高等数学(上)02-62.2 平面曲线的弧长

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高等数学(上)02-62.2 平面曲线的弧长

二、平面曲线的弧长
定义:若在弧痂上任意作内接折线，当折线段的最大边
长人一0时，折线的长度趋向于一个确定的极限，则称此极限为曲线弧分的弧长，即
n
"姓財Ml
i=l
并称此曲线弧为可求长的.
/ B=Mn A=Mo
定理:任意光滑曲线孤都是可求长的. （证明略）
若（p（t）, 屮 Q）连续
可导，且［。'（。］2+ ［“0）］2。0, 则曲线C ：｛二*）E［"］为光滑曲线；当/（X）连续可2
因此所求弧长
S=
(6>) + /2(6>) 60
例7.求连续曲线段 "L应如d，的孤长. 解：
•/ cosx> 0, /. s=E
2
<x<^
‘2 dx
二2』2 + (Vcosx)2 dx
例8.计算摆线
x = a(t-smt)(口＞0)一拱(0M〈2m) y = a(l- cos t)
的弧长.
y\
rr2(6>) d<9
= ^a1O2+a1
=oJl + "2 dO :.s = a[2\ll + 02d0 (P349 公式 39)
Jo?Jl + din<9 + Jl + 屮 I2来自22/rI
0
=。兀』1 + 4兀2 + ；m(27T + J]+ 4/ )
(1)曲线弧由直角坐标方程给出:
y = f(x) {a<x<b)
孤长元素(弧微分)：
ds = J(dx)2 +(dy)2
y

平面曲线的弧长与曲率

O
ax
π
因此 s 4 2 x2(t ) y2(t )dt 0
π
4 2
3a cos2 t sin t
2
3a sin2 t cos t
2
dt
0
12a
π 2
sin
t
cos
tdt
12a
sin2
t
π 2
6a.
0
20
数学分析第十章定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
n
故 lim T 0 i1
x2(i ) y2(i )Δti
数学分析第十章定积分的应用
高等教育出版社
x2(t) y2(t) dt.
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
由第一章§1习题 6 可知
*平面曲线的曲率
x2(i ) y2(i ) x2(i ) y2(i ) y(i ) y(i ) . 又y(t)在[ , ]上连续，从而在[ , ]上一致连续，
b2
ab sin2 t
b2
32.
当 a b 0 时, 在 t 0, π 处曲率最大, 在 t π ,
3π 2
处曲率最小,
Kmax
a b2
, Kmin
b a2
.
2
数学分析第十章定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
由例1可得,若
a
b
R,
则各点处曲率相等,
数学分析第十章定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率

平面曲线的弧长与曲率

§3 平面曲线的弧长与曲率教学目标：掌握平面曲线的弧长与曲率教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式． (2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．教学建议：(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式． (2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式．教学过程：一、曲线弧长的概念设平面曲线),(B A C ，在其上从A 到B 依次取分点得曲线的一个分割T ：B P P PP A n ==,,,,210 用线段联结相邻的点得：n i P P i i ,,2,1,1 =-。

记∑=--≤≤==ni ii T i i ni P P s P P T 1111,max分别表示最长弦的长度和折线的总长度。

定义1 对于平面曲线C 的无论怎样的分割T ，若极限ss T T =→0lim存在，则称曲线C 是可求长的，并称s 为曲线C 的弧长。

二、参数形曲线的弧长的计算公式定义2 设平面曲线].,[),(),(:βα∈==t t y y t x x C 若)(t x 与)(t y 在],[βα上连续可微，且)('t x 与)('t y 不同时为零，则称C 为一条光滑曲线。

定理1 设平面曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为.)(')('22dt t y t x s ⎰βα+=证：对C 作任意分割T ： B P P PP A n ==,,,,210 ，并设n P P ,0分别对应α=t 与β=x ，且.1,2,1)),(),((),(-==n i t y t x y x P i i i i i 于是与T 对应地得到区间],[βα的一个分割.:'110β=<<<<=α-n n t t t t T 在],[1i i i x x -=∆上应用微分中值定理得;,)(')()(1i i i i i i i t x t x t x x ∆∈ξ∆ξ=-=∆- .,)(')()(1i i i i i i i t y t y t y y ∆∈η∆η=-=∆- 从而有.)(')('122122i ni i i ni i i T t y x y x s ∆η+ξ=∆+∆=∑∑==由C 为一光滑曲线知，0→T 与0'→T 是等价的。

数学分析-平面曲线的弧长与曲率

所得的旋转体的表面积 S .
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
点击图片任意处播放开始或暂停
大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .

第三节平面曲线的弧长与曲率

Pi
设平面曲线C AB(为曲线弧），如图所示, 在C上从A到B依次取分点： A P0 , P , Pi 1 , Pi , , Pn 1 , 1, P 2, Pn B, 它们成为对曲线C的一个分割
P2 P1 P0 =A
o
Pn
=B
Pn1
x
1
，记为T，然后用线段联结T中每相邻两点，得到 C的 n条弦： Pi 1 Pi (i 1, 2,
T 0
为曲线的弧长。一般来说，平面上连续的曲线不一定都可求长，但如果是平面上光滑的曲线段一定是可求长的。以下讨论的曲线求长问题都是指光滑曲线求长的问题。为此先给出光滑曲线的定义。
2
定义2 设平面曲线C由参数方程：x x(t ), y y (t ), t [ , ] 给出 .如果 x (t ) 、 y (t )在[ , ]上连续，且： x (t ) 则称曲线C为一条光滑曲线。 2、光滑曲线的弧长公式 1)、若光滑线 C 由参数方程：x x(t ), y y (t ), t , 给出，则 C 一定可求长，则其长为： s
6
e x e x y 2
M
4
2
o o
aa
x
5
5
例3 求心形线 r a(1 cos ) (a 0) 的周长。解：如图所示：
6
y
4
r a 1 cos
C
2
5
0
2
B
5
2a
D
x
10
4
6
平面曲线的弧长与曲率本节主要介绍平面曲线弧长的计算公式一平面曲线的弧长1平面曲线弧长的概念我们已经学习过利用刘嶶割圆术定义了圆的周长现将刘嶶的割圆术加以推广则可定义出平面曲线的弧长并得到平面曲线弧长的计算公式

平面曲线的弧长

' '
由弧长公式得
s
2 0
x '2 ( t ) y '2 ( t )dt

2
0
2a (1 cos t )dt
2
2 0
2a
t sin dt 8a . 2
例 1 求摆线 x a( t sin t ), y a(1 cos t )(a 0) 一拱的弧长.
求长的, 且弧长为
s

x '2 ( t ) y '2 ( t )dt .
证明
如前所述, 对C 作任意分割T { P0 , P1 ,
Pn },
并设 P0 与 Pn 分别对应 t 与 t ,且
Pi ( xi , yi ) ( x( t i ), y( t i )), i 1,2..., n 1 .
i 1
t
i 1 i
n
i
i t i .
i 1
n
从而公式成立.
例 1 求摆线 x a( t sin t ), y a(1 cos t )(a 0) 一拱的弧长.
解
x (t ) a(1 cos t ), y (t ) a sin t ,
x'2 ( i ) y'2 ( i )
i
,
x'2 ( i ) y'2 (i )
则有
sT [ x '2 ( i ) y '2 ( i ) i ]t i .
i 1 n
利用三角不等式容易证明
i y' (i ) y' ( i ) y ' (i ) y ' ( i ) ,

高数上第六章-弧长

ds (dx)2 (dy)2 [ 2(t ) 2(t )](dt )2
2(t ) 2(t )dt
弧长 s 2(t) 2(t)dt.
例3
求摆线
x y
a a1
sin cos
的一拱0
2
的长度。
解 x a1 cos y asin
s 2 x2 y2 d 0
2
2 (
x 1)3 被抛物线y 2
x
3
3
截得的一段弧的长度 .
三、计算星形线 x a cos3 t ，y a sin3 t 的全长 .
四、求心形线r a ( 1 cos )的全长.
五、证明：曲线 y sin x (0 x 2) 的弧长等于椭圆
x 2 2 y 2 2 的周长.
六、在摆线 x a ( t sin t ), y a ( 1 cos t ) 上求分摆线第一拱成1 : 3 的点的坐标.
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线
y
2
x
3 2
上相应于
x 从a 到b 的一
3
段弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
1
xdx
2
[(1
3
b)2
(1
3
a)2 ].
a
3
x
例2. 求连续曲线段 y
cos t dt 的弧长.
解 r a,
s
r 2( ) r2( )d
2

[理学]平面曲线的弧长

Vy
2a
x
2
2
(
y)dy
0
2a
x
2
1
(
y
)dy
0
a2 (t sin t)2 a sin tdt 2 a2 (t sin t)2 a sin tdt 0
a3 2 (t sin t)2 sin tdt 63a3 . 0
补充如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
三、极坐标系情形
设由曲线r j ( )及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，j ( )
d
r j ( )
d
在[ , ]上连续，且j ( ) 0 ．
面积元素 dA 1[j ( )]2 d
o
x
2
曲边扇形的面积 A 1[j ( )]2 d . 2
例 5 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
例 1 求椭圆 x2 y 2 1 a2 b2
分别绕x轴与y轴旋转产生的
旋转体的体积。
b y y b a2 x2 a
解：椭圆绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积：
O
ax
VVxx2200aa
yy22ddxx 22
aa bb22 00 aa22
体积为
y
V d [j ( y)]2 dy c
d
x j( y)
c
o
x
例 4 求摆线 x a(t sin t)，y a(1 cos t)的
一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、 y 轴旋
转构成旋转体的体积.
解绕x 轴旋转的旋转体体积
y( x)
Vx
2a y2 ( x)dx

6[1].2弧长大学数学高数一

=a∫
= a∫
0
2π
[1 − cos t ]2 + [sint ]2 dt
2 − 2 cos t dt = 2 a ∫0
2π
0
t sin dt 2
t 2π = 4a ( − cos ) = 8a 2 0
5
曲线是极坐标方例3 (曲线是极坐标方曲线是时求弧长) 程时求弧长求心脏线
r = a (1 + cos θ )的全长。的全长。
x a
−
x a
)由 x = −a 至
s=
−a
∫ ds = ∫
a
a
′ ) 2 dx 1+ (y
2
−a
=
−a
∫
ae 2 a
x a
−e
x − a
) dx
2
=
−a
∫
1 ⋅ (e + e 4
x a
−
x a
) dx
2
1 = 2
−a
∫ (e
x a
a
x a
+e
−
−
x a
x x − a a 求悬链线 y = (e + e a ) 2
y
ds
dx
dy
由x = − a 至 x = a 一段弧长 .
−a
o
a
x
1
直角系下解在直角系下，用微元法可得弧微元
ds = (dx ) 2 + (dy ) 2
dy 2 = 1 + ( ) dx = 1 + ( y′ )2 dx
a 于是悬链线 y = ( e + e 2 x = a 的一段弧长为 :

史上最详细的平面曲线的弧长公式计算(微积分)[优质PPT]

1 33
asi
n
2

co
s
3 3
10
7.4 平面曲线的弧长
例求阿基米德螺线 ra(a0)上相应于
从0到2π的弧. 长
2πa
解
o
x

s
r2()r2()d
2π

2π
a22a2da
21d
0
0
a [2 π1 4 π 2 ln 2 π (1 4 π 2)]. 2
x2 a2dx x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | C
2
2
11
7.4 平面曲线的弧长
四、小结
平面曲线弧长的概念
直角坐标系下求弧长的公式参数方程情形下
极坐标系下
12
7.4 平面曲线的弧长
思考题
闭区间[a, b]上的连续曲线 y = f (x)是否
一定可求长?
解答
不一定. 仅仅有曲线连续还不够, 必须保证曲线光滑才可求长.
等于椭圆 y x c1o tas2sitn (0t2π)的周长.
证设正弦线的弧长等于s1 对称性
π
s120
1y2dx2π 0
1a2co2xsdx
设椭圆的周长为s2
π
s220
(x)2(y)2dt2π 0
(st)i2 n (1a2)(c t)2d o t s
x
s b 1 y2dx a
例计算曲线 y n n sind的弧长 (0xnπ). 0
解 y n sin x 1 sin x ,
nn
n
s nπ 0
1sinnxdxdnxx0π

§3 平面曲线的弧长概要

（2）曲线C由极坐标方程
r r ( ), [ , ]
表示, 把它化为参数方程: 由于 x r cos r sin
x r cos , y r sin , ,
,
y' r sin r cos ,

2
d 8a .
e x e x 例2 求悬链线y= 从x=0到x=a＞0那一段的弧长. 2
解 y′=
e x e x 2
a 2
2 , 1 y =
a
e x e x
4
2
,由公式（4）得
s=0
例3 解
1 y dx
0
e x e x ea ea dx . 2 2
其中f（x）在[a，b]上连续可微时，弧长公式为
s = a
b
1 f 2 x dx
(4)
r r ( ), [ , ] 表示，（2）若曲线C由极坐标方程
其中 r '( ) 在 [ , ]上连续，且 r ( ) 与 r '( )不同时为零时，弧长公式为 s=
i 1
利用三角形不等式易证
i y i y i y i y i
' 由 y ( t ) 在 [ , ] 上连续，从而一致连续，
首页
×
故对任给的 0, 存在 0, 当就有,
T'
时,只要 i ,i i，
首页
×
设平面曲线C.如图10—14所示，在C 上从A到B依次取分点： A=P0，P1，P2…，Pn－1，Pn=B，它们成为对曲线C的一个分割，记为T.然后用线段联结T中每相邻两点，

6-2-2平面曲线的弧长

x cos t
等于椭圆 y
1 a2 sin t
(0 t 2)的周长.
证设正弦线的弧长等于s1
s1
2 0
1 y2dx
2 0
1 a2 cos2 xdx

2
1 a2 cos2 xdx,
0
设椭圆的周长为s2
s2
2 0
x2 y2dt,

参数方程情形下
极坐标系下
思考题
闭区间[a, b]上的连续曲线 y f ( x)
是否一定可求长？
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．
练习题
一、填空题：
1、曲线 y ln x 上相应于 3 x 8 的一段弧长为
____________；
2、渐伸线 x a(cos t t sin t ) ， y a(sin t t cos t )
解
x a cos3 t
星形线的参数方程为

y

a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1 第一象限部分的弧长

4 2 x2 y2dt 4 2 3a sin t cos tdt
0
0
6a.
例 3 证明正弦线 y a sin x (0 x 2)的弧长

x y

r( r(
)cos )sin
( )
ds (dx)2 (dy)2 r 2( ) r2( )d ,
弧长 s r 2( ) r2( )d .
例 4 求阿基米德螺线r a (a 0)上相应于从0到2的弧长.

平面曲线弧长的概念

2 2 t2
2
2 2 t2
1 2
例 5 证明正弦线 y a sin x (0 x 2)的弧长
等于椭圆
x y
cos t 1
a
2
sin
t
(0 t 2)的周长.
证设正弦线的弧长等于s1
s1
2 0
1 y2dx
2 0
1 a2 cos2 xdx
2
1 a2 cos2 xdx,
0
无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
n
此折线的长 | M i1M i |的极限存在，则称此极限为
i 1
曲线弧AB 的弧长.
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x) y (a x b)，其中 f ( x)
在[a, b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a,b]
dy
上任取小区间[ x, x dx]，
0
0
6a.
例4.求曲线 y=sin x 在[0, ]上对应弧长。
2
解: Q y cos x
ds 1 cos2 xdx
S
2
1 cos2 xdxS令 1 cos2 x t 1
2t2 dt
0
2 2 t2
1 4 2t2 4dt 2 1 2 t2 dt 4 1 1 dt
作业: P252 1;3.
x y
r( r(
)cos )sin
( )
ds (dx)2 (dy)2 r 2( ) r2( )d ,
弧长 s r 2( ) r2( )d .
例6
求极坐标系下曲线r
a
sin
3
3
的长.
(a 0) (0 3)

高等数学第6章第四节平面曲线的弧长

A M0
O
n
⌒
M i1 M i 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，
i 1
⌒
并称此曲线弧 AB是可求长的。
定理:
光滑曲线弧(即弧上任意点具有一阶连续导数）是可求长的。
•
M n1
• •
B Mn
x
1
二.直角坐标情形
y
设曲线弧由
y f (x)
y f ( x) (a x b)
给出，其中f（x）在[a，b]上上具有一阶连续导数，现在来计算这曲线弧的长度。
(3) 极坐标
s r 2 ( ) r'2 ( )d
思考题：一根弹簧按等速螺线 r =a 盘绕，共计10 圈，已知每圈的间隔为 10mm,求弹簧的全长。
AB
10
解：考察第1、2两圈的间隔，如图 A、B两点的坐标分别为：
(2 ,2a), (4 ,4a)
所以AB 4a 2a 2a 10 解得： a 5
弹簧共10圈，由0增加到20
s 20 r( )2 r'( )2 d a 20 1 2 d
0
0
查表 5 1 2
1 2 ln(
20
1 2 ) 0 3144.2(mm )
11
于是所求弧长为
s
'2 t '2 t dt
5
例3 计算摆线
x
y
a(
a(1
sin ) cos )
的一拱
y
2a
y y(x)
(0 2 ) 的长度。
2a
O
a
解:
∵
x' a(1 cos )
y' a sin

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rr2(6>) d<9
= ^a1O2+a1
=oJl + "2 dO :.s = a[2\ll + 02d0 (P349 公式 39)
Jo?Jl + din<9 + Jl + 屮 I
2
2
2/r
I
0
=。兀』1 + 4兀2 + ；m(27T + J]+ 4/ )
(1)曲线弧由直角坐标方程给出:
y = f(x) {a<x<b)
孤长元素(43;(dy)2
y
=Jl + "2 dx (P168) 因此所
求弧长 _______
s = r J]+y2 dx
= 1：』+ /%)&
o a xx+dxb x
（2）曲线弧由参数方程给出：
V=w）
二、平面曲线的弧长
定义:若在弧痂上任意作内接折线，当折线段的最大边
长人一0时，折线的长度趋向于一个确定的极限，则称此极限为曲线弧分的弧长，即
n
"姓財Ml
i=l
并称此曲线弧为可求长的.
/ B=Mn A=Mo
定理:任意光滑曲线孤都是可求长的. （证明略）
若（p（t）, 屮 Q）连续
可导，且［。'（。］2+ ［“0）］2。0, 则曲线C ：｛二*）E［"］为光滑曲线；当/（X）连续可2
孤长元素（弧微分）：
ds= J（dx）2 + （⑪）2
=』9,2（。+ “，2（。由
因此所求孤长
S=
。”⑺+广⑺dr
(3)曲线弧由极坐标方程给出： r = r(3) (a<0< /3) 令x = ^(9)cos。, v
= r(Q)sin。，则得弧长元素(弧微分)：
ds=而宓］FWd。 =J-2(Q) + /(Q) dQ (自己验证)
解：ds = ^?+（翌）2“
X
(72(1-COS/)2+(72 sin2 / dt
=oj2(l_C0S，) d t
=2^sin-d/ 2
s=「2心—泊一金_"2。-2海；& Jo 2
0 =Sa
例9.求阿基米德螺线r = a3 （口＞0）相
应于0M從2〃一段的弓瓜长・
解：ds = A/r2(6>) +
因此所求弧长
S=
(6>) + /2(6>) 60
例7.求连续曲线段 "L应如d，的孤长. 解：
•/ cosx> 0, /. s=E
2
<x<^
‘2 dx
二2』2 + (Vcosx)2 dx
例8.计算摆线
x = a(t-smt)(口＞0)一拱(0M〈2m) y = a(l- cos t)
的弧长.
y\

高等数学(上)02-62.2 平面曲线的弧长