1)()(t->↔⎰∞至少时域积分：s X sd x ττa s w a s as t u t w e at->+++↔-}Re{,)()(]cos [2020a s w a s w t u t w e at ->++↔-}Re{,)()(]sin [22000}Re{,1)]([)(>↔=-s st u t u n n 拉普拉斯变换njw N k ktjkw k k e a n x ea t x 00)()(->=<∞-∞=∑∑==∑∑>=<∞-∞===N k njkw kjw ktjkw k keeH a n y ejkw H a t y 000)()()()(0LTI 输入周期信号为x(t)或x(n),其输出y(t)或y(n)如下：∑⎰∞-∞=--∞∞-==n nstzn h z H dt et h s H )()()()(tjkw k kea t x 0)(∑∞-∞==dte t x Ta t jkw Tk 0)(1-⎰=连续时间级数 dwe e X n x jwn jw )(21][2⎰=ππ∑∞-∞=-=n jwnjwen x e X ][)( 离散时间级数∑>=<=N k njkw kea n x 0][∑>=<-=N k njkw k en x Na 0][1 离散时间级数连续时间傅里叶dwejw X t x jwt)(21)(⎰∞∞-=πdte t x jw X jwt-∞∞-⎰=)()(。
信号与系统常用公式汇总_
信号与系统常用公式汇总_1.傅里叶级数公式：信号x(t)的周期为T时，它的傅里叶级数展开式为：x(t) = a0 + Σ(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))，其中n为整数，ω0 = 2π/T，an和bn为傅里叶系数。
2.傅里叶变换公式：连续时间信号x(t)的傅里叶变换为：X(ω) = ∫( -∞到+∞ ) x(t)*e^(-jωt)dt。
3.逆傅里叶变换公式：连续频率信号X(ω)的逆傅里叶变换为：x(t)=(1/2π)*∫(-∞到+∞)X(ω)*e^(jωt)dω。
4.傅里叶变换对称性：X(-ω)=X(ω)*，即傅里叶变换对称于原点。
5.卷积定理：连续时间卷积的傅里叶变换等于信号的傅里叶变换之积，即：x(t)*h(t)的傅里叶变换为X(ω)*H(ω)。
6.系统频率响应：系统的频率响应H(ω)是指系统对频率为ω的输入信号的增益和相位的影响。
7.系统单位冲激响应：系统对单位冲激信号δ(t)的响应称为系统的单位冲激响应h(t)。
8.系统的冲激响应和频率响应的关系：系统的冲激响应h(t)和频率响应H(ω)满足傅里叶变换的关系：H(ω) = ∫( -∞到+∞ ) h(t)*e^(-jωt)dt。
9.系统的传递函数：系统的传递函数H(ω)是频率响应H(ω)的傅里叶变换。
10.系统的单位阶跃响应：系统对单位阶跃信号u(t)的响应称为系统的单位阶跃响应s(t)。
11.傅里叶变换的线性性质：对于信号x(t)和y(t)和常数a和b，有以下性质：a*x(t)+b*y(t)的傅里叶变换为a*X(ω)+b*Y(ω)。
12.傅里叶变换的时移性质：对于信号x(t)，有以下性质：x(t-t0)的傅里叶变换为e^(-jωt0)*X(ω)。
13.周期信号的傅里叶变换：周期信号x(t)的傅里叶变换可以通过傅里叶级数的频谱乘以δ函数的序列得到。
14.采样定理：若连续时间信号x(t)的带宽为BHz，则它的采样频率应大于2BHz，以避免采样失真。
信号与系统公式总结
信号与系统公式总结信号与系统是电子信息类专业中非常重要的一门课程，它是基于数学和工程学原理的理论与实践的结合。
信号与系统公式总结作为这门课程的核心内容，在学习和应用中起着重要的作用。
下面将对信号与系统中的常用公式进行总结，以供参考。
一、信号及其表示公式1. 常数信号: x(t) = A (常数值 A)2. 常函数信号: x(t) = A, t∈[t1, t2]，否则 x(t)=0，其中 t1<t<t23. 正弦信号: x(t) = A*sin(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位4. 余弦信号: x(t) = A*cos(ωt+θ)，其中A为振幅，ω为角频率，θ为初相位5. 单位阶跃信号: u(t) = 1，t≥0，否则 u(t) = 06. 单位冲激信号: δ(t) = 0，t≠0，否则δ(t) = ∞二、信号运算公式1. 平移公式: y(t) = x(t-T) (平移单位为 T，右移 T 为正，左移 T 为负)2. 缩放公式: y(t) = A*x(a*t) (缩放比例为 a，若 a>1，信号变化幅度增大；若0<a<1，信号变化幅度减小)3. 均值公式: RMS = sqrt((1/T)*∫(x(t)^2)dt) (T为时间区间，x(t)为信号函数)4. 线性运算公式: y(t) = a*x(t) + b*y(t) (y(t)表示输出信号，x(t)表示输入信号，a和b为常数)5. 卷积公式: y(t) = ∫[x(τ)*h(t-τ)]dτ (卷积公式是时间域中输入信号和系统响应的乘积积分，表示系统的输出)三、系统性质与稳定性公式1. 线性性质: L(a*x1(t)+b*x2(t)) = a*L(x1(t)) + b*L(x2(t)) (x1(t)和x2(t)为输入信号，a和b为常数，L()表示对信号进行线性处理)2. 时不变性质: 若输入信号延时 T 后输出信号也延时 T，即 y(t) = L{x(t)}，则 y(t-T) = L{x(t-T)}3. 稳定性性质: 若输入信号 x(t) 有界，输出信号 y(t) 也有界，则系统是稳定的。
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信号与线形系统重要公式第一章：信号与系统1.1单位阶跃函数三⑴单位冲激函数刃)1 ----------1八.1・2冲激函数的性质：匸/⑴勿)〃=/(0)£/(/)<?(r)rf/ = -y(o)匸/⑴少>(f)d2(-l严广购)Siat} = —^(r)S (at)=丄丄$ (/)kr a13线形系统的性质：齐次性WC)] = «/■(•)(•)+a2f2(•)] = aj[f x (•)]+aj[f2(•)]零输入响应，零状态响应，全响应匸/⑴ §(r 皿)〃=厲)/(/)§(/-0 = -利)科(-/)=外(为为偶数刿)(—/)=—於)伽为奇数可加性7U(•)+ 人(•)】=八拆(•)】+ 丁/(•)】儿(•) = 7[{x(0))U0)] 丹(・)=八{0},{/(・)}] 〉，(•)=儿(・)+ 丹(・)第二章连续系统的时域分析法全解二齐次解(自由响应)儿(0+特解(强迫响应)y p(t)全响应二零输入响应儿(/) +零状态响应),(/)y(f)=比⑴+y P (0 =儿⑴+>7 (0零输入响应是指激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用儿(/)表示。
零状态响应是指初始状态为零，仅由激励所引起的响应，用儿(“表示。
儿⑴=£ C.0' 丹⑴=土c占+儿⑴q和q都为待泄系数/-] /-]曲）二自由响应）+》；（/）（强迫响应）二亡C』竹零输入响应）+f c,,0+）』）（零状态响应）/=1 f=! r=l *2.2冲激响应和阶跃响应一个LTI系统，当其初始状态为零，输入为单位冲激函数/（『）时所引尼的响应，简称为冲激响应。
用加/）表示，即冲激响应为激励为》（r）时的零状态响应。
一个LTI系统，当其初始状态为零、输入为单位阶跃函数£（/）时所引起的响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。
用g⑴表示。
阶跃响应是£（/）时，系统的零状态响应。
冲激响应与阶跃响应£（/）的关系：J（r）=空®dt2.3卷积积分/⑴=f、(r) * f2⑴=匚f、(r)/2(r -r)dt零状态响应的另一种方法儿=/(r)*/i(r)2.4卷积积分性质f\G) * [.A+ 扁匕)]=Z O)* + ./； (/) *.A(O[Z (O * Zz (OJ * G) = /； (O * [./i (O * A<O1函数与冲激函数的卷积/(O * 5( J = <?(/)* f(r) = f(r)/(O* -r,) = ^(r-r1)*/(r) = /(r-/,)5(r ——。
)= 5(/ —匚-r2)/(r —— r2) = / (r — r2)*<7(r — r,) = f (j — r、— G)若/'(J = MO)匕AG)，贝|J卷积的微分与积分3.2单位序列和单位序列响应当LTI离散系统的激励为单位序列叹幻时，系统的零状态响应称为单位序列响应，用h（k）表不Q当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列£伙）时，系统的零状态响应，称为单位阶跃响应, 简称阶跃响应，用g伙）表示。
k oog伙）=£ h（i） = 2h伙一丿）单位序列响应与阶跃响应的关系i j=。
力伙）=g（k）— g伙一1）咅（卩）=匸/7（Z-）6/7-连续系统冲激响应与阶跃响应的关系匚：“、clt3・3卷积和/伙）=兀伙严兀伙）=工卷积和的性质 力伙）*乙伙）=£伙）*/；伙）齐伙）*［乙伙）+為伙）］=齐伙）*九伙）+齐伙严兀伙） ［/"）*▲伙）］伙）= /；伙）*皿伙严厶伙）］ 任一序列f （k ）与单位序列的卷积/•伙）W 伙）=£ 3（k -<）*/（/） = f （k ）I ——»6（k — «）水5伙—kj = 6（k -k\—kjf （k _ kjn kj = f gn kjn kj = f （k 严（k _ k 、_=f （k _ k 厂 kj 若/伙）= /】伙严伙），则A （k ）*厶伙一«）= /伙—/）*厶伙）=/伙一匕）/；伙—k t rf 2伙—心匸伙—❻严九伙—k ） = f 伙—k\—kjh(k) = “£(£)*//£ 伙)=< b — a(k + V)b k £:= h第四章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1信号分解为正交函数 4.2傅里叶级数90 30f ⑴=色 + 工色 cos （n 。
/） + 工化 sin （//Qr ）2 /i-l n-I兔_ 12 一U '2 La n =— I \ f(t)cos(nClt)dt.n = 0J,2,••• T匕b n=#J?/(/)sin(”C/)〃/,n = 0,l,2,...其中色，仇为傅里叶系数，Q = y/⑴=牛+ £ A” cosgf +(p n)2 n-JAr = 小=\23、…(p n =-arctan(—)ci.^o = A)=A l2 cos 验〃=12 … b n =_& sin0”“ = 12 …4. 3傅里叶级数的指数形式1 00 1/w=-z “％皿令畀严=1用严=代厶”―2C 乙W）= 士人严n—x1 1 1F n= - A M" =-[4 cos(p n + J4 sin^] = -a - jb H)= *]*”(/ )不"Q(〃, “ = 0, ± 1, ±2,…4. 4傅立叶变换和逆变换L歼7 =長/（少一"叭〃*28 1 f⑴=N叩严土(0在人/）是实函数时：⑴若用）为/的偶函数，即皿曲书，则血）的频谱函数珂“）为G的实函数，且为3的偶函数。
（2）若几）为f的奇函数,即知f 则犬f）的频谱函数F（j 3）为3的虚函数,且为3的奇函数。
编号/(0F(jO1以）T S(I(—)22T S U(—)22 兀g,3)表4J常用傅里叶变换4.5傅里叶变换的性质1 线形q f、(/) + 勺£ ⑴ <■> a百0力)+ a2F2(jco)2奇偶性实部虚部F( jco) =「f = J* f (t )cos( cot )dt - J J* f (t)sin(cot)dt = R(co) + jX (co) = \F( jco^e}^^实部和虚部分别为R(e) = f f(t)cos(a)t)dt X(0)= - J f(t)sin(cot)dt频谱函数的模和相角分别为|WJ/W + x(°)21、若旳)是时间t的实函数，则频谱函数F{jco)的实部/?(/y)是角频率。
的偶函数，虚部X(0)是角频率o的奇函数，是e的偶函数，0(e)是。
的奇函数。
2、如果/⑴是时间/的实函数，并且是偶函数，则F(“y) = R9) = 2『/⑴cos(0f)〃/ 频谱函数F(»等于R(co),它是e的实偶函数3、如果/⑴是时间f的实函数，并且是奇函数，贝ij F(» = JX(d>) = -j2jy(Osin(^Wr 频谱函数F{jco)等于丿％(。
)，它是e的虚奇函数。
4、/(-/)的傅里叶变换若fit)是时间t的实函数F(-je) = R(-e) + jX (-CD)= jX (co) = F\jco)f(~f) o F(-沟)=R(-co) = R(cb). X (co) = -X (一劲则有(1)' |F(;<y)| = |F(-丿©)|,0(c) = -(p(-co)(2)f(-t) F(-jco) = F\jco)(3)如/V) = /(T)，则X(e) = 0, F(» = R(e)如M) = —/(-/),则R9) = 0, F(»= jX(®若fit)是时间t的实函数/?(d?) = -R(-o), X (o) = X (一。
)("|F07y)| = |F(-丿©)|,傾劲=_祕_。
)(2) f(-t) F(-yty) = -F*(j7y)3对称性若f ⑴ o F(沟),则/(”)o 2/rF(e)若/⑴J尸(川),则对实常数& (a^O),有f3)・二FQ-)5时移特性超⑴㈠尺沟),则/(『±/。
)㈠戶如F(沟) 实常数a和b (a^O),荀(at-b) o Le^F(j-} 6频移特性若/⑴J F(je),且①]为常数，贝ij/⑴戶如丰①))]m)cos(如)o 舟尸［加+列)］+ + FU(e—如］厶厶/a)sin(oj) o ；FUS+©)］-［丿尸［八。
一①))］ 7卷积左理时域卷积龙理贝耽⑴水成⑴㈠乐血)迟(沟)频域卷枳立理则/；(0 /(/)《> 丄F\(jg * F2(ja))若血)只斥(沟)总g传®)其中Z(0* /2(0 = £/； (r)./2(r-r>/r8时域微分若f⑴o尸(沟),贝旷)⑴。
(»w F伽)时域积分若/•(/) <•> F(M),则⑴ o/rF(0)d(劲 + 乩邑j39频域微分董/V) o F°e),则(-〃)"/(/) —FS)频域积分務(/) o F{jco).则^F(0)J(0) + — /(/)㈠F(-b(»£ =匸几W 诂匸f（购『伽=£|F（»|2#,®|F（j6y）|2 = g功率谱P=怦换尸（诚=£口蜉马线心取悝邑伴皿）心G）称为/（f）的双边拉氏变换（或彖函数）；/（/）称为F h（s）的双边拉氏逆变换（或原函数）。
（单边）拉普拉斯变换F（5）= J" f（t）e~s，dtr 1-g r（t——）o -------- , Re[j] > -oo 5（f） ol, Re[s] > -J （r） <-> 5 , Re[s] > -oc<r> ---- , Rc[s] > Re(50]5. 2 拉普拉斯变换的性质1 线形®/i (0+O (s) + a2F2(s\ Re[$] > max© ,<r2)0 ssin 0/£(f) <r^ — ---- .cos0/£(f) o ----- ----- .Re[s] > 0•T+0- 厂+0"2尺度变换若f⑴ <-> F(s),Re[$] > b()则对实常数a (a > 0), ^f(at) <r^-F(-),Re[s] > g()Ml d3时移特性若f(f) o F(s), Re[5]> 久且g > 0对实常数贝伙/ —GW -/°)导 e士％F(s), Rc[s] > b° 若/(/) o F(s).Rc[sJ >久且《 > 0 对实常数则/(“/-h)£(at-h)。