湖北省荆州中学高二下学期期中(数学理)
2016-2017学年湖北省荆州市高二下学期期中考试数学(理)试题 7
下学期高二期中考试数学（理科）试卷 命题： 审题：一、选择题（每小题5分，共计50分）1．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 是该椭圆上的任意一点，则的最大值是( )A. B.C.D.3．设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ）A ．若, 则B ．若, 则C ．若, 则D ．若, 则4．若点的坐标为是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为 （ ）A. B.C.D.5．方程表示的曲线是（ ）A. 一个圆和一条直线B. 一个圆和一条射线C. 一个圆D. 一条直线6．已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于 （ ） A ．B ．C ．D ．7．已知是双曲线上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率是（ ）A. 2B.C.D.8．过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知空间四边形OABC 中→OA＝a ，→OB＝b ，→OC＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则→MN等于( )A.21a －32b ＋21c B ．－32a ＋21b ＋21cC.21a ＋21b －21c D.32a ＋32b －21c 10．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是A ．B ．C ．D ．11．已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )A ．B ．C ．4D ．812．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，以双曲线的实轴为直径的圆记为圆，过点作圆的切线，切点为，则以为焦点，过点的椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．已知a ＝(2，－1，3)、b ＝(－1,4，－2)、c ＝(7,7，λ)，若向量a 、b 、c共面，则实数λ＝_____14．双曲线221169y x -=的两条渐近线的方程为_____________.15．定义“正对数”:0,01,ln ln ,1,x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题: ①若0,0a b >>,则ln ()ln b a b a ++=; ②若0,0a b >>,则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>,则ln ()ln ln a a b b+++≥-④若0,0a b >>,则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号)16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______.三、解答题（第17题10分，其余每题12分，合计70分） 17．已知全集U=R ，非空集合{23x A x x -=-＜}0，{()()22B x x a x a =---＜}0. （1）当12a =时，求()U C B A ⋂； （2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.18．已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是真命题，求实数a 的取值范围．19．已知椭圆C 的两个焦点为，离心率．（1）求椭圆C 的方程； （2）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标.20．如图，四棱锥中，底面为平行四边形， ，，底面．（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为，求与平面所 成角的正弦值．21．如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:(II)22．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过点的直线与椭圆交于两点.（1）若直线的斜率为1, 且，求椭圆的标准方程；（2）若（1）中椭圆的右顶点为，直线的倾斜角为，问为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.参考答案理科期中20171．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．C． 11．B．12．D13．9 14．【答案】 15．【答案】①③④ 16．【答案】17．(1);(2) 或试题解析：（１），当时，﹒ 2分， 4分（2）由若是的必要条件，即，可知 8分由，，解得或﹒ 12分考点：1.集合运算；2.必要条件；3.不等式解.18．(－2,2](1－2x)在定义域上单调递增，【解析】解：命题P：函数y＝loga∴0<a<1.又∵命题Q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立，∴a＝2或即－2<a≤2.∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是(－2,2]．19．整理得：３+４k2-m2>0 ①…………………６分设M（x1,y1）、N（x２,y２），………………８分由已知，，且椭圆的右顶点为∴………………9分即也即整理得：解得：或，均满足①当时，直线的方程为，过定点，舍去当时，直线的方程为，过定点，故，直线过定点，且定点的坐标为．20．（1）见解析；（2）.（1）∵，∴，又∵底面，底面，∴又∵，∴平面.而平面，∴平面平面.（2）由（1）所证，平面，所以即为二面角的平面角，即，而，所以.因为底面为平行四边形，，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，令，则∴与平面所成角的正弦值为.21．（1）略，（2）22．（1）（2）最大值为.【解析】试题分析：（1）由题可设出椭圆方程；，先利用条件离心率为，可推出的关系。
湖北省荆州市高二下学期期中数学试卷(理科)
湖北省荆州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·肇庆模拟) 已知复数满足 ,则 =（）A .B .C .D .2. （2分）曲线y=在点（1，1）处的切线为l，则l上的点到圆x2+y2+4x+3=0上的点的最近距离是（）A . -1B . 2-1C . -1D . 23. （2分）用反证法证明“如果a>b，则a3>b3”假设的内容是（）A . a3=b3B . a3<b3C . a3=b3且a3<b3D . a3=b3或a3<b34. （2分）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·榆林模拟) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且，S20=17，则S30为（）A . 15B . 20C . 25D . 306. （2分）(2017·朝阳模拟) 现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（）A . 12B . 24C . 36D . 487. （2分）+可能的值的个数为（）A . 1B . 3C . 2D . 不确定8. （2分）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（）A . 1项B . 项C . 项D . 项9. （2分）+++…+等于（）A . 990B . 120C . 165D . 5510. （2分） (2015高二下·临漳期中) 若（x﹣2）5=a0+a1x+…+a5x5 ，则a1+a2+a3+a4+a5═（）A . 31B . 32C . 33D . ﹣111. （2分） (2018高二下·定远期末) 已知的展开式中，含项的系数为70，则实数的值为（）A . 1B . -1C . 2D . -212. （2分）(2018·衡水模拟) 等比数列中，，函数，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·徐水模拟) 如图，在直角坐标系xOy中，将直线y= 与直线x=1及x轴所围成的图形（阴影部分）绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=π（）2dx= x3| = ．据此类比：将曲线y=x3（x≥0）与直线y=8及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=________．14. （1分）如图，在边长为 e （ e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．15. （1分） (2019高三上·桂林月考) 已知函数，，且，，恒成立，则实数a的取值范围是________．16. （1分）(2017·菏泽模拟) a1= ‘a2= （1﹣a1）= ；a3= （1﹣a1﹣a2）= ；a4= （1﹣a1﹣a2﹣a3）= ；…照此规律，当n∈N*时，an=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高二下·珠海期中) 已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．18. （5分）设z1=a+2i（a∈R），z2=3﹣4i．若z1•z2为纯虚数，求a的值.19. （10分）(2018·滨海模拟) 某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有张印有“一等奖”的卡片，张印有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖元，抽中“二等奖”获奖元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖次停止活动”，求的值；（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取张卡片.① 记表示“小王参加抽奖活动中奖”，求的值；②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求的分布列和数学期望.20. （10分）(2017·泰州模拟) 设（n∈N*，an∈Z，bn∈Z）．（1）求证：an2﹣8bn2能被7整除；（2）求证：bn不能被5整除．21. （5分）(2018·宣城模拟) 已知函数( ，为自然对数的底数).（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.22. （15分）(2017·枣庄模拟) 已知函数f（x）=exsinx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果对于任意的，f（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+excosx，，过点作函数F（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{xn}，求数列{xn}的所有项之和的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
湖北省荆州市高二下学期期中数学试题(解析版)
高二下学期期中数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 10x +=A ．30° B ．45°C ．120°D ．150°【答案】A【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果. tan θk =【详解】∵10x +=∴ y =∴ tan k θ==又∵ [0,)θπ∈∴ 30θ= 故选：A.2．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系.该运动员在t =1s 时的瞬时速度（单位：2() 4.9 4.811h t t t =-++m/s ）为（ ） A ．10.9 B ．-10.9C ．5D ．-5【答案】D【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解． 1t =【详解】解：因为， 2() 4.9 4.811h t t t =-++所以， ()9.8 4.8h t t '=-+令，得瞬时速度为． 1t =5-故选：D.3．圆与圆恰有两条公切线．则a 的取值范围是（ ） 2240x y x +-=22()(3)9x a y -++=A ． B ．C ．D ．()2,6-()4,4-()5,5-()6,6-【答案】A【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意两圆相交，则，即可得到不211221r r C C r r -<<+等式组，解得即可.【详解】解：圆，即，圆心，半径，2240x y x +-=()2224x y -+=()12,0C 1=2r 圆的圆心，半径，22()(3)9x a y -++=()2,3C a -23r =因为两圆恰有两条公切线，则两圆相交，所以， 211221r r C C r r -<<+即，解得，即；15<<26a -<<()2,6a ∈-故选：A4．在正项等比数列中，是的等差中项，则（ ） {}n a 122,4a a =+13,a a 4a =A ．16 B ．27 C ．32 D ．54【答案】D【分析】由题可得，进而可得，即得. ()13224a a a +=+3q =【详解】设数列的公比为，则，{}n a ,0q q >()13224a a a +=+∴，解得，（舍去），()222224q q +=+3q =1q =-∴.342354a =⨯=故选：D.5．设函数在R 上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，()f x ()f x '(1)()y x f x '=-则下列结论中一定成立的是A ．函数有极大值 和极小值 ()f x (2)f (1)fB ．函数有极大值 和极小值 ()f x (2)f -(1)fC ．函数有极大值 和极小值 ()f x (2)f (2)f -D ．函数有极大值 和极小值 ()f x (2)f -(2)f 【答案】D【详解】则函数增；()()2,10,10x x x f x --'->()0f x '>()f x 则函数减；()()21,10,10x x x f x -<--<'()0f x '<()f x 则函数减；()()12,10,10x x x f x <<--'()0f x '<()f x 则函数增；选D.()()2,10,10x x x f x >-<-<'()0f x '>()f x 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减6．等差数列、中的前项和分别为、，，则（ ） {}n a {}n b n n S n T 231n n S nT n =+1010a b =A ．B ．C ．D ．2031192917281627【答案】B【分析】利用等差数列的性质及其前项和公式可得，将代入 即可求解. n 11011099a S Tb =19n =231n n S nT n =+【详解】∵等差数列、中的前项和分别为、，， {}n a {}n b n n S n T 231n n S n T n =+∴.()()1191010191010191191922191921923191292a a a a S b b T b b +⨯=====⨯++故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前项和公式，需熟记公式，属于基础题.n 7．已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）【答案】C【详解】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为()0f x x a ++=有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析()f x x a =--y x a =--()y f x =式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以()f x (0)x e x >y x =-发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 1a -≤y x a =--()y f x =详解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉， ()f x x y e =再画出直线，之后上下移动，y x =-可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解， ()f x x a =--也就是函数有两个零点， ()g x 此时满足，即，故选C.1a -≤1a ≥-点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.8．已知点，过点作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，设直线PA ，PB 的()3,3P -()3,0M 24y x =斜率分别为，，则（ ） 1k 2k 12k k +=A ． B ． C ．2 D ．无法确定1-2-【答案】A【分析】联立直线与抛物线方程，得到，代入两点斜率公式即可化简求解. 1212y y =-【详解】设直线方程为，联立抛物线方程可得，3x my =+24120y my --=设，，可得，211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1212y y =-则 11212112222222121211124123341241241212121212331244y y y y y y k k y y y y y y ⎛⎫-- ⎪-----⎝⎭+=+=+=++++⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭21112211412411212y y y y y ---=+=-++故选：A二、多选题9．下列求导运算正确的是（ ）A ．B ． 233()1x x x'+=+232sin 2cos 4sin (x x x xx x -'=C ．D ．()23[(35)]335x x '+=+(2cos )2ln 2sin x x x x '+=-【答案】BD【分析】利用基本函数的导数公式，导数的运算法则逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 不正确；233(1x x x'+=-对于B ，，B 正确；222232sin 2cos 22sin 2cos 4sin ()()x x x x x x x xx x x ⋅-⋅-'==对于C ，，C 不正确； 322[(35)]3(35)39(35)x x x '+=+⋅=+对于D ，，D 正确. (2cos )2ln 2sin x x x x '+=-故选：BD10．已知曲线C 的方程为，则下列结论正确的是（ ）()221R 15x y k k k +=∈+-A ．当时，曲线C 为圆2k =B ．曲线C 为椭圆的充要条件是 15k -<<C ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则 1k <-D ．存在实数k 使得曲线C 为抛物线 【答案】AC【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征即可逐项判断求解.【详解】对于A ，当时，曲线C 的方程为，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为2k =223x y +=A 正确；对于B ，若曲线C 为椭圆，则，且，所以B 错误；10k +>50k ->15k k +≠-对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则，，解得，所以C 正确； 10+<k 50k ->1k <-对于D ，曲线C 不存在x ，y 的一次项，所以曲线C 不可能是抛物线，所以D 错误． 故选：AC.11．设数列的前n 项和为，，且，则（ ） {}n a n S 11a =23n n S a m =+A ．B ．是等差数列1m =-{}n a C ．D ．113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭312n n S -=【答案】AD【分析】根据的关系，即可求解是首项为1，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公,n n S a {}n a式即可求解.【详解】当时，，因为，所以，故A 正确； 1n =111223S a a m ==+11a =1m =-于是，231n n S a =-当时，，2n ≥11231n n S a --=-所以，即，即， ()111222313133n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-13n n a a -=13nn a a -=所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， {}n a 故，，故BC 错误，D 正确．13n n a -=312n n S -=故选：AD12．在棱长为1的正方体中，为底面的中心，，1111ABCD A B C D -M ABCD 111,(0,1)D Q D A λλ=∈为线段的中点，则（ ）N AQA ．与共面CN QM B ．三棱锥的体积跟的取值无关A DMN -λC ．时，过A ，Q ，M 13λ=D ．14AM QM λ=⊥时，【答案】ABC【分析】由为的中点，得到，可判定A 正确；由到平面的距离为,M N ,AC AQ //MN CQ N ABCD 定值，且的面积为定值，根据，可得判定B 正确，由时，得到12ADM ∆14A DMN N ADM V V --=13λ=三点的正方体的截面是等腰梯形，可判定C 正确；当时，根据,,A Q M ACEQ 14λ=，可判定D 不正确．222AM AQ QM +>【详解】在中，因为为的中点，所以， ACQ A ,M N ,AC AQ //MN CQ 所以与共面，所以A 正确；CN QM由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值， A DMN N ADM V V --=N ABCD 12ADM ∆14所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以B 正确； A DMN -λ当时，过三点的正方体的截面是等腰梯形，13λ=,,A Q M ACEQ所以平面截正方体所得截面的周长为， 2l ==所以C 正确； 当时，可得，14λ=2222219251121,1,()()216162416AM AQ QM ==+==+=则，所以不成，所以D 不正确． 222AM AQ QM +>AM QM ⊥故选：ABC三、填空题13．已知函数，则_________． 2()(1)e x f x f x '=--(1)f '-=【答案】2ee 1-【分析】根据导数的公式，代入求解即可． =1x -【详解】，2()(1)e x f x f x '=--Q ，()(1)e 2x f x f x ''∴=--令，则，=1x -1(1)(1)e 2f f ''--=-+， 2e(1)e 1f '∴-=-故答案为：． 2ee 1-14．直线：截圆的弦为，当取最小值时的值为l 10mx y -+=224640x y x y ++-+=MN MN m __________． 【答案】1【分析】由于直线恒过，所以当直线与定点和圆心连线的直线垂直时，取得最小l ()0,1MN MN 值，从而可求出的值m 【详解】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所l 10mx y -+=()0,1224640x y x y ++-+=()2,3-3=所以则的最小值为：，MN 2=此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得． MN 20131m --=-=-故答案为：． 115．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______． ()2122ln 2f x x x a x =+-()0,∞+a 【答案】(],0-∞【分析】由单调性可知在上恒成立，采用分离变量法可得，由二次函()0f x '≥()0,∞+222a x x ≤+数的最值可求得的范围.a 【详解】在上单调递增，在上恒成立， ()f x ()0,∞+()220af x x x'∴=+-≥()0,∞+即在上恒成立；222a x x ≤+()0,∞+又当时，，，解得：，0x >220x x +>20a ∴≤0a ≤实数的取值范围为.∴a (],0-∞故答案为：.(],0-∞四、双空题16．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是颗珠宝，第二件首饰是由16颗珠宝构成如图所示的正六边形，第三件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第四件1152首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第五件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六283454边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第件首饰上应有________颗珠宝；则第件首饰所用珠宝总数为________颗.（结果6n 用表示）n【答案】 6622n n -【分析】分析数据规律可得，再利用累加法即可求解.143n n a a n --=-【详解】设第件首饰上的珠宝颗数为，则，，，， n n a 11a =26a =315a =428a =545a =因为，，，， 21411a a -=⨯+32421a a -=⨯+43431a a -=⨯+54441a a -=⨯+所以猜想， ()141143n n a a n n --=-+=-所以推断， 6546321a a -=⨯-=即. 652166a a =+=由，143n n a a n --=-则，…, , ()12413n n a a n ---=--21423a a -=⨯-以上各式相加得,()()()()()214124123131212n n n a a n n n n n n -+-=+-++--=--=-- 所以.22n a n n =-故答案为：66；.22n n -五、解答题17．已知函数，的图象在点处的切线为．()2e =-+xf x x a x ∈R 0x =y bx =(1)求a ，b 的值;(2)设，求最小值．()()2g x f x x x =+-()g x 【答案】(1) 11a b =-⎧⎨=⎩(2) 0【分析】（1）求导，利用切线的斜率以及经过的点即可求解，（2）求导得单调性，即可求解最值.【详解】（1），，()2e =-+x f x x a ()e 2xf x x '=-由已知，得 ，解得，()()01001f a f b ⎧=+=='=⎪⎨⎪⎩11a b =-⎧⎨=⎩∴函数的解析式为．()f x ()2e 1xf x x =--（2），则，()()2e 1x g x f x x x x =+-=--()e 1xg x '=-令，则，()0g x '=0x =当时，，此时单调递减 0x <()0g x '<()g x 当时，，此时单调递增， 0x >()0g x '>()g x ∴．()()min 00g x g ==18．已知三点共线，其中是数列中的第n 项. ()(1,1),(2,3),,n A B C n a n a {}n a (1)求数列的通项；{}n a (2)设，求数列的前n 项和.2nn n b a ={}n b n T 【答案】(1)21n a n =-(2)162(23)n n n T +=+-【分析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案；(2)由题可得，利用错位相减法即可求出答案.()2212n nn n b a n ==-⋅【详解】（1）三点共线， ()(1,1),(2,3),,n A B C n a 131121n a n --∴=--21n a n ∴=-（2）(21)2nn n b =-⋅ ①123123252n T =⨯+⨯+⨯∴+⋯(21)2n n +-⨯ ②2342123252n T =⨯+⨯+⨯+ 1(23)2(21)2n n n n ++-⨯+-⨯①—②得()()23122222212n n n T n +-=+++⋯+--⨯21822(21)212n n n ++-=+--⨯-2282n +=-+1(21)2n n +--⨯162(221)n n +=-+-+162(32)n n +=-+-162(23)n n n T +∴=+-19．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，P ABCD -ABCD //AB CD 90BAD ∠=，．222PD DC BC PA AB =====PD CD ⊥(1)求证：平面；PA ⊥ABCD (2)求直线与平面所成角的正弦值．BD BPC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取的中点，连接，证明出，，再利用线面垂直的判定定CD E BE PA AB ⊥PA AD ⊥理可证得结论成立；（2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空A AB AD AP x y z 间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.BD BPC 【详解】（1）证明：由于，，所以，//AB CD 90BAD ∠=CD AD ⊥由于，，、平面，所以平面， PD CD ⊥=PD AD D ⋂PD AD ⊂PAD CD ⊥PAD 平面，由平面，得.AB ∴⊥PAD PA ⊂PAD AB PA ⊥取的中点，连接，CD E BE 因为底面是直角梯形，且，，ABCD //DE AB 222DC DE AB ===90BAD ∠=故四边形为矩形，且且，，ABED AD BE =BE CD ⊥AD BE ∴===所以在中，，，，即，PAD A 1PA =2PD =222AD PA PD +=PA AD ⊥由于，、平面，所以平面.AD AB A ⋂=AB AD ⊂ABCD PA ⊥ABCD （2）解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为PA ⊥ ABCD AB AD ⊥A AB AD AP x、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，yz则、、、、， ()0,0,0A ()1,0,0B ()C ()D ()0,0,1P ，，，()BD =- ()1,0,1PB =-()BC = 设平面的法向量为，则，取， BPC (),,n x y z =00n PB x z n BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩x =n =- 所以，cos ,BD n BD n BD n⋅<>===⋅ 所以，直线与平面. BD BPC 20．已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.{}n a n 3,9n S S =1231,1,3a a a +++（1）求数列的通项公式.{}n a （2）设数列的前项和为，求证: 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 13n T ≥【答案】（1）；（2）证明见解析.21n a n =-【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式.（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果.【详解】（1）由为等差数列，{}n a 39,S =得，则239a =23,a =又构成等比数列，1231,1,3a a a +++所以，()2132()(11)3a a a ++=+即()461,)6(d d -+=解得或(舍)，2d =4d =-所以; 21n a n =-（2）因为， ()()1111121212)21211(n n a a n n n n +=--+-+=所以 12231111n n n T a a a a a a +=+++… 111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11111213221n n n ==≥=+++21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为1，以线段为直2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 12F F 径的圆恰好过椭圆的上、下顶点.C （1）求椭圆的方程；C （2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两x c =2F M 2F N C x M N 点，求证：直线过轴上一定点.MN x 【答案】（1）；（2）证明见解析. 2212x y +=【分析】（1）先求出，之间的等量关系，再结合，，间的关系即可求出椭圆的方程； c b a b c C （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及已知即可得出，的关系，MN C m k 进而即可得到直线所过的定点坐标.【详解】（1）以线段为直径的圆恰好过椭圆的上下顶点，.12F F C c b ∴=，，，1c = 1b =2222a b c ∴=+=椭圆的方程为. ∴C 2212x y +=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，MN MN y kx m =+联立，消去并整理得. 2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()()222124210k x kmx m +++-=设点，，()11,M x y ()22,N x y 则，. 122412km x x k -+=+()21222112m xx k-=+，且由题意知和必存在，212NF F MF A ∠=∠ 2MF k 2NF k .220MF NF k k ∴+=又，，即， 2(1,0)F 1212011y y x x ∴+=--1212011kx m kx m x x +++=--整理得，()121222()kx x m k m x x -=-+得， ()22221422()1212m km k m k m k k ---=-++即，解得，2222222 22km k m k m km k m ---=-2m k =-的方程为.MN ∴2(2)y kx k k x =-=-，()()22221681210k m k m ∆=-+->即，，解得2212k m +>22124k k ∴+>k -<<，位于椭圆轴上方，， M N x 0k <<此时直线过轴上的定点.MN x (2,0)22．已知函数.()ln 1f x x ax =-+（1）当时，求证：恒成立；1a =()0f x ≤（2）若关于的方程至少有两个不相等的实数根，求实数的最小值.x 2()10f x x ++=a 【答案】（1）见证明；（2）3【分析】（1）当时，，求导，研究函数单调性，求最值，证明不等式；1a =()ln 1f x x x =-+（2）将方程转化为，构造函数，求导2ln 20x x ax +-+=ln 2x a x x x =++()()ln 20x x x x x xφ=++>数，研究函数单调性及取值范围，数形结合得的最小值a 【详解】（1）证明：当时，，， 1a =()ln 1f x x x =-+()111x f x x x-=-='令，所以当时，，单调递增；()01f x x ='⇒=()0,1x ∈()0f x '>()f x 当时，，单调递减.()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 故，所以.()()max 10f x f ==()0f x ≤（2）至少有两个根， 2ln 20x x ax +-+=ln 2x a x x x ⇒=++记，所以， ()ln 2(0)x x x x x x φ=++>()22221ln 2ln 11x x x x x x x φ---=+'-=记，所以， ()2ln 1(0)h x x x x =-->()21212x h x x x x ='-=-令舍） ()0h x x x '=⇒==所以当，，单调递减，时，， x ⎛∈ ⎝()0h x '<()h x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0h x '>单调递增，所以的最小值为()h x ()h x， 2ln 1h =--()111ln21ln20222=-+=--<又，所以时，，()10h =()1,x ∈+∞()0h x >又当时，，因此必存在唯一的 1x e =2111ln 1h e e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2211110e e =+-=>，使得.01x e ⎛∈ ⎝()00h x =因此时，，单调递增，，，单调递减，()00,x x ∈()0h x >()x φ()0,1x x ∈()0h x <()x φ()1,x ∈+∞时，，单调递增，画出的大致图象，如图所示()0h x >()x φ()y x φ=因此当时，与至少有两个交点，()()01a x φφ≤≤y a =()y x φ=所以的最小值为.a ()13φ=【点睛】利用导数解决方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数。
湖北省荆州市2018-2019学年高二下学期期中联考理数试题Word版含解斩
湖北省荆州市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）一．选择题1．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠02．命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∈QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q3．若曲线y=x3在点P处的切线斜率为k=3，则点P的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，1），（﹣1，﹣1）D．（2，8），（﹣2，﹣8）4．函数y=x2（x﹣3）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣2，2）5．函数函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）6．函数f（x）=（x2﹣1）2+2的极值点是（）A．x=1 B．x=﹣1C．x=1或x=﹣1或x=0 D．x=07．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，则c的取值范围为（）A．c＜B．c≤C．c≥D．c＞8．椭圆=1过点（﹣2，），则其焦距为（）A．2 B．2 C．4 D．49．若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a等于（）A．2 B．C．D．110．已知抛物线的焦点坐标是F（0，﹣2），则它的标准方程为（）A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y11．曲线f（x）=x3+x﹣2在点P处的切线平行于直线4x﹣y﹣1=0，则点P的坐标为（）A．（1，0）B．（2，8）C．（1，0）或（﹣1，﹣4）D．（2，8）或（﹣1，﹣4）12．设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．二．填空题13．“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的条件．14．若y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，则a=，b=．15．若抛物线y2=8x上有一点P，它到焦点的距离为20，则P点的横坐标为．16．曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．三．解答题17．（10分）已知命题p：x2﹣x≥6，q：x∈Z，并且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．18．（12分）已知命题p：A={x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，命题q：B={x|x2﹣4x+3≥0}．若非q 是p的必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C的方程．20．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16，（1）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程．（2）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=﹣x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．21．（12分）已知椭圆的焦点在x轴上，椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，求椭圆的离心率．22．（12分）已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，（1）若|AB|=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．湖北省荆州市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）参考答案一．选择题1．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0【考点】四种命题．【分析】根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选D．【点评】此类题型考查四种命题的定义与相互关系，一般较简单，但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式．2．命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∈QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是：∀x∈∁R Q，x3∉Q．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．若曲线y=x3在点P处的切线斜率为k=3，则点P的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，1），（﹣1，﹣1）D．（2，8），（﹣2，﹣8）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出点P的坐标（），由函数在点P处的导数值等于3求得x0=±1．则P 点坐标可求．【解答】解：设P（），由y=x3，得y′=3x2．∴．∵曲线y=x3在点P处的切线斜率为k=3，∴，解得：x0=±1．当x0=1时，；当x0=﹣1时，．则点P的坐标为（1，1），（﹣1，﹣1）．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．4．函数y=x2（x﹣3）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据导函数与函数单调性的关系，可得y'＜0，建立不等量关系，求出单调递减区间即可．【解答】解：∵y=y=x2（x﹣3）=x3﹣3x2，∴y′=3x2﹣6x，∴3x2﹣6x＜0即x（x﹣2）＜0∴0＜x＜2，故函数的单调递减区间是（0，2）．故选：C【点评】本小题主要考查运用导数研究函数的单调性等基础知识，考查分析和解决问题的能力．5．函数函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）e x求导，可得f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．故选：D．【点评】本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系．6．函数f（x）=（x2﹣1）2+2的极值点是（）A．x=1 B．x=﹣1C．x=1或x=﹣1或x=0 D．x=0【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，利用导数研究函数的极值问题．【解答】解：函数的导数为f′（x）=2（x2﹣1）•2x，x＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞1，此时函数单调递增．由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，此时函数单调递减．x＜0时，由f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜0，此时函数单调递增．由f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，此时函数单调递减．∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，所以当x=﹣1，1时，函数取得极小值，x=0时，f（x）取得极大值，故选：C．【点评】本题主要考查函数的极值与导数之间的关系．要求熟练掌握复合函数的导数公式是解决本题的关键．7．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，则c的取值范围为（）A．c＜B．c≤C．c≥D．c＞【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由已知中函数解析式f（x）=x3﹣x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）有极值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜．故选：A【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．8．椭圆=1过点（﹣2，），则其焦距为（）A．2 B．2 C．4 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数m，从而得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的a，b，c之间的关系即可求出焦距2c．【解答】解：由题意知，把点（﹣2，）代入椭圆的方程可求得b2=4，故椭圆的方程为，∴a=4，b=2，c===2，则其焦距为4．故选D．【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及椭圆方程中a、b、c之间的关系．9．若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a等于（）A．2 B．C．D．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，可得=4（a＞0），即可求出a的值．【解答】解：由题意=4（a＞0），∴a=1．故选D．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．已知抛物线的焦点坐标是F（0，﹣2），则它的标准方程为（）A．y2=8x B．y2=﹣8x C．x2=8y D．x2=﹣8y【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】先设出抛物线的方程，根据焦点坐标求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：依题意可知焦点在y轴，设抛物线方程为x2=2py∵焦点坐标是F（0，﹣2），∴=﹣2，p=﹣4故抛物线方程为x2=﹣8y．故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的时候注意抛物线的焦点在x轴还是在y轴．11．曲线f（x）=x3+x﹣2在点P处的切线平行于直线4x﹣y﹣1=0，则点P的坐标为（）A．（1，0）B．（2，8）C．（1，0）或（﹣1，﹣4）D．（2，8）或（﹣1，﹣4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，然后设切点为（a，b），根据在P点处的切线平行于直线y=4x﹣1建立等式，解之即可求出a，得到切点坐标．【解答】解：曲线y=x3+x﹣2求导可得y′=3x2+1设切点为（a，b）则3a2+1=4，解得a=1或a=﹣1切点为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故选C．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线平行的应用，属于中档题．12．设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在x轴，然后对选项进行验证即可得到答案．【解答】解：∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由排除D，故选B【点评】本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质．圆锥曲线是高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握．二．填空题13．“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的充要条件．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】若“a=2”成立，判断出两直线平行；反之，当“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”成立时，得到a=2；利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若“a=2”成立，则两直线x+y=0与直线x+y=1平行；反之，当“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”成立时，可得a=2；所以“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的充要条件，故答案为：充要．【点评】本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．14．若y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，则a=﹣，b=﹣．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数的极值点处的导数值为0，列出方程，求出a，b的值．【解答】解：f′（x）=+2bx+1，由已知得：⇒，∴a=﹣，b=﹣，故答案为：﹣，﹣．【点评】本题考查了导数的应用，考查函数极值的意义，是一道基础题．15．若抛物线y2=8x上有一点P，它到焦点的距离为20，则P点的横坐标为18．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|MF|=20，则M到准线的距离也为20，即可得|MF|=x+=x+2=20，进而求出x．【解答】解：∵抛物线y2=8x=2px，∴p=4，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=x+=x+2=20，∴x=18，故答案为：18．【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．16．曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2=0．．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可．【解答】解：y′=﹣5e x，∴y′|x=0=﹣5．因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0．故答案为：5x+y+2=0．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题．三．解答题17．（10分）（2015秋•遵义期末）已知命题p：x2﹣x≥6，q：x∈Z，并且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用已知条件，判断p，q的真假，求解即可．【解答】解：非q为假命题，则q为真命题；p且q为假命题，则p为假命题，即x2﹣x＜6，且x∈Z得﹣2＜x＜3，x∈Z，∴x=﹣1，0，1，2．【点评】本题考查复合命题的真假的判断与应用，是基础题．18．（12分）（2016春•湖北期中）已知命题p：A={x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，命题q：B={x|x2﹣4x+3≥0}．若非q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的解法求出命题p，q的等价条件，然后利用必要条件的定义，即可求a 的取值范围．【解答】解：∵命题p：A={x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，命题q：B={x|x2﹣4x+3≥0}．非q：{x|1＜x＜3，x∈R}，∵非q是p的必要条件则可得a=2∴实数a的取值范围：a=2．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键19．（12分）（2016秋•延安期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】画出图形，结合图形以及椭圆的定义与性质，求出a、b的值，即可写出椭圆的方程．【解答】解：如图所示，设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c；则离心率e==，∴4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16；∴a=4，∴c=×4=2，∴b2=a2﹣c2=42﹣=8；∴椭圆的方程是．【点评】本题考查了椭圆的定义与简单的几何性质的应用问题，解题时应结合图形进行解答问题，是基础题．20．（12分）（2015秋•龙江县期末）已知函数f（x）=x3+x﹣16，（1）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程．（2）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=﹣x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）确定点（2，﹣6）在曲线上，求导函数，可得切线斜率，从而可得切线方程；（2）利用曲线y=f（x）的某一切线与直线y=﹣x+3垂直，可得斜率的积为﹣1，从而可求切点坐标与切线的方程．【解答】解：（1）∵f（2）=23+2﹣16=﹣6，∴点（2，﹣6）在曲线上．…（2分）∵f′（x）=（x3+x﹣16）′=3x2+1，∴在点（2，﹣6）处的切线的斜率为k=f′（2）=3×22+1=13．…∴切线的方程为y=13（x﹣2）+（﹣6），即y=13x﹣32．…（2）∵切线与直线y=﹣+3垂直，∴斜率k=4，∴设切点为（x0，y0），…（7分）则f′（x0）=3x+1=4，∴x0=±1，x0=1时，y0=﹣14；x0=﹣1，y0=﹣18，即切点坐标为（1，﹣14）或（﹣1，﹣18）．…（9分）切线方程为y=4（x﹣1）﹣14或y=4（x+1）﹣18．即y=4x﹣18或y=4x﹣14．…（10分）【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016春•湖北期中）已知椭圆的焦点在x轴上，椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，求椭圆的离心率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程，由题意，求得M坐标，利用勾股定理，及椭圆的定义，代入求得a 和b的关系，利用椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的标准方程为，（a＞b＞0），焦点坐标为（±c，0），设M（x，y）在椭圆上，则P到x轴的距离等于短半轴长的，即x=c，y=b，Rt△MF1F2中，F1F2⊥MF2，∴丨F1F2丨2+丨MF2丨2=丨MF1丨2，即4c2+=丨MF1丨2，根据椭圆的定义得：丨MF1丨+丨MF2丨=2a，可得丨MF1丨2=（2a﹣丨MF2丨）2=（2a﹣b）2，∴（2a﹣b）2=4c2+b2，整理得4c2﹣4a2+ab=0，可得3（a2﹣c2）=2ab，则3b2=2ab，则b=a，由题意的离心率e===，椭圆的离心率．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，椭圆的定义，考查计算能力，属于中档题．22．（12分）（2016秋•白城期末）已知直线l：y=x+m与抛物线y2=8x交于A、B两点，（1）若|AB|=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分），﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力．。
湖北省荆州市高二下学期期中数学试卷(理科)
湖北省荆州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·浙江月考) 已知复数，其中为虚数单位，则等于（）A .B . 2C . 1D .2. （2分） (2017高二下·钦州港期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），若P（ξ＜2）=0.3，则P（2＜ξ＜4）的值等于（）A . 0.5B . 0.2C . 0.3D . 0.43. （2分）设（1+i）x=1+yi，x，y∈R，则|x+yi|=（）A . 1B .C .D . 24. （2分）观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12 …．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为（）A . 76B . 80C . 86D . 925. （2分）设一随机试验的结果只有A和，且P（A）＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D（ξ）等于（）A . mB . 2m（1－m）C . m（m－1）D . m（1－m）6. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 已知，的取值如下表：x-3-12678y8.0 6.5 5.0-0.5-2.0-3.0若之间是线性相关，且线性回归直线方程为，则实数的值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高二下·栖霞月考) 一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（）A .B .C .D . 18. （2分） (2019高二下·大庆期末) 如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在内”，表示事件“豆子落在内”，则（）A .B .C .D .9. （2分）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（）A . 10B . 16C . 20D . 2410. （2分） (2019高二下·仙桃期末) 现有五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有（）A . 120种B . 5种C . 种D . 种11. （2分） (2017高二上·新余期末) （ + ）5展开式的常数项为80，则a的值为（）A . 1B . 2C .D . 412. （2分） (2017高二下·陕西期中) 把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有（）A . 48B . 24C . 60D . 120二、填空题： (共4题；共7分)13. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 口袋中有n（n∈N*）个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若P（X=2）= ，则n的值为________．14. （1分）（ +x3）5的展开式中x8的系数是________．（用数字作答）15. （4分）盒中有8只红球5只黑球，从中任意取出一只球，“取出的球是黑球”是________事件，它的概率是________；“取出的球是红球或黑球”是________事件，它的概率是________．16. （1分） (2020高一上·重庆月考) 若命题“p： , ”是假命题,则实数a的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共50分)17. （10分） (2019高二下·葫芦岛月考) 已知，且 .（1）求的值；（2）求的值.18. （5分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表优秀非优秀合计甲班104050乙班203050合计3070100（Ⅰ）根据列联表的数据，判断是否有99%的把握认为“成绩与班级有关系”；（Ⅱ）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班10名优秀学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到8号的概率．参考公式与临界值表：K2= ．P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82819. （10分）(2016·柳州模拟) 某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：年份20112012201320142015居民生活用水量（万吨）236246257276286（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．20. （5分） (2019高二下·黑龙江月考) 已知件产品中有件次品，现逐一不放回地进行检验，直到件次品都能被确认为止．（I）求检验次数为的概率；（II）设检验次数为，求的分布列和数学期望．21. （15分） (2018高二下·赤峰期末) 如图是某市年月日至日的空气质量指数趋势图，某人随机选择年月日至月日中的某一天到达该市，并停留天.（1）求此人到达当日空气质量指数大于的概率；（2）设是此人停留期间空气质量指数小于的天数，求的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）22. （5分）(2017·汕头模拟) 某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名维修工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．（Ⅰ）若出现故障的机器台数为x，求x的分布列；（Ⅱ）该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（Ⅲ）已知一名维修工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位维修工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名维修工人，求该厂每月获利的均值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共7分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、第11 页共11 页。
湖北省荆州市数学高二下学期理数期中考试试卷
湖北省荆州市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·广西模拟) 若复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A . ﹣1B . 0C . 1D . ﹣1或12. （2分） (2019高三上·内蒙古月考) 函数在处的导数为，则的值为（）A . 3B . －C .D .3. （2分） (2018高二下·中山月考) 从3台甲型和4台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法数为（）A . 60B . 30C . 20D . 404. （2分） (2016高二下·玉溪期中) 从0，1，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）A . 20个B . 19个C . 25个D . 30个5. （2分） (2017高二下·惠来期中) 有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数f（x），若f′（x0）=0，则x=x0是函数f（x）的极值点…大前提因为函数f（x）=x3满足f′（0）=0，…小前提所以x=0是函数f（x）=x3的极值点”，结论以上推理（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 没有错误6. （2分）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·荔湾期末) 函数y = 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A .B .C .D .8. （2分）在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二下·日照月考) 上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是（）A . 24B . 12C . 20D . 2210. （2分）把编号为1,2,3,4,5的五个球全部放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，且编号为1,2的两个球不能放入同一个盒子中，则不同放法的总数是（）A . 144B . 114C . 108D . 7811. （2分） (2019高二下·葫芦岛月考) 若函数在上单调递减，则的最小值是（）A .B . -1C .D .12. （2分）设函数f（x）=ax3+3bx（a，b为实数，a＜0，b＞0），当x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，则b的最大值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·吉林月考) =________.14. （1分） (2017·崇明模拟) 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________15. （1分） (2020高二下·和平月考) 如图是的导函数的图像，现有四种说法：① 在上是增函数；② 是的极小值点；③ 在上是减函数，在上是增函数；④ 是的极小值点；以上正确的序号为________．16. （1分） (2018高二下·黑龙江期中) 已知，若对任意的，均有恒成立，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2020·南通模拟)（1）求证：；（2）求证： .18. （10分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∶1．（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.19. （10分）大气能见度和雾霾、降雨等天气情况密切相关，而大气能见度直接影响车辆的行车速度V（千米/小时）和道路的车流密度M（辆/千米），经有关部门长时间对某道路研究得出，大气能见度不足100米时，为保证安全，道路应采取封闭措施，能见度达到100米后，车辆的行车速度V和大气能见度x（米）近似满足函数V（x）=，已知道路的车流密度M（辆/千米）是大气能见度x（米）的一次函数，能见度为100时，车流密度为160；当能见度为500时，车流密度为为80．（1）当x≥100时，求道路车流密度M与大气能见度x的函数解析式；（2）当车流量F（x）的解析式（车流量=行车速度×车流密度）；（3）当大气能见度为多少时，车流密度会达到最大值，并求出最大值．20. （10分） (2016高二下·重庆期末) 已知f（x）=ex（ax﹣1），g（x）=a（x﹣1），a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若有且仅有两个整数xi（i=1，2），使得f（xi）＜g（xi）成立，求实数a的取值范围．21. （10分）(2017·衡阳模拟) 已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x，a∈R．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，不等式ef（x）+ x2＞1恒成立，求实数a的取值范围．22. （10分）(2017·吕梁模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果∃x∈R，使得f（x）＜2成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
湖北省荆州市2020版高二下学期期中数学试卷(理科)A卷
湖北省荆州市2020版高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，集合A=｛x|2x>1},B={x|x2-3x-4>0}，则（）A . {x|x>0}B . {x|x<-1或x>0}C . {x|x>4}D .2. （2分） (2015高二下·九江期中) 已知复数z= （i为虚数单位），则|z|=（）A .B . 2C .D .3. （2分） (2019高一下·安庆期末) 设[x]表示不超过x的最大整数，如[-3.14]=-4，[3.14]=3．已知数列{ }满足：，（），则 =（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）(2017·枣庄模拟) 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A . 7B . 6C . 5D . 45. （2分）数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=2Sn+1+an2 ， a2=﹣1，则数列{an}的首项为（）A . 1或﹣2B . ±1C . ±2D . ﹣1或26. （2分） (2019高二下·吉林期中) 有4名学生要到某公司实践学习，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室实践，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为（）A . 120B . 240C . 360D . 4807. （2分） (2015高二下·上饶期中) 函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A . 2B . 3C . 1D . 48. （2分）函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度9. （2分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A . 5B . +C . 7+D . 610. （2分） (2019高二下·太原月考) 将多项式分解因式得，则（）A . 20B . 15C . 10D . 011. （2分） (2017高二上·延安期末) 已知 + + =0，| |=2，| |=3，| |= ，则向量与的夹角为（）A . 60°B . 45°C . 30°D . 以上都不对12. （2分）(2017·鹰潭模拟) 已知等差数列{an}的公差d≠0，Sn为其前n项和，若a2 ， a3 ， a6成等比数列，且a10=﹣17，则的最小值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·广州期末) 计算定积分（x2+sinx）dx=________．14. （1分） (2018高二上·湖北月考) 设是的展开式中的一次项的系数，则________．15. （1分） (2016高二下·金沙期中) 观察下列等式：32=52﹣42 ， 52=132﹣122 ， 72=252﹣242 ， 92=412﹣402 ，…照此规律，第n个等式为________．16. （1分） (2016高二下·郑州期末) 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．三、解答题 (共5题；共45分)17. （10分） (2018高二上·成都月考) 如图，在中，，， .是内一点，且 .（1）若，求线段的长度；（2）若，求的面积.18. （10分） (2017高二下·芮城期末) 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人独立来该租车点骑游（各组一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时.（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列.19. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD，PB⊥AC，Q是线段PB的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：AQ∥平面PCD．20. （10分） (2019高二上·桂林期末) 设抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l与C交于A，B两点．（1）若l过F且斜率为1，求|AB|；（2）若不过坐标原点O，且OA⊥OB，证明：直线l过定点．21. （10分） (2016高一上·济南期中) 已知函数f （x）= ．（1）求f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
湖北省荆州市数学高二下学期理数期中考试试卷
湖北省荆州市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·安徽模拟) 已知i是虚数单位，则| |=（）A . 2B .C .D . 12. （2分）积分（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·义乌期末) 已知f（x）= ，则f（f（1））的值为（）A . 1B . ﹣1C . 3D . 04. （2分） (2016高二下·昌平期中) 给出下列三个类比结论．①（ab）n=anbn与（a+b）n类比，则有（a+b）n=an+bn；②loga（xy）=logax+logay与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；③（a+b）2=a2+2ab+b2与（ + ）2类比，则有（ + ）2= 2+2 • + 2；其中结论正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）设则（）A . 都不大于-2B . 都不小于-2C . 至少有一个不大于-2D . 至少有一个不小于-26. （2分）水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象（）A .B .C .D .7. （2分）设函数，则（）A . 为的极大值点B . 为的极小值点C . x=2为的极大值点D . x=2为的极小值点8. （2分）如果a，b∈R，且ab＜0那么下列不等式成立的是（）A . |a+b|＞|a﹣b|B . |a+b|＜|a﹣b|C . |a﹣b|＜||a|﹣|b||D . |a﹣b|＜|a|+|b|9. （2分） (2019高一下·鹤岗月考) 若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2 的最小值为（）A . 1B .C .D . 1110. （2分）用数学归纳法证明不等式1++成立，起始值至少应取为（）A . 7B . 8C . 9D . 1011. （2分）若函数f（x）=，则f（log54）=（）A .B . 3C .D . 412. （2分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对所有实数均成立，则称函数为“期望函数”，下列函数中“期望函数”的个数是（）① ② ③④A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分）(2018·枣庄模拟) 已知函数，则 ________．14. （1分）如图，已知函数y=ax ， y=bx ， y=cx ， y=dx的图象分别是曲线C1 ， C2 ， C3 ， C4 ，则a，b，c，d的大小关系用“＜”连接为________．15. （1分） (2017高二下·廊坊期末) 现有这么一列数，2，，，，（），，，…，按照规律，（）中的数应为________．三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为________．四、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2019高二下·上海月考) 已知复数满足: 且是纯虚数,求复数18. （10分）已知f（logax）=x﹣（k∈R），且函数f（x）是定义域为R的奇函数，其中a＞0，且a≠1．（1）求k的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若f（1）=时，不等式f（a2x+a﹣2x）+f（ma﹣x﹣max）＞0对任意x∈[1，+∞）均成立，求实数m 的取值范围．19. （10分） (2016高二下·三亚期末) 求由曲线y=x+1与x=1，x=3，y=0所围的图形的面积．20. （5分） (2016高一下·石门期末) 对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则把y=f（x），x∈D叫闭函数．（1）求闭函数y=x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数f（x）= x+ ，（x＞0）是否为闭函数？并说明理由；（3）已知[a，b]是正整数，且定义在（1，m）的函数y=k﹣是闭函数，求正整数m的最小值，及此时实数k的取值范围．21. （10分）已知a＞0，b＞0，且．（1）求ab的最小值；（2）求a+2b的最小值，并求出a，b相应的取值．22. （5分）(2018·枣庄模拟) 已知函数（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性。
湖北省荆州市江陵中学高二数学下学期期中试题 理
高二下学期期中考试数学（理）试题一.选择题：共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下面几种推理中是演绎推理的序号为（）A．半径为圆的面积，则单位圆的面积；B．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；C．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为．2．椭圆的一个焦点为，那么（）A. B. C. D.3. 在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7. 若函数在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A. B. C. D.8．下列不等式对任意的恒成立的是（）A．B．C． D．9．椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.10．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分11．曲线在点处的切线方程为。
12．直线与椭圆相交于两点。
则交对边于，则。
类比上述结论，对于空间中的四面体，类似的结论是：。
15．已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是三．解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分12分）在各项为正的数列中,数列的前项和满足,(1)求；(2)由(1)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.20．（本小题满分13分）已知椭圆C:的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，以弦为直径的圆过坐标原点，试探讨点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.17. （1）时时时单减，在单增时有最小值1 ……………………………………………6分（2）在为减函数，则恒成立，最小值……………………………………9分令则……………………………12分18.20．．解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，…………… 3分所求椭圆方程为．……………………………………………………… 4分（2）设，．①当轴时，设方程为：，此时两点关于轴对称，又以为直径的圆过原点，设代人椭圆方程得：………………6分②当与轴不垂直时，设直线的方程为．联立，整理得，，．…………………………………………………9分又。
2020年湖北省荆州市沙市中学高二(下)期中数学试卷(理科)
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.i是虚数单位，复数z满足，则|z|=（）A. 5B.C. 13D.2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A. 任意一个有理数，它的平方是有理数B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数C. 存在一个有理数，它的平方是有理数D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数3.过原点的直线l与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.用数学归纳法证明12+22+…+（n-1）2+n2+（n-1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A. （k+1）2+2k2B. （k+1）2+k2C. （k+1）2D.5.“1＜a＜4”是“不等式2019x+4＞a＞2x-x2对一切实数x恒成立”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A. 1B.C.D.7.若函数f（x）=+ln x-ax+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，2]B. （-∞，2）C. [，+∞）D.8.已知过双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A. （1，）B. （1，]C. （1，]D. （1，）9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB＝∠A1AD＝60°，且A1A＝3，则A1C的长为（）B.C.D.10.已知f（x）=xe x，g（x）=-（x+1）2+a，若存在x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围为（）A. ，+∞）B. ，+∞）C. （0，e）D. ，0）11.已知函数y=f（x）对任意的x∈（-，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A. f（-）＜f（-）B. f（）＜f（）C. f（0）＞2f（）D. f（0）＞f（）12.已知a为常数，函数f（x）=x（ln x-ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=______．14.______．15.已知F1，F2是椭圆=1的两个焦点，A，B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P在线段AB上，则的最小值为______．16.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+3的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式x2-2x-1≥m2-3m恒成立；命题q：曲线y=e x-mx在任意一点处的切线斜率均大于-2．（Ⅰ）若p为真命题，求m的取值范围；（Ⅱ）若命题p∧q是真命题，求实数m的取值范围．18.现将一根长为180cm的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是19.在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）过点（0，）作直线l与曲线C交于点A、B，以线段AB为直径的圆能否过坐标原点，若能，求出直线l的方程，若不能请说明理由．20.如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，且PA⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若平面PAB与平面PCD的夹角为，试求线段PA的长．21.已知点E（m，0）为抛物线y2=2x内一定点，过E作两条直线交抛物线于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．（1）当AB⊥CD时，求△EMN的面积的最小值；（2）若m=2且k AB+k CD=2，证明：直线MN过定点，并求定点坐标．22.已知函数f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a（a，b∈R），且x=1时f（x）有极大值10．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f′（x）为f（x）的导函数，不等式f′（x）＞k（x lnx-1）-5x+2（k为正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．（注：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61）．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵=，∴|z|=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，是解答本题的关键．根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．【解答】解：∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题而特称命题的否定是全称命题，则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数故选：B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程与性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（-x1，-y1），可得+=1，+=1．根据直线PM，PN的斜率之积为，可得•=-，即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（-x1，-y1），∴+=1，+=1．相减可得：+=0，即=-．∵直线PM，PN的斜率之积为，∴•=-，∴-=，即=，∴椭圆C的离心率e===．故选：B．4.【答案】B【解析】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+（k-1）2+k2+（k-1）2+…+22+12n=k+1时，左边=12+22+…+（k-1）2+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+…+22+12比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2故选：B．根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．本题的考点是数学归纳法，主要考查由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子，关键是理清等式左边的特点．5.【答案】A【解析】解：若“1＜a＜4”时，不等式2019x+4＞a＞2x-x2的左侧有2019x+4=x0＞4，存在实数x0＞4，则2019x+4＞a是成立的．右侧：a＞2x-x2有：x2-2x+a＞0，当1＜a＜4”时，不等式左侧△=4-4a＜0恒成立，不等式x2-2x+a＞0的解集对一切实数x恒成立，故“1＜a＜4”能推出“不等式2019x+4＞a＞2x-x2对一切实数x恒成立”；若“不等式2019x+4＞a＞2x-x2对一切实数x恒成立”，则有：左侧：2019x+4＞a，则a ＜2019x+4的最小值等于实数x0＞4，实数x0从4正方向可无限趋近4，则a＜x0；则a≤4可以成立．右侧：a＞2x-x2有：x2-2x+a＞0，不等式左侧△=4-4a＜0，不等式x2-2x+a＞0的解集对一切实数x恒成立，解得：a＞1；故：“1＜a≤4”故“不等式2019x+4＞a＞2x-x2对一切实数x恒成立”推不出“1＜a＜4”由充要条件的定义知：“1＜a＜4”是“不等式2019x+4＞a＞2x-x2对一切实数x恒成立”的充分不必要条件故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别“1＜a＜4”与“不等式2019x+4＞a＞2x-x2对一切实数x恒成立”互相推导进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法，属于基础题.根据题意，易得k+，2-的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k-1）+2k-2×2=0，即可得答案．【解答】解：因为=（1，1，0），=（-1，0，2）所以k+=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2），2-=2（1，1，0）-（-1，0，2）=（3，2，-2）．∵两向量垂直，∴3（k-1）+2k-2×2=0．∴k=，故选：D．7.【答案】C【解析】解：函数的导数为f'（x）=x+-a=，令f′（x）＜0，可得x2-ax+1＜0，函数在区间上单调递减，不等式恒成立：，可得a≥，实数a的取值范围为[，+∞）．故选：C．求出函数的单调区间，由于函数区间上单调递减，故此区间是其定义上单调区间的子集，故比较区间的端点即可得到参数的取值范围，选出正确答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，求解本题的关键是利用导数求出函数的单调递减区间以及根据题设条件作出正确判断得出参数所满足的不等式，解出参数的取值范围，根据题设转化出不等式是本题的易错点，要注意等价转化．8.【答案】D【解析】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，即b＜a∵b=∴＜a，整理得c＜ a∴e=＜∵双曲线中e＞1∴e的范围是（1，）．故选：D．要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．本题以双曲线为载体，考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．9.【答案】A【解析】解：∵=+-，∴2=（+-）2即2=•+•-•+•+•-•-（•+•-•）=1+0-3×1×cos60°+0+1-3×1×cos60°-（3×1×cos60°+3×1×cos60°-9）=1-+1--+9=5，∴A1C=．故选：A．【分析】用空间向量解答．本题考查了空间向量的应用，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，f′（x）=e x+xe x=（1+x）e x，当x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞-1时，f′（x）＞0，f（x）递增，所以当x=-1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（-1）=-；当x=-1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（-1）=a，所以-≤a，即实数a的取值范围是a≥-，故选：B．∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f （x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．本题考查二次函数的性质及利用导数求函数的最值，考查“能成立”问题的处理方法，解决该题的关键是把问题转化为求函数的最值问题解决．11.【答案】A【解析】解：构造函数g（x）=，则g′（x）==（f′（x）cos x+f（x）sin x），∵对任意的x∈（-，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（-，）单调递增，则g（-）＜g（-），即，∴，即f（-）＜f（-），故A正确．g（0）＜g（），即，∴f（0）＜2f（），故选：A．根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．12.【答案】D【解析】解：∵f′（x）=ln x+1-2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得ln x=2ax-1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=ln x+1-2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1-2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．∴f（x1）＜f（1）=-a＜0，f（x2）＞f（1）=-a＞-．故选：D．先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得ln x=2ax-1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=ln x+1-2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．本题考查了利用导数研究函数极值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】41【解析】解：观察下列等式=2，=3，=4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2-1=35a+t=41．故答案为：41．观察所给的等式，等号右边是，，…第n个应该是，左边的式子，写出结果．本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．14.【答案】【解析】解：由于，表示的几何意义是：以（0，0）为圆心，1为半径第一，二象限内圆弧与坐标轴围成的面积=π×1=，又==0，∴原式=．故答案为：．由于dx=，第一个积分根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径第一、二象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以二分之一即可，第二个积分利用公式进行计算即可．本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．15.【答案】-【解析】解∵椭圆=1，∴A（-2，0），B（0，1），F1（-，0），F2（，0），可得AB的方程为x-2y+2=0，设P（m，n），则=（--m，-n）•（-m，-n）=m2+n2-3，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方．可得原点到直线AB的距离取得最小，且为=，即有m2+n2-3的最小值为-3=-．故答案为：-．求得椭圆的焦点和A，B的坐标，以及直线AB的方程，设出P（m，n），求得的坐标表示，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方，运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值．本题考查椭圆方程和性质，考查向量的坐标表示及最值的求法，解题时要认真审题，注意m2+n2的几何意义的合理运用，属于中档题．16.【答案】2-ln3【解析】解：根据题意，设y=kx+b与y=ln x+3的切点为（x1，ln x1+3），与y=ln（x+1）的切点为（x2，ln（x2+1））；对于y=ln x+3，其导数y′=，则切线的斜率y′|x==，切线的方程为y-（ln x1+3）=（x-x1），即y=x+ln x1+2；对于y=ln（x+1），其导数y′=，则切线的斜率y′|x==，切线的方程为y-ln（x2+1）=（x-x2），即y=x+ln（x2+1）-；又由直线y=kx+b是曲线y=ln x+3的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则有k==，且b=（ln x1+3）-1=ln（x2+1）-；则x1=x2+1，-2=，解得x2=-，x1=，则b=（ln x1+3）-1=2+ln=2-ln3．故答案为：2-ln3．分别设出两个切点，求得导数，可得切线的斜率和方程，由直线方程重合的条件，可得x1，x2的方程组，解方程可得所求值．本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）若对任意x∈[0，1]，不等式x2-2x-1≥m2-3m，即（x-1）2-2≥m2-3m，即-2≥m2-3m，得m2-3m+2≤0，得1≤m≤2，即实数m的取值范围是[1，2]．（Ⅱ）函数的导数y′=e x-m，若曲线y=e x-mx在任意一点处的切线斜率均大于-2，即e x-m＞-2，得e x＞m-2，∵e x＞0，∴m-2＜0，得m＜2，即q：m＜2，∵p：1≤m≤2，∴若命题p∧q是真命题，则p，q同时为真命题，即，得1≤m＜2．【解析】（Ⅰ）根据不等式恒成立，转化为一元二次不等式进行求解即可（Ⅱ）根据p∧q是真命题，则p，q同时为真命题，进行求解即可本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】解：解：设长方体的宽为x（cm），则长为2x（cm），高为（cm）．故长方体的体积为V（x）=2x2（45-3x）=90x2-6x3（cm3）（0＜x＜15）．从而V′（x）=180x-18x2=18x（10-x）．令V′（x）=0，解得x=0（舍去）或x=10，因此x=10．当0＜x＜10时，V′（x）＞0，当10＜x＜15时，V′（x）＜0，故在x=10处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．从而最大体积V=V′（x）=9×102-6×103（cm3），此时长方体的长为20cm，高为15cm．∴当长方体的长为20cm时，宽为10cm，高为15cm时，体积最大，最大体积为3000cm3．【解析】先设设长方体的宽为x（cm），利用长方体的体积公式求得其体积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可．利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，函数的最值要由极值和端点的函数值确定．当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值．19.【答案】解：（1）由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以（0，-），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b=，故曲线C的方程为：；（2）若能，则直线l的斜率存在，设直线1：y=kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得，△=16k2+16＞0．．以线段AB为直径的圆过坐标原点，则=x1x2+y1y2=0．而，于是+3=0，化简得-4k2+11=0，解得k2=，即k=，∴直线l的方程为y=．【解析】（1）直接由椭圆的定义可得曲线C的方程；（2）设直线1：y=kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程和椭圆方程联立消去y，根据根与系数的关系求得x1+x2和x1x2的表达式，再由以线段AB为直径的圆过坐标原点，推断出x1x2+y1y2=0．求得k，得到直线方程．本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABCD，得BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，又∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）解：取DC的中点E，由已知可得AE⊥CD，分别以AE、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz（如图），设PA=m（m＞0）．则，∴．设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），由，得，取x=m，得．平面PAB的法向量可取=（1，0，0），则cos=|cos＜＞|=，解得m=1，故线段PA的长为1．【解析】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．（Ⅰ）由已知结合线面垂直的性质可得BD⊥PA，再由四边形ABCD是菱形，得BD⊥AC，利用线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步得到平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）取DC的中点E，由已知可得AE⊥CD，分别以AE、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=m（m＞0）．求出A、P、C、D的坐标，得到平面PCD与平面PAB的法向量，由两法向量所成角的余弦值列式求得线段PA的长．21.【答案】（1）解：设AB的斜率k AB=k，则CD的斜率k CD=-，直线AB的方程为y=k（x-m），直线CD的方程为y=-（x-m），联立方程组，得：k2x2-（2mk2+2）x+m2k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2==2m+，x1x2=m2，∴y1+y2=k（x1-m）+k（x2-m）=k（2m+）-2mk=，∵M是AB的中点，∴点M（m+，），同理可得：N（m+k2，-k），∴EM=，EN=，∴S△EMN==≥=1．当且仅当k2=即k=±1时取等号．∴△EMN的面积的最小值是1．（2）证明：由题意知，k AB+k CD=2，不妨设AB的斜率k AB=k，则CD的斜率k CD=2-k，由（I）可知当m=2时，M点坐标为（2+，），同理可得：N点坐标为（2+，），∴直线MN的方程是：y-=•（x-2-），化简得，y=（x-2）+，∴直线MN过定点（2，）．【解析】（1）设AB的斜率k AB=k，将AB的方程与抛物线方程联立方程组，根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标，从而用k表示出EM，EN，得到三角形的面积关于k 的函数，利用基本不等式得出面积最小值；（2）求出M，N的坐标，得出直线MN的方程，从而得出结论．本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查设而不求法的解题方法，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）由函数f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a（a，b∈R），所以：f′（x）=3x2+2ax+b，因为在x=1时f（x）有极大值10，所以：，从而得a=-2或a=-6，①当a=-2时，b=1，此时：f′（x）=3x2-4x+1，当时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴在x=1时f（x）有极小值，不合题意，舍去；②当a=-6时，b=9，此时f′（x）=3（x2-4x+3），符合题意．∴所求的f（x）=x3-6x2+9x+6．（Ⅱ）由（1）知f′（x）=3（x2-4x+3），所以等价于等价于x2+x+1＞k（x lnx-1），即，记φ（x）=，则，由ϕ′（x）＞0，得x＞k+1，所以φ（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（k+1）=k+3-k ln（k+1），φ（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+3-k ln（k+1）＞0，即1+-ln（k+1）＞0，记m（k）=，因为m（k）在（0，+∞）上单调递减，又m（4）=，，∵k∈Z，∴k=1，2，3，4，故k的最大值为4．【解析】（Ⅰ）利用函数的求导和函数的极值进一步求出函数的解析式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用构造函数的方法，再利用函数的求导求出不等式的结果，最后确定函数中的参数的范围，最后确定结果．本题考查的知识要点：导数在函数中的应用，利用函数的导数求出函数的单调区间，构造函数在函数的性质中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。
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湖北省荆州中学高二下学期期中（数学理）姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分第1小题：评卷人得分用数学归纳法证明第一步应验证等于（）A ．B．C．D ．【答案解析】D第2小题：复数，则的共轭复数对应点在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案解析】B第3小题：①从牛奶生产线上每隔30分钟取一袋进行检验；②从本年级20个班中任取三个班进行学情调查。
则下列说法正确的是（）A. ①是分层抽样，②是简单随机抽样;B. ①是系统抽样，②是简单随机抽样;C. ①是系统抽样，②是分层抽样;D. ①是分层抽样，②是系统抽样;【答案解析】B第4小题：某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）A．种 B．种 C．种D．种【答案解析】A第5小题：有关命题的说法错误的是：（）A．命题“若则”的逆否命题为：“若, 则”.B．“”是“”的充分不必要条件.C．若为假命题，则、均为假命题.D．若命题：存在。
则为：任给【答案解析】C第6小题：关于正态曲线性质的描述，正确的是（）①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；③曲线最高点的纵坐标是，且曲线没有最低点；④当越大，曲线越“高瘦”，当越小，曲线越“矮胖”。
A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案解析】B第7小题：曲线（）A．B． C．D．【答案解析】B第8小题：以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（）A．B．（2，0）C．（4，0）D．【答案解析】B第9小题：若，则事件A与B的关系是（）A．互斥不对立； B．对立不互斥； C．互斥且对立； D．以上答案都不对；【答案解析】D第10小题：已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（）A. 6x－5y－28=0B.6x+5y－28=0C. 5x+6y－28=0D. 5x－6y－28=0【答案解析】A第11小题：.【答案解析】8在样本的频率分布直方图中，共有4个长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列，已知，且样本容量为500，则小长方形面积最大的一组的频数为.【答案解析】200第13小题：在集合内任取一个元素，则满足不等式的概率是；【答案解析】第14小题：在如下程序框图中，已知：，则输出的是________.【答案解析】第15小题：有一堆数量足够多的规格一样的正方体模具，计划从现有的6种颜色涂料中选出5种颜色涂料对以上模具进行染色，要求每个面只染一种颜色，每两个有公共棱的面不能同色，恰用了5种颜色，称为“五色模具”，若有两个正方体经翻转后，6个面颜色都对应相同，则视为相同“五色模具”，则可得到不同的“五色模具”的个数为.【答案解析】90第16小题：(本题满分12分)已知展开式中的倒数第三项的二项式系数为.（1）求展开式所有项的系数之和；（2）求展开式中二项式系数最大的项 .【答案解析】解：（1）由已知得，令，则可得展开式所有项系数和为（2）展开式共有11项，故展开式中二项式系数最大的项是第6项(本题满分12分) 如图，在正方体中，E、F分别是棱的中点．（１）证明；（２）求与所成的角；（３）证明：面面.【答案解析】方法1（坐标法解答前两问）（1）证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，设正方体的棱长为2a，则由条件可得（1分）D(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0), D1(0,0,2a), E(2a, 2a, a), F(0, a, 0)，A1(2a,0,2a) =（-2a,0,0）,=(0,a, -2a),∴=-2a×0+0×a+0×(-2a)=0, ∴，即。
（4分）（2）解：∵，=(0,a, -2a),∴=0×0+2a×a+a×(-2a)=0∴cos&(*);,&(*);==0,即,的夹角为90°，所以直线AE与D1F所成的角为直角。
.（8分）（3）证明：由（1）、（2）知D1F⊥AD，D1F⊥AE, 而AD∩AE=A，∴D1F⊥平面AED，∵D1F平面A1FD1∴平面AED⊥平面A1FD1.（12分）方法2（综合法）（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1。
又DF1DC1，所以AD⊥D1F. （4分）（2）取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。
（8分）（3）与上面解法相同。
第18小题：(本小题满分12分) 如图所示,有两个独立的转盘、.两个图中三个扇形区域的圆心角分别为为、、.用这两个转盘玩游戏，规则如下：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始），记转盘指针对的数为，转盘指针对的数为.记的值为,每转动一次则得到奖励分分.（１）求&(*);2且&(*);1的概率；（２）求某人玩一次这种游戏可得奖励分的期望值；（３）某人玩12次，求他平均可以得到多少奖励分？【答案解析】解：（Ⅰ）由几何概率模型可知：P（=1）=、P（=2）=、P（=3）=；P（=1）=、P（=2）=、P（=3）=则P（&(*);2）=P（=1）=，P（&(*);1）=P（=2）+P（=3）=+=所以P（&(*);2且&(*);1）=P（&(*);2）P（&(*);1）=…………………………………….5分（Ⅱ）由条件可知的取值为：2、3、4、5、6.则的分布列为：23456P他平均一次得到的钱即为的期望值：..…………………………………………………….. 10分(III)玩12次，平均可以得到分..……………………………………………………..12分第19小题：（本小题满分12分）下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.x3456y2.5344.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=;（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前约降低多少吨标准煤？参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式，．【答案解析】解：(1)=3 2.5+43+54+64.5=66.5==4.5==3.5故线性回归方程为y=0.7x+0.35 8分(2)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量约为0.7100+0.35=70.35故耗能约减少了90-70.35=19.65(吨) 12分第20小题：（本小题满分13分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线相交于坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与点A关于直线y=x对称.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点，从点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过点M（－2，0）和线段AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围【答案解析】解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为……………………………………………2分故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为∴，∴双曲线C的方程为……………………………4分（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是① ………………………………………6分由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（）则代入①并整理得点N的轨迹方程为…………………8分（3）由令直线与双曲线左支交于两点，等价于方程上有两个不等实根.因此又AB中点为∴直线L的方程为……………………………………10分令x=0，得∵∴∴故b的取值范围是…………………………………………13分第21小题：（本小题满分14分）设是的两个极值点，的导函数是（1）如果，求证：；（2）如果，求的取值范围；（3）如果，且时，函数的最小值为，求的最大值 .【答案解析】（1）证明：是方程的两个根 1分由且得2分得3分（2）解：由第（1）问知由，两式相除得即 4分①当时，由即，5分令函数，则在上是增函数当时，，即7分②当时，即令函数则同理可证在上是增函数当时，综①②所述，的取值范围是9分（3）解：的两个根是，可设10分又12分g(x)当且仅当，即时取等号当时，在上是减函数14分。