9连续系统的振动之集中质量法、假设模态法、模态综合法

连续系统的振动 / 假设模态法
• 假设模态法 • 动力学方程
• 瑞利法
• 里兹法
利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律
在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的
解写作全部模态函数的线性组合：

y(x,t) i (x)qi (t) i1
i (x) ：模态函数 qi (t) ：模态坐标
分析方法进行分析
连续系统的振动 / 集中质量法
• 集中质量法
以等截面梁为例
长度 l 抗弯刚度 EI 材料密度 横截面积度 S
梁质量： m Sl
l
m/4
m/4
m/4
l/4
l/4
l/4 l/4
将梁均分为四段 并将每段的质量平均分到该段的两端
支座处的集中质量不影响梁的弯曲
连续梁可用三个集中质量代替：
若取前 n 个有限项作为近似解，则有： n y(x,t) i (x)qi (t) i 1
i (x) ：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原 因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但
不一定满足动力学方程的试函数族
qi (t) ：与假设模态所对应的广义坐标
连续系统的振动 / 假设模态法 y
l S(qTΦT )(Φq)dx 1 qT Mq
2 0 t
20
2
M l SΦTΦdx Rnn 质量阵 0
l
mij m ji 0 Si (x) j (x)dx
质量阵为对称阵
连续系统的振动 / 假设模态法
y
以均质梁的横向振动为例
x
0
假定模态函数 i (x) 已经确定

T qi

V qi
Qi
或
M l SΦTΦdx Rnn 0
K l EIΦTΦdx Rnn 0
d dt

qLi

L qi
Qi
拉氏函数
L T V
Qi ：对应于广义坐标 qi 的广义力
设沿梁作用有分布力 p (x, t)
n
当梁有虚位移 y iqi 时，分布力的虚功：
也可将连续梁离散为两自由度 或单自由度系统
在求得质量矩阵和柔度矩阵后 ，可以计算出相应的系统固有 频率
l
m/4
m/4
m/4
l/4
l/4
m/3
l/4 l/4 m/3
l/3
l/3
l/3
m/2
l/2
l/2
连续系统的振动 / 集中质量法
连续梁
固有频 率
精确解
三自由度系统 两自由度系统
近似解 误差 近似解 误差
0
2
Βιβλιοθήκη BaiduK l EIΦTΦdx Rnn 0
kij k ji
l 0
EIi(
x)
j(
x)dx
刚度阵 刚度阵为对称阵
连续系统的振动 / 假设模态法
T 1 qT Mq V 1 qT Kq
2
2
有激励存在的拉格朗日方程：
d dt

qTi
f11
f33

9l 3 768 EI
16l 3
f22 768 EI
f12

f21
f 23

f32

11l 3 768 EI
7l 3
f13 f31 768 EI
柔度矩阵：
F

l3 768EI
9 11
11 16
7 11
7 11 9
可以求解系统 固有频率
连续系统的振动 / 集中质量法
l
梁的近似解可写为：
n
y(x,t) i (x)qi (t) Φq
i 1
Φ [1, 2, , n ] R1n
q [q1, q2 , , qn ]T Rn1
势能：V 1 2
l 0
EI


2
y(x, x2
t
)

2
dx

1 2
l EI (qTΦT )(Φq)dx 1 qT Kq
以均质梁的横向振动为例
0
x
假定模态函数 i (x) 已经确定
梁的近似解可写为：
n
y(x,t) i (x)qi (t) Φq i 1
Φ [1, 2, , n ] R1n
l
q [q1, q2 , , qn ]T Rn1
动能：
1 T
l S y(x,t) 2 dx 1
m1

m2

m3

m 4
1 0 0
质量矩阵：
M

m 4
0
1
0
0 0 1
连续系统的振动 / 集中质量法
1 0 0
质量矩阵：
M

m 4
0
1
0
0 0 1
l
三个质点之间的梁段具有相同 的弹性性质
m/4
m/4
m/4
由材料力学，得柔度影响系数：
l/4
l/4
l/4 l/4
连续系统的振动 / 集中质量法
• 集中质量法
• 工程系统的物理参数常常分布不均匀 • 惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体 • 惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量
可以不计或折合到集中质量上 • 物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量
• 集中质量的数量取决于所要求的计算精度 • 连续系统离散为有限自由度系统后，可以采用多自由度系统的
教学内容
• 一维波动方程 • 梁的弯曲振动 • 集中质量法 • 假设模态法 • 模态综合法 • 有限元法
连续系统的振动 / 集中质量法
• 连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件 • 当构件形状复杂或边界条件复杂时可以采用近似解法
集中质量法 假设模态法 有限元法 集中质量法是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上 假设模态法是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解 有限元法兼有以上两种方法的特点 • 各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自 由度的系统进行近似
83.21 EI l 2 S
（1）随着自由度数目的增加，计算精度提高；（2）基频精度较高； （3）频率阶数增高，误差增大
注：在采用集中质量法时，计算精度与边界条件有关，例如将同一模型用于 悬臂梁系统，计算精度明显下降
教学内容
• 一维波动方程 • 梁的弯曲振动 • 集中质量法 • 假设模态法 • 模态综合法 • 有限元法
单自由度系统
近似解 误差
1
9.870 EI 9.867 EI
l 2 S
l 2 S
0.03% 9.859 EI l 2 S
0.1%
9.798 EI l 2 S
0.7%
2
39.48 EI 39.19 EI
l 2 S
l 2 S
0.73%
38.18 EI l 2 S
3.3%
6.3%
3
88.83 EI l 2 S