第3章线性方程组习题集解答
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
习题3
3-1.求下列齐次线性方程组的通解:
(1)⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .
解 对系数矩阵施行行初等变换,得
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=144072021
1873153211A
)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-−→−
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛−→−
, 与原方程组同解的齐次线性方程组为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=+02702
11
z y z x , 即
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=-=z y z x 272
11(其中z 是自由未知量), 令1=z ,得到方程组的一个基础解系
T
)1,2
7,211(--
=ξ, 所以,方程组的通解为
,)1,2
7,211(T
k k --
=ξk 为任意常数. (2)⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=++++0
86530543207224321
432154321x x x x x x x x x x x x x .
解 对系数矩阵施行行初等变换,得
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A
)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201
)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛−→−,
与原方程组同解的齐次线性方程组为
⎪⎩⎪
⎨⎧==+=++00
025
42431x x x x x x , 即
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=--=025
4
2431x x x x x x (其中43,x x 是自由未知量), 令34(,)T x x =(1,0)T ,(0,1)T
,得到方程组的一个基础解系
T
)0,0,1,0,2(1-=ξ,T
)0,1,0,1,1(2--=ξ,
所以,方程组的通解为
=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-,21,k k 为任意常数.
(3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0
74242043624020354321543214
3215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x .
解 对系数矩阵施行行初等变换,得
11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭
11031022210003100000--⎛⎫
⎪
-
⎪
−−→ ⎪
- ⎪
⎪⎝
⎭
)(阶梯形矩阵B =
)(000003110006501106701
1
行最简形矩阵C =⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛----−→−,
与原方程组同解的齐次线性方程组为
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=-=--=-+03106506
754532531
x x x x x x x x ,
即
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
=+=+-=5453
2531
31656
7x x x x x x x x (其中53,x x 是自由未知量), 令=T x x ),(53(1,0)T ,(0,1)T
,得到方程组的一个基础解系
T )0,0,1,1,1(1-=ξ,T )1,3
1
,0,65,67(2=ξ,
所以,方程组的通解为
=+2211ξξk k T T k k )1,3
1
,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-,21,k k 为任意常数.
3-2.当λ取何值时,方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解?
解 原方程组等价于
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ,
上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式
067
1
743134=-----λ
λλ,
即
0)756(2=-+λλλ,
从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解.
3-3.求解下列非齐次线性方程组:
(1)⎪⎩⎪
⎨⎧=++--=-+-=++-5
5212124321
43214321x x x x x x x x x x x x .
解 对增广矩阵A 施行行初等变换
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =,
因为()()r A r A =,所以方程组有解,继续施行行初等变换
B ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-−→−
000001100000121C =, 与原方程组同解的齐次线性方程组为
⎩⎨
⎧==+-1
24321x x x x , 即