第3章线性方程组习题集解答

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习题3

3-1.求下列齐次线性方程组的通解:

(1)⎪⎩

⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .

解 对系数矩阵施行行初等变换,得

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=144072021

1873153211A

)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-−→−

⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛−→−

, 与原方程组同解的齐次线性方程组为

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=+=+02702

11

z y z x , 即

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧-=-=z y z x 272

11(其中z 是自由未知量), 令1=z ,得到方程组的一个基础解系

T

)1,2

7,211(--

=ξ, 所以,方程组的通解为

,)1,2

7,211(T

k k --

=ξk 为任意常数. (2)⎪⎩⎪

⎨⎧=+++=+++=++++0

86530543207224321

432154321x x x x x x x x x x x x x .

解 对系数矩阵施行行初等变换,得

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A

)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201

)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛−→−,

与原方程组同解的齐次线性方程组为

⎪⎩⎪

⎨⎧==+=++00

025

42431x x x x x x , 即

⎪⎩⎪

⎨⎧=-=--=025

4

2431x x x x x x (其中43,x x 是自由未知量), 令34(,)T x x =(1,0)T ,(0,1)T

,得到方程组的一个基础解系

T

)0,0,1,0,2(1-=ξ,T

)0,1,0,1,1(2--=ξ,

所以,方程组的通解为

=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-,21,k k 为任意常数.

(3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0

74242043624020354321543214

3215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x .

解 对系数矩阵施行行初等变换,得

11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--

⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭

11031022210003100000--⎛⎫

-

−−→ ⎪

- ⎪

⎪⎝

)(阶梯形矩阵B =

)(000003110006501106701

1

行最简形矩阵C =⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛----−→−,

与原方程组同解的齐次线性方程组为

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧

=-=--=-+03106506

754532531

x x x x x x x x ,

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧

=+=+-=5453

2531

31656

7x x x x x x x x (其中53,x x 是自由未知量), 令=T x x ),(53(1,0)T ,(0,1)T

,得到方程组的一个基础解系

T )0,0,1,1,1(1-=ξ,T )1,3

1

,0,65,67(2=ξ,

所以,方程组的通解为

=+2211ξξk k T T k k )1,3

1

,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-,21,k k 为任意常数.

3-2.当λ取何值时,方程组

⎪⎩

⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解?

解 原方程组等价于

⎪⎩

⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ,

上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式

067

1

743134=-----λ

λλ,

0)756(2=-+λλλ,

从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解.

3-3.求解下列非齐次线性方程组:

(1)⎪⎩⎪

⎨⎧=++--=-+-=++-5

5212124321

43214321x x x x x x x x x x x x .

解 对增广矩阵A 施行行初等变换

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =,

因为()()r A r A =,所以方程组有解,继续施行行初等变换

B ⎪⎪⎪

⎝⎛-−→−

000001100000121C =, 与原方程组同解的齐次线性方程组为

⎩⎨

⎧==+-1

24321x x x x , 即

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